直线的五个方程

1．直线的点斜式方程 1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y －y 0=0. （3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。

要注意它们之间的区别和联系及其相互转化. 直线点斜式方程的理解1．由于点斜式方程是由斜率公式00y y k x x -=-推出的，因此00y y k x x -=- 表示的直线上缺少一个点P (x 0，y 0)，y －y 0=k (x －x 0)才是整条直线；2．经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：①斜率存在时，直线方程y －y 0=k (x －x 0)； ②斜率不存在时，直线方程为x =x 0.3．直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4．从函数的角度来看，当斜率k 存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k 不存在时，直线方程为x =x 0，它不是函数解析式。

空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。

一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。

设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。

点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。

点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。

二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。

设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。

参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。

参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。

三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。

设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。

直线的方程与性质直线是一个无限延伸的几何对象，具有特定的方程和性质。

在本文中，我们将探讨直线的方程和一些与之相关的基本性质。

一、直线的方程直线的方程可以通过两点式、点斜式和斜截式表示。

1. 两点式两点式是通过直线上的两个已知点来表示直线的方程。

假设已知直线上的两个点为 P(x₁, y₁) 和 Q(x₂, y₂)，那么直线的两点式方程为：(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)简化为：(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + (x₁y₂ - x₂y₁) = 02. 点斜式点斜式是通过已知直线上的一点和直线的斜率来表示直线的方程。

假设已知直线上的点为 P(x₁, y₁)，直线的斜率为 k，那么直线的点斜式方程为：y - y₁ = k(x - x₁)简化为：kx - y + (y₁ - kx₁) = 03. 斜截式斜截式是通过已知直线上的一点和直线与 y 轴的交点来表示直线的方程。

假设已知直线上的点为 P(x₁, y₁)，直线与 y 轴的交点为 Q(0, b)，那么直线的斜截式方程为：y - y₁ = kx简化为：kx - y + y₁ - kx₁ = 0二、直线的性质直线具有许多重要的性质，下面我们将介绍其中几个。

1. 斜率直线的斜率表示了其在平面上的倾斜程度。

斜率可以通过直线的两点式方程或点斜式方程来求得。

两点式方程中的系数 (y₂ - y₁)/(x₂ -x₁) 就是直线的斜率，而点斜式方程中的斜率 k 也是直线的斜率。

2. 截距截距表示了直线与坐标轴的交点。

对于斜截式方程来说，直线与 y轴的交点的纵坐标就是直线的 y 截距。

而对于点斜式方程来说，直线与 y 轴的交点的纵坐标等于提供的点的纵坐标减去斜率乘以提供的点的横坐标。

3. 平行和垂直两条直线平行的条件是它们的斜率相等。

两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于 -1。

4. 距离和倾斜角直线之间的距离可以通过点到直线的距离公式来计算。

直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

直线公式汇总1.斜率和倾斜角公式：1）①若直线的倾斜角为α, 则tan 2k παα⎛⎫=≠⎪⎝⎭. ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则()211221y y k x x x x -=≠-.2）①直线倾斜角的范围：[)0π,；②当0k >时，arctank α=；当0k <时arctank απ=+2.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212//,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+= 3.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).4.直线的方向向量和法向量：设()()111222P x ,y ,P x ,y 是直线:0l Ax By C ++=上的不同两点，那么向量12PP 以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若()()111222P x ,y ,P x ,y ，则12PP 的坐标为()2121x x ,y y --；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即210x x -≠，直线的斜率k 存在时，那么()1,k 是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为()10,；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为（－B ，A ），法向量为（A ，B ） 5.直线的向量式方程：1）点方向式方程：直线经过点()00P x ,y ，向量()d u,v =()0uv ≠是直线的一个方向向量，那么直线的方程可以写成：00x x y y u v--=. 2）点法向式方程：直线经过点()00P x ,y ，向量()n a,b =是直线的一个法向量，那么直线的方程可以写成：()()000a x x b y y -+-=.6. 两条直线的夹角公式 ：（夹角的取值范围是02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，）1） 设111:l y k x b =+；222:l y k x b =+，①当121k k ≠- 时，1l 与2l 的夹角为θ，则 1212tan 1k k k k θ-=+；②当121k k ≠- 时，两直线的夹角为2π. 2）取直线的方向向量分别为()()11222d b ,a ,d b ,a =-=-，则两直线的夹角为：12121cos =d d d d a θ⋅=⋅，因为02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，余弦函数在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调递减的，所以此时的α是唯一确定的。

直线与方程 知识点 总结一、概念明白得：一、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。

二、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 一、直线的五个方程：①点向式：)0(11≠-=-uv vy y u x x 其中，②点向式：0)()(11=-+-y y b x x a③点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ④斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；⑤两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ⑥截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑦一样式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0在距离公式当中会常经常使用到直线的“一样式方程”。

二、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。

直线方程直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 （一）点斜式：已知点A ),(00y x ，斜率k ，则k=),(0x xy x x y ≠--直线方程为)(00x yx k y -=-（二）斜截式：已知斜率k ，直线经过点A （0，b ）即y 轴上的截距为b ， 直线方程为y=kx+b（三）两点式：已知两个点),(),,(2211y x y x B A 且xx 21≠，)(112121x yy yx y ---=-，直线方程为x x x yy y x y 121121--=--（四）截距式：过（a ，0），（0，b ）即直线在x 、y 轴的截距分别为a ，b （a ≠0，b ≠0），直线方程为1bya x =+（五）一般式：Ax+By+C=0(A ，B 不全为0) k=BA-点斜式例1求过点（2,1）的倾斜角α满足54cos =α的直线方程练习 1.直线经过点（-1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直，求直线方程2.直线经过点（-1,1）且斜率是直线222-=x y 的斜率的2倍，求直线方程3.已知一条直线与y 轴交于点（0,2），它的倾斜角的正弦值是54，求这条直线的直线方程例2已知过一点（-4,3）的直线，与两坐标轴围城的三角形的面积为3，求这条直线的直线方程练习1.已知直线的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线的方程2.直线的倾斜角为45度，且过点（4，-1），则这条直线被坐标轴所截得的线段长是例3求过点（2，-1）且倾斜角为直线x-3y+4=0的倾斜角的2倍的直线方程练习1.求过点（2，-1）且倾斜角是直线4x-3y+4=0的倾斜角的一半的直线方程斜截式例4已知直线0322=++y x ，求直线的斜率及直线在y 轴的截距练习1.方程aax y 1+=表示的直线可能为下图中的（ ）A ． B. C.例5求经过点P（3,2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程练习1. 直线2x-3y+6=0在x，y两轴的截距分别为2.求经过（2，-1），在坐标轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b的直线方程3.经过点A（1,4）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有多少条？4.直线经过（-2,3），且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线方程两点式例6已知直线经过（1,1）和（m，2）两点，求直线方程练习1.已知三角形三个顶点的坐标为A（-3,0）B(2,1)C(-2,3)（1）求BC边所在的直线方程（2）求BC边上的中线AD所在的直线方程（3）求BC边上的垂直平分线DE的方程例7（1）当a为何值时，直线x+2ay+1=0和直线（3a-1）x-ay+1=0平行？（2）当a为何值时，直线l1：（a+2）x+(1-a)y-1=0与直线l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直？例8已知直线kx-y+1+2k=0（k为实数）（1）求证直线恒过定点（2）若直线与x轴负半轴交于点A，交于y轴正半轴于点B，三角形AOB 的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线的方程练习1.直线x+2ay-1=0与直线（a-1）x-ay+1=0平行，则a的值为2.已知直线l1的倾斜角为43 ，直线l1经过点A（3,2）和B（a，-1），且直线l1与直线l垂直，直线l2：2x+by+1=0有直线l1平行，则a+b的值为3.直线x-2y+2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是4.已知直线的方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0（1）求证直线过定点（2）若直线分别与x，y轴的负半轴交于A，B两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程平行直线系和垂直直线系与Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+c1=0(C≠c1)与Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+c1=0A.y=-2x+4B.y=x+4C.y=-2x-D.y=x-A.2B.C.-2D.--2 D.( ) A.- B.1 C.1- D.-1一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解，熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.。

直线的方程与性质直线是平面几何中最基础的图形之一，它在实际生活中广泛应用于建筑、车辆导航、通信等各个领域。

了解直线的方程与性质对于理解直线的本质以及解决相关问题非常关键。

本文将介绍直线的一般方程、截距式方程、斜截式方程，并探讨直线的斜率与倾斜角、垂直直线与平行直线等性质。

一、一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0。

直线上的任意一点(x, y)都满足这个方程，而不在直线上的点则不满足。

例如，若一直线的一般方程为2x + 3y - 6 = 0，则点(2, 1)在直线上，而点(4, 5)不在直线上。

二、截距式方程直线的截距式方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。

截距式方程可以简洁地表示直线在坐标系中的位置和倾斜程度。

例如，截距式方程为x/2 + y/3 = 1的直线与x轴的截距为2，与y轴的截距为3。

通过这种方式，我们可以立即了解直线在平面上的位置和倾斜程度。

三、斜截式方程直线的斜截式方程形式为y = mx + c，其中m为斜率，表示直线在x轴上的单位增量对应的y轴上的单位增量；c为截距，表示直线与y轴的交点在y轴上的纵坐标。

斜截式方程更加直观地表达了直线的倾斜和位置。

例如，斜率为2，截距为-3的直线的斜截式方程为y = 2x - 3。

四、直线的斜率与倾斜角直线的斜率是直线上任意两点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量的比值。

对于一般方程Ax + By + C = 0，斜率为-m/A，其中m为B 的系数。

斜率可以量化直线的倾斜程度，正斜率表示向上倾斜，负斜率表示向下倾斜，斜率为0表示水平的直线，无穷大的斜率表示垂直的直线。

直线的倾斜角与斜率相关，可以通过反三角函数求得。

设直线的斜率为m，则倾斜角θ的正切为m，即θ = atan(m)。

倾斜角可以帮助我们分析直线与其他几何形状的相互关系以及问题的解决。

五、垂直直线与平行直线两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为倒数，即斜率m1与斜率m2满足m1 * m2 = -1。

直线方程的五种形式直线方程的五种形式，从不同的侧面反映了直线的几何与数量特性.由于它们有各自不同的适用范畴和隐性约束，因此，我们在根据条件求直线方程时，要特别注意不同形式直线方程的适用性，千万不要漏掉了特殊情形.【直线方程的五种基本形式】①点斜式方程：y-y0=k(x-x0).适用于点P(x0，y0)和斜率k为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴的直线.当斜率不存在时，直线方程应为x=x0.②斜截式方程：y=kx+b.适用于点(0，b)和斜率k为已知.其中b叫做直线l在y轴上的截距.截距不是距离，它可以取任意实数.斜截式是点斜式过点(0，b)时的特例. 此种形式也不包含垂直于x轴的直线.③两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2，y1≠y2).适用于两点(x1，y1)，(x2，y2)的坐标为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴的直线.③截矩式：xa +yb=1.适用于直线l与x轴、y轴的交点(a，0)和(0，b)为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴及过原点的直线.③一般式：Ax+By+c=0 (A，B不全为0).例1(1)设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a、b满足( ).A.a+b=1.B.a-b=1.C.a+b=0.D.a-b=0.(2)已知ab<0，bc<0.则直线ax+by=c通过( ).A.第一，二，三象限.B.第一，二，四象限.C.第一，三，四象限.D.第二，三，四象限.(3)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足( ).A.m≠0.B.m≠−32. C. m≠1. D. m≠1且m≠−32.解:(1)③ 直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0③ k=tanα=-1，又③直线ax+by+c=0的斜率为k= −ab，③ a-b=0. 故应选D.(2)将直线ax+by=c化为截距式y= −ab x+cb，③ ab<0，bc<0，③ 此直线的斜率k>0,在y轴上的截距为负，故应选C.(3)要方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则必须满足m2+m-3与m2-m不能同时为0. ③ m≠1. 故应选C.例2.(1)经过点A(1，2)并且在两个坐标轴上截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.(2)已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求l的方程.解:(1)当截距为0时，设y=kx，过点A(1，2)，则得k=2，即y=2x；当截距不为0时，设x+y=a或x-y=a.将点A(1，2)代入所设方程中，得a=3，或a= -1，故这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.(2)由已知可设直线l的方程为xa +y−4=1.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为8，③ 12|a ||−4|=8，解得a=±4，故x -y -4=0或x+y+4=0为所求.想一想①：1.过点(1，5)且在两轴上截距相等的直线有几条？分别是怎样的？2.求在x 轴上的截距为1，且倾斜角的正弦为45的直线方程.3.过点A(-5，-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．说明：求满足一定条件的直线方程时，若条件中含有“在两坐标轴上的截距相等、互为相反数、绝对值相等或与两坐标轴围成的三角形面积有关”时，均可将直线方程设为截距式，且不要忽略了特例——过原点的直线y=kx.例3(1)已知两点A(3，0)、B(0，4)，动点P 在线段AB 上运动，求xy 的最大值.(2)过点P(4，3)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线l 的方程.解:(1)设线段AB 所对应的直线方程为x a +yb =1，∵ 点A 、B 在其上， ∴ x3+y4=1 (x>0，y>0).由均值不等式可得1≥2√xy 12,⇒xy ≤3.∴ (xy)max =3.(2)设直线l 的方程为xa +yb =1，∵ 直线l 过点P(4，3)，∴ 4a +3b =1. 又∵ (a+b)(4a +3b)=7+4b a+3a b≥7+4√3，∴ (a+b)max =7+4√3.当且仅当{4b a=3ab,4a +3b=1,即{a =4+2√3,b =3+2√3.时|OA|+|OB|最小. 此时直线l 的方程为√3x +2y −6=0.例4.(1)若方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则m= ． (2)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ).A.两条直线.B.两条射线.C.两条线段.D.一条直线和一条射线. 解:(1)法1.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则关于x 的一元二次方程：x 2+2x+(-my 2+2y)=0根的判别式4842+-=∆y my 一定是完全平方式， ③ .1,06482=⇒=-=∆'m m法2.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，③x 2-my 2+2x+2y ))((b my x a y x +++-≡.即x 2-my 2+2x+2y=x 2-my 2+(m -1)xy+(a+b)x+(am -b)y+ab=0，比较对应项的系数可得，m=1，a=2，b=0.(2)∵ (2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，∴ {2x +3y −1=0,√x −3有意义,或√x −3−1=0.解得2x+3y -1=0(x≥3)或x=4，故应选D.想一想①：1.过点P(2，1)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，求当|PA||PB|最 小时直线l 的方程.2.方程x 2-xy -2y 2+x+y=0表示的两条直线方程分别是 .习题3.2.1.已知集合M={(x ，y)|123+=--a x y }，N={(x ，y)|y -3=(a+1)(x -2)}.则有( ).A.M=N.B.M③N=M.C. M∩N=ND.M ⊆N. 2.若方程x+y -4√x +y +2m=0表示一条直线，则实数m 满足( ) ． A.m=0. B.m=2. C.m=2或m ＜0.D.m≥2.3.直线l 与两直线y=1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，-1)，则直线l 的斜率为( ).A.32. B. 23. C.− 32. D.−23.4.一直线过点M(-3，4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_ .5.已知关于x ，y 的方程x 2-4xy+my 2-x+(3m -10)y -2=0表示两条直线，则m= ．6.当a 为何值时，直线(a -1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上的截距相等.7.把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a ≤c ≤b ， 证明：f(c)≈f (a )+c−ab−a [f (b )−f(a)].8.求经过点A(-2，2) 被两坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.【参考答案】想一想①：1.两条；5x-y=0，x+y-6=0.2.4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.3.2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.想一想①：1.x+y-3=0.如图D4.2—1.设∠BAO=θ,θ∈(0,π2).则|PA|=1sinθ,|PB|=2cos θ,⇒|PA||PB|=4sin2θ,当且仅当θ=π4,即k=-1时，|PA||PB|取得最小值4.2.x+y=0或x-2y+1=0.习题3.2.1.D.2.C.令√x+y=t，则问题转换为t2-4t+2m=0的两根相等且非负，或有一正根和一负根.3.A.4.4x-y+16=0或x+3y-9=0.5.3或4.6.若直线过原点，则a=0；直线不过原点，则a=2.7.A，B，C三点共线，∴k AC=k AB, 即y c−f(a)c−a =f(b)−f(a)b−a,∴y c−f(a)=c−ab−a [f(b)−f(a)], 即y c=f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)],∴f(c)≈f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)].8. x+3y-2=0或2x+y+2=0.x yO ABP(2.1)图D3.2—1。

直线的方程1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角(2)直线的斜率①定义： k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在.②k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).2.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用111222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0. 4.线段的中点坐标公式例1 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________________.练习(1)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________.(2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________.例2与点M(4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.例3已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.练习已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.几种典型题目：1.如图，已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交．求直线l的斜率的取值范围．2．直线l1过点(m,0)，(－1,2)，直线l2过点(3,0)，(0，m)，若l1∥l2，则实数m的值是多少？3．将直线l 沿x 轴的正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率是________．4．光线自点M (2,3)射到y 轴的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线所在直线的方程．5．直线l 经过点P (－2,3)，且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程．6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0.(1)若l 在两个坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求a 的取值范围．7．求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l 的方程．8．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)平行； (2)垂直．9．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：(1)l 在x 轴上的截距为－3； (2)l 的斜率是－1.10．求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l 的方程．11．已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．直线l 平行于AB ，且分别交AC ，BC 于E ，F ，且△CEF 的面积是△ABC 的面积的14.(1)求点E ，F 的坐标；(2)求直线l 的方程．12．经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．立体几何高考题【2014高考四川第18题】三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示.设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥. （1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值.【2014高考浙江理第20题】如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面======∠=∠AC BE DE CD AB BED CDE BCDE ,1,2,90,02.（1）证明：⊥DE 平面ACD ;（2）求二面角E AD B --的大小4681012141618ED BA【2014高考辽宁理第19题】如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥.（Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。

两个点确定一条直线的方程公式1两点式直线方程的相关公式1、点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线方程是y-y1=k(x-x1)。

2、a 当直线的斜率为0°时直线的方程是y=y1，b当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，直线方程是x=x1。

3、两点式：已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线方程是(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，a 当x1=x2时，直线方程是x=x1，b 当y1=y2时，直线方程是y=y1。

4、斜截式：已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，直线方程为y=kx+b。

2直线的方向向量是什么方向向量是一个数学概念，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。

直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个。

1.直线上的向量以及与之共线的向量叫做直线的方向向量。

2.所以只要给定直线，便可构造两个方向向量(以原点为起点)。

即已知直线ax+by+c=零，则直线l的方向向量为d=(-b,a)或d=(b,-a)。

3.垂直的关系，即方向向量与系数向量作欧氏内积等于零。

系数向量就是直线的法向量，不仅仅是直线，乃至n维空间的超平面的法向量也是系数向量。

3直线有端点吗直线没有端点。

直线由无数个点构成。

直线是面的组成成分，并继而组成体。

没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。

直线有无数条对称轴，其中一条是它本身，还有所有与它垂直的直线(有无数条)对称轴。

在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。

在球面上，过两点可以做无数条类似直线。