直线的方程(解析版)

一、选择题1．已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有 A ．0C < B ．0C > C ．0BC >D ．0BC <【答案】C【名师点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题． 2．经过点A (2,-1),B (-4,5)的直线的一般式方程为 A ．x+y+1=0B ．x-y+1=0C ．x-y-1=0D ．x+y-1=0【答案】D【解析】因为直线过A (2,-1),B (-4,5),所以由直线方程的两点式得直线方程为()()125142y x ---=----,化为一般式得x+y-1=0.故选D.3．已知直线()410a x y -++=与直线2350x y +-=垂直，则a =A ．143 B ．52C ．112D ．3【答案】B【解析】直线（a ﹣4）x +y +1=0与直线2x +3y ﹣5=0垂直，可得2（a ﹣4）+3=0，解得a =52． 故选B ．【名师点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．运用两直线垂直的条件，可得2（a ﹣4）+3=0，解方程即可得到所求值．4．把直线310x y -+-=绕点()1,3逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是 A ．3y x =-B ．3y x =C ．320x y -+=D ．320x y +-=【答案】B【解析】已知直线310x y -+-=的斜率为1，则其倾斜角为45°，所以直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . 故选B.【名师点睛】本题主要考查由直线方程求得斜率及倾斜角及结合象灵活运用，还有由点斜式写直线方程. 5．已知直线ax ＋by ＋c =0的图象如图，则下列结论正确的是A ．若c >0，则a >0，b >0B ．若c >0，则a <0，b >0C ．若c <0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b >0【答案】D6．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l 的一般式方程是A ．3x ＋y −6=0B ．x ＋3y −10=0C ．3x −y =0D ．x −3y ＋8=0【答案】A【解析】设所求直线l 的方程为1x y a b +=(a >0，b >0)，则有162ab =，且131a b+=.由122 1361ababab=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩，∴直线l 的方程为126x y+=，即为3x ＋y−6=0.7．已知直线(2m 2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为A．2或12B．2或－12C．－2或－12D．－2或12【答案】A【名师点睛】本题考查直线的截距，注意验证直线是正确解题的关键，属于基础题.由题意可知，直线过点()1,0，代入可得关于m的方程，解方程注意验证直线即可.二、填空题8．已知直线过定点,且倾斜角为60︒,则直线的一般式方程为________.【答案】【解析】由题可得，该直线的斜率为,所以该直线的点斜式方程为，其一般式方程为.9．已知直线222()(0)32a x a a y a++---=在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．【答案】415-【解析】把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3−2a=0，∴a=−6，∴直线方程为−4x＋45y＋12=0.令x=0，得415y=-.10．已知直线1:210l ax y--=，直线2:l320x y+-=，则1l过定点_________；当a=________时，1l 与2l平行．【答案】10,2⎛⎫-⎪⎝⎭23-【解析】直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =⎧⎨+=⎩，解得012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以直线1l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．当1l 与2l 平行时，则有23=-，解得23a =-，即23a =-时，1l 与2l 平行． 【名师点睛】直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成()(),,0f x y kg x y +=（k 为参数）的形式，解方程组()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得定点的坐标．将直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =+=且可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得a 的值． 三、解答题11．把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.12．根据下列条件求解直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A (1，3)； (2)斜率为，且在y 轴上的截距为4；(3)经过两点A (2，－3)，B (－1，－5)； (4)在x ，y 轴上的截距分别为2，－4.13．已知直线l 的方程为34120x y +-=，求：（1）过点()1,3-，且与l 平行的直线方程； （2）过点()1,3-，且与l 垂直的直线方程. 【解析】由直线34120x y +-=，得其斜率为34-， （1）因为所求直线与l 平行，则所求直线的斜率34k =-， 又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()3314y x -=-+，即3490x y +-=. （2）因为所求直线与l 垂直，则所求直线的斜率43k =，又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()4313y x -=+，即43130x y -+=. 【名师点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．14．已知直线l 平行于直线，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程.15．已知直线()1:280l m x my -+-=与直线2:30l mx y +-=，其中m 为常数.（1）若12l l ⊥，求m 的值；（2）若点()1,2P m 在2l 上，直线l 过P 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. 【解析】（1）∵12l l ⊥，∴()20m m m -+=，解得0m =或1m =.（2）当0m =时，P 为（1,0），2:3l y =，不合题意； 当1m =时，P 为（1,2），2:30l x y +-=，符合题意. ∵直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，当直线l 过原点时，可设l 的方程为y kx =，将点P （1,2）代入得2k =， ∴此时l 为2y x =;当直线l 不经过原点时，可设l 的方程为x y λ-=，将点P （1,2）代入得1λ=-， ∴此时l 为10x y -+=.综上可得直线l 的方程为2y x =或10x y -+=.。

直线的方程题型一：倾斜角、斜率问题典例1、直线3310x y ++=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．30D ．60答案： A解析： 求出直线斜率，可得倾斜角．【详解】 直线3310x y ++=的斜率为33k =-，所以倾斜角为150°． 故选：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题时可先求得直线斜率，由斜率与倾斜角关系得倾斜角． 典例2、如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（ ）A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4答案： A解析： 根据直线的斜率公式，列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，过过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，根据直线的斜率公式，可得41(2)m m -=--，解得1m =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.典例3、直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2） 答案： D解析： 由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D ．典例4、直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=，（θ∈R ），则直线l 倾角α的取值范围是_______。

答案： 3[0][)44πππ⋃，，解析： 依题意可得，直线l 的方向向量为(1,cos )θ-，则tan cos [1,1]αθ=-∈-，所以3[0,][,)44ππαπ∈⋃典例5、已知线段AB 的端点()()2,1,1,4A B -，直线l 过原点且与线段AB 不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________________答案： （-∞，-4+∞）解析： 求出直线,OA OB 的斜率，观察线段AB 是否过y 轴，即可得。

直线方程经典例题及解析直线是我们在几何学中经常遇到的基本概念之一，研究直线方程是数学中的一个重要分支。

本文将介绍几个经典的直线方程例题，并逐步解析它们的求解过程。

例题1：求过两点的直线方程已知直线上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，请求出通过这两个点的直线方程。

解析：我们知道，直线的方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是与y 轴交点的纵截距。

首先我们需要计算斜率k，根据斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)然后，我们可以使用其中一个点（例如A点），将点坐标带入方程：y1 = kx1 + b可以得到b的值：b = y1 - kx1因此，通过这两个点的直线方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + (y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1)这就是通过两个已知点求直线方程的方法。

例题2：求与两直线的交点已知直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，求两直线的交点坐标。

解析：假设L1和L2的交点坐标为(x, y)。

那么根据直线方程，我们可以得到：k1x + b1 = k2x + b2整理后可得：(k1 - k2)x = b2 - b1从而得到交点横坐标x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)将x的值带入任意一条直线方程中，可以求出交点纵坐标y的值。

综上所述，我们可以通过以上步骤求得直线L1和L2的交点坐标。

例题3：已知截距和斜率求直线方程已知直线L的斜率为k，与y轴的截距为b，请求直线L的方程。

解析：根据直线方程y = kx + b，我们已知直线L的截距和斜率。

根据已知信息，我们可以直接写出直线L的方程：y = kx + b就是这么简单！我们只需将已知的斜率k和截距b带入直线方程即可求得直线L的方程。

例题4：已知直线与坐标轴的交点已知直线L与x轴和y轴的交点分别为A(2,0)和B(0,3)，求直线L的方程。

高考数学知识点解析直线的方程与性质高考数学知识点解析：直线的方程与性质在高考数学中，直线的方程与性质是一个重要的知识点，它不仅在几何问题中有着广泛的应用，还与代数、三角函数等其他知识板块紧密相连。

理解和掌握直线的方程与性质，对于解决各类数学问题都具有关键作用。

一、直线的倾斜角与斜率首先，我们来了解直线的倾斜角。

直线的倾斜角是指直线与 x 轴正方向所成的角，范围是0, π)。

当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0；当直线垂直于 x 轴时，倾斜角为π/2。

而直线的斜率则是倾斜角的正切值，通常用 k 表示。

如果已知直线上两个不同的点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)，那么直线的斜率 k ＝（y₂ y₁) ／（x₂ x₁)。

需要注意的是，当直线垂直于 x 轴时，斜率不存在。

斜率的正负决定了直线的倾斜方向。

当斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；当斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；当斜率为 0 时，直线与 x 轴平行或重合。

二、直线的方程1、点斜式如果已知直线上一点 P₀(x₀, y₀)，并且直线的斜率为 k，那么直线的点斜式方程为 y y₀＝ k(x x₀)。

2、斜截式如果直线的斜率为 k，且在 y 轴上的截距为 b（即直线与 y 轴交点的纵坐标），那么直线的斜截式方程为 y ＝ kx ＋ b。

3、两点式已知直线上两个不同的点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)，则直线的两点式方程为（y y₁) ／（y₂ y₁) ＝（x x₁) ／（x₂ x₁)。

4、截距式如果直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 和 b（a ≠ 0，b ≠ 0），那么直线的截距式方程为 x ／ a ＋ y ／ b ＝ 1。

5、一般式直线的一般式方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）。

在具体解题时，我们需要根据题目所给的条件，选择合适的直线方程形式，以便更简便地进行计算和推理。

三、直线的位置关系1、平行两条直线平行，它们的斜率相等。

直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。

2.2 直线方程考点一 点斜式方程【例1】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）经过点(1,2)，且倾斜角为30︒的直线方程是（ ）．A ．21)y x +=+ B ．21)y x -=-C 360y -+-=D 20y -+=【答案】C【解析】因为直线倾斜角为30︒，故直线斜率为303tan ︒=.故直线方程为：)21y x -=-，360y -+-=.故选：C . 【一隅三反】1．（2019·伊美区第二中学高二月考（理））经过点（3-，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）A ．23)y x +=-B ．2(3)3y x -=+C ．23)y x -=+D ．23)y x +=- 【答案】C【解析】由直线的倾斜角为60︒，得到直线的斜率tan 60k =︒=()32-，则直线的方程为)23y x -=+故选C2．（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）过点P （4，－1）且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是（ ） A ．4x ＋3y －13＝0 B ．4x －3y －19＝0 C ．3x －4y －16＝0 D ．3x ＋4y －8＝0【答案】A【解析】因为两直线垂直，直线3x ﹣4y+6=0的斜率为34，所以所求直线的斜率k=﹣43则直线方程为y ﹣（﹣1）=﹣43（x ﹣4），化简得4x+3y ﹣13=0故选：A ．考点二 斜截式方程【例2】（2019·福建高三学业考试）已知直线l 的斜率是1，且在y 轴上的截距是1-，则直线l 的方程是（ ） A ．1y x =-- B ．1y x =-+C ．1y x =-D ．1y x =+【答案】C【解析】直线l 的斜率为1k =，且在y 轴上的截距为1-，所以直线l 的方程为1y x =-．故选：C ． 【一隅三反】1．（2020·元氏县第一中学）倾斜角为135,在y 轴上的截距为1-的直线方程是A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=【答案】D【解析】倾斜角135θ=tan 1k θ∴==-，直线方程截距式110y x x y =--∴++=考点三 两点式方程【例·】（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知点()1,2A ，()1,2B --，则直线AB 的方程是________.【答案】20x y -=【解析】直线的两点式方程为112121x x y y x x y y --=--，代入()1,2A ，()1,2B --，得 121212x y --=----，整理得直线AB 的方程是20x y -=.故答案为: 20x y -=. 【一隅三反】1．（2019·平罗中学高二月考（文））过()1,2，()5,3的直线方程是（ ）A ．215131y x --=-- B ．213251y x --=-- C ．135153y x --=-- D ．235223x y --=-- 【答案】B【解析】因为所求直线过点()1,2，()5,3，所以322511-=---y x ，即213251y x --=--. 故选：B2．（2019·广东清新.恒大足球学校高三期中）过点（4，－2）和点（－1，3）的直线方程为____________.【答案】20x y +-=【解析】由题意可知，直线过点()4,2-和点()1,3-，由两点坐标，求得斜率()32114k --==---，再由点斜式求得直线方程为：()()214y x --=--，即：20x y +-=.故答案为：20x y +-=.考点四 截距式方程【例1】（2020·江苏省海头高级中学高一月考()l A 5,2,l -已知直线经过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为____【答案】3,250x y x y +=+=【解析】当截距为0时，设y kx = ，代入A （5，-2）解得25k =-，即250x y += 当截距不为0时，设1x ya a+= ，代入A （5，-2）解得3a = ，即3x y += 综上，直线方程为250x y +=或3x y +=【一隅三反】1．（2020·江苏如东。

直线的方程(解析版)直线的方程(解析版)直线是几何学中的基本元素，也是数学中的重要概念之一。

直线的方程是研究直线性质和解决相关问题的基础。

在本文中，我们将详细讨论直线的方程及其解析表示方法。

一、直线的定义直线是由无数个点组成的，这些点满足连接其中任意两点的线段都完全在这条线上。

直线可以用来描述两个平面上的对应点之间的关系。

直线是平面几何学中最基本的图形之一。

二、直线方程的基本形式直线方程的基本形式是y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

斜率用来描述直线的倾斜程度，截距则表示直线与y轴的交点。

三、一般形式求解直线方程1. 已知两点求直线方程假设已知直线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过以下步骤求解直线方程：(1) 计算斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)；(2) 根据其中一个点和斜率，使用点斜式方程得到直线方程：y - y₁ = k(x - x₁)；(3) 化简得到一般形式：y = kx - kx₁ + y₁。

2. 已知斜率和截距求直线方程假设已知直线的斜率k和截距b，我们可以通过以下步骤求解直线方程：(1) 使用斜截式方程：y = kx + b。

四、直线方程的特殊情况1. 垂直于x轴的直线对于垂直于x轴的直线，斜率为无穷大，因此直线方程可以简化为x = a的形式，其中a为直线与x轴的交点的横坐标。

2. 垂直于y轴的直线对于垂直于y轴的直线，斜率为0，因此直线方程可以简化为y = b的形式，其中b为直线与y轴的交点的纵坐标。

五、直线方程的性质1. 斜率直线的斜率用来描述直线的倾斜程度。

斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为0表示直线水平。

2. 平行和垂直两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的条件是它们的斜率互为负倒数。

六、实例分析以下是一些实例，展示了如何根据已知条件来确定直线的方程。

第37讲直线与方程一、考情分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.二、知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠π2)，则k＝tan__θ.3.直线方程的五种形式[微点提醒]1.直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.三、 经典例题考点一 直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 (2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]. 故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围.【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.【解析】 由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.考点二直线方程的求法【例2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，所以l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，因为l过点(4，1)，所以4a＋1a＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).考点三直线方程的综合应用角度1 与不等式相结合的最值问题【例3－1】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________. 【答案】 5【解析】由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|P A |·|PB |的最大值是5. 角度2 由直线方程求参数范围【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________. 【答案】 12【解析】 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解. [方法技巧]1、在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.2、倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.(2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化规律. 四、 课时作业1．已知直线l 的斜率是1，且在y 轴上的截距是1-，则直线l 的方程是（ ） A ．1y x =-- B ．1y x =-+C ．1y x =-D ．1y x =+【答案】C【解析】解：直线l 的斜率为1k =，且在y 轴上的截距为1-， 所以直线l 的方程为1y x =-．2．经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为 A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4【答案】A 【解析】即得选A3．直线310x y ++=的倾斜角为（ ） A ．3πB ．23π C ．6π D ．56π 【答案】D【解析】解：设直线的倾斜角为α． 直线的点斜式方程是31)y x =+， ∴直线的斜率3tan k α==．[0α∈，)π，∴56πα=． 故选：D ．4．已知直线l 过点(3,4)P 且与点()22A -，，(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为（ ） A ．23180x y +-=B ．220x y --=C ．32180x y -+=或220x y ++=D ．23180x y +-=或220x y --=【答案】D【解析】解析：设所求直线的方程为4(3)y k x -=-，即340kx y k --+=，=解得2k =或23k =-， 即所求直线方程为23180x y +-=或220x y --=.5．已知点()12P ，与直线l : 10x y ++=，则点P 关于直线l 的对称点坐标为（ ）A ．()3,2--B ．()3,1--C ．()2,4D ．()5,3--【答案】A【解析】可以设对称点的坐标为(),x y ，得到2121,103, 2.122y x y x y x -++=++=⇒=-=-- 6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y +-=C ．230x y --=D ．230x y --=【答案】D【解析】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-.7．已知函数()21f x ax a =+-的图象恒过定A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n ⋅>，则12m n+的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．8【答案】D 【解析】()()2121f x ax a a x =+-=+-，所以，函数()y f x =的图象恒过定点()2,1A --，由于点()2,1A --在直线10mx ny ++=上，则210m n --+=，则21m n +=，0mn >，则0mn>，()121242448m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n m =时，等号成立， 因此，12m n+的最小值为8. 8．点A （1，3）关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B （–2，1），则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是A ．32- B ．54 C ．65-D ．56【答案】D9．已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,B ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D ．,,422ππππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】B【解析】直线l 的斜率221121m k m -==--，因为m R ∈，所以(],1k ∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.10．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A ．2x y += B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =【答案】C【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x ； 当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2． 综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=211．已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l 过点P(1, 1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≥2或k ≤34B ．34≤k ≤2 C ．k ≥34D ．k ≤2【答案】A【解析】因为2AP k =，34BP k =，结合图象可知，当2AP k k ≥=或34BP k k ≤=时，则直线l 与线段AB 相交，故选A ．12．过()0,1A ，()3,5B 两点的直线的斜率是( ) A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】A【解析】因为直线过()0,1A ，()3,5B 两点， 所以514303AB k -==-. 13．已知点(2,1),(3,)A B m -，若331m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】解：因为(2,1),(3,)A B m -，所以()1132AB m k m --==+-，因为331m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以313m ⎡+∈⎢⎣， 设倾斜角为α，[)0,απ∈，则t 3an 3α⎡∈⎢⎣， 所以50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.14．（多选题）若直线过点()1,2A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为y =2x ，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y =k ，把点A （1，2）代入可得1-2=k ，或1+2=k ， 求得k =-1，或k =3，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 15．（多选题）在下列四个命题中，错误的有（ ） A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B ．直线的倾斜角的取值范围是0,C ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α 【答案】ACD【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在，A 错误 对于B ，直线倾斜角的取值范围是0,，B 正确对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α， 如y x =的斜率为5tan4π，它的倾斜角为4π，C 错误 对于D ，一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在，D 错误 16．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=【答案】AB【解析】A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，2-，所以围成三角形的面积是2正确，B 中0+121(,)22+在直线1y x =+上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1-，所以B 正确，C 选项需要条件2121,y y x x ≠≠，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线y x =.17．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．截距相等的直线都可以用方程1x y a a+=表示 B ．方程20()x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线C ．经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-D ．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程211211()()()()0y y x x x x y y -----=【答案】BD【解析】对于A ，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程1x y a a+=表示，所以A 不正确； 对于B ，当0m =时，平行于y 轴的直线方程形式为2x =，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90，则该直线的斜率不存在，不能用1tan (1)y x θ-=-表示，所以C 不正确； 对于D ，设点(),P x y 是经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线上的任意一点，根据121//PP PP 可得211211()()()()0y y x x x x y y -----=，所以D 正确． 18．（多选题）下面说法中错误．．的是（ ） A ．经过定点00(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点00(,)P x y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 E.经过任意两个不同的点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线都可以用方程121()()y y x x --121()()x x y y =--表示【答案】ABCD【解析】对于A 项，该方程不能表示过点P 且垂直于x 轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A 项不正确；对于B 项，该方程不能表示过点P 且平行于x 轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B 项不正确；对于C 项，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C 项不正确；对于D 项，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D 不正确；对于E 项，经过任意两个不同的点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可以用方程()()121y y x x -- ()()121x x y y =--表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E 正确；19．（多选题）下列说法中，正确的是（ ）A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．一条直线的倾斜角为30-︒C ．若直线的倾斜角为α，则sin 0αD ．任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α【答案】CD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，直线的倾斜角为α，当90α=︒时，斜率不存在，A 错误；对于B ，直线的倾斜角的范围为[0，)π，B 错误；对于C ，直线的倾斜角的范围为[0，)π，则有sin 0α，C 正确；对于D ，任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α，D 正确；20．已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程.【解析】由题意知，直线l 的斜率为，故设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－b ，在y 轴上的截距为b ，－b －b ＝1，b ＝－，直线l 的方程为y ＝x －，即15x －10y －6＝0.21．已知直线l ：120kx y k -++= (k ∈R ).（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【解析】解:(1)证明：∵直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=，令2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩，∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-.(2)解：由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)k A k+-，(012)B k +，． 依题意得：120120k k k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ∵21112(12)11112(44)(224)422222k k S OA OB k k k k k ++=⋅⋅=⋅+==++≥⨯⨯+=， 当且仅当 140k k =>，即12k =，取“＝” ∴min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=．22．已知三角形的三个顶点A (−5，0)，B (3，−3)，C (0，2). （1）求BC 边所在直线的方程；（2）求△ABC 的面积.【解析】解：(1)∵ B (3，−3)，C (0，2)， ∴ 2(3)5033BC k --==--， ∴ BC 边所在直线的方程：52(0)3y x -=--，即5360x y +-=，（2）A (−5，0)，∴点A 到直线BC的距离为：34d == ∵ B (3，−3)，C (0，2)，∴ BC ==∴ 1312342ABC S==。

初中数学解析几何中直线的方程解析几何是数学中的一个重要分支，运用代数和几何的方法来研究图形的性质和变化规律，其中直线的方程是解析几何的核心概念之一。

本文将介绍初中数学解析几何中直线的方程，通过实例演示如何求解直线的方程。

一、一般式方程直线的一般式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数，分别表示直线的斜率、截距和常数项。

一般式方程的特点是A、B、C之间没有具体的比例关系，即可写成多个等价形式。

例如，对于直线3x+2y-6=0，可以通过整理等式将其转化为2y=-3x+6或者y=(-3/2)x+3，这些形式都代表同一条直线。

在求解直线的方程时，我们通常会通过已知条件来确定直线的特征，例如已知直线经过某个点或者直线的斜率等。

二、点斜式方程点斜式方程是求解直线方程的常用形式，其中包含直线上一点的坐标和直线的斜率。

假设已知直线上一点的坐标为（x1，y1），直线的斜率为k，那么点斜式方程可以表示为y-y1=k(x-x1)。

通过点斜式方程，我们可以很容易地确定直线的方程。

例如，已知直线上一点坐标为（2，3），斜率为2，那么点斜式方程可以写作y-3=2(x-2)。

接下来，让我们通过具体例子来理解点斜式方程的应用。

假设已知直线上一点坐标为（1，4），经过该点的直线与x轴夹角为45度。

我们可以通过斜率公式得到斜率的具体值。

斜率公式为k=tan(θ)，其中θ表示直线与x轴夹角。

已知夹角为45度，在正切函数表中查得tan(45°)=1，所以直线的斜率为1。

将已知点（1，4）和斜率1代入点斜式方程，得到y-4=1(x-1)。

将方程进行展开化简，得到y=x+3，故直线的方程为y=x+3。

三、截距式方程截距式方程是求解直线方程的另一种形式，通过直线在x轴和y轴上的截距来表示。

假设直线与x轴的截距为a，与y轴的截距为b，那么截距式方程可以写作x/a+y/b=1。

通过该方程，我们可以很容易地确定直线的方程。

例如，已知直线与x轴的截距为4，与y轴的截距为2，那么截距式方程可以写作x/4+y/2=1。

2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =， 所以所求直线为240x y -=，即20x y -=. 故选：A2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【答案】B【解析】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-， 所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B.3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+【答案】C【解析】由题意知：直线l l 的方程为1y +.故选：C.4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．210x y -+=【答案】C【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行，所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)， 所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=，故选：C. 5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（ ） A ．10x y +-= B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --=【答案】B【解析】因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1， 又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32yx ，即50x y -+=，故选：B6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（ ）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =- 【答案】D【解析】根据一般方程20x +=可得y =，所以斜率为k =6πθ=，和该直线夹角为3π的直线的倾斜角为2π或56π，根据直线过点(P -，所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选：D 7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=【答案】A【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2，所以直线的方程为32(0)y x +=-， 即230x y --=，故选：A ．8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】当0a =时，直线2y =，此时不符合题意，应舍去；当2a =时，直线:20l x y +=，在x 轴与y 轴上的截距均为0，符合题意； 当0a ≠且2a ≠，由直线:20l ax y a +-+=可得：横截距为2aa-，纵截距为2a -. 由22aa a-=-，解得：1a =.故a 的值是2或1.故选：D 9．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入， 得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①， 解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ； 共有3条；故选：C.10．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)3120x y -+=；(2)350x y ++=；(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为403430y x --=---，整理可得3120x y -+=； (2)由341303BC k -==--，所以BC 边上的高所在直线的斜率3-， 所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++，整理可得350x y ++=； (3)由,B C 中点为37(,)22-，由（2）知BC 边的垂直平分线的斜率3-，所以BC 边的垂直平分线为31y x =--，整理可得310x y ++=.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线． 【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=，因为直线过点()3,2A ， 所以4320m ⨯++=，得14m =-，所以所求直线方程为4140x y +-=(2)由题意设直线方程为20x y n -+=，因为直线过点()3,0B ，所以300n -+=，得3n =-， 所以所求直线方程为230x y --=(3)因为直线过点()5,4，且与x 轴垂直，所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527112k --==--， 所以直线方程为()7322y x +=-，即72200x y --= 2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=，由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为：(1,2).2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0. 3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=，可化简为(236)(2)0x y k y -++-=，又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩，解得0,2x y ==，即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为：(0,2).4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________. 【答案】()1,1【解析】把直线l 的方程改写成：()()2230x y m x y +-++-=，令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点()1,1.故答案为：（1,1）.5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______． 【答案】(3,4)【解析】把直线l 的方程改写成：(7)(210)0x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3,4)，故答案为：(3,4)6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____． 【答案】(0,6)-【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得6x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-． 3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号； 令0x =，得0C y B=->；令0y =，得0Cx A =->；所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限. 故选：C.2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率1k =-∵直线的方程：()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限．故选：A ． 3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】直线:13l y kx 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kxk ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围 ． 【答案】[]2,4【解析】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意； 当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--． 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤． 综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=，直线过(1,1)P ，则111a b+=，直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142S ab ==，8ab =±， 111a b a abb ++==，a b ab +=，8ab =时，8a b +=，由88a b ab +=⎧⎨=⎩， 得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8ab =-时，8a b +=-，由88a b ab +=-⎧⎨=-⎩， 得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，所以直线l 共有4条． 故选：D ．2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.【答案】6【解析】设点(),0A a 、()0,B b ，其中0a >且0b >，则直线AB 的方程为1x ya b+=，由已知可得131a b +=，由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥， 当且仅当2a =，6b =时，等号成立，故162AOB S ab =≥△. 故答案为：6.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=． (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)240x y ++=【解析】(1)证明：原方程整理得：()23240x y m x y --+++=．由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --(2)解：设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<． 令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭． 当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小． 则1l 的方程为240x y ++=．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求： (1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程． 【答案】(1)6；360x y +-=.(2)4+1=. 【解析】(1)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以131a b =+≥12ab ≥，当且仅当2,6a b ==时，等号成立， 所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622ab ≥⨯=，所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6，此时直线:126x yl +=，即360x y +-=.(2)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时，等号成立.此时直线l 1=. 5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（ ） A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直 【答案】B【解析】直线方程整理为：(21)50m x y x y +---+=，由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得94x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点(9,4)-，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B ．2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD【解析】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点(0,1)-，故B 正确；对C ，当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C 错误；对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确； 故选：BD3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（ ）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -【答案】ABC【解析】由题意，直线l 的倾斜角可以是6π或3π或56π或23π，所以直线l 的斜率6tanπk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -，由1)y x -，整理得y =，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选：ABC.。

直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0 (2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95D.－3 3 答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项. 又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限， 所以只有B 项正确.(2)令y ＝0则x ＝－33.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋y b＝1， ∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解. 故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)， 由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)， 即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.(1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2； 直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a. (1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12， 解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直. 题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1.(1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3， 所以m ≠－3时，方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3， 所以4m －12m 2＋m －3＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.(1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，它表示经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，斜率为a 的直线.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a ≥3.∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ②由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为() A.A ≠0 B.B ≠0C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( )A.－1B.1C.12D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( )A.45°B.135°C.1D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A.－2B.2C.－3D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A.C ＝0，B >0B.A >0，B >0，C ＝0C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A.－3B.3C.13D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≠±1B.a ≠1，a ≠2C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0， 直线在y 轴上的截距c b<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得：m ＝3.3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－aa ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞). 11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行.②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直.②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直. ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意.故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.。

专题54 直线的方程专题知识梳理1．当直线l 与x 轴相交时，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l 的倾斜角，并规定：直线l 与x 轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是0°≤α＜180°．2．当倾斜角α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，常用k 表示，即k ＝tan α.当α＝90°时，斜率不存在．当直线过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2时，k ＝2121y y x x --．3．直线方程的几种形式考点探究考向1 直线的斜率与倾斜角【例】（1）已知两点A (－1，－5)、B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率． （2）直线2x cos α－y －3＝0的倾斜角的取值范围是 ．(3)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ．【解析】（1）设直线l 的倾斜角为α.则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知：tan2α＝2(5)33(1)4---=--，∴22tan 31tan 4αα=-，整理得3tan 2α＋8tanα－3＝0，解得1tan 3α=或tanα＝－3，∵3tan 204α=>，∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tanα>0，故直线l 的斜率为13. （2）,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2α≤≤k ＝2cos α∈．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈． 又θ∈[0，π)，所以θ∈,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即倾斜角的取值范围是,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3) (,[1,)-∞+∞U ． 如图，∵k AP ＝1021--＝1，k BP =k ∈(,[1,)-∞+∞U ． 题组训练1.若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为_______． 【解析】题意得412m m-=--，解得m ＝1.2.(2018·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________． 【解析】设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U3.经过两点(1,1)-的直线的倾斜角为 __．【解析】因为经过两点(1,1)-的直线的斜率为1k ==，所以倾斜角为45o . 考向2 直线方程【例】根据所给条件求直线的方程：(1)过点P (－2,4)且斜率k ＝3的直线l 的方程；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；【解析】 (1)由题设知，该直线可采用点斜式．直线l 的方程为y －4＝3[x －(－2)]，即3x －y ＋10＝0.(2)由题设知直线在平面直角坐标系中的横、纵截距均不为0，故可设直线方程为112x y a a+=-.因为直线过点(－3，4)，所以34112a a-+=-，解得a ＝－4或9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 题组训练1.倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________．【解析】由于倾斜角为120°，故斜率k =又直线过点(－1,0)，所以直线方程为1)y x =+，即0y ++=2.求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 【解析】当直线不过原点时，设所求直线方程为12x y a a +=，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝12-，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得25k =-，所以直线方程为25y x =-，即2x ＋5y ＝0. 故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.3.直线l 过点(5，10)，且到原点的距离为5，则直线l 的方程是【解析】当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0.当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.5=，解得34k =.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.4.过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 【解析】若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.考向3 直线方程的综合问题【例】（1） 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．（2）已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】（1）由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积22112(2)2(2)422S a a a a =⨯⨯-+⨯⨯+=-+2115()24a =-+，当12a =时，四边形的面积最小．（2）方法一 设直线方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，把点P (3,2)代入得321a b +=≥ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当32a b=时等号成立，这时23b k a =-=-，从而所求直线的方程为2x ＋3y－12＝0.方法二 由题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有2(3,0)A k-，B (0,2－3k )，∴12141(23)(3)12(9)1222()2OAB S k k k k ∆⎡⎡⎤=--=+-+≥+⎢⎢⎥-⎣⎦⎣ 1(1212)122=⨯+= 当且仅当49k k -=-，即23k =-时，等号成立． 即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0. 题组训练1.过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为____________．【解析】 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意； ③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得22x k=-，依题意有122222k ⨯-⨯=，即111k -=，解得12k =，所以直线m 的方程为12(2)2y x －＝－，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 2.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，不符合题意；当a ≠－1时，直线l 在x 轴上的截距为a －2a ＋1，在y 轴上的截距为a －2，因为l 在两坐标轴上的截距相等，所以a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝2或a ＝0，所以直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0a －2≤0，解得a ≤－1.综上所述，a ≤－1.3.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．【解析】 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C (m －3n 2，m ＋n 2)．由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.4.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【解析】 (1)证明：直线l 的方程可以变形为k(x ＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意．故k≥0. (3)由l 的方程得A(－1＋2k k ，0)B(0，1＋2k)．依题意得k>0.∵S ＝12|OA|·|OB|＝12|1＋2kk|·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12(4k ＋1k ＋4)≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当k>0且4k ＝1k ，即k ＝12时，等号成立，S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.。

第30讲 直线方程一．选择题（共30小题）1．（2020秋•河南期末）已知直线l 经过原点(0,0)O 和A 两点，则直线l 的倾斜角是( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【解析】解：由(0,0)O 和A 两点，代入斜率公式得斜率3=，则直线l 的倾斜角是60︒， 故选：C ．2．（2020秋•广安期末）直线310l y -+=的倾斜角为( ) A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 【解析】解：设直线l 的倾斜角为α，则由直线310l y -+=知，3=．所以tan α 所以6πα=．故选：B ．3．（2020秋•丰台区期末）已知A ，(1,0)B ，则直线AB 的倾斜角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解析】解：(2,3)A ，(1,0)B ，∴直线AB 的斜率03-==， ∴直线AB 的倾斜角为3π． 故选：B ．4．（2020秋•吕梁期末）若直线l 为51230x y -+=，则直线l 的斜率为( ) A ．125B ．512C ．512-D ．125-【解析】解：直线l 为51230x y -+=， 则直线l 的斜率512=．故选：B ．5．（2020春•金湖县校级期中）若直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行，则m 的值为( ) A ．1-B ．1C ．2或1-D ．2【解析】解：由直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行， 得(1)12021(2)0m m m --⨯=⎧⎨-⨯-≠⎩，解得2m =．故选：D ．6．（2020春•金湖县校级期中）过点(2,2)P -且平行于直线210x y ++=的直线方程为( ) A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．260x y +-=D ．220x y ++=【解析】解：设与直线210x y ++=平行的直线方程为20x y m ++=， 代入(2,2)P -，可得2220m ⨯-+=，即2m =-．∴过点(2,2)P -且平行于直线210x y ++=的直线方程为220x y +-=．故选：A ．7．（2019秋•铜官区校级期中）已知直线1:(3)(42)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是( ) A ．1或3B ．1或52C ．3或52D ．1或2【解析】解：直线1:(3)(42)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行， 当3k =时，直线1l 即：210y -+=，2l 即：230y +=，直线1l 与2l 平行． 则3k ≠时，由34212(3)23k k k --=≠--，求得52k =，综上可得，3k = 或52k =， 故选：C ．8．（2019秋•阎良区期末）已知直线1:(2)(2)20l m x m y +--+=，直线2:310l x my +-=，且12l l ⊥，则m 等于( ) A ．1-B ．6或1-C ．6-D ．6-或1【解析】解：由题意知，12l l ⊥，则3(2)[(2)]0m m m ++--⨯=； 解得，6m =或1-．故选：B ．9．（2020秋•吉安期末）过点(1,1)-且倾斜角为135︒的直线方程为( )A ．0x y -=B ．0x y +=C ．1x y -=D ．1x y +=【解析】解：过点(1,1)-且倾斜角为135︒的直线的斜率为tan1351︒=-， 故它的方程为11(1)y x -=-⨯+，即0x y +=， 故选：B ．10．（2020秋•石景山区期末）直线l 过点(1,2)P -，且倾斜角为45︒，则直线l 的方程为( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．30x y --=D ．30x y -+=【解析】解：直线l 过点(1,2)P -，且倾斜角为45︒， 则直线l 的斜率为tan451=︒=， 直线方程为21(1)y x -=⨯+， 即30x y -+=． 故选：D ．11．（2020秋•凯里市校级期末）斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为( ) A ．21y x =+B ．21y x =-C ．22y x =-D ．22y x =+【解析】解：直线4y x =-和直线2y x =+交点为(1,3)M ，又斜率为2， 故直线的方程为32(1)y x -=-，即21y x =+， 故选：A ．12．（2020秋•香坊区校级期末）过点(4,3)M -和(2,1)N -的直线方程是( ) A ．30x y -+=B ．10x y ++=C ．10x y --=D ．30x y +-=【解析】解：因为直线MN 的斜率31142-==--+， 故直线MN 的方程1(2)y x -=-+，即10x y ++=． 故选：B ．13．（2020秋•天津期末）经过(2,1)A ，(0,3)B -两点的直线方程为( ) A ．230x y --=B ．230x y +-=C ．230x y --=D ．230x y +-=【解析】解：由题意得，直线AB 的斜率13220+==-， 故直线AB 的方程为32y x +=，即230x y --=． 故选：A ．14．（2020秋•房山区期末）已知点(1,1)M -，(2,5)N ，则线段MN 的中点坐标为( ) A ．(3,4)B ．3(,2)2C ．(1,6)D ．1(,3)2【解析】解：点(1,1)M -，(2,5)N ，线段MN 的中点坐标：12(2+，51)2-，即3(2，2)．故选：B ．15．（2020秋•房山区期末）已知(3,2)A -，(1,2)B -，则线段AB 中点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,0)C ．1(,2)2D ．(1,0)【解析】解：由线段的中点坐标公式可知， 线段AB 的中点M 的坐标为3(1)(2+-，(2)2)2-+，即(1,0)．故选：D ．16．（2020秋•海原县校级期末）直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点坐标为( )A ．(4,3)--B ．(4,3)C ．(4,3)-D ．(3,4)【解析】解：由题意得： 32602570x y x y ++=⎧⎨+-=⎩， 解得：43x y =-⎧⎨=⎩，故选：C ．17．（2019春•定州市期末）不论m 为何值，直线(21)(2)50m x m y -+++=恒过定点( )A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)【解析】解：直线(21)(2)50m x m y -+++=恒过定点， (2)(25)0x y m x y ∴++-++=恒过定点，由20250x y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线(21)(2)50m x m y -+++=恒过定点(1,2)-． 故选：B ．18．（2020秋•杨浦区校级期中）点(2,3)P 关于直线:0l x y +=的对称点的坐标是( ) A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(2,3)-D ．(3,2)【解析】解：设点(2,3)P 关于直线0x y +=的对称点A 的坐标为(,)m n ， 则由由3(1)1223022n m m n -⎧-=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩求得32m n =-⎧⎨=-⎩，故(3,2)A --，即答案为：(3,2)--． 故选：B ．19．（2020秋•南岗区校级月考）点(2,1)P 关于直线10x y +-=的对称点坐标为( )A ．3(0,)2-B ．(1,0)-C ．(0,1)-D ．3(,0)2-【解析】解：设对称点的坐标为(,)x y ， 则满足1112211022y x x y -⎧-⨯=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，即110y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，即对称点的坐标为(0,1)-，故选：C ．20．（2020春•雨花区校级月考）在平面直角坐标系中，点(1,2)A 关于直线:0l x y +=对称的点的坐标为()A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(2,1)-D ．(2,1)--【解析】解：设点(1,2)A 关于直线0x y += 对称点为(,)B m n ， 则211n m -=- 且21022n m +++=， 解得2m =-，1n =-，则点(1,2)A 关于直线:0l x y += 的对称点B 为(2,1)--， 故选：D ．21．（2020春•石家庄期末）直线45y x =-关于点(2,1)P 对称的直线方程是( ) A ．45y x =+B ．45y x =-C ．49y x =-D ．49y x =+【解析】解：设直线45y x =-上的点0(P x ，0)y 关于点(2,1)的对称点的坐标为(,)x y ，所以022x x+=，012y y +=，所以04x x =-，02y y =-，将其代入直线45y x =-中，得到24(4)5y x -=--， 化简，得49y x =-． 故选：C ．22．（2020春•包头期末）与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为( ) A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+=D ．3450x y --=【解析】解：设直线3450x y -+=点1(Q x ，1)y 关于点(0,0)M 对称的直线上的点(,)P x y ， 所求直线关于点(0,0)M 的对称直线为3450x y -+=，∴由中点坐标公式得102x x +=，102y y +=； 解得1x x =-，1y y =-代入直线3450x y -+=， 得3()4()50x y ---+=， 整理得：3450x y --=，即所求直线方程为：3450x y --=． 故选：D ．23．（2020秋•桥西区月考）已知点(2,1)A --，(,3)B a 且||5AB =，则a 等于( ) A ．1B ．5-C ．1或5-D ．其他值【解析】解：点(2,1)A --，(,3)B a 且||5AB =，∴5，即2(2)9a +=，解得1a =或5a =-． 故选：C ．24．（2020秋•湖州期末）点(1,0)-到直线10x y +-=的距离是( )A B C ．1 D ．12【解析】解：由点到直线的距离公式可得：点(1,0)-到直线10x y +-=的距离是d =故选：A ．25．（2020秋•河南期末）直线1:2430l x y +-=与直线2:2470l x y ++=之间的距离是( )A B C D ．【解析】解：根据题意，直线1:2430l x y +-=与直线2:2470l x y ++=，则直线1l 与直线2l 之间的距离d ==故选：C ．26．（2020秋•渭滨区期末）两条平行直线3420x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为( ) A ．135B ．1310C ．32D ．3【解析】解：根据两条平行直线3420x y +-=与8110ax y ++=， 可得811342a =≠-，求得6a =，直线3420x y +-=，即直线6840x y +-=； 直线8110ax y ++=，即直线68110x y ++=， 32=， 故选：C ．27．（2020秋•凉山州期末）平行线3490x y +-=和620x my ++=的距离是( )A ．85B ．2C ．115D ．75【解析】解：由直线3490x y +-=和620x my ++=平行，得8m =．∴直线620x my ++=化为6820x y ++=，即3410x y ++=． ∴平行线3490x y +-=和620x my ++=1025==． 故选：B ．28．（2020秋•西城区期末）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则y 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，∴(2,4)AB =--，(1,8)AC y =--，//AB AC ， ∴1824y --=--，求得6y =， 故选：C ．29．（2020秋•庐阳区校级期中）已知(1,2)A ，(0,1)B ，(,4)C m ，若A ，B ，C 三点共线，则(m = ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：已知(1,2)A ，(0,1)B ，(,4)C m ，若A ，B ，C 三点共线， 则直线AB 的斜率和直线BC 的斜率相等，即2141100m --=--，求得3m =， 故选：A ．30．（2020秋•镜湖区校级期中）已知(1,2)A ，(1,0)B -，(4,)C m 三点在一条直线上，则m 的值为( ) A ．3- B ．5-C ．3D ．5【解析】解：(1,2)A ，(1,0)B -，(4,)C m 三点在同一条直线上， AB AC k k ∴=，即2021(1)41m --=---， 解得：5m =， 故选：D ．二．填空题（共6小题）31．（2019秋•沈阳期末）已知直线1:20l ax y a -+=，2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直，则实数a 的值是 0或1 ．【解析】解：直线1:20l ax y a -+=与直线2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直， (21)(1)0a a a ∴⨯-+-⨯=，解之得0a =或1故答案为：0或132．（2020春•昌吉市期末）对任意实数m ，直线30mx y m --+=恒过定点，则该定点的坐标为 (1,3) ． 【解析】解：由30mx y m --+=，得(1)30m x y --+=， 联立1030x y -=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩．∴直线30mx y m --+=恒过定点(1,3)，故答案为：(1,3)．33．（2020秋•吕梁期末）方程(1)310a x ay a --+-=所表示的直线恒过定点 (1,2)- ．【解析】解：方程(1)310a x ay a --+-=， 即(3)(1)0a x y x -+-+=，由3010x y x -+=⎧⎨+=⎩，解得定点坐标为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．34．（2020秋•杭州期末）已知点(1,1)A -，直线:220l x y -+=，则点A 到直线lA且垂直于直线l 的直线方程是 ．【解析】解：已知点(1,1)A -，直线:220l x y -+=， 则点A 到直线l的距离是d == 点A 为(1,1)-，垂直于直线l 的直线方程斜率为12l-=-，故过点A 且垂直于直线l 的直线方程为12(1)y x +=--， 即210x y +-=．35．（2020秋•崇明区期末）点(0,0)到直线2x y +=【解析】解：由点(0,0)到直线20x y +-=的距离公式得d ==．36．（2020秋•池州期末）若直线1:210l x y -+=与2:440l x my ++=平行，则1l ，2l 间的距离为 ． 【解析】解：因为直线1:210l x y -+=与2:440l x my ++=平行， 直线1l 可变形为4220x y -+=， 故2m =-，所以直线2:4240l x y -+=，即2:220l x y -+=，故1l ，2l间的距离d =． ． 三．解答题（共2小题）37．（2020春•西安区校级期末）已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=．当m 为何值时，1l 和2l ．（1）平行； （2）垂直？【解析】解：（1）因为12//l l ， 所以22(3)20m m m ⨯--⨯=，解得32m =-或1m =，当1m =时，两条直线重合， （2）因为12l l ⊥，所以22(3)20m m m ⨯+-⨯=， 解得0m =或5m =．所以，当1l ，2l 平行时，32m =-，当1l ，2l 垂直时，0m =或5m =．38．（2019秋•拉萨期末）已知两条直线1:(1)10l x a y a +++-=，2:260l ax y ++=． （1）若12//l l ，求a 的值 （2）若12l l ⊥，求a 的值【解析】（本题满分为10分）解：（1）当1a =-时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率为12，1l 与2l 既不平行，也不垂直，⋯（2分） 当1a ≠-时，直线1l 的斜率为11a -+，直线2l 的斜率为2a-，⋯（4分） 因为12//l l ， 所以112aa -=-+，解得1a =或2a =-． 当1a =时，直线1:20l x y +=，2:260l x y ++=，1l 与2l 平行，当2a =-时，直线1l 与2l 的方程都是30x y --=，此时两直线重合，⋯（6分） 故1a =．⋯（7分） （2）因为12l l ⊥， 所以1()()112a a -⨯-=-+，解得23a =-．⋯（9分） 经检验23a =-符合题意，故23a=-．⋯（10分）11。

专题直线的方程【重难点精讲】重点一、直线的点斜式方程(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程．(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x＝x0．重点二、直线的斜截式方程(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.倾斜角是90°的直线没有斜截式方程．强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”．(2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．重点三、直线的两点式方程(1)定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1叫做直线l的两点式方程，简称两点式．(2)说明：与坐标轴垂直(或平行)的直线没有两点式方程．[归纳总结] 直线的两点式方程应用的前提条件是：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1； 当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1． 重点四、直线的截距式方程(1)定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)、P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为x a ＋yb ＝1叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．(2)说明：一条直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．[归纳总结] (1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为x a ＋yb ＝1(ab ≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．(2)直线方程的截距式在结构上的特点：直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程． 重点五、中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．重点六、直线的一般式方程(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－CB＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－CA＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的． 重点七、直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB ．一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1．【典题精讲】考点1、直线的点斜式方程例1．已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭，所得直线方程是20x y --=，若将它继续旋转2πα-角，所得直线方程是210x y +-=，则直线l 的方程是______.【答案】230x y --= 【解析】()1,120210x x y P y -⎧⇒-⎨--=+⎩=由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α，再继续旋转2πα-角得到，则直线210x y +-=与直线l 垂直，即直线l 的斜率为12所以直线l 的方程为11(1)2y x +=-，即230x y --= 故答案为：230x y --=考点点睛：求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0、y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)． 点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0、y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外．考点2、直线的斜截式方程例2．过点()3,0P作一直线，使它夹在两直线1l ：220x y --=与2l：30x y ++=之间的线段AB 恰被点P 平分，则此直线的方程为______. 【答案】8240x y --= 【解析】设过点(3,0)P 的一条直线为l ，与1l 和2l 分别交于点,A B ，则点,A B 关于点P 对称. 设()00,22A x x -，则()006,22B x x --.将点B 坐标代入直线2l :30x y ++= 可得()0062230x x -+-+=，解得0113x =. 则1116716,,,3333A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线l 方程的斜率为160381133k -==-. 所以此直线方程为8(3)y x =-，整理后即为8240x y --=. 故答案为：8240x y --= 考点点睛：斜截式是点斜式的特例，应用斜截式方程时，应注意斜率不存在的情形．当k ≠0时，斜截式方程y ＝kx ＋b 是一次函数的形式；而一次函数y ＝kx ＋b 中，k 是直线的斜率，常数b 是直线在y 轴上的截距．考点3、直线的两点式方程例3．已知ABC ∆中，()3,2A ，(1,5)B -，点C 在直线330x y -+=上，若ABC ∆的面积为10，则点C 的坐标为______.【答案】()1,0-或5,83⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设点C 到直线AB 的距离为d ， 由题意知：5AB ==，11510,422ABC S AB d d d ∆=⋅=⨯⨯=∴=， 直线AB 的方程为235213y x --=---，即34170x y +-=， C 点在直线330x y -+=上，设()00,33C x x +，001553145x d x -∴===-=，00314,1x x ∴-=±∴=-或53，C 的坐标为()1,0-或5,83⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为()1,0-或5,83⎛⎫⎪⎝⎭.考点点睛：对直线的两点式方程的理解：(1)方程也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2，两者形式有异但实质相同；(2)当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为零(y 1＝y 2)时，不能用两点式表示；(3)如果将直线两点式转化为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．考点4、直线的截距式方程例4．过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______． 【答案】2x +y =0或x +y -1=0 【解析】当直线过原点时，斜率等于20210-=---，故直线的方程为2y x =-，即20x y +=，当直线不过原点时，设直线的方程为0x y m ++=，把()1,2P -代入直线的方程得1m =-，故求得的直线方程为 10x y +-=综上，满足条件的直线方程为430x y +=或10x y ++=，故答案为20x y += 或10x y +-=.考点点睛：(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．考点5、忽视截距为0的情形例5．过点(4,1)A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．5x y +=B ．5x y -=C ．5x y +=或40x y -=D ．5x y -=或04=+y x【答案】C 【解析】设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0), 令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=14, ∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C.考点点睛：截距式方程中a ≠0，b ≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x 、y 轴上的截距均为0，即过原点．考点6、直线的一般式方程例6．已知点00(,)P x y 不在直线:0l Ax By C ++=上，则方程()000Ax By C Ax By C +++++=表示（ ）A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线 【答案】D【解析】点()00,P x y 不在直线0Ax By C ++=上 000Ax By C ∴++≠∴直线()000Ax By C Ax By C +++++=不经过点P又直线()000Ax By C Ax By C +++++=与直线:0l Ax By C ++=平行∴方程()000Ax By C Ax By C +++++=不过点P 且与l 平行的直线本题正确选项：D考点7、直线的一般式方程的应用例7．已知直线l 的方程为()23y k x +=-． （1）若直线l 过原点，求实数k 的值． （2）求证：无论k 取何实数，直线l 恒过定点． （3）若直线l 不经过第三象限，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）23k =-；（2）恒过定点()3,2-；（3）23k ≤- 【解析】(1) 直线l 过原点，所以()0203k +=-， 故23k =-； （2）令3020x y -=⎧⎨+=⎩ ，解得：32x y =⎧⎨=-⎩ ，即无论k 取何实数，直线l 恒过定点()3,2-；（3）由（2）得：直线l 不经过第三象限，则直线的纵截距230k --≥， 即 23k ≤-， 故实数k 的取值范围为23k ≤-．考点点睛：(1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．考点8、平行与垂直的应用例8．已知点()4,2P －和直线370l x y --=：．求： (1)过点P 与直线l 平行的直线方程； (2)过点P 与直线l 垂直的直线方程．【答案】（1）3140x y -+=； （2）320x y +-=. 【解析】(1)设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-， 点()4,2P －在直线上，()342m 0∴⨯-+－＝，m 14∴=，即所求直线方程是3140x y -+=．(2)设所求直线的方程是30x y n ++=， 点()4,2P －在直线上， ∴432n 0+⨯+=－，n 2∴=－，即所求直线方程是320x y +-=．考点点睛：1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0．2．直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2．若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2．【基础精练】13．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. （1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）47=m ；3）最小值为4；此时直线的方程240x y ++= 【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，可得22321m m --=-+，解得47=m .（3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<， 则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4. 此时直线的方程240x y ++=.14．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)250x y +-=；(2)30x y -=. 【解析】（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12AB k =， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -=15．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 【答案】（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 16．求适合下列条件的直线方程.（1）经过点(3,2)P 且在两坐标轴上的截距相等；（2）过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =. 【答案】（1）230x y -=或50x y +-=；（2）1x =或3410x y ++=.【解析】（1）设直线l 在,x y 轴上的截距均为a ， 若0a =，即l 过点(0,0)和(3,2)，l ∴的方程为23y x =，即230x y -=. 若0a ≠，则设l 的方程为1x ya a +=，l 过点(3,2)，321a a∴+=，5a ∴=，l ∴的方程为50x y +-=，综上可知，直线l 的方程为230x y -=或50x y +-=. （2）①过点(1,1)A -与y 轴平行的直线为1x =.解方程组1,260,x x y =⎧⎨+-=⎩求得B 点坐标为(1,4)，此时5AB =， 即1x =为所求.②设过(1,1)A -且与y 轴不平行的直线为1(1)(2)y k x k +=-≠-，解方程组260,1(1).x y y k x +-=⎧⎨+=-⎩ 得两直线交点为7,242,2k x k k y k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩则B 点坐标为742,22k k k k +-⎛⎫⎪++⎝⎭. 22274211522k k k k +-⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 解得34k =-，11(1)4y x ∴+=--，即3410x y ++=.综上可知，所求直线方程为1x =或3410x y ++=.17．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程． 【答案】（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=. 【解析】（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=18．求分别满足下列条件的直线l 的方程．（1）经过直线220x y ++=和直线310x y ++=的交点且与直线2350x y ++=垂直； （2）与直线4310x y --=平行且与坐标轴围成的三角形面积为3．【答案】（1）32110x y --=；（2）430x y -+=或430x y --=. 【解析】（1）将220x y ++=与310x y ++=联立得220310x y x y ++=⎧⎨++=⎩，解得14x x =⎧⎨=-⎩ 所以交点坐标为()1,4-．由所求直线与直线2350x y ++=垂直，则所求直线斜率为32， 所以方程为)324(1y x +=-，从而所求直线方程为32110x y --=（2）依题意设直线方程为430x y m -+=，则直线过点,04m -⎛⎫⎪⎝⎭、0,3m ⎛⎫⎪⎝⎭所以13243m mS =-=，解得m =±故直线方程为430x y -+=或430x y --=【能力提升】11．直线l 过点()1,1A ，且l 在y 轴上的截距的取值范围为()0,2，则直线l 的斜率的取值范围为__________． 【答案】()1,1-【解析】设直线l 方程为11y k x -=-（）， 令0x = ，可得1y k =-，∵直线l 在y 轴上的截距的取值范围是()0,2， 012,11k k ∴-∴-<<＜＜12.（江西省赣州市十四县（市）2018届高三下期中）记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1tan2sin2αα+的值为________.【答案】112-【解析】∵直线:210l x y -+=的斜率为2， ∴tan 2α=，∴22222sin cos 2tan 224sin2=sin cos 1tan 125ααααααα⨯===+++， 222tan 224tan21tan 123ααα⨯===---， ∴1541tan2sin24312αα+=-=-． 答案： 112-13.（2019届高考全程训练）过点(－1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________． 【答案】或【解析】①所求的直线与两坐标轴的截距为时，设该直线的方程为.∵直线过点∴，即∴直线的方程为，即.②所求的直线与两坐标轴的截距不为时，设该直线的方程为.∵直线过点∴∴直线的方程为.综上，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是或.故答案为或.14.（山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺）直线()sin 30x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是_______.（6分） 【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】若sin 0α=，则直线的倾斜角为90；若sin 0α≠，则直线的斜率][()1,11,,sin k α=-∈-∞-⋃+∞设直线的倾斜角为θ，则][()tan ,11,θ∈-∞-⋃+∞，故,42ππθ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭ 3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦，综上可得直线的倾斜角的取值范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故答案为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 15.已知直线l 过点()1,1A ，且l 在y 轴上的截距的取值范围为（0,2），则直线l 的斜率的取值范围是__________.（6分） 【答案】（-1，1）【解析】设直线l 的方程为：y −1=k(x −1)，化为：y=kx+1−k ， 由题意可得：0<1−k<2， 解得−1<k<1.∴直线l 的斜率的取值范围为(−1,1).16.（天津市七校（静海一中、杨村中学等）2017-2018学年高二上期中（文））一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线:10l x y -+=上的P 点，再从P 点出发爬行到点(1,1)A ，则虫子爬行的最短路程是__________．（6分） 【答案】2【解析】如图所示：12345123451234512345xyO A B C设(1,1)A 关于直线1y x =+的对称点是(,)B a b ， 连接OB 和直线1y x =+交于C 点， 则OC CA +最短， 由11111122b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得(0,2)B ，故直线OB 和1y x =+的交点是(0,1)， 故112OC CA +=+=． 故答案为：2．17.（四川省成都市2019届摸底）已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值是__________．（6分）【答案】. 【解析】因为直线与直线互相垂直，所以，，又，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.18．等腰△ABC 的顶点A (－1,2)，AC 3B (－3，2)，求直线AC 、BC 及∠A 的平分线所在直线方程． 【答案】【解析】AC ：y ＝3x ＋2＋3． ∵AB∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， ∴BC 倾斜角为30°或120°． 当α＝30°时，BC 方程为y ＝33x ＋2＋3，∠A 平分线倾斜角为120°， ∴所在直线方程为y ＝－3x ＋2－3．当α＝120°时，BC 方程为y ＝－3x ＋2－3 3，∠A 平分线倾斜角为30°， ∴所在直线方程为y ＝3x ＋2＋3． 19.设直线的方程为，根据下列条件分别求的值．（1）在轴上的截距为1； （2）斜率为1； （3）经过定点．【答案】（1）1；（2）；（3）或.【解析】(1)∵直线过点P ′(1,0)， ∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得解得m ＝.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－ (m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝或m ＝－2. 20.（重庆市綦江区2017-2018学年高二上期末（文））（1）求经过点(1,1)且在x 轴上截距等于y 轴上截距的直线方程；（2）求过直线022=+-y x 与022=--y x 的交点，且与直线0143=++y x 垂直的直线方程. 【答案】(1)0=-y x 或02=-+y x ；(2)0234=--y x【解析】(1)当直线过原点时，直线方程为0=-y x ； ……2分 当直线不过原点时，由横纵截距相等可设横纵截距a ，直线方程为a y x =+……3分直线经过)1,1(∴a =+11即2=a∴直线方程为02=-+y x ……4分综上所述：直线方程为0=-y x 或02=-+y x ……6分 (2)由⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ，交点为)2,2(.又因为所求直线与0143=++y x 垂直，所以所求直线斜率34=k 故所求直线方程为0234=--y x21.已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边的方程．【答案】3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．【解析】设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0． 由22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得正方形的中心坐标P (－1,0)，由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，=，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等，=，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． 综上，另三边所在的直线方程分别为 3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。

2.2直线的方程2．2.1直线的点斜式方程知识训练知识点直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y轴上的截距b 图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距题型探究题型一、直线的点斜式方程1．已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．【详解】(1)如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1.(2)因为∠A＝60°，所以k AC＝tan60°＝3，所以直线AC的方程为y－1＝3(x－1)．因为∠B＝45°，所以k BC＝tan135°＝－1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)．2．已知直线1l 的方程为21y x =-+，直线2l 过点()2,4A -．(1)当1//l 2l 时，求2l 的方程；(2)当1l ⊥2l 时，求2l 的方程．【详解】(1)设12,l l 的斜率分别为12,k k ．因为12l l //，所以122k k ==-．又因为2l 过点(2,4)A -，所以2l 的方程为()422y x -=-+，即2y x =-．(2)设12,l l 的斜率分别为12,k k ．因为12l l ⊥，所以121k k ×=-．所以212k =．又因为2l 过点(2,4)A -，所以2l 的方程为()1422y x -=+，即152y x =+．3．已知直线l 经过点()2,4P ．(1)若点()1,1Q 在直线l 上，求直线l 的方程；(2)若直线l 与直线430x y -=垂直，求直线l 的方程．【详解】(1)直线l 经过点()1,1Q 和点()2,4P ，直线l 的斜率k ＝3，直线l 的方程为320x y --=（或32y x =-）；(2)因为直线l 与直线430x y -=垂直，设直线l 的方程为340x y m ++=，因为直线l 过点()2,4P ，所以32440m ⨯+⨯+=，解得22m =-．所以直线l 的方程为34220x y +-=．题型二、直线的斜截式方程1．写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是2，在y 轴上的截距是3-；(2)倾斜角为60︒，在y 轴上的截距是6；(3)倾斜角为30°，在y 轴上的截距是0．【详解】(1)23y x =-(2)因为tan 603k =︒=，所以36y x =+．(3)因为3tan 303k =︒=，所以33y x =．2．已知直线y kx b =+经过第二、三、四象限，则有（）A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <【答案】D【详解】∵直线y kx b =+经过二、三、四象限，∴直线y kx b =+的斜率0k <，00k b b ⨯+=<．故选：D3．根据下列条件，求直线的方程：(1)过点(3,2)A -，且截距是2-；(2)过点(3,0)A ，且在两坐标轴上的截距和为5．【详解】(1)如果横截距是2-，则直线过点12(2,0),232k -∴==--+，所以直线的方程为02(2),y x -=-+即240x y ++=.所以直线的方程为240x y ++=.如果是纵截距为2-，则直线过点2224(0,2),33k +-∴==--，所以直线的方程为423y x =--，即4360x y ++=.综上，直线的方程为240x y ++=或4360x y ++=.(2)由题得直线的纵截距为2，所以直线的方程为132yx +=，即2360x y +-=.所以所求的直线方程为2360x y +-=.4．已知直线l 的斜率是1，在y 轴上的截距是1-，则直线l 的斜截式方程是______．【答案】1y x =-【详解】1,1k b ==-，由直线的斜截式方程y kx b =+得：∴直线的斜截式方程为：1y x =-，故答案为：1y x =-.5．写出下列含参数的方程的直线的几何特性：(1))(21y k x -=+；(2)2y x b =+；(3)2x my =+．【详解】(1))(21y k x -=+表示恒过点（-1，2）的直线，不包括过点（-1，2）垂直于x 轴的直线；(2)2y x b =+表示斜率为2，纵焦距为b 的一组平行线；(3)2x my =+表示恒过点（2，0）的直线，不包括x 轴.6．经过点()41，且在两坐标轴上的截距相等的直线得方程________.【答案】40x y -=或50x y +-=.【详解】当直线过原点时，方程为14y x =，即40x y -=，满足题意，当直线不过原点时，设方程为1x ya a+=，点(4,1)代入方程得5a =，直线方程为5x y +=，即50x y +-=，综上，所求的直线方程为40x y -=或50x y +-=.故答案为:40x y -=或50x y +-=.7．设直线l 过点(1,2)P ，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l 的条数为______条．【答案】3【详解】当坐标轴截距为0时，设方程为y kx =，将(1,2)P 代入y kx =得：2k =，所以方程为2y x =；当坐标轴截距不为0时，设方程为1x ya b+=，则有121a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：3a b ==，或1,1a b =-=，从而方程为3x y +=或1y x -=所以满足题设的直线l 的条数为3条.故答案为：38．若直线():12l y a x a =-++-不经过第二象限，则实数a 的取值范围为______．【答案】(,1]-∞-【详解】由直线不过第二象限需满足(1)020a a -+≥⎧⎨-≤⎩，解得1a ≤-，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞-.故答案为：(,1]-∞-题型三、点斜式方程和斜截式方程的应用1．(1)求证：不论a 为何值，直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )恒过定点；(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？【详解】(1)证明将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)．(2)由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4，∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．跟踪训练1．过点(1,2)P -且与直线210x y -+=垂直的直线方程为（）A ．240x y ++=B ．20x y +=C ．230x y +-=D ．250x y -+=【答案】B【详解】直线210x y -+=的斜率12l k =，因为l l '⊥，故l '的斜率2'=-l k ，故直线l '的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故选：B ．2．根据下列条件，求直线方程（1）经过点(3,0)A 且倾斜角45α︒=；（2）经过点(2,0)B ，与()0,1C -.【答案】（1）30x y --=；（2）220x y --=.【详解】（1）因为直线经过点(3,0)A 且倾斜角45α︒=，所以直线斜率为tan 451=，由点斜式可得直线方程为()13y x =⨯-，即30x y --=；（2）因为直线经过点(2,0)B ，与()0,1C -，所以由截距式可得直线方程为121x y+=-，即220x y --=.3．已知直线经过点()3,2，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是________．【答案】5x y +=或230x y -=.【详解】由题：直线经过点()3,2，且在两坐标轴上的截距相等，当直线经过原点时，满足在两坐标轴截距相等，其斜率202303k -==-，所以直线方程为：230x y -=；当直线不经过原点时，设其方程为：1x ya a+=过点()3,2，所以321a a+=，解得5a =，所以直线方程为5x y +=，综上所述：直线方程为：5x y +=或230x y -=.故答案为：5x y +=或230x y -=.4．设k 为实数，若直线():13l y k x -=-不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】直线():13l y k x -=-经过定点()3,1，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kx k =+-，要想不经过第四象限，则满足0130k k >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得：303k <≤，综上：303k ≤≤故答案为：30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．不管k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋3必过定点________．【答案】(2,3)【详解】化为点斜式y －3＝k (x －2)．6．根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点()4,2-，斜率为3；(2)经过点()3,1，斜率为12；(3)经过点()2,0，斜率为1-；(4)经过点()0,1-，斜率为0；(5)斜率为2-，在y 轴上的截距为2-；(6)斜率为32，与x 轴交点的横坐标为7-.【详解】(1)因为直线过点()4,2-，斜率为3，由直线的点斜式方程可得直线方程为：()234y x +=-，即3140x y --=；(2)因为直线过点(3,1)，斜率为12，由直线的点斜式方程可得直线方程为：11(3)2y x -=-，即210x y --=；(3)因为直线过点(2,0)，斜率为-1，由直线的点斜式方程可得直线方程为：0(2)y x -=--，即20x y +-=；(4)因为直线过点(0,1)-，斜率为0，由直线的点斜式方程可得直线方程为：(1)0(0)y x --=-，即1y =-；(5)因为直线在y 轴上的截距为-2，斜率为-2，由直线的斜截式方程可得直线方程为：22y x =-；(6)因为直线与x 轴的交点的横坐标为-7，所以该点的坐标为(-7,0)，又斜率为32，由直线的点斜式方程可得直线方程为：30(7)2y x -=+，即32730x y -+=.7．根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点(1,5)P ，且在y 轴上的截距为6；(2)过点(3,4)P -，且在x 轴上的截距为3．【详解】(1)由题意可知，直线的斜率存在且过点()0,6，则设直线的方程为：6y kx =+，又因为直线过点()1,5P ，即56k =+，解得1k =-，则直线的方程为：6y x =-+，故所求直线方程为：60x y +-=.(2)由题意可知，直线的斜不为0且过点()3,0，则设直线的方程为：3x my =+，又因为直线过点()3,4P -，即343m -=+，解得32m =-，则直线的方程为：332x y =-+，故所求直线方程为：2360x y +-=.8．根据下列条件，写出直线方程的一般式：(1)经过点（0，2），且倾斜角为3π；(2)经过点（－2，3）和点（－1，0）；(3)经过点（2，1），在x ，y 轴上有不为0且相等的截距．【详解】(1)因为直线经过点()0,2，且倾斜角为3π，所以直线的斜率为tan33k π==，所以直线方程为32y x =+，所以直线的一般方程为320x y -+=(2)因为直线经过点()2,3-和点()1,0-，所以直线斜率为()30321k -==----，所以直线方程为()31y x =-+，所以直线的一般式方程为330x y ++=(3)由题设直线方程为1x ya a+=，因为直线过点()2,1，所以211a a+=，解得3a =所以直线的一般式方程为30x y +-=高分突破1．已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（）A ．3y x =B ．32y x =-C ．31y x =+D ．33y x =+【答案】C【详解】由题意知：直线l 的斜率为3，则直线l 的方程为31y x =+.故选：C.2．已知直线l 的倾斜角为60，且l 在y 轴上的截距为1-，则直线l 的方程为（）A ．313y x =--B ．313y x =-+C ．31y x =-D ．31y x =+【答案】C【详解】因为直线l 的倾斜角为60，所以直线l 的斜率tan 603k ==，又直线l 在y 轴上的截距为1-，所以直线l 的方程为31y x =-；故选：C3．过点()2,3P -且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【详解】①当直线的两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为y kx =，由题意有32k -=，则32k =-，∴直线方程为32y x =-满足条件；②当直线的两坐标轴上的截距不为0时，设l 的方程为1x ya a+=．把点()2,3P -代入直线方程得231a a-+=．解得1a =-，从而直线方程为10x y ++=.故满足条件的直线方程为10x y ++=和32y x =-．故选：B ．4．若直线l 的方程a cy x b b=--中，0ab >，0ac <，则此直线必不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【详解】由a cy x b b=--，0ab >，0ac <，知直线斜率0a k b =-<，在y 轴上截距为0cb->，所以此直线必不经过第三象限.故选：C5．直线y x b =+的倾斜角为______．【答案】4π【详解】直线y x b =+的斜率为1，设直线的倾斜角为α，0απ≤<则tan 1α=，所以4πα=，故答案为：4π.6．经过点(3,1)P -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是__________．【答案】210x y +-=或30y x +=【详解】设所求直线方程为12x yy kx b b+==或，将点()3,1P -代入上式可得210x y +-=或30y x +=.7．经过点(1,4)A -）且在x 轴上的截距为3的直线方程是______．【答案】30x y +-=【详解】当斜率不存在时，直线为：1x =-，横截距为-1，不符合题意；当斜率存在时，设其为k ，直线可设为：()14y k x =++.由在x 轴上的截距为3，可得：()0314k =++，解得：1k =-，所以直线方程为：30x y +-=.故答案为：30x y +-=.8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC 的顶点()()()2,0,0,4,4,0A B C -，则其欧拉线方程为______．【答案】20x y -+=【详解】设ABC 的重心为G ，垂心为H 由重心坐标公式得()02420404,3333x y ++-++==-==，所以24,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭由题，ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为0x =，直线:4BC y x =+，()2,0A ，所以ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为2y x =-+所以()00,22x H y x =⎧⇒⎨=-+⎩所以欧拉线GH 的方程为4232203y x--=骣--琪琪桫，即20x y -+=.故答案为：20x y -+=9．已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】[]2,4【详解】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--．由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤．综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．10．已知直线1l 的方程为23y x =-+，2l 的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的斜截式方程．【答案】22y x =--【详解】由斜截式方程，知直线1l 的斜率12k =-，又因为2//l l ，所以l 的斜率12k k ==-．由题意，知2l 在y 轴上的截距为2-，所以l 在y 轴上的截距为2b =-，由斜截式，得直线l 的方程为22y x =--．11．分别求下列直线的倾斜角：(1)32y x =-；(2)310x y ++=；(3)3x =-；(4)12y =．【答案】(1)3π；(2)56π；(3)2π；(4)0【详解】(1)32y x =-的斜率是3，即tan 3α=，所以倾斜角3πα=；(2)310x y ++=的斜率是33-，即3tan 3α=-，所以倾斜角56πα=；(3)3x =-的斜率不存在，所以直线的倾斜角2πα=；(4)12y =的斜率为0，所以直线的倾斜角是0.12．根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点()3,2-，斜率为33；(2)过点()3,0-，与x 轴垂直；(3)斜率为4-，在y 轴上的截距为7；(4)斜率为3，在x 轴上的截距为2-；(5)过点()1,8-，()4,2-；(6)过点()2,0，()0,3-．【答案】(1)333360x y ---=；(2)30x +=；(3)470x y +-=；(4)360x y -+=；(5)260x y +-=；(6)3260x y --=.【详解】(1)因为直线过点()3,2-，斜率为33，所以直线方程为：32(3)3333603y x x y +=-⇒---=；(2)因为直线过点()3,0-，与x 轴垂直，所以直线方程为：330x x =-⇒+=；(3)因为直线的斜率为4-，在y 轴上的截距为7，所以直线方程为：47470y x x y =-+⇒+-=；(4)因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为：3y x b =+，又因为直线在x 轴上的截距为2-，所以03(2)6b b =⨯-+⇒=，所以直线的方程为：36360y x x y =+⇒-+=；(5)因为直线过点()1,8-，()4,2-，所以直线的方程为：8(1)2608(2)14y x x y ---=⇒+-=----；(6)因为直线过点()2,0，()0,3-，所以直线方程为：1326023x y x y +=⇒--=-.13．已知ABC 三个顶点是()()()4,4,4,0,2,0A B C -.(1)求AB 边中线CD 所在直线方程；(2)求AB 边上的高线所在方程；(3)求ABC 的重心G 的坐标.【答案】(1)20x y +-=；(2)240x y +-=；(3)24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】(1)线段AB 的中点4440,22D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()0,2D ,因此直线CD 的横纵截距均为2，其方程为：221x y +=，即20x y +-=.所以AB 边中线CD 所在直线方程为20x y +-=.(2)直线AB 的斜率：401442AB k -==+，所以所求直线的斜率：12AB k k =-=-，又该直线过点()2,0C ，所以AB 边上的高线所在方程为：()022y x -=--，即240x y +-=.(3)方法一：由重心坐标公式，ABC 的重心()442400,33G ⎛⎫+-+++ ⎪⎝⎭，即24,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二：线段BC 的中点4200,22E -++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,0E -.因此，直线AE 的方程为：()404441y x --=-+，即4540x y -+=，故BC 边中线AE 所在直线方程为4540x y -+=.由方程组204540x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以ABC 的重心坐标24,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.14．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．【详解】当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k(x －2)，即y ＝kx －2k ＋2.令y ＝0得，x ＝2k －2k，由三角形的面积为2，得12×|2k －2k |×2＝2，解得k ＝12.可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)，综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．。

直线方程的解析方法直线方程是数学中的重要概念，研究了解直线方程的解析方法对于解决实际问题以及理论建模具有重要意义。

本文将介绍直线方程的常见解析方法，包括点斜式、一般式和截距式。

一、点斜式点斜式是直线方程中最常用的一种形式。

它基于直线上已知一点和直线的斜率的关系来表示直线方程。

设直线上已知一点为P(x₁, y₁)，斜率为k。

直线方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，斜率k为直线上两点间竖直方向的高度差与水平方向的宽度差的比值。

利用点斜式可以方便地确定直线方程。

二、一般式一般式是直线方程的另一种形式，它采用了一般的代数形式来表示直线。

一般式表示为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是实数，并且A和B不能同时为0。

一般式中的A、B和C可以通过其他已知的直线信息进行计算，比如斜率或两个已知点。

三、截距式截距式利用了直线与坐标轴的交点来表示直线方程。

设直线与x轴的交点为A(a, 0)，与y轴的交点为B(0, b)。

直线方程可以表示为：x/a + y/b = 1在截距式中，a和b分别为x轴截距和y轴截距。

通过两个已知点A和B的坐标可以轻松确定直线方程。

综上所述，点斜式、一般式和截距式是描述直线方程的常见解析方法。

根据不同的问题和已知条件，可以选择适合的格式来表示直线方程。

掌握这些解析方法，可以在解决实际问题中灵活运用直线方程，推动数学理论的发展。

通过本文的介绍，希望读者能够更好地理解和掌握直线方程的解析方法，提高解决数学问题的能力。

直线方程作为数学中的基础知识，在各个领域都有着广泛的应用，深入研究将为我们打开更加广阔的数学大门。