逆变换与逆矩阵

inv求逆矩阵的原理inv求逆矩阵的原理介绍在线性代数中，矩阵的逆是一个重要的概念。

一个可逆矩阵，也就是非奇异矩阵，才有逆矩阵存在。

逆矩阵的求解是线性代数中一个基本且常用的操作之一。

在本文中，我们将逐步介绍inv求逆矩阵的原理。

矩阵的逆什么是矩阵的逆？一个n阶方阵A的逆矩阵，记作A^-1，满足下面的等式： A * A^{-1} = A^{-1} * A = I，其中I为n阶单位矩阵。

可逆矩阵对于一个n阶方阵A，如果存在一个矩阵B，使得A * B = B * A = I，那么A就是可逆矩阵，且B是A的逆矩阵。

若不存在这样的矩阵B，那么A就是不可逆矩阵，也称为奇异矩阵。

inv求逆矩阵的原理在线性代数中，可以使用不同的方法来求解矩阵的逆。

其中一个常用的方法是使用inv函数来求逆矩阵。

inv函数inv函数是大多数线性代数计算工具库中的一个函数，用于求解矩阵的逆矩阵。

它的输入是一个矩阵A，输出是A的逆矩阵A^-1。

Gauss-Jordan消元法inv函数通常使用Gauss-Jordan消元法来求解矩阵的逆。

该方法通过一系列行变换和列变换的操作，将原始的矩阵A转化为单位矩阵I。

这种方法的基本思想是，在对矩阵A进行行变换和列变换的同时，对单位矩阵I也进行相同的行变换和列变换，最终得到的单位矩阵I就是矩阵A的逆矩阵A^-1。

Gauss-Jordan消元法的步骤1.创建一个n阶增广矩阵[A I]，其中A为待求逆的矩阵，I为n阶单位矩阵。

2.通过一系列行变换和列变换，将矩阵A转化为单位矩阵I，同时得到A的逆矩阵。

3.如果无法将矩阵A转化为单位矩阵I，则说明矩阵A不可逆。

行变换和列变换行变换和列变换是Gauss-Jordan消元法的关键。

常见的行变换包括互换两行的位置、将某行乘以一个常数、将某行的倍数加到另外一行上。

列变换与行变换类似，只是将操作应用于矩阵的列而不是行。

总结inv求逆矩阵的原理是通过Gauss-Jordan消元法来求解矩阵的逆。

高中数学矩阵及逆矩阵试题一．选择题（共13小题）1．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．2．定义＝a1a4﹣a2a3，若f（x）＝，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y＝2sin（x﹣）B．y＝2sin（x+）C．y＝2cos x D．y＝2sin x3．给出一个算法＝x1y2﹣x2y1，如果，那么实数a的值等于（）A．0B．1C．2D．34．设行列式＝n，则行列式等于（）A．m+n B．﹣（m+n）C．n﹣m D．m﹣n5．设＝，n∈N*，则n的最小值为（）A．3B．6C．9D．126．函数的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．7．有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC 8．定义运算＝ad﹣bc，则函数图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．9．已知矩阵A＝，C＝，若AC＝BC，则矩阵B＝（）A．B．C．D．，其中a，c为任意实数10．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，则矩阵A的特征值为（）A．﹣1B．4C．﹣1，4D．﹣1，3 11．矩阵的逆矩阵是（）A．B．C．D．12．矩阵A＝的逆矩阵为（）A．B．C．D．13．设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|＝（）A．|A|B．C．|A|*D．|A|n﹣1二．填空题（共22小题）14．若＝0，则x＝．15．若θ∈R，则方程＝0的解为．16．增广矩阵（）的二元一次方程组的解（x，y）＝．17．已知矩阵A＝，矩阵B＝，计算：AB＝．18．N＝，则N2＝．19．若行列式＝1，则x＝．20．二阶行列式的运算结果为．21．若复数z满足（i是虚数单位），则||＝．22．已知矩阵A＝，B＝，满足AX＝B的二阶矩阵X＝．23．二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与（0，﹣2）．（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣y＝4，求l的方程．24．设矩阵A＝，B＝，若BA＝，则x＝．25．若A＝，且AB＝，则B＝．26．已知矩阵A＝，向量＝．求向量，使得A2＝．27．矩阵A＝的逆矩阵为．28．已知矩阵A＝，则矩阵A的逆矩阵为．29．矩阵的逆矩阵是．30．已知A＝，B＝，则（AB）﹣1＝．31．已知矩阵A＝，B＝，则矩阵A﹣1B＝．32．已知矩阵﹣1＝，则a+b＝．33．已知矩阵M＝，N＝，且（MN）﹣1＝，则ad+bc＝．34．设矩阵的逆矩阵为，a+b+c+d＝．35．已知矩阵A＝，则A的逆矩阵是．三．解答题（共12小题）36．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．37．已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B﹣1＝，求矩阵AB的逆矩阵．38．设点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y）．（1）写出矩阵M，并求出其逆矩阵M﹣1（2）若曲线C在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'：y2＝4x，求曲线C的方程．39．已知矩阵，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到的点P1（1，4）（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵．40．已知m∈R，矩阵A＝的一个特征值为﹣2．（1）求实数m；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．41．已知矩阵A＝，，．（1）求a，b的值；（2）求A的逆矩阵A﹣1．42．已知矩阵A＝，B＝，求A﹣1B43．已知x，y∈R，若点M（1，1）在矩阵A＝对应变换作用下得到点N（3，5），求矩阵A的逆矩阵A﹣1．44．已知矩阵M＝．（1）求逆矩阵M﹣1；（2）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．45．已知矩阵A＝的逆矩阵为A﹣1，求A﹣1的特征值．46．已知矩阵A＝，二阶矩阵B满足AB＝．（1）求矩阵B；（2）求矩阵B的特征值．47．设矩阵M＝，N＝，若MN＝，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D＝．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2．定义＝a1a4﹣a2a3，若f（x）＝，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y＝2sin（x﹣）B．y＝2sin（x+）C．y＝2cos x D．y＝2sin x【分析】利用行列式定义将函数f（x）化成y＝2sin（x+），f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为y＝2sin x，即可得出结论．【解答】解：f（x）＝＝sin（π﹣x）﹣cos（π+x）＝sin x+cos x ＝2sin（x+），∴f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为y＝2sin x，故选：D．【点评】本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识；解答的关键是利用行列式定义将函数f（x）化成一个角的三角函数的形式，以便于利用三角函数的性质．3．给出一个算法＝x1y2﹣x2y1，如果，那么实数a的值等于（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：3a﹣2＝4，得a＝2．故选：C．【点评】此题考查了二阶行列式，弄清题中的新定义是解本题的关键．4．设行列式＝n，则行列式等于（）A．m+n B．﹣（m+n）C．n﹣m D．m﹣n【分析】利用二阶行列式展开法则进行求解．【解答】解：∵＝n，∴m＝a11a22﹣a21a12，n＝a13a21﹣a23a11，∴＝a11（a22+a23）﹣a21（a12+a13）＝a11a22﹣a21a12﹣（a21a13﹣a23a11）＝m﹣n．故选：D．【点评】本题考查二阶行列式的计算，是基础题，解题时要注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．设＝，n∈N*，则n的最小值为（）A．3B．6C．9D．12【分析】由题意，＝＝，可得cos＝1，sin＝0，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，＝＝，∴cos＝1，sin＝0，∴n的最小值为12．故选：D．【点评】本题考查二阶矩阵，考查特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．6．函数的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．【分析】先利用二阶行列式的定义，化简函数，再求函数的最小正周期．【解答】解：由题意，＝sin2x+2，从而最小正周期π，故选：B．【点评】本题主要考查二阶行列式的定义，考查三角函数最小正周期，属于基础题．7．有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC 【分析】利用矩阵的乘法，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB＝D3×3，ABC是DC＝E3×3，故选：C．【点评】本题考查矩阵与向量乘法的意义，比较基础．8．定义运算＝ad﹣bc，则函数图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．【分析】根据题中的定义可把函数的解析式化简，再利用二倍角的三角函数化简后，根据余弦函数的对称轴求出x的值，即可得到正确答案．【解答】解：由题中的定义可知，函数＝2cos2x﹣1＝cos2x，函数的对称轴为2x＝kπ，解得x＝（k∈Z）所以函数的一条对称轴为x＝故选：A．【点评】此题考查学生会进行二阶矩阵的运算，掌握余弦函数图象的对称轴，是一道综合题．9．已知矩阵A＝，C＝，若AC＝BC，则矩阵B＝（）A．B．C．D．，其中a，c为任意实数【分析】假设二阶矩阵，利用矩阵的乘法，结合AC＝BC，可求．【解答】解：设矩阵B＝，则AC＝∵AC＝BC，∴b＝1，d＝0∴B＝故选：D．【点评】本题以二阶矩阵为载体，考查矩阵的乘法与矩阵的相等，关键是利用矩阵的乘法公式．10．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，则矩阵A的特征值为（）A．﹣1B．4C．﹣1，4D．﹣1，3【分析】利用AA﹣1＝E，建立方程组，即可求矩阵A；先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）＝0解方程可得特征值．【解答】解：设A＝，则由AA﹣1＝E得•＝，即有解得，即A＝，则矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6＝λ2﹣3λ﹣4，令f（λ）＝0，则λ＝﹣1或4．故矩阵A的特征值为﹣1，4．故选：C．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵特征值的计算等基础知识，属于基础题．11．矩阵的逆矩阵是（）A．B．C．D．【分析】本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵．【解答】解：设矩阵的逆矩阵为，则，∴，∴，∴矩阵的逆矩阵为．故选：A．【点评】本题考查的是逆矩阵的定义，还可用逆矩阵的公式求解，本题属于基础题．12．矩阵A＝的逆矩阵为（）A．B．C．D．【分析】根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad﹣bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．【解答】解：∵矩阵A＝∴A﹣1＝＝故选：A．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求你矩阵的公式，代入数据时，不要出错．13．设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|＝（）A．|A|B．C．|A|*D．|A|n﹣1【分析】由A为n阶可逆矩阵，由伴随矩阵的定义，AA*＝|A|E，A*也可逆，|AA*|＝||A|E|＝|A|n，即可求得|A*|＝|A|n﹣1．【解答】解：A为n阶可逆矩阵，∴|A|≠0AA*＝|A|E，A*也可逆，又|AA*|＝||A|E|＝|A|n，|A||A*|＝|A|n，∴|A*|＝|A|n﹣1，故选：D．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵及伴随矩阵的性质，考查矩阵性质的证明，属于基础题．二．填空题（共22小题）14．若＝0，则x＝1．【分析】根据行列式的展开，则4x﹣2×2x＝0，即可求得x的值．【解答】解：＝4x﹣2×2x＝0，设2x＝t，t＞0，则t2﹣2t＝0，解得：t＝2，或t＝0（舍去）则2x＝t＝2，则x＝1，故答案为：1．【点评】本题考查行列式的展开，考查计算能力，属于基础题．15．若θ∈R，则方程＝0的解为或，k∈Z．【分析】由已知条件得sin2θ＝，由此能求出结果．【解答】解：∵θ∈R，方程＝2sin2θ﹣1＝0，∴sin2θ＝，∴2θ＝2k或2θ＝2kπ+，k∈Z，∴或，k∈Z．故答案为：或，k∈Z．【点评】本题考查方程的解法，是基础题，解题时要注意二阶矩阵、三角函数知识点的合理运用．16．增广矩阵（）的二元一次方程组的解（x，y）＝（2，1）．【分析】利用增广矩阵得到相应的行列式的值，再根据公式法求出方程组的解，也可以恢复成两个二元一次方程组成的方程组的形式，消元解方程组得到本题结论．【解答】解：∵二元一次方程组的增广矩阵，∴D＝＝1×（﹣1）﹣2×2＝﹣5，D x＝＝4×（﹣1）﹣2×3＝﹣10，D y＝＝1×3﹣2×4＝﹣5，∴＝﹣，＝＝1，故答案为：（x，y）＝（2，1）．【点评】本题考查了用行列式法解二元一次方程组，本题难度不大，属于基础题．17．已知矩阵A＝，矩阵B＝，计算：AB＝．【分析】利用矩阵的乘法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵已知矩阵A＝，矩阵B＝，∴AB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了矩阵的乘法的意义，是一道考查基本运算的基础题．18．N＝，则N2＝．【分析】根据根据矩阵乘法法进行二阶矩阵乘法运算即可．【解答】解：∵N＝，则N2＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二阶矩阵的求解，同时考查计算能力，属于基础题．19．若行列式＝1，则x＝1．【分析】利用，由行列式＝1，能求出x．【解答】解：∵＝x2﹣2（x﹣1）＝1，∴x＝1．故答案为：1．【点评】本题考查二阶行列式的计算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．20．二阶行列式的运算结果为﹣2．【分析】按照运算法则＝ad﹣bc，将二阶行列式转化为实数的乘法与减法运算．【解答】解：根据题意，得＝3×6﹣4×5＝18﹣20＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】解答本题的关键就是弄清楚题中给出的运算法则，将二阶矩阵计算问题转化为一般运算．21．若复数z满足（i是虚数单位），则||＝．【分析】先利用行列式进行化简运算，然后解方程，求出复数z，最后求其共轭复数的模即可．【解答】解：∵∴zi+2z＝3﹣i，即z（2+i）＝3﹣i，所以z＝＝＝＝1﹣i，∴||＝|1+i|＝；故答案为：．【点评】用好行列式的运算法则，方程变形后，复数化简，计算准确，本题是基础题．22．已知矩阵A＝，B＝，满足AX＝B的二阶矩阵X＝．【分析】由X＝A﹣1B＝，能求出二阶矩阵X．【解答】解：∵A＝，∴A﹣1＝，∵AX＝B，∴X＝A﹣1B＝＝．故答案为：．【点评】本题考查二阶矩阵X的求法，是基础题，解题时要注意矩阵方程的性质的合理运用．23．二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与（0，﹣2）．（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣y＝4，求l的方程．【分析】（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；（2）在所求的直线上任设一点写成列向量，求出该点在矩阵M的作用下的点的坐标，代入已知曲线即可．【解答】解：（1）设M＝，则有＝，＝，所以且解得，所以M＝．（2）任取直线l上一点P（x，y）经矩阵M变换后为点P’（x’，y’）．因为，所以又m：x'﹣y'＝4，所以直线l的方程（x+2y）﹣（3x+4y）＝4，即x+y+2＝0．【点评】本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题．24．设矩阵A＝，B＝，若BA＝，则x＝2．【分析】由题意，根据矩阵运算求解．【解答】解：∵A＝，B＝，BA＝，∴4×2﹣2x＝4；解得，x＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了矩阵的运算，属于基础题．25．若A＝，且AB＝，则B＝．【分析】求出A的逆矩阵，利用矩阵与向量乘法，即可得出结论．【解答】解：∵A＝，且AB＝，∴B═﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查矩阵与向量乘法，考查学生的技术能力，比较基础．26．已知矩阵A＝，向量＝．求向量，使得A2＝．【分析】先计算A2，再利用A2＝，求向量，．【解答】解：∵A＝，∴A2＝＝，设＝，则A2＝＝，∴，∴，∴＝．【点评】本题考查二阶矩阵与平面向量的乘法，考查学生的计算能力，比较基础．27．矩阵A＝的逆矩阵为．【分析】利用[A|I）→（A﹣1|I），能求出矩阵A的逆矩阵．【解答】解：∵矩阵A＝，∴（A|I）＝→→→．∴矩阵A＝的逆矩阵A﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的变换的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．28．已知矩阵A＝，则矩阵A的逆矩阵为．【分析】利用[A|I）→（A﹣1|I），能求出矩阵A的逆矩阵．【解答】解：∵矩阵A＝，∴[A|I）＝→→，∴A﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的变换的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．29．矩阵的逆矩阵是．【分析】先设矩阵的逆矩阵是：，再根据MM﹣1＝E，求得M的逆矩阵即可．【解答】解：设矩阵的逆矩阵是：，则：＝，∴﹣c＝1，﹣d＝0，a＝0，b＝1，∴＝，∴矩阵的逆矩阵是：故答案为：．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．30．已知A＝，B＝，则（AB）﹣1＝．【分析】先求出AB＝，由此利用矩阵的变换能求出AB的逆矩阵（AB）﹣1．【解答】解：∵矩阵，∴AB＝＝，∵→→∴AB的逆矩阵（AB）﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查矩阵乘积的逆矩阵的求法，考查矩阵的乘积、逆矩阵等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．31．已知矩阵A＝，B＝，则矩阵A﹣1B＝．【分析】先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，再计算矩阵A﹣1B．【解答】解：矩阵的行列式为＝﹣2，∴矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，∴A﹣1B＝＝．故答案为：．【点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，比较基础．32．已知矩阵﹣1＝，则a+b＝0．【分析】求出＝a﹣4，可得矩阵M的逆矩阵，即可得出结论．【解答】解：由题意，＝a﹣4，∴﹣1＝，∵矩阵﹣1＝，∴a＝3，b＝﹣3，∴a+b＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查矩阵M的逆矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．33．已知矩阵M＝，N＝，且（MN）﹣1＝，则ad+bc＝．【分析】根据矩阵M和N，计算出MN，再根据（MN）﹣1＝，列出关于a，b，c，d的方程组，分别解出a，b，c，d，即可求得ad+bc的值．【解答】解：∵M＝，N＝∴MN＝＝∴（MN）﹣1＝＝则∴ad+bc＝×+（﹣）×（﹣）＝．故答案为：．【点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵的变换以及逆矩阵，考查了计算能力，难度不大．属于基础题．34．设矩阵的逆矩阵为，a+b+c+d＝0．【分析】利用矩阵与逆矩阵的积为单位矩阵，建立方程组，求出a，b，c，d的值，即可求得结论．【解答】解：∵矩阵矩阵的逆矩阵为，∴＝∴，∴，∴a+b+c+d＝＝0故答案为：0【点评】本题考查矩阵与逆矩阵，考查学生的计算能力，属于基础题．35．已知矩阵A＝，则A的逆矩阵是．【分析】由矩阵A，求出|A|＝﹣，A*＝，再由A﹣1＝，能求出A 的逆矩阵．【解答】解：∵矩阵A＝，∴|A|＝＝﹣，∵A*＝，∴A的逆矩阵A﹣1＝＝．故答案为：．【点评】本题考查逆矩阵的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意行列式、伴随矩阵、逆矩阵的性质的合理运用．三．解答题（共12小题）36．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】写出矩阵M的特征多项式f（λ），根据题意知f（4）＝0求出t的值，写出矩阵M，再求它的逆矩阵．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．【点评】本题考查了矩阵的特征多项式以及逆矩阵的计算问题，是基础题．37．已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B﹣1＝，求矩阵AB的逆矩阵．【分析】设B＝，由BB﹣1＝E，结合矩阵的乘法，解方程可得a，b，c，d，求得AB，设矩阵AB的逆矩阵为，由逆矩阵的定义和矩阵的乘法可得x，y，z，w的方程，解方程即可得到所求矩阵．【解答】解：设B＝，由BB﹣1＝E，即＝，可得a＝1，﹣a+2b＝0，c＝0，﹣c+2d＝1，解得a＝1，b＝，c＝0，d＝，则AB＝＝，设矩阵AB的逆矩阵为，可得＝，即有x+z＝1，﹣z＝0，y+w＝0，﹣w＝1，解得x＝1，z＝0，y＝，w＝﹣1，则矩阵AB的逆矩阵为．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，注意运用方程思想和逆矩阵的定义，考查运算能力，属于基础题．38．设点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y）．（1）写出矩阵M，并求出其逆矩阵M﹣1（2）若曲线C在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'：y2＝4x，求曲线C的方程．【分析】本题第（1）题可根据两个坐标的特点得出矩阵M，然后根据矩阵M是主对角阵得到它的逆矩阵M﹣1；第（2）题可在曲线C上任取一点（x，y），在矩阵M 对应变换作用下得到点（x0，y0），然后根据已知的曲线C′的方程可得到曲线C的方程．【解答】解：（1）由题意，可知：∵点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y），∴矩阵M＝．又∵det（A）＝9≠0，∴M存在逆矩阵．∴根据逆矩阵公式，可得：M﹣1＝．（2）在曲线C上任取一点（x，y），在矩阵M对应变换作用下得到点（x0，y0）．由（1），可知：x0＝3x，y0＝3y在曲线C′上，又∵，∴（3y）2＝4×3x．∴曲线C的方程为：．【点评】本题第（1）题主要考查根据根据两个坐标的特点得出变换对应的矩阵以及逆矩阵的求法；第（2）题主要考查已知变换对应的矩阵及其中一条曲线方程的情况下求另一条曲线方程．本题属中档题．39．已知矩阵，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到的点P1（1，4）（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵．【分析】本题第（1）题可根据两个对应点的坐标及矩阵A写出相应的算式，然后可转化成线性方程组求出实数a，b的值；第（2）题可通过先求伴随矩阵的方法求出矩阵A的逆矩阵．【解答】解：（1）由题意，可知：，即：＝．∴，解得：．（2）由（1），可知：A＝．则矩阵A对应的行列式，又∵A*＝．根据公式A﹣1＝，可得：．【点评】本题第（1）题主要考查根据两个对应点的坐标及矩阵写出相应的算式再求出参数的值；第（2）题主要考查求一个矩阵的逆矩阵．本题属基础题．40．已知m∈R，矩阵A＝的一个特征值为﹣2．（1）求实数m；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【分析】本题第（1）题可根据特征值﹣2写出相应的特征多项式值为0，得出相应的实数m的值；第（2）题可用伴随矩阵的方法求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：（1）由题意，可知：∵﹣2E﹣A＝﹣＝．∴|﹣2E﹣A|＝＝2﹣m＝0∴m＝2．（2）由（1），可知：A＝．∵|A|＝＝﹣2≠0，∴矩阵A的逆矩阵A﹣1存在．又∵A*＝．∴A﹣1＝＝﹣＝．【点评】本题第（1）题主要考查特征值和特征多项式的相关概念；第（2）题主要考查用伴随矩阵的方法求逆矩阵．本题属中档题．41．已知矩阵A＝，，．（1）求a，b的值；（2）求A的逆矩阵A﹣1．【分析】本题第（1）题可先用矩阵乘法算出A•B，然后根据矩阵相等的概念与AB 进行比较即可得到a，b的值；第（2）题可先设A﹣1＝．然后根据逆矩阵公式AA﹣1＝E计算出a、b、c、d的值，即可得到A﹣1．【解答】解：（1）由题意，可知：AB＝A•B＝•＝＝．∴，解得：．（2）由（1），可知：A＝．由题意，可设A﹣1＝．则由逆矩阵公式AA﹣1＝E，可得：•＝，即：＝．∴，解得：．∴A﹣1＝．【点评】本题第（1）题主要考查矩阵乘法的计算及矩阵相等的概念；第（2）题主要考查根据逆矩阵公式求一个矩阵的逆矩阵．本题属基础题．42．已知矩阵A＝，B＝，求A﹣1B【分析】根据矩阵乘法法则计算．【解答】解：设A﹣1＝，∵AA﹣1＝，∴，即，∴A﹣1＝，∴A﹣1B＝．【点评】本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．43．已知x，y∈R，若点M（1，1）在矩阵A＝对应变换作用下得到点N（3，5），求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【分析】由，求出，法1：设，则，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1；法2：由，能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：因为，即，即，解得，所以，……（5分）法1：设，则，即，……（7分）解得，所以．……（10分）法2：因为，且，所以．……（10分）注：法2中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣2分．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的乘法法则、矩阵的行列式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．44．已知矩阵M＝．（1）求逆矩阵M﹣1；（2）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．【分析】本题（1）可以利用逆矩阵公式求出M的逆矩阵；（2）利用特征多项式对应方程的根，求出矩阵的特征值，再结合对应方程，得到特征值对应的特征向量．【解答】解：（1）|M|＝4×（﹣1）﹣2×（﹣3）＝﹣4+6＝2，．（2）矩阵M的特征多项式为，令f（λ）＝0，解得λ1＝1，λ2＝2，当λ1＝1时，得，当λ2＝2时，得．【点评】本题考查的是逆矩阵、矩阵的特征值、特征向量，本题思维量不大，属于基础题．45．已知矩阵A＝的逆矩阵为A﹣1，求A﹣1的特征值．【分析】先求A﹣1，再求A﹣1的特征值．【解答】解：设A﹣1＝则即＝故，解得，所以A﹣1＝．因为f（λ）＝＝λ2﹣8λ+1，令f（λ）＝0，解得，．【点评】本题考查了矩阵的逆变换和逆矩阵，属于基础题．46．已知矩阵A＝，二阶矩阵B满足AB＝．（1）求矩阵B；（2）求矩阵B的特征值．【分析】（1）由矩阵的逆矩阵的公式，计算可得所求B；（2）求得矩阵B的特征多项式，可令其为0，解方程可得特征值．【解答】解：（1）由矩阵的逆矩阵，得B＝A﹣1＝．（2）矩阵B的特征多项式f（λ）＝＝（λ+1）（λ﹣1），令f（λ）＝0，解得λ＝1或﹣1，所以矩阵B的特征值为1或﹣1．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，以及矩阵的特征值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．47．设矩阵M＝，N＝，若MN＝，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】先求出MN＝，由MN＝，列出方程组求出M＝，由此能求出矩阵M的逆矩阵M﹣1．【解答】解：∵M＝，N＝，∴MN＝，∵MN＝，∴，解得x＝4，y＝3，∴M＝，∵（A|I）＝→→．∴矩阵M的逆矩阵M﹣1＝．【点评】本题考查逆矩阵的求法，涉及到矩阵与矩阵相乘、矩阵变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．。

矩阵的逆矩阵公式矩阵是线性代数中最基本的概念之一，逆矩阵则是矩阵理论中的一个非常重要的概念。

一个矩阵的逆矩阵是唯一的，其存在判定方法和求解方法也是线性代数中的重要内容之一。

首先，我们来介绍矩阵的逆矩阵的定义以及存在条件。

设A是一个n×n的方阵（即行数和列数相同的矩阵），若存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。

如果矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称矩阵A是可逆的（或非奇异的），否则称其为不可逆的（或奇异的）。

那么，如何判定一个矩阵是否存在逆矩阵呢？一个n×n的矩阵A 可逆的充分必要条件是其行列式不等于0（即det(A) ≠ 0）。

接下来，我将介绍一种常见的求解矩阵逆矩阵的方法——高斯-约旦消元法。

这种方法也叫做矩阵的初等行变换法。

具体方法如下：1. 将A矩阵和n阶单位矩阵In作为一个n×2n的增广矩阵。

2. 对增广矩阵进行初等行变换，将矩阵A化为一个上三角矩阵。

3. 对上三角矩阵进行初等行变换，将其变为一个对角矩阵。

4. 对对角矩阵进行初等行变换，使其对角线上每个元素都为1。

5. 通过初等行变换，将单位矩阵In变为逆矩阵A^-1。

6. 最终得到逆矩阵A^-1。

通过以上步骤，可以快速地求出一个矩阵的逆矩阵。

需要注意的是，对于某些矩阵来说，其逆矩阵可能不存在，此时使用高斯-约旦消元法求解逆矩阵则会发现矩阵变成了不合法的矩阵。

总的来说，矩阵逆矩阵的概念及判定方法是线性代数中的重要内容之一。

在实际应用中，矩阵逆矩阵是非常重要的，能够帮助我们求解一些线性方程组，解决科学与工程中的很多问题。

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析 由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解 容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得： （（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111， 其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明 因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明 因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。

逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。

如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。

换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。

1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。

只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。

一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。

1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。

其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。

这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。

如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。

二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。

这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。

2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。

换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。

2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。

2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。

如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。

2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。

伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。

与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。

范德蒙矩阵的逆矩阵
范德蒙矩阵是一种常用的矩阵，用来表示某一个事物通过多个转换及变换的情况。

范德蒙矩阵的逆矩阵指的是范德蒙矩阵的逆变换，它是一个矩阵，用来介绍范德蒙矩阵的逆转换过程，以及它所产生的变换结果。

范德蒙矩阵的逆矩阵的计算需要先确定原始矩阵的行列式的值，行列式的值不能为零，否则就无法计算范德蒙矩阵的逆矩阵了。

如果原始矩阵的行列式为零，则表示原始矩阵不可逆。

范德蒙矩阵的逆矩阵可以采用两种方法计算：
第一种是采用逆矩阵运算公式来计算，逆矩阵的求法是：1.求原始矩阵的伴随矩阵；2.求原始矩阵的行列式值；3.将原始矩阵的伴随矩阵元素除以行列式的值，得到逆矩阵。

第二种是采用方阵消元法，其计算步骤是：1.将原始矩阵与一个单位阵进行消元，使原始矩阵变为单位阵；2.将消元后得到的结果与单位阵进行交换，得到范德蒙矩阵的逆矩阵。

范德蒙矩阵的逆矩阵可以用来做一些简单的变换，如对空间中两个物体的位置的量度、对某一空间中的两点之间的距离，以及计算多边形的质心等。

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第十二章系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念 A二阶矩阵与平面向量 B常见的平面变换 A变换的复合与矩阵的乘法 B二阶逆矩阵 B二阶矩阵的特征值与特征向量 B二阶矩阵的简单应用 B坐标系的有关概念 A简单图形的极坐标方程 B极坐标方程与直角坐标方程的互化 B参数方程 B直线、圆及椭圆的参数方程 B参数方程与普通方程的互化 B参数方程的简单应用 B不等式的基本性质 B含有绝对值的不等式的求解 B不等式的证明(比较法、综合法、分析法) B算术—几何平均不等式与柯西不等式 A利用不等式求最大(小)值 B运用数学归纳法证明不等式 B§12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100－1； (4)旋转变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1000，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 010； (6)切变变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 01(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .( √ )(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－1 61.( √ )(3)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则(AB )－1＝B －1A －1.( × )(4)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值为8和－3.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P52例3]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345，则A 的逆矩阵A －1＝________. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1解析 因为det(A )＝2×5－3×4＝－2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 3242－22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.3．[P11习题T7]已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 21，其中a ∈R .若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，实数a 的值为________． 答案 3 解析由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4，解得a ＝3.4．[P39例1(1)]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，求AB . 解AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 题组三 易错自纠5．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 01，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－110，则AB 的逆矩阵为________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0， ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 110. 6．设椭圆的方程为x 2＋y 2a ＝1，若它在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a ＝________. 答案 4解析 设P (x ，y )为椭圆上任意一点，变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 12y，所以x ＝x ′，y ＝2y ′，代入椭圆的方程，得x ′2＋4y ′2a＝1.因为它表示圆，所以a ＝4.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 题型一 矩阵与变换1．已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x－y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.2．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求直线l 的方程．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234. (2)设直线l 上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ， 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解． 题型二 求逆矩阵例1已知矩阵det(A )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1； (2)求矩阵C ，使得AC ＝B .解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1.(2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2－2 －3.思维升华求逆矩阵的方法 (1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. 跟踪训练1已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤114012.∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20－2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540－1.题型三 特征值与特征向量例2已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 2. (1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－1323. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量的步骤 (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应特征的向量．跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－4 4. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 32 4 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6 ＝λ2－7λ＋6.令f (λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1562，求A 的特征值． 解 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A 的特征值为7和－4.2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 03，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 方法一 设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以a ＝－1,2a ＋6b ＝－2，c ＝0,2c ＋6d ＝3. 解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012. 根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 方法二在A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 设A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6. 解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2.求向量a ，使得A 2a ＝b . 解 A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 30 1， 设a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，由A2a ＝b ，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4301 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.4．(2018·宿迁期中)已知变换T 把直角坐标平面上的点A (3，－4)，B (0,5)分别变换成点A ′(2，－1)，B ′(－1,2)，求变换T 对应的二阶矩阵M . 解设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1， 且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧5b ＝－1，5d ＝2.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 5．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 6．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 20. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.7．求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′，所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1，所以围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.8．(2018·江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy 中，A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值． 解由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 0 k 0 －2 －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2，即k ＝±2.9．(2018·高邮考试)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 解(1)∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3，∴a ＝－4. (2)∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－41，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3， 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3， 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2.10．设a >0，b >0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a00b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 (1)设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by ，因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，又因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 003，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 33. 11．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解(1)因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2， 所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤021 0.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 21 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.12．(2018·江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两个方程组，解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的特征值λ＝2对应的一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤624 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝x ′，4x ＋4y ＝y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程化简，得x ′－y ′＋2＝0， 即x －y ＋2＝0.。

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

逆矩阵知识点总结1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个给定的n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=In，其中In是n阶单位矩阵，则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。

如果矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A是可逆的或非奇异的；如果矩阵A不存在逆矩阵，则称矩阵A是奇异的或不可逆的。

2. 逆矩阵的性质（1）若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的。

证明：设B1和B2均为矩阵A的逆矩阵，则AB1=BA=B2。

因此，AB1=AB2，由矩阵乘法的消去律可知B1=B2。

（2）若矩阵A和矩阵B均为可逆矩阵，则矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。

证明：首先，计算(AB)(B^-1A^-1)和(B^-1A^-1)(AB)，得到(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AIA^-1=AA^-1=In和(B^-1A^-1)(AB)=B^-1(AA^-1)B=B^-1IB=B^-1B=In。

因此，矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。

（3）若矩阵A可逆，则矩阵A^-1也是可逆矩阵，并且(A^-1)^-1=A。

证明：由矩阵A的定义可知，存在矩阵A^-1使得AA^-1=In。

因此，(A^-1)^-1A^-1A=(A^-1)^-1=InA^-1=A^-1。

由此可知，矩阵A^-1的逆矩阵是矩阵A本身。

（4）对角矩阵D的逆矩阵是其对角线上每个非零元素的倒数构成的对角矩阵。

证明：设D是一个n阶对角矩阵，其对角线上的元素为d1, d2, ..., dn，且di≠0(i=1,2,...,n)。

那么D的逆矩阵为D^-1=diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)。

因为DD^-1=diag(d1, d2, ...,dn)×diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)=diag(d1×1/d1, d2×1/d2, ..., dn×1/dn)=diag(1, 1, ..., 1)=In。