3.2.2直线的两点式方程

曹县三中高一数学导学案1第三章3.2.2 直线的两点式方程制作人： 蔡喜成 审核人：高一数学组 编号：052 时间:2017.2学习目标1．掌握直线的两点式方程和截距式方程及适用条件．2．会选择适当的方程形式求直线方程． 3．能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式预习导航：要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注 1． 直线的两点式方程一般地，已知两点P 1(1x ,1y )、P 2(2x ,2y ) (其中21x x ≠，21y y ≠)，则直线P 1P 2的斜率为 ；取P 1(1x ,1y )，则由点斜式得P 1P 2的方程为 ；当21y y ≠时，点斜式方程可化为两点式方程为 ；若,21y y =，则直线P 1P 2方程为 ；若21x x =,，则直线P 1P 2方程为 。

2．直线的截距式方程直线l 与两坐标轴的交点分别是1P (a,0)，2P (0，b)(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．直线在x 轴上的截距是 ，直线在y 轴上的截距是 .3．中点坐标公式若点P 1(1x ,1y )、P 2(2x ,2y )线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则有x ＝ ，y ＝ .问题探究：探究问题（一）直线的两点式方程已知两点P 1(1x ,1y )、P 2(2x ,2y ) (其中21x x ≠)，求直线P 1P 2的方程 方程1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--叫直线的两点式方程 说明：两点式方程的适用条件例1:已知三角形的三个顶点A (－5, 0)，B (3, －3)，C (0, 2)，求: (1)三角形三边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AM 所在直线的方程线段中点坐标公式及三角形重心坐标公式变式训练1．过 P 1(－1，－3)，P 2(2,4)两点的直线的方程是( ) 2．过点(－43,49)，(－43,2012)的直线方程是( )探究问题（二） 直线的截距式方程已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b 其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程 方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程. 说明：直线的截距式方程的适用条件练习：求出下列直线的方程，并画出图形. ⑴ 倾斜角为045，在y 轴上的截距为0；⑵ 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6； ⑶ 在x 轴上截距是－3，与y 轴平行； ⑷ 在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.例2、求过点P(2，3)且在两轴上的截距相等的直线方程 。

3.2.2 直线的两点式方程自主学习学习目标1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．自学导引1．直线方程的两点式和截距式 ， 2.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ y ＝ .对点讲练知识点一 利用两点式求解直线方程例1 已知△ABC 三个顶点A (1,1)，B (－2，－1)，C (3，－3)，求△ABC 三条边所在直线的方程及AB 边的中线所在直线方程．点评 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．变式训练1 已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上的高AD所在直线的方程；(3)BC边上的中线AE所在直线的方程．知识点二直线的截距式方程的应用例2求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．点评(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况．变式训练2求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．知识点三综合应用例3光线通过点A(－2,4)，经直线l：2x－y－7＝0反射，若反射光线通过点B(5,8)．求入射光线和反射光线所在直线的方程．变式训练3 光线经过点A (1,2)射到y 轴上，反射后经过点B (4，－3)，求反射光线所在直线的方程．课堂小结1．使用两点式方程需注意以下几点：(1)在记忆和使用直线的两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2表示一点的坐标，而x 1与y 1是另一点的坐标．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，显然后者比前者表示直线的范围缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式．(3)当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式方程．若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线方程为x －x 1＝0；若y 1＝y 2，x 1≠x 2，则直线方程为y －y 1＝0.(4)经过任意两点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)的方程可表示成(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)．2．使用截距式方程注意以下两点：(1)直线的截距式方程是两点式方程的一种特殊情况，用它来求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长比较方便．(2)截距并非距离，这里a ∈R ，b ∈R ，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y ＝1没有横截距，x ＝2没有纵截距.课时作业一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)来表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1来表示 D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．过点(－1,1)和点(3,9)的直线在x 轴上的截距是( )A ．－32B ．－23 C.25 D ．24．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )A.x －3＋y 4＝1 B.x 3＋y －4＝1 C.x －3－y 4＝1 D.x 4＋y －3＝1 5．过点(5,2)，且在x 轴上的截距(直线与x 轴交点的横坐标)是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0二、填空题6．过(2,5)、(2，－5)两点的直线方程是________．7．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是________．8．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式是______________．三、解答题9．已知直线l 经过点E (1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程．10．已知三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．参考答案自学导引1.y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 2.x 1＋x 22 y 1＋y 22 对点讲练例1 【解】由直线的两点式方程得：直线AB 的方程是y －1－1－1＝x －1－2－1， 整理得2x －3y ＋1＝0；直线BC 的方程是y ＋1－3＋1＝V ＋23＋2， 整理得2x ＋5y ＋9＝0；直线AC 的方程是y －1－3－1＝x －13－1， 整理得2x ＋y －3＝0.设AB 的中点D (x ，y )，则x ＝1－22＝－12，y ＝1－12＝0，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，0. ∴直线CD 的方程为y －0－3－0＝x ＋123＋12， 整理得6x ＋7y ＋3＝0.因此△ABC 三边AB 、BC 、AC 及中线CD 所在的直线方程分别是2x －3y ＋1＝0,2x ＋5y ＋9＝0,2x ＋y －3＝0,6x ＋7y ＋3＝0.变式训练1 【解】(1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2， 又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0.(3)BC 边中点为E (0,2)，故AE 所在直线方程为y －02－0＝x －(－3)0－(－3)， 即2x －3y ＋6＝0.例2 【解】方法一 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32， ∴l ：3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ， 把P (2,3)代入得a ＝5，∴l ：x ＋y ＝5.∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.方法二 设l ：y －3＝k (x －2)，令y ＝0，横截距为2－3k， 令x ＝0，纵截距为3－2k ，于是2－3k＝3－2k ， ∴k ＝32或k ＝－1， ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.变式训练2 【解】设直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ， 则直线过两点A (a ,0)和B (0，b )．(1)当a ≠0且b ≠0时，由截距式求得直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵直线l 过点(4，－3)，∴4a －3b＝1① 又|a |＝|b |②由①②联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －3b ＝1|a |＝|b |， 由此解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7， 故直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0.(2)当a ＝b ＝0时，直线l 过原点O (0,0)和点(4，－3)，由两点式得直线l 的方程为3x ＋4y ＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 例3 【解】如图所示，已知直线l ：2x －y －7＝0，设光线AC 经l 上点C 反射为BC ，则∠1＝∠2.再设A 关于l 的对称点为A ′(a ，b )，则∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，则B ，C ，A ′三点共线．∵A ′A ⊥l 且AA ′中点在l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2·a －22－b ＋42－7＝0b －4a ＋2·2＝－1，解得a ＝10，b ＝－2，即A ′(10，－2)．∴A ′B 的方程为y ＋2＝8＋25－10(x －10)， 即2x ＋y －18＝0.∴A ′B 与l 的交点为C ⎝⎛⎭⎫254，112.∴入射光线AC 的方程为y －4＝4－112－2－254(x ＋2)． 即2x －11y ＋48＝0.同理反射光线BC 的方程为y －8＝8－1125－254(x －5)， 即2x ＋y －18＝0，∴入射光线方程为2x －11y ＋48＝0，反射光线方程为2x ＋y －18＝0.变式训练3 【解】先求A 点关于y 轴的对称点A ′(－1，2)，又A ′在反射线上，∴k 反＝k A′B ＝－3－24－(－1)＝－55＝－1. ∴反射光线方程为y －(－3)＝－(x －4)，即x ＋y －1＝0.课时作业1．B 2.B 3.A 4.A 5.D 6.x ＝27．2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0 8.x 2＋y 6＝1 9．【解】设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)． 则⎩⎨⎧ 1a ＋2b ＝112ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4. ∴直线l 的方程为x 2＋y 4＝1，即2x ＋y －4＝0. 10．【解】(1)由截距式得x －8＋y 4＝1， ∴AC 所在直线方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x －2， ∴AB 所在直线方程为x ＋y －4＝0.(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4). ∴BD 所在直线方程为2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2， 又D (－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中垂线所在直线方程为2x ＋y ＋6＝0.。