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x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p
x x0
m y y0
y y0 n
z z0
n( x x0 ) m( p( y y0 ) n(
y z
y0 ) 0 z0 ) 0
n
p
直线的一般方程
9
从空间直线的一般方程到对称式方程
L
:
A1 A2
x x
直线的参数方程
x x0 mt
y
y0
nt
t为参数
z z0 pt
3
两直线的夹角公式 ；
ur ur
cos(L1, L2 )
s1 s2 ur ur s1 s2
直线与平面的夹角公式。
rr
r r ns
sin cos(n, s) r r
ns
4
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线． 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
L2 : 2
2
1
的夹角。
解 从ur题意可得：两ur直线的方向向量为
s1 (1, 4,1), s2 (2, 2, 1)
于是，代入两直线ur 的ur夹角公式
s1 s2
cos(L1, L2 ) ur ur
s1 s2
20
281
2
cos(L1 , L2 )
有单位向量，还有一般的向量。
6
下面导出直线的点向式方程
z
M0( x0 , y0 , z0 ), sr (m, n, p),
M L, M( x, y, z),
s
L
M
M0
M0M// s
o
y
x
uuuuuur
M0M (x x0, y y0, z z0 )
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
15
练习
求过点(1,
2,
1), 且平行于直线
x x
y 2z 2y z
1 1
0 0
的直线方程。
uur
uur
解 由题意有：nr1 r(1,1ur, 2), n2 (1, 2, 1)
r uur uur i j k
s n1 n2 1 1 2
1 2 1
r1 i
2 r 1 2 ur 1 1
B1 y B2 y
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
r uur uur s n1 n2
r r ur
sr
nr1 nr2
i 1
j 1
k 1
2 1 3
r 1 1 r 1 1 ur 1 1 r r ur
i
j k
4i j 3k
1 3 2 3 2 1
用点向式写出直线方程
x4 y2 z 4 1 3
13
方法二： 消元法求直线方程
将方程
x y z2 0 2x y 3z 10 0
(1) (2)
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
L
o
y
x 空间直线的一般方程
5
二、空间直线的点向式方程与参数方程
方向向量的定义：
z s
L
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称
为这条直线的方向向量．
o
y
注：
x
同一条直线的方向向量有无穷多个。
分别消去x，y得到 3x 4z 12 0 (3) 3 y z 6 0 (4)
z
3x 12 4
z 3 y 6
x x0 y y0 z z0
m
n
p
z
1
z
x4 43 y2
1
1 3
14
于是直线方程为
x4 43
y 1
2
3
z 1
化简整理得直线方程为
x4 y2 z 4 1 3
ur urm2
n2
p2
cos(L1, L2 )
s1 s2 ur ur
s1 s2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
18
两直线的位置关系：
ur ur (1)L1 L2 s1 s2 0 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
m
n
p
7
下面得出直线的参数方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的方向余弦 称为直线的方向余弦.
在求直线上一点的坐标或交点时，利用直线的 参数方程求解更加简便
8
下面从对称式方程得出直线的一般方程
(2)
L1 //L2
ur ur s1 // s2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
r s1 (1, 4, 0),
直线 L2 :
r s2 (0, 0,1),
s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1L2 .
19
x1 y z3
例 2 求直线 L1 :
1
4
1
和
x y2 z
注：直线方程的表示形式均不唯一。
10
举例说明如何将直线的一般方程转化为 点向式方程。
例1 用点向式方程表示直线
x y z2 0 2x y 3z 10 0.
方法一：用点向式表示直线方程 方法二：用消元法求直线方程
11
解 方法一： 点向式
先找直线上的一点，在直线方程中令z=0
x y2 0 2x y 10 0
1
主要内容
直线方程的三种表示法：一般式、点 向式、参数式；
空间直线的一般方程
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
2
直线的点向式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
其中方向向量 sr (m, n, p), 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
j
k
r r ur 3i j k
2 1 1 1 1 2
16
又直线经过点(1, 2,1)， 于是，由点向式写出直线方程为
x1 y2 z1 3 1 1
17
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
直线L2 : x x2 y y2 z z2 ,
x 4
y
2
于是点(-4,2,0)是所求直线上的一点。
下找所求直线的方向向量，由已知可知r r r r uur
uur
Q s n1 , s n2 , n1 (1,1,1), n2 (2, 1, 3)
rrr s n1 n2
x y z 2 0 12 2x y 3z 10 0.
