2016高考_龙泉一轮-数文-作业 (13)

选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0答案 B解析 ∵⎩⎨⎧x －1＝t 2，y －2＝32t ， ∴y －2＝3(x －1)．即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203 C ．10 D ．20答案 B3．“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋1－(x ＋2)|＝1，所以由不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空，得a >1，所以“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的充分不必要条件，故选C.4．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案 D解析 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.5．设x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 x 2＋1≥2x ，y 2＋1≥2y ，x 2＋y 2≥2xy ，三式相加即可．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D ，点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°， 又∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°. ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a .∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2. 即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1.7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125 B.125 5 C.95 5 D.9510 答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t ⇒⎩⎨⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9.5t 2＋8t －4＝0.∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－85)2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255. 8．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是( ) A ．[1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，1]答案 A解析 设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1，解得x ≥1，所以解集为[1，＋∞)．9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．2∶1.5 答案 A解析 如右图所示，连接OD ，OC .∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点． 又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC . ∴△AOD ≌△COD . ∴∠1＝∠2.又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB . ∴OA ＝2OB .故选A.10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B ，则|AB |＝( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 依题意得，直线AB 的普通方程是y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.曲线C 的标准方程是x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线AB 的距离等于22＝2，|AB |＝24－(2)2＝22，选B. 11．若不等式|x ＋a |≤2在x ∈[1,2]时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[0,3] C ．(－3,0) D ．(0,3)答案 A解析 由题意得－2≤x ＋a ≤2，－2－x ≤a ≤2－x ，所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min .因为x ∈[1,2]，所以－3≤a ≤0.12.如图，AB 是半圆的直径，点C ，D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°.又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8. ∴cos ∠BAC ＝35.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC .∴2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85.∴cos ∠BAD ＝255.又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12]解析 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋(|x －12|＋|x ＋2|)≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a的取值范围是[－1，12]．14．(2014·湖北)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (3，1)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4，x 2＝3y 2得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)． 15.如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是________． 答案 ①②解析 由题意，根据切线长定理，有BD ＝BF ，CE ＝CF ，所以AD ＋AE ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝(AB ＋BF )＋(AC ＋CF )＝AB ＋AC ＋(BF ＋CF )＝AB ＋AC ＋BC .所以①正确；因为AD ，AE 是圆的切线，根据切线长定理，有AD ＝AE .又因为AG 是圆的割线，所以根据切割线定理有AD 2＝AF ·AG ＝AD ·AE ，所以②正确；根据弦切角定理，有∠ADF ＝∠AGD .又因为BD ＝BF ，所以∠BDF ＝∠BFD ＝∠ADF ，在△AFB 中，∠ABF ＝2∠ADF ＝2∠AGD ，所以③错误．16．已知正实数x ，y 满足2x ＋12y ＋m ＝xy ，若xy 的最小值是9，则实数m 的值为________．答案 3解析 由基本不等式，得xy ≥2xy ＋m ，令xy ＝t ，得不等式t 2－2t －m ≥0.∵xy 的最小值是9，∴t 的最小值是3.∴3是方程t 2－2t －m ＝0的一个根，∴m ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.18．(本小题满分12分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED . 答案 (1)略 (2)略证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA . 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD . 从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°. 故AB 是直径．(2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ， 所以∠DCB ＝∠CBA . 故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径，由(1)得ED ＝AB . 19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 答案 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x －4＝0 (2)233解析 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离 d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin (θ＋π4)－4|3≥23，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．∴点Q 到直线l 距离的最小值为233.20．(本小题满分12分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝F A ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长． 答案 (1)略 (2)略 (3)4 3解析 (1)∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝F AFB ，∴FB 2＝F A ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝23，∴AD ＝2AC ＝4 3. 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案 (1)C 1：ρ＝2，C 2：ρ＝4cos θ，⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3) 解析 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t(－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y (－3≤y ≤3) 方法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋2a (a ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )<3.(2)若不等式f (x )≥ax ，∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 答案 (1)当a ≥32时，x ∈∅；当a <32时，x ∈(2a －2,4－2a )(2)[0,1]解析 (1)由f (x )<3，即|x －1|＋2a <3，得|x －1|<3－2a . 当3－2a ≤0时，即a ≥32，不等式的解集为∅；当3－2a >0时，即a <32，不等式等价于2a －3<x －1<3－2a ，得2a －2<x <4－2a .综上，当a ≥32时，不等式的解集为∅；当a <32时，不等式的解集为{x |2a －2<x <4－2a }．(2)方法一：由f (x )≥ax ，当x <1时，a ≥1－x x －2＝(－1－1x －2)∈(－1,0)．∴a ≥0.当1≤x ≤2时，a (x －2)≤x －1恒成立⇔a ≥x －1x －2恒成立，∵x －1x －2＝(1＋1x －2)∈(－∞，0]，∴a ≥0. 当x ＝2时，1＋2a ≥2a 恒成立，a ∈R . 当x >2时，a ≤x －1x －2恒成立，∵x －1x －2∈(1，＋∞)，∴a ≤1. 综上，∀x ∈R 使得不等式f (x )≥ax 恒成立的a 的取值范围是[0,1]． 方法二：由f (x )≥ax ，即|x －1|＋2a ≥ax ， ∴|x －1|≥a (x －2)．依题意，y＝|x－1|的图像恒在y＝a(x－2)图像的上方，而y＝a(x－2)恒过(2,0)点，依图分析得0≤a≤1.。

题组层级快练(八十六)1.商场在2014年国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元 答案 C解析 由0.40.1＝x2.5，得10万元，故选C.2．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．57.2,3.6B ．57.2,56.4C ．62.8,63.6D ．62.8,3.6答案 D解析 平均数增加60，即为62.8. 方差＝1n ∑ni －1[(a i ＋60)－(a ＋60)]2＝1n ∑ni －1(a i －a )2＝3.6，故选D. 3．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案 D解析 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.4．(2013·辽宁)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析 由频率分布直方图，得低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B.5．(2014·山东理)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．18答案 C解析 第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.6．(2015·荆州市质检)已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为( )A ．5,2423B ．5,2413C ．4,2513D ．4,2523答案 A7．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A.x A >x B ，S A >S BB.x A <x B ，S A >S BC.x A >x B ，S A <S BD.x A <x B ，S A <S B答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10， B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10， 所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x A <x B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以S A >S B ，故选B.8．(2015·南昌一模)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A ．x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定B ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定 答案 A 解析 依题意得x 甲＝15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，x 乙＝15(80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87，x 甲>x 乙；s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]＝2， s 2乙＝15[(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2]＝9.2， s 2甲<s 2乙，因此甲比乙成绩更稳定，选A.9．(2013·四川文)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )答案 A解析 由茎叶图知，各组频数统计如下表：10．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析 设被污损的数字为a (0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8>a ，即得0≤a ≤7且a ∈N ，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45.11．某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：(1)100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数； (3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)答案 (1)110(2)290 (3)90分解析 (1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，故甲同学被抽到的概率P ＝110.(2)由题意得x ＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390.故估计该中学达到优秀线的人数m ＝160＋390×120－110120－90＝290.(3)频率分布直方图如图所示．该学校本次考试的数学平均分x －＝60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×1351 000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．12．(2014·重庆文)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率． 答案 (1)0.005 (2)2,3 (3)310思路 (1)根据所有小矩形的面积之和为1求a 的值；(2)先求对应组的频率，再由频率的计算公式求落在该组的人数；(3)先对落在[50,60)，[60,70)中的个体进行编号，列举出所有的基本事件，从中找出2人成绩都在[60,70)的基本事件的个数，代入古典概型的概率公式求解．解析 (1)据直方图知组距＝10， 由(2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝1，解得a ＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2， 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60,70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，故所求概率为P ＝310.13．(2015·衡水调研)在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树活动中去．为保证树苗的质量，该市林管部门都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出树苗的高度如下(单位：厘米)：甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33； 乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.(1)根据抽测结果，完成下列的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；(2)设抽测的10件甲种树苗高度平均值为x －，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义．答案 (1)略 (2)S ＝35 解析 (1)茎叶图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散． (2)x －＝37＋21＋31＋20＋29＋19＋32＋23＋25＋3310＝27，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．14．(2014·辽宁理)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．答案 (1)0.108 (2)E (X )＝1.8，D (X )＝0.72解析 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. ∴X 分布列为因为X ～B (3,0.6)－0.6)＝0.72.1．(2013·重庆文)如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6答案 B解析 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.2．(2013·湖北理)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________． 答案 (1)0.004 4 (2)70解析 (1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x ＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋ 0．004 4)×50＝0.7， ∴所求户数为100×0.7＝70.3．(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：答案 2解析 由题中数据可得x －甲＝90，x －乙＝90.于是s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由s 2甲>s 2乙，可知乙运动员成绩稳定，故应填2.4．(2013·广东理)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 答案 (1)22 (2)4 (3)1633解析 (1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.。

龙泉驿区高2016级数学（文）期末质量监测试题第Ⅰ卷（共60分）1、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列为等差数列，若，则的值为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙…………（ ）{}n a 2016111=+a a6a A ．1344B ．2016C ．1008D ．6722.对于任意实数，，则下列选项中正确的是…………………………（ ）a b >c d > A. B. C.D.c b d a ->-ac bd >11a b>22ac bc >3.直线的倾斜角和斜率分别是………………………………………………（ ）1=x A ．不存在，1 B ．，不存在 C ．1，1 D ．，不存在90︒180︒4.在上定义运算：，则不等式的解集为………（ ）R ⊗b a b a ⋅=⊗2)3(-<-⊗x x A. B. C. D.21<<-x 12<<-x 21<<x 12-<<-x 5.将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为……………………………………………………（ ）A. B. C. D.3131+-=x y 131+-=x y 33-=x y 131+=x y 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若，则△ABC 的形状CcB b cos cos =是………………………………………………（ ）A.等腰或直角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D. 等腰三角形7.已知是两个不同的平面，为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为……（）,αβ,m n A ．若，，，则//m α//n β//m n //αβB ．若，，，则m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥C ．若，，，则m α⊂n β⊂//m n //αβD ．若，，，则αβ⊥n αβ= m n ⊥m α⊥8.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式L h V .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为.那么，近似公式相当于将h L V 2361≈π3h L V 21123≈圆锥体积公式中的近似取为………（ ）πA ．B ．C ．D ．501578257229289.设数列是等比数列，满足，且，，则…（ ）{}n a 0,1n a q >>3520a a +=2664a a ⋅==6S A ． B ．63 C ．31 D ．641610.在中，角所对的边分别为，若，则……（ ）ABC ∆A 、B 、C ,,a b c b a A 2,120=︒=∠A ． B ．c b >cb <C ． D ．的大小关系不能确定c b =c b 与11.如图，等边的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一ABC ∆AF DE G A ED ∆'AED ∆DE 个图形，下列命题中，错误的是…………………………………（ ）A. 恒有平面⊥平面A GF 'BCEDB. 动点在平面上的射影在线段上A 'ABC AFC. 异面直线与不可能垂直A E 'BDD. 三棱锥的体积有最大值A EFD '-12．已知等差数列的前项和为，若，则的最小值{}n a n )(*∈N n S n n n S n 42+=116-+n n a S 为…………………………………（ ）A ．B ．C ．D ．835314837627第Ⅱ卷（非选择题，共90分）2、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡相应横线上.）13．若.==αα2cos ,55sin 则14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何题的表面积是____________.15.已知 ___________.==-=βαβαtan ,2)tan(,31tan 则16.在中，，M 是BC 的中点.若，则______．ABC ∆︒=∠90C 36sin =∠BAC =∠BAM sin 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知函数f （x ）＝ax 2-2bx-3.(I)若不等式f （x ）< 0的解集为（－1,3）,求实数a ，b 的值；(II)若a 、b 为正实数且f （-1）=1，求的最小值．ba 12+18. （本小题满分12分）(I)求过点（2，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(II)已知直线，当时，求直线与之间的距离．()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=12//l l 1l 2l 19. （本小题满分12分）已知：在中，角的对边分别为，已知.ABC ∆,,A B C ,,a b c A cos )2(C cos c b a -=⋅(I)求角A 的大小；(II)若BC=6，求的面积的最大值，并判断当最大时的形状．ABC ∆S S ABC ∆20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作DF⊥PB 交PB 于点F ，连结EF.(I)求证：PA∥平面EDB ；(II)若AB=2，求三棱锥F-PDE 的体积.21. （本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，已知，且，ABC ∆A,B,C a,b,c 1sin sin sin =+++ba cC A B 9-=⋅的面积为.ABC ∆39(Ⅰ) 已知等差数列的公差不为零，若，且成等比数列，n {a }a cosA=11521,a a a ， 求的前项和;⎭⎫⎩⎨⎧⋅+18n n a a n n S (II) 求边的大小.b 22. （本小题满分12分）在数列中，.各项均为正数的等比数列,满足.{}n a *12,3,4N n a a a n n ∈+==+{}n b 1132b a b a ==，(I)求数列和的通项公式；{}n a {}n b (II)若，数列的前项和.()32n n c n b =-⋅{}n c n n T ①求；n T ②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.*2n n N ≥∈，53)5(-≥-n m T n m龙泉驿区高2016级数学（文）期末质量监测试题（参考答案）一、选择题2、填空题 13. 14. 15. 7 16.533224+313、解答题17. 解：(I) ∵ 不等式f （x ）< 0的解集为（－1,3） ∴ ax 2-2bx-3< 0的解集为（－1,3）∴ ……………………2分的两实根是且0323,102=--->bx ax a 则 或 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+->a a b a 3312310⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+>03690320b a b a a ∴ ……………………5分1,1==b a (II)题号123456789101112答案CABCADBDBACC分”时，取“当且仅当分10212424,242441844(41)12)(2(4112,42132)1( ba b a b aa b b a a b b a a b b a b a b a R b a b a b a f +∴=⎪⎩⎪⎨⎧=+==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+≥++=++=+∴∈=+∴=-+=-+18. 解：(I)当截距不为0时，设直线方程为a y x aya x =+=+即,1 ∵ 直线过点（2,4）∴ ……………………4分6,42=+∴=+y x a 直线方程为： 当截距为0时，设直线方程为y=kx ∵ 直线过点（2,4）∴ 4=2k,即k=2,∴ 直线方程为y=2x ……………………5分∴ 过点（2，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-6=0或2x-y=0……6分（II ）当时，有解得， ………………………9分12l l ∥()()230320a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩3a =，即，距离为12:3310,:30l x y l x y ++=++=3390x y ++=d ==……………………………12分19.解：（I ） Acos )2(C cos c b a -=⋅ …………………2分A C ABC A cos sin cos sin 2cos sin -=∴由正弦定理可知，AB C A A B A C C A cos sin 2)sin(cos sin 2cos sin cos sin =+=+ ．……………………………4分π=++C B A A B B cos sin 2sin =∴．21cos ,0sin =∴≠A B ． ……………………………………6分3,0ππ=∴<<A A (II)由题可知3,6π==A a ．……………………………………7分bc S ABC 43=∴∆，……………………………9分bc A bc a c b +=+=+36cos 2222由余弦定理可知： ，……………11分”时等号成立当且仅当“c b bc bc bc c b =≤∴≥+=+∴3623622 此时三角形为等边三角形…………………………12分39最大值是ABC S ∆∴20.(I)证明: 如图所示，连接AC ，AC 交BD 于O ，连接EO.∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中，EO 是中位线，∴PA∥EO. ………………………………3分而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，∴PA∥平面EDB. ……………………………………6分（II)解: ∵PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形且边长为2，PD ＝DC ∴∆∆∆t PDB ABD R 均为与∴32,222222=+==+=BD PD PB AD AB BD ∵ DF⊥PB∴ ………………9分31332PF 2===PB PF PB PD ，则 又因E 是PC 中点∴ ……………………………12分92222213161V 61V 31V PDC -B PDE -B PDE -F =⨯⨯⨯⨯⨯===21.解：(Ⅰ)由正弦定理得：即：, b c=1a+c a+b222b +c a =bc 所以由余弦定理得：222b +c a bc 1cosA===2bc 2bc 2　又因为：，所以 ……………………2分0<A<ππA=3由得1a cosA=1　1a =2　又成等比数列，得，因数列的公差为且≠0∴=4521,,a a a 5122a a a ⋅=n {a }　d d d 所以，有………………4分244)1(2-=⨯-+=n n a n 241+=+n a n 则……………………5分121121)12)(12(281+--=+-=+n n n n a a n n 所以12112151313111S +--++-+-=n n n= ……………………6分122121-1+=+n nn (Ⅱ)由(Ⅰ)知，则 ……………………8分πA=32123cos cos 222=-+==bc a c b A π 因为＝－9 ∴ 即：……………9分9cos -=C ab 92222-=-+⋅ab c b a ab ……………………10分39sin 21S ABC ==∆A bc 又 ∴ 解得：b=3 ……………………12分⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=-+3618222222bc c b a bc a c b 22.解：（Ⅰ）∵*12,3,4N n a a a n n ∈+==+∴ 数列是等差数列且{}n a 3,13121=-==-=+n n a a d a a ∴……………………2分32n a n =-∴ 则4,12311====a b a b 4213==q b b 因为正项等比数列，∴ {}n b 2=q ∴ ………………………………………4分12n n b -=（Ⅱ）12)23()23(-⋅-=⋅-=n n n n b n c ①()0111242322n n T n -=⋅+⋅++-⋅()1121242322n n T n =⋅+⋅++-⋅∴()()12113222322n n n T n --=++++--⋅ ()()11621322n n n T n --=+---⋅()5325n n T n -=-⋅-………………………………………8分()3525n n T n =-⋅+② ∵对任意恒成立53)5(-≥-n m T n *2n n N ≥∈，∴ ，………………………9分)53(2)53(-≥⋅⋅-n m n n *2n n N ≥∈，即，恒成立*2n n N ≥∈，因 ∴单调递减n y 21=4121max =⎪⎭⎫ ⎝⎛n ∴ . ………………………………………12分41≥m。

某某一中、龙泉中学2016届高三年级11月联考数学（文）试题本试卷共2页，全卷满分150分，考试用时120分钟。

一．选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知i是虚数单位，若1(1)i z i+=-,则z的虚部为A.1-B. i-C. iD. 12.已知R为实数集，M={y y=，{N x y=|=，则()RM C N={}.1,A x x|0≤<{}.11B x x-≤<{}.10C x x-≤≤.D{}01x x≤≤3.设2log3a=,12log3b=, 23c-=,则A.a b c>>B.a c b>>C.b a c>>D.c b a>>4.已知(5,6)(sin,cos)a bαα==，，且//a b，则tanα=A．65-B．56-C．56D．655.下面几个命题中，假．命题是A.“π是函数xy sin=的一个周期”或“π2是函数cosy x=的一个周期”；B.“022=+yx”是“0=xy”的必要不充分条件.C.“若a b≤,则221a b≤-”的否命题；D.“),0(∞+∈∀a，函数x ay=在定义域内单调递增”的否定；6.设变量,x y满足约束条件2422x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则目标函数z x y=-的最小值为.A2.B4-.C1-.D47．将函数()2sin(2)4f x xπ=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4xπ=对称，则ϕ的最小值为A．18πB．38π C．12πD．34π8.平行四边形ABCD中，2,1,60AB AD A==∠=，点M在边AB上，且13AM AB DM DB=⋅，则等于.A.B.C1-D.19.已知函数1)(2-=axxf的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线028=+-yx平行，若数列})(1{nf的前n项和为nS，则2015S的值为A.40304031B.20144029C.20154031D.4030403110.已知正实数,x y满足24x y xy++=，若对任意满足条件的,x y都有2()1()0x y m x y++-+≥恒成立，则实数m的取值X围为A B C D11.设函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当0≥x时，)(xf单调递减，若数列}{na是等差数列，且03<a，则)()()()()(54321afafafafaf++++的值A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负12.已知函数222(1)0()4(3)0x k a xf xx x a x⎧+-≥=⎨-+-<⎩（）（），其中a R∈,若对任意的非零实数1x，存在唯一的非零实数212()x x x≠，使得12()()f x f x=成立，则k的取值X围为.A0k≤.B8k≥.C08k≤≤.D8k≥或0k≤二．填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置．)13.函数1()1xf xe=+值域为__________14.,,1,a b c a=平面向量两两所成角相等，且2b=,3c=,a b c++则为_________.15.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________16.21()ln2f x a x x=+已知,12,(0,),x x∀∈+∞若对于12x x≠且都有1212()()4f x f xx x->-,则实数a的取值X围是_________三．解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．)17．（本小题满分12分）已知ABC∆的三边cba,,成等比数列，且21=+ca，45tan1tan1=+CA．俯视图主视图侧视图(1)求B cos ； (2)求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）设公差不为0的等差数列}{n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AC =,2BC =,AC BC ⊥,F E D ,,分别为棱 AC B A AA ,,111的中点．（1）求证:EF ∥平面11B BCC ；（2）若异面直线1AA 与EF 所成角为30，求三棱锥DCB C -1的体积．20．（本小题满分12分） 据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多少时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．21．（本小题满分12分）设函数ax xxx f -=ln )(． （1）若函数)(x f 在[)2+∞，上为减函数，某某数a 的最小值；（2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，某某数a 的取值X 围．22．（本小题满分10分）已知函数()f x x =. (1) 解关于x 的不等式(1)f x a -<,a R ∈ (2)若不等式11(1)(2)1f x f x a a ++≤+-对任意．．(0,1)a ∈恒成立，求x 的取值X 围．龙泉中学、某某一中2016届高三11月联考文科数学试题参考答案一．选择题 DABDB BBDCA AD 二．填空题 13.()01，14.3或6 15. 152 16. [)4+∞，三．解答题AB1B C1A EF 1CDAB1BC1AEFDO1C17.解：（Ⅰ）由45sin sin )sin(sin cos sin cos tan 1tan 1=+=+=+C A C A C C A A C A ， …………2分 又∵c b a ,,成等比数列，得ac b =2，由正弦定理有C A B sin sin sin 2=， ………………4分∵在ABC ∆中有B C A sin )sin(=+，∴得45sin sin 2=B B ，即54sin =B ．………6分由ac b =2知，b 不是最大边， ∴53sin 1cos 2=-=B B ．………7分(Ⅱ)由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=得，ac c a ac c a ac 516)(532222-+=⋅-+=， ……………9分∵21=+c a ∴5=ac ， ……………10分∴2sin 21==∆B ac S ABC． ……………12分 18.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2a 14，………………………2分即(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝0（舍去），或d ＝2． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1． …………………………………5分（2）由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －(1－12n －1)＝12n ．∴b n a n ＝12n ，n ∈N *． 由（1），知a n ＝2n －1，n ∈N *， ∴b n ＝2n －12n ，n ∈N *． ………………………………8分又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1． 两式相减，得 12T n ＝12＋(222＋223＋…＋22n )－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，∴T n ＝3－2n ＋32n ． ……………………………………12分19．（1）证明：取AB 的中点O ,连接EO FO ,, 因为F E ,分别为棱AC B A ,11的中点， 所以FO ∥BC ,EO ∥1BB ,B BB BC O EO FO ==1, ,⊂EO FO ,平面EFO ,⊂1,BB BC 平面11B BCC ,所以平面EFO ∥平面11B BCC ，………………………4分又⊂EF 平面EFO ,所以EF ∥平面11B BCC .……………………………………6分 （2）由（Ⅰ）知FEO ∠异面直线1AA 与EF 所成角,所以 30=∠FEO ,…8分 因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，所以⊥1BB 平面ABC ,所以⊥EO 平面ABC ,FO EO ⊥∴, 121==BC FO ,3,222=-==∴FO EF EO EF , 由⊥⊥1,CC BC AC BC ,⊥∴BC 平面11A ACC ,…………10分所以11113C BCDB CDC CDC V V BC S--∆==⋅112132=⨯⨯⨯. ………………12分20.解：（1）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=.……………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=；……………………………………………3分当1020t <≤时，()1S=3010301502t t t ⨯⨯+-=-……………………4分当2035t <≤时，()()1302015027030202s t t =⨯-+-++-270550t t =-+-……………………6分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩……………………………………………7分（2）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<，……………………………………8分(10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=<，…………………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -+-=，解得30t =，（40t =舍去）……11分 即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ………………………………………12分21.解：（1）由已知得x ＞0，x ≠1． 2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在[)2+∞，上恒成立．…1分所以当[)2,x ∈+∞时，max ()0f x '≤又22ln 111()ln ln ln x f x a a x x x -'=-=-+-2111ln 24a x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，………2分 故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………5分 （2）命题“若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有()min max ()f x f x a '+≤”．由（1），当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，∴max 1()4f x a '+=． 问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”． ①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，则min ()f x =2221()24e f e ae =-≤，故21124a e-≥． …………………7分 ②当a <14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（ⅰ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是，min 1()()4f x f e e ae e ==-≥>，矛盾．…………………9分 （ⅱ）0a -<，即104a <<，由'()f x 的单调性和值域知， 存在唯一20(,)x e e ∈，使'()0f x =，且满足：当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为 增函数；所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈……………………11分 所以，2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾． 综上得21124a e≥-……………………………………………………………12分 22.(1)1x a -<0,a >解为11a x a -<<+0a ≤,x ∈∅…………………4分(2)由f (x ＋1)＋f (2x )≤1a ＋11－a得：|x ＋1|＋|2x |≤1a ＋11－a .∵0<a <1，∴0<1－a <1，∴1a ＋11－a ＝1(1)a a -≥1[a ＋1－a 2]2＝4.当且仅当a ＝1－a ，即a ＝12时取“＝”．…………………7分∴原问题等价于|x ＋1|＋|2x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x －1≤4.或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，1－x ≤4.或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3x ＋1≤4.∴－53≤x ≤1. …………………10分。

龙泉中学2016届高三8月月考数学（文）试题本试卷共 2 页，共 22 题。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

） 1．设全集U 为实数集R ,{}13N x x =<<，{}2M x x =>，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{}|2x x <B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|21x x -≤<D ．{}12x x <≤2．幂函数()f x k x α=⋅的图象过点1(,),22则k α+= A ．12 B ．1 C ．32 D ．23．105a <≤是函数()2()212f x ax a x =+-+在(),4-∞上是减函数A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷、0.76万公顷，则沙漠增加数y （万公顷）关于年数x 的函数关系较为近似的是A ．0.2y x =B ．210x y =C ．2210x xy +=D ．160.2log y x =+5．函数221ln )(x x x f -=的图象大致是6．把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为xy 2=的图像，则)(x f y =的函数表达式为 A ．22+=x y B ．22+-=x y C ．22--=x y D ．)2(log 2+-=x y7．1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数2()(1)g x x f x =-的值域是A ．(),-∞+∞B ．()[)1,01,-+∞C ．(](),01,-∞+∞D ． ()1,-+∞8．对于函数33()log 21,xf x ax b =++若,2)1(=-f 则=)1(fA ．2B ． 1C ．2-D ．09．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(2)()f x f x +=-，且(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，当()0,2x ∈时2()2f x x =，则(2015)f =A ．2-B ．2C ．98-D ．9810．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(0a >)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．(0,3]D ．[3,)+∞11．已知函数21(0)()log (0)x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，,则函数[()]1y f f x =+的零点个数是A ．4B ．3C ． 2D ．1 12．设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数，则下列结论正确的是 A. 若ae +2a=eb+3b ，则a ＞b B. 若ae +2a=eb+3b ，则a ＜bC. 若a e -2a=eb-3b ，则a ＞bD. 若ae -2a=eb-3b ，则a ＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数0(5)y x =-________．14．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a_____．15．()()10,f x xf x =-+则(1)f -=_______．16．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1)x ∈ 时0.5()log (1)f x x =-，则①2是函数()f x 的周期； ②()f x 在(1,2)上是增函数，在(2,3)上是减函数；③()f x 的最大值是1，最小值是0； ④当(3,4)x ∈时，0.5()log (3)f x x =- 其中所有正确命题的序号是________． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）设0a >且1a ≠，命题:p 函数()l o g (1)a f x x =+为增函数,命题:Q 不等式220x ax ++<有解，若Q P ∧为假，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈ （1）若(1)2,f =当x R ∈时()f x 最小值为0，且(1)(1)f x f x -=--恒成立，求()f x 解析式；（2）若对12,x x R ∀∈，且1212,()(),x x f x f x <≠试证明：存在()012,x x x ∈，使[]0121()()()2f x f x f x =+成立．19.（本小题满分12分）在淘宝网上，某店铺专卖荆门某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，15x <≤）满足：当13x <≤时，2(3)1b y a x x =-+-，（,a b 为常数）；当35x <≤时，70490y x =-+．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求,a b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润()f x 最大（x 精确到0.1元/千克）．20.（本小题满分12分）已知函数()()4()log 41xf x kx k R =++∈是偶函数．（1）求实数k 的值（2）设()44log 2,3xg x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）函数()f x 的定义域{}|0D x x =≠，且满足对任意x 都有：()()()1212f x x f x f x =+（1）求()1f ，()1f -的值.（2）证明()f x 为偶函数；（3）如果1x >时，()0f x >，()()0f x +∞证明在，为增函数并解不等式：1(2)()0f f x x-+≤．22.(本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，'()f x 是()f x 的导函数，且'()()0xf x f x ->在(0,)+∞内恒成立．（1）求函数()()f x F x x =的单调区间； （2）若2()ln f x x ax =+，求a 的取值范围；（3）设0x 是()f x 的零点，0,(0,)m n x ∈，求证：()1()()f m n f m f n +<+．龙泉中学2016届高三年级8月月考数学（文）参考答案一.选择题：DCABB BC DAD AA二.填空题： 13.(2,5)(5,)+∞ 14. 1 15. 0 16.①④三.解答题：17.解：命题P 中，1a > 1P a >即真时 3分命题Q 中，280a ∆=->,0a >又a ∴>Q ∴a >真时 6分P Q a >且为真时 8分Q P ∧为假时0a <≤10分18.解：()1由(1)(1)f x f x -=--得()f x 关于1x =-对称，又()f x 最小值为0，所以顶点为()1,0-且0a >, 设()2()1f x a x =+，由(1)2,f =得12a =, ()21()12f x x =+ 6分()2令()()g x f x =-[]121()()2f x f x + 则[]1121()()()2g x f x f x =-[]2211()()()2g x f x f x =-[]212121()()()()04g x g x f x f x =--<()0g x ∴=在()12,x x 存在实根，即存在()012,x x x ∈，使[]0121()()()2f x f x f x =+成立。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网 (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

题组层级快练(十九)1.函数f (x )的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)<－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案 B解析 f ′(2)，f ′(3)是x 分别为2,3时对应图像上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是图像上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B.2．(2015·赣州模拟)函数y ＝x 2e x 的图像大致为( )答案 A解析 因为y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，所以当x <－2或x >0时，y ′>0，函数y ＝x 2e x 为增函数；当－2<x <0时，y ′<0，函数y ＝x 2e x 为减函数，排除B ，C ，又y ＝x 2e x >0，所以排除D ，故选A.3．设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V答案 C4.如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( )A ．长102米，宽5 00051 米B ．长150米，宽66米C ．长、宽均为100米D ．长150米，宽2003米答案 D解析 设鱼塘长、宽分别为y 米，x 米，依题意xy ＝10 000. 设占地面积为S ，则S ＝(3x ＋8)(y ＋6)＝18x ＋80 000x ＋30 048，令S ′＝18－80 000x 2＝0，得x ＝2003，此时y ＝150.5．(2015·南昌一模)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈(－π2，π2)满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f (－π3)<f (－π4)B.2f (π3)<f (π4)C ．f (0)>2f (π3)D ．f (0)>2f (π4)答案 A解析 由f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0知(f (x )cos x )′>0，所以g (x )＝f (x )cos x 在(－π2，π2)上是增函数，所以g (－π3)<g (－π4)，即f (－π3)cos (－π3)<f (－π4)cos (－π4)，即2f (－π3)<f (－π4)，所以A 正确．同理有g (π3)>g (π4)，即f (π3)cos π3>f (π4)cosπ4，得2f (π3)>f (π4)，所以B 不正确；由g (π3)>g (0)，即f (π3)cos π3>f (0)cos0，得f (0)<2f (π3)，所以C 不正确；由g (π4)>g (0)，即f (π4)cos π4>f (0)cos0，得f (0)<2f (π4)，所以D 不正确．故选A.6．(2015·江西七校一联)定义域为R 的连续函数f (x )，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，则当2<a <4时，有( )A ．f (2a )<f (2)<f (log 2a )B ．f (2)<f (2a )<f (log 2a )C ．f (log 2a )<f (2a )<f (2)D ．f (2)<f (log 2a )<f (2a ) 答案 D解析 ∵对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴x ＝2是f (x )的对称轴．又∵(x －2)f ′(x )>0，∴当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又∵2<a <4，∴1<log 2a <2.4<2a <16；由f (2＋x )＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )．∴f (log 2a )＝f (4－log 2a )．由1<log 2a <2，得－2<－log 2a <－1.∴2<4－log 2a <3.∴2<4－log 2a <2a .∴f (2)<f (4－log 2a )<f (2a )，即f (2)<f (log 2a )<f (2a )，故选D.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 当x <2时，f ′(x )＝3(x －2)2>0，说明函数在(－∞，2]上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0<k <1.8．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．(其中，e 为自然对数的底数)． 答案 (1)单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞) (2)a ＝e 解析 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a >0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1， ①f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， ② 由①得a ≥e ；由②得a ≤e.因此a ＝e.故当e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立时，实数a 的值为e. 9．(2013·北京)设l 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 答案 (1)y ＝x －1 (2)略解析 (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1.所以l 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．10．(2014·浙江文)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.答案 (1)g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1 (2)略解析 (1)因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数； 若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ，f ′(x )＝3x 2＋3>0，故f (x )在(a,1)上是增函数． 所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数，所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3，h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3，且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4.若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3，所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3.令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0， 知t (a )在(0,1)上是增函数．所以t (a )<t (1)＝4， 即h (－1)<4.故f (x )≤g (a )＋4. ②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ， 故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3.此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.11．(2014·北京)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 答案 (1)略 (2)a 的最大值为2π，b 的最小值为1解析 (1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x ，得 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”；“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c . 当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立． 当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0， 所以g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立． 当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0. g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下表：因为g (x )在区间[0，x 0]上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π. 综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.。

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1。

已知全集U R =，集合{}{}|3,|2A x x B x x =≤=<,则()U C B A =（ )A ．{}|2x x ≤B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x ≤≤【答案】D考点：集合交集补集运算．2。

已知i 为虚数单位，则复数21i i =+（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】 试题分析：因21i i =+i i i +=-12)1(2，故应选A.考点:复数的运算．3.已知向量()()2,1,0,1a b =-=，则2a b +=（ )A ．22B 5C ．2D ．4【答案】B【解析】试题分析:因为()()2,1,0,1a b =-=，所以)1,2(2=+b a ，故5|2|=+b a ，应选B 。

考点：向量的模和坐标形式的运算． 4.设x R ∈，且0x ≠,“112x ⎛⎫> ⎪⎝⎭”是“11x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分必要条件．5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．42B ．19C ．8D ．3【答案】B【解析】试题分析：当3112,1=+⨯==S i ；8232,2=+⨯==S i ;19382,3=+⨯==S i ,当4=i 时,输出19=S ,故应选B.考点:算法流程图的识读．6。

已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是（ ）。

成都龙泉中学2016—2017学年度高2014级高考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z 满足(1)1z i +=+，则||z =A．21C D.23．已知，，则等于 A ． B ． C ． D ． 4.已知数列满足：，A. B. C. D.5．已知函数g （x ）是R 上的偶函数，当x ＜0时，g （x ）=ln （1﹣x ），函数满足f （2﹣x 2）＞f （x ），则实数x 的取值范围是A ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣2，1）6.一个三棱锥的三视图如图所示：则该棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.7.若圆上只有一点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率为A． B． C. D．8. 直线与相交于点，点、分别在直线与上，若与的夹角为，且，，则A. B. C. D.9．如果执行下面的程序框图，且输入，，则输出的A． 6 B．24 C． 120 D． 72010. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？” (加增的顺序为从塔顶到塔底). 答案应为A． B．C． D．11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，以为直径的圆的方程为22-+-=，则(3)(2)16x yA． B．C．或D．12.已知为定义在上的单调递增函数，是其导函数，若对任意的总有，则下列大小关系一定正确的是A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量，，若，则．14．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为．15.某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为，则这组数据的方差是．16.已知双曲线的中心在原点且对称轴为坐标轴，的一条渐近线与焦点为的抛物线交于点，且，则双曲线的离心率为．三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本题满分为12分）在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，，△ABC 的面积为． （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求cos （B ﹣C ）的值．18.（本题满分12分）已知数列的各项均为正数，观察程序框图，若时，分别有 （1）试求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和.19（本小题满分12分）如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，为正三角形，为内部一点，点在的延长线上，且，． 害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m 3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2017（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x ，y 的值，并完成频率分布直方图；（2）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？21.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设过的直线与椭圆交于两点，问在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由；请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（是参数），圆的极坐标方程为． （1）求圆心的直角坐标；（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． （I ）若，求函数的值域； （II ）若，求不等式的解集．成都龙泉中学高2014级高考模拟试题（一）数学（文史类）参考答案1—5 CACBD 6—10 DABBD 11—12 AB 13. 14. Π15. 16.或17．解：（Ⅰ）∵，△ABC 的面积为=absinC=×sin ，解得：a=5， ∴由余弦定理可得：c===7…6分（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB===， 又∵B ∈（0，π），可得：sinB==，∴cos （B ﹣C ）=cosBcos+sinBsin=×+=…12分 18.解：解得：或（舍去），则..................6分（2）则...............12分19. （1）因为，，两两垂直，所以,OC OAOC OB OC OA OB O OA OB OAB ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬=⎪⎪⊂⎭平面平面，而平面，所以，取中点，连接，，因为，，所以,A B O DA B P D AB OD PD D OD PD POD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬=⎪⎪⊂⎭平面平面，而平面，所以，所以,AB OCAB PO AB OC OP O OC OP POC ⊥⎫⎪⊥⎪⊥⎬=⎪⎪⊂⎭平面平面………………6分（2）由已知可得，C OAB OAB V S OC -∆=⋅=⨯=1113323，又，所以sin ABC S ∆=⨯⨯⨯=1226032，设点，到平面的距离分别为，，由，得，则，因为，所以，所以A PBC P ABC ABC V V S h --∆==⋅==2113312分20．解：（1）150.00350100x x⨯=∴= 15401010035y y +++=∴=……………………2分由于，，，则频率分布直方图如右图所示，…………………5分 （2）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为 1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5, 从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，………………………………8分其中事件A “其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种，…………………………10分所以事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是．…………… 12分 21.解：（1）因为，，，所以，，所以椭圆C 的标准方程为………………5分（2）假设存在符合条件的点，设直线的方程为，联立，消去得，()m y my +--=2234690，有条件知，设，，则，所以的中点为，因为四边形为平行四边形，所以的中点与重合，即x m y m m +⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩0202142343234，所以,m m M m m ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭22231263434，把点的坐标代入椭圆的方程得，解得，所以存在符合条件的直线，其方程为……………12分 22.解：（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y ++=∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为==≥ ∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.23.解：（Ⅰ）当时，|2||1|)(--+=x x x f -------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ， -------------------3分3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数的值域为；------------5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式即， --------------6分①当时，得，解得，；--------7分 ②当时，得，解得，；----8分③当时，得，解得，所以无解；-------- 9分 综上所述，原不等式的解集为． --------------10分。

龙泉驿区2016届高三5月模拟考试数学文一、选择题：本大题有10小题，每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合U＝R，Q＝{x|－2≤x≤3｝，P＝｛x｜x—2<0}，则Q∩(∁U P )＝( )A．｛x｜1≤x≤2｝B．{x｜x≥1}C．｛x|1<x≤2｝D．｛x|2≤x≤3}答案与解析：D 因为P＝｛x|x<2},所以∁U P＝｛x|x≥2｝，所以Q∩(∁U P )＝{x|2≤x≤3}，故选D .2.若复数z满足z（i－1）＝2i（i为虚数单位）,则错误!为（）A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案与解析:A 因为z＝2i i＋1i－1i＋1＝1－i，所以错误!＝1＋i，故选A.3。

已知曲线y＝x3，则在原点处的曲线的切线( ) A．不存在B．有1条,其方程为y＝0C．有1条，其方程为x＝0D．有2条，它们的方程分别为y＝0，x＝0答案与解析:B 因为y′＝3x2，所以k＝y′|x＝0＝0，所以曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.4．已知f(x)＝错误!在R上递增，那么a的取值范围是( )A．错误! B.错误!C。

错误!D。

(－∞，－1]答案与解析：D 由题可知，错误!解得a≤－1，故选A.5．某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n？",n为正整数,若输出的S＝26，则判断框内的n＝________.A．n＝6B．n＝5C．n＝4D．n＝3答案与解析：C 依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时,k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26，因此当输出的S＝26时,判断框内的n＝4。

6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)A．16B．32C．48D．144答案与解析:C 由题意可得，该几何体为四棱锥P－ABCD，如图所示，所以V P－ABCD＝13×错误!×6×6＝48.故选C。