推荐高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

【关键字】思路2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A)＝＝ad－bc.2．方程组写成矩阵形式为AZ＝B，其中A＝，称为系数矩阵，Z＝，B＝，当A可逆时，方程组有唯一解，当A不可逆时，方程组无解或有无数组解．3．对于方程组，令D＝，Dx＝，Dy＝，当D≠0时，方程组有唯一组解，为x＝，y＝.4．对于方程组，令D＝，当D＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A＝可逆的充要条件是det(A)≠0且A－1＝.[例1][思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析]＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5)＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴的最大值为3.(1)矩阵A＝与它的行列式det(A)＝的意义是不同的．矩阵A不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A)是由矩阵A算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值：(1)；(2)解：(1)＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)＝cos2 θ－(－sin2 θ)＝1.2．若＝，求x＋y的值．解：x2＋y2＝－2xy⇒x＋y＝0.[例2][思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．[精解详析]AB＝＝.因det(AB)＝＝－1＋9＝8≠0，故AB可逆，∴(AB)－1＝.已知矩阵A＝，利用行列式求矩阵A的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A)＝＝ad－bc，当det(A)≠0时，逆矩阵存在．(2)利用A－1＝，求出逆矩阵A－1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)；(2)；(3).解：(1)二阶行列式＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为.(2)二阶行列式＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为.(3)二阶行列式＝a，当a＝0时，矩阵不可逆，当a≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为.4．若矩阵A＝存在逆矩阵，求x的取值范围．解：据题意det(A)≠0，即≠0.∴3x2－54≠0.∴x≠±3.故x的取值范围是{x|x∈R且x≠±3}.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x＝，y＝求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D＝＝12－2＝10，Dx＝＝4＋6＝10，Dy＝＝9＋1＝10，故方程组的解为法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式＝.令M＝，则其行列式det(M)＝＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M存在逆矩阵M－1，且M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， 这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡ab cd (4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡ab cd ⎦⎥⎤e f .5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝－2≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.含参的齐次线性方程组解的讨论[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解．[精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m x －2y ＝0，x －4＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －4＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －4＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解． ∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 2－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4.解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100. 2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0，即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 02 1＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 1，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解．5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 264＝20－12＝8，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 53 6＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝Dx D＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56. 故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2341－⎣⎢⎡⎦⎥⎤56 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解． 解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤234 6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？ 解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－λx ＋2y ＝0，x ＋3－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26 并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1进行加密． (1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40，于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40.(2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象， 可得A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤315， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2118， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤195. 于是密码恢复成编码15,6,3,15,21,18,19,5，再根据已知的对应关系，即得到原来的信息of course.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

2.4.1 逆矩阵的概念教学目标1.通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件；通过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在。

2.会证明逆矩阵的惟一性和111)(---=A B AB 等简单性质，并了解其在变换中的意义。

3.会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵。

4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。

考纲要求:二阶逆矩阵（B 级）教学过程：一、预习：阅读教材，解答下列问题：问题1：已知二阶矩阵对应的变换把点(x , y)变换为 (x′, y′) , 是否存在一个变换能把点(x′, y′)变换为(x , y)呢?问题2、对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先T A 后T B ）的结果与恒等变换的结果相同？（1）以x 为反射轴的反射变换；（2）绕原点逆时针旋转60º作旋转变换；（3）横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；（4）沿y 轴方向，向x 轴作投影变换；（5）纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足),2(),(y y x y x +→。

归纳逆变换的概念：所谓“逆变换”是指原变换的逆过程．设A 是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B ,使得E BA AB ==,则称A 可逆或称矩阵A 是可逆矩阵,并称B 是A 的逆矩阵.若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ,则逆矩阵是唯一的。

通常记A 的逆矩阵为1-A .二、例题讲解例1．用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.例2、求矩阵5173A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵（代数方法） 1010(1)(2)210010110(3)(4)1010A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求逆矩阵方法：①用待定系数法；②从几何变换的角度求；③111)(---=A B AB ； ④公式法: 当0=/-bc ad ,矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 是可逆矩阵，且它的逆矩阵为 =-1A .例3、已知,10211,2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A 求矩阵AB 的逆矩阵.思考：1.对于二阶矩阵C B A ,,,在什么条件下，可由AC AB =一定能推出C B =？2.A ＝2142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A -三、课堂练习1. 从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由： (1) A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-23212123; (2)B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001; (3)C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011; (4)D=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002 2.已知A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001, B=122122⎛- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵AB 的逆矩阵。

.4.2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc二、二阶行列式定义：det(A) ＝a b c d＝ad －bc 因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m b n d a b c d y ＝a m c n a b cd 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d ，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D y ＝D y D 例1 求下列行列式的值 ⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4-2×3=-2 ⑵21 43-=1×4-2×（-3）=10 ⑶21 - 40=-1×4-2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad-bc ） 例2 若x=θθsin con θθcon sin （θ∈R ） 试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。

解：∵x=θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4； 当x=1时f(x)取得最大值0 例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33⎥⎦⎤12-的逆矩阵 应用： 一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解 解：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0 ∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3 y ＝2（2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

§2.4.1逆矩阵的概念教学目标：知识与技能：1.理解逆变换和逆矩阵的概念, 能用几何变换的观点判断一个矩阵是否存在逆矩阵.2.掌握求矩阵的逆矩阵的方法.3.掌握AB可逆的条件及(AB) -1的求法, 理解矩阵乘法满足消去解的条件 .过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：逆变换和逆矩阵的概念教学难点：求矩阵的逆矩阵教学过程：一、问题情境:已知二阶矩阵对应的变换把点(x , y)变换为 (x′, y′) , 是否存在一个变换能把点(x′, y′)变换为(x , y)呢?二、建构数学：1.逆变换和逆矩阵的概念注: ①如果A可逆, 那么逆矩阵唯一.②二阶矩阵可逆的条件2.逆矩阵的求法:①定义法②几何变换法3.AB可逆的条件及(AB) -1的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.三、教学运用：例1、用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出其逆矩阵.(1)A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2)B=10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)C=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (4)D=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求下列矩阵的逆矩阵.(1)A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) B=12-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦例3、试从几何变换的角度求解AB 的逆矩阵.(1) A=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦ , B=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (2) A=10⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦ , B=11201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4、设可逆矩阵A=110⎡⎢⎣ 3b ⎤⎥⎦的逆矩阵A -1 =610⎡⎢-⎣3a -⎤⎥⎦, 求a , b .四、课堂小结：五、课堂练习：P 63 1. (1) (2) 2. (1)六、回顾反思：七、课外作业：1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 把它求出来.(1) A=122⎡⎢⎣12⎥⎥⎥⎦ (2) B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) C=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (4) D=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.求下列矩阵的逆矩阵(1) A=23-⎡⎢⎣ 41⎤⎥⎦ (2) B=32-⎡⎢⎣ 11⎤⎥-⎦(3) C=4723⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.试从几何变换的角度求矩阵AB 的逆矩阵.(1) A=12⎢⎢⎢⎣122⎤-⎥⎦ , B=11⎡⎢-⎣ 01⎤⎥⎦ (2) A=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦, B=122⎡⎢⎣12⎥⎥⎥⎦4.已知矩阵A=4002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求A -1 , B -1 , (AB)-15.已知二阶矩阵A , B , C 的逆矩阵分别为A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1 分别等于什么? 你能将你的结论作进一步的推广吗?。

2.4 逆变换与逆矩阵2．4.1逆矩阵的概念课标解读1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件．2．会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质．3．会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.1．逆变换二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′)．反过来，如果变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路〞，让它变回到原来的(x ，y )，我们称它为原变换的逆变换．2．逆矩阵对于二阶矩阵A ，B ，假设AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B .3．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，那么逆矩阵是惟一的．(2)假设二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，那么AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3)A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，假设矩阵A 存在逆矩阵，那么B ＝C .4．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .1．2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？ [提示] 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射．2．是否每个二阶矩阵都可逆？[提示] 不是，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000不可逆．3．假设二阶矩阵A ，B ，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB )－1?[提示] 根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得：(ACB )－1＝[]AC B －1＝B －1(AC )－1＝B －1C －1A －1.利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵从几何变换的观点判断以下矩阵是否存在逆矩阵，假设存在，请把它求出来；假设不存在，请说明理由．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1；(3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. [思路探究] 矩阵→对应的几何变换→判断是否存在逆变换→假设存在写出逆变换→逆矩阵[自主解答] (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向压缩为原来的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )．它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩阵记为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. (3)矩阵C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y ＝x 上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y ＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y ＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C 不存在逆矩阵．(4)矩阵D 对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为D －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0.用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)假设有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵．假设将本例中矩阵变为以下矩阵，情况如何？(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －1212 32；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0；(3)C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.[解] (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 30° －sin 30°sin 30° cos 30°，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 12－12 32. (2)矩阵B 表示的是将平面内所有点垂直投影到x 轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵．(3)矩阵C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y 的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y 的切变变换，故C －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.(4)矩阵D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向压缩为原来的12的伸压变换，故D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12.求矩阵A 的逆矩阵求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356的逆矩阵． [思路探究] 思路一：设出A －1，利用AA －1＝E ，构建方程组求解．思路二：利用公式A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc 求解．[自主解答] 法一 设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153－23.法二 注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－3 2－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153 －23.求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，假设方程组有解，即可求出其逆矩阵，假设方程组无解，那么说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ：①假设ad －bc ＝0，那么A 的逆矩阵不存在．②假设ad －bc ≠0，那么A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bc a ad －bc .求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.[解] 法一 利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31－11－21 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二 利用待定系数法．(1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.求矩阵AB 的逆矩阵 A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路探究] 思路一：A ，B →A －1，B －1→(AB )－1＝B －1A －1思路二：A ，B →AB →(AB )－1[自主解答] 法一 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，且1×12－0＝12≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤1212 012012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，同理B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1. 因此(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.法二 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1，∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1. ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×0 1×1＋0×10×1＋12×0 0×1＋12×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 12. 且1×12－0×1＝12≠0，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤1212 －112012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.矩阵A ，B ，求矩阵AB 的逆矩阵的一般思路： 先求A －1，B －1，再求(AB )－1＝B －1A －1或先求AB ，再求(AB )－1.关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3545 45 35，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－21，试求出 (AB )－1.[解] 反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25 115. (教材第65页习题2.4第5题)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4，试求A －1. (2013·某某高考)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . [命题意图] 考查逆矩阵、矩阵的乘法，以及考查运算求解能力． [解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.1．对任意的二阶非零矩阵A ，B ，C ，考察以下说法： ①(AB )－1＝B －1A －1； ②A (BC )＝(AB )C ； ③假设AB ＝AC ，那么B ＝C . 其中正确的选项是________．[解析] ①中只有当A ，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立，故①不正确． ②为矩阵乘法的结合律故正确．③中只有当A 存在逆矩阵方可，故③不正确． [答案] ② 2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b 0d 可逆的条件是________．[解析] 当1×d －0×b ＝d ≠0时可逆． [答案] d ≠03．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1(k ≠0)，那么A －1等于________． [解析] 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ， 那么AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ab ak ＋cbk ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，k ＋c ＝0，d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－k ，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－k1. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－k14．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 1 2，A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13，那么x ＋y ＝________. [解析] ∵AA－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －y 13x ＋13y 0 1＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，13x ＋13y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－13.∴x ＋y ＝0. [答案] 0 n1．直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．[解] 这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos －π4 －sin －π4sin －π4 cos －π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －22－22 －22.2．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1的逆矩阵． [解] 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ zw x ＋zy ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0. 3．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． [证明] 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵．4．M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵． [解] 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤abcd＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5．变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．[解] (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12. (2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ， 那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1.假设a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1. [解] 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2， 那么MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1231，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1231⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1，即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1525 35 －15. 7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .[解] 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．[解] (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.2．4.2二阶矩阵与二元一次方程组课标解读1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义． 2．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性．3．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.1．二阶行列式将矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 两边的“[ ]〞改为“| |〞，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .2．二阶行列式与二元一次方程组关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 记为D ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪mb nd 记为D x ，将||am 记为D y ，那么当D ≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD y ＝D yD.3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .(1)逆矩阵与二元一次方程组令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 为系数矩阵，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为待求向量，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 是经A 将X 变换后的向量，那么上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n . 当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A－1，那么有X ＝A－1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 和变换后的象⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，去求在这个变换的作用下的原象．1．二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的主要区别是什么？[提示] 二阶矩阵对应的是变换，是4个数构成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc那么是一个数．写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示．二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是否可逆的．2．二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组有惟一解？ [提示] 当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是可逆的，那么方程组有惟一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n .3．结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？[提示] (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 得到方程组，再用行列式法解方程组即可． (2)行列式法：假设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ， 且det(A )≠0，那么A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A －b det A－c det Aadet A.利用行列式解方程组利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.[思路探究] 将方程化成一般形式→求出D ，D x 、D y →求解 [自主解答] 先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 234＝－2≠0，此方程组存在惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .再分别求出D ，D x，D y然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxDy ＝DyD求解．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.[解] 先将方程组写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵的逆矩阵利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2的逆矩阵A －1.[思路探究] 思路一：(待定矩阵法)设待求矩阵→ 利用AA －1＝E 构建二元一次方程组→用行列式解方程组 →A －1思路二：(用行列式法)计算Det(A )→A －1[自主解答] 法一 (待定矩阵法)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2cb ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1.先将a ，c 看成未知数，那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0.D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4110＝－1，所以a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49. 法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49.利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用．判断以下矩阵是否有逆矩阵，假设有，求出逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a311.[解] (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2143＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1.(2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 311＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵； 当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵B－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3－3a －3－1a －3 a a －3.利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例1中的方程组．[思路探究] 找到A ，X ，B →对应矩阵方程AX ＝B →A －1→X ＝A －1B →得解[自主解答] 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2－2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12， 所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可．利用逆矩阵知识解变式1中的方程组． [解] 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13， 所以X ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.从几何变换的角度研究方程组解的情况二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情况．[思路探究] 找到矩阵A 对应的几何变换→判断几何变换的逆变换情况→方程组解的存在情况[自主解答] 对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，2分因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1对应的变换作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情况，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情况转化为判断几何变换的逆变换的存在情况研究．假设将本例中A 变为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，情况如何？ [解] 矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上．于是，该方程组的求解就转化为投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32时，它不在直线y＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解．(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.(2013·某某模拟)利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.[命题意图] 此题主要考查逆矩阵的求法及运算求解能力．[解] 方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤314 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23， 系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32，因此原方程组的解为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1．⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，那么x 的值为________． [解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. [答案] －12．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________．[解析] 二元一次方程组改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1.那么det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1535－25 15. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13．假设二阶矩阵X ，满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1那么X ＝________.[解析] 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，所以X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57. [答案] ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57 4．某点在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下得到点(2,1)，那么该点坐标为________． [解析] 设该点的坐标为(x ，y )，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1002＝2≠0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002可逆，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝错误!)，所以所求点的坐标为错误!.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，121．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.[解] 先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 243＝1×3－2×4＝－5， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 124＝1×4－2×1＝2，所以x ＝D x D ＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2，故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2．利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2356的逆矩阵．[解] 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么由AA －1＝E 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3c 2b ＋3d 5a ＋6c 5b ＋6d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，5a ＋6c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3d ＝0，5b ＋6d ＝1.先将a ，c 看成未知数，那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2356＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1306＝6，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2150＝－5，所以a ＝D aD ＝－2，c ＝D c D ＝53， 同理可得b ＝1，d ＝－23，故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53－23.3．假设关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x－2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值X 围．[解] 该二元一次方程组的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m2 －3≠0，解得m ≠－32. 4．利用逆矩阵解以下方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5.[解] (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2≠0，那么矩阵A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12， 这样，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.(2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05. 同(1)，可以计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 23的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 1525 15， 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤05＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B .[解] ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， ∴Z ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 6．二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.[证明] 因为A 是可逆矩阵，那么原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的．7．试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情况，这里A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. [解] 由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35在A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1作用之后的向量， 即Z ＝A －1B .因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.教师备选8．试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性．[解] 设A ＝错误!)，X ＝错误!，B ＝错误!，那么AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1，所以方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A－1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.逆变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵可逆矩阵与二元一次方程组综合应用一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种： 方法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解； 方法二：从几何变换的角度求解．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45－13，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 3 1，求 (AB )－1.[解] 法一 ∵AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 5－1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 3 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×4＋5×3 2×4＋5×1－1×－1＋3×3 －1×2＋3×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1310 1， ∴det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11 1310 1＝11－130＝－119.∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1119 13119 10119 －11119.法二 ∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 5－13，∴det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪45－1 3＝12＋5＝17， A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317－517117 417； 又∵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 31，∴det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 3 1＝－1－6＝－7.∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1727 37 17. ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1727 37 17⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117 417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17×317＋27×117 －17×－517＋27×417 37×317＋17×117 37×－517＋17×417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1119 13119 10119 －11119.二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法 1．二元一次方程组的解的情况的判定．常用两种方法：法一：利用Det(A )与0的大小情况判定． 法二：从几何变换的角度判定．2．二元一次方程组的求解常用两种方法：(1)用行列式法求解记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪mbnd ，D y ＝||am ，于是方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D x D，y ＝DyD .(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么det(A )＝ad －bc ，假设det(A )＝0，判定方程组解的情况；假设det(A )≠0，方程组有惟一解，求出A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A－b det A－c det Aadet A，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤αβ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β.即为方程组的解．解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，2x ＋3y ＝6.[解] 法一 方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤76. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 123＝1×3－1×2＝1≠0，所以方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1. 所以原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤76＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3×7－1×6－2×7＋1×6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15－8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.法二 记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 16 3＝7×3－6×1＝15， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 726＝1×6－2×7＝－8.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程表达了函数方程思想的广泛应用．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1，求A －1.[解] 法一 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －zy －w x ＋zy ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝1，y －w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1.解得x ＝12，y ＝12，z ＝－12，w ＝12，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212－12 12. 法二 矩阵A 表示的变换为线性变换，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′＋12y ′，y ＝－12x ′＋12y ′，所以逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212－12 12. 综合检测(四)1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.[解] 法一 (1)∵|A |＝1×3－2＝1，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)∵|B |＝2×5－4×3＝－2，∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5232 2 －1. 法二 (1)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么AA －1＝E ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，2a ＋3c ＝0，2b ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，c ＝－2，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.同理求出B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.2．试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0的逆矩阵． [解] 代数角度：⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2110，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 110＝－1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2110－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2， ∴(⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2. 几何角度：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x ，y )→(x ＋2y ，y )，又切变变换的逆变换为切变变换．∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x ，y )→(x －2y ，y )，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换为关于直线y ＝x 的反射变换，其逆变换为其本身，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0.∴(⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2. 3．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－3232 12，求A －1.[解] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 121＋32－32 1－32.4．用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．[解] 方程组可写为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46， 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1，那么det(M )＝2×1－3×(－5)＝17，∴M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 117517－317 217，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.5．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1224.(1)计算det(A )，det(B )；(2)判断矩阵AB 是否可逆，假设可逆，求其逆矩阵，假设不可逆，说明理由． [解](1)det(A )＝1×3－2×(－2)＝7， det(B )＝1×4－2×2＝0. (2)矩阵AB 不可逆．理由如下：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1224＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 104 8，det(AB )＝0， ∴AB 不可逆．6．利用行列式求M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221的逆矩阵． [解] 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1的逆矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ， 由MN ＝E 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2cb ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1.先将a ，c 看成未知数， 那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 1＝－3， D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1120＝－2，所以a ＝－13，c ＝23，同理可得b ＝23，d ＝－13，故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323 －13.7．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．[解] 依题意，得det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －31 －1＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－12，从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤135 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．8．m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 7－2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有惟一解？ [解] 二元一次方程组即为⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋7y ＝2mx ＋my ，－2x ＋3y ＝－my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m x ＋7－m y ＝0，－2x ＋m ＋3y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2m 7－m －2 m ＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－2m 7－m －2 m ＋3 ＝(－1－2m )(m ＋3)＋2(7－m ) ＝－2m 2－9m ＋11， 令－2m 2－9m ＋11＝0， 得m ＝1或m ＝－112，∴当m ≠1或m ≠－112时，方程组有惟一解．9．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，求圆x 2＋y 2＝1在(AB )－1变换作用下的图形的方程．[解] (AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 14 34－3212. 设圆x 2＋y 2＝1上任一点P ′(x ′，y ′)在(AB )－1作用下的点为P (x ，y )，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 14 34－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14 34－32 12－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －323 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －32y ，y ′＝3x ＋12y ，因为点P ′(x ′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12y 2＝1，化简得4x 2＋y 2＝1.10．设a ，b ∈R ，假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1b ，把直线l ：2x ＋y －7＝0变换为另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，求矩阵A 的逆矩阵．[解] 设P (x ，y )为直线2x ＋y －7＝0上任意一点，那么其对应点P ′(x ′，y ′)，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax －x ＋by ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝－x ＋by ，∵P ′在直线l ′： 9x ＋y －91＝0上， ∴9ax －x ＋by －91＝0， 即(9a －1)x ＋by －91＝0. ∵9a －12＝b 1＝－91－7＝13， ∴b ＝13，a ＝3，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 13.∵det(A )＝13×3－(－1)×0＝39，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1339 039139 339＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0139 113.。

逆矩阵的概念
【考纲下载】1.理解逆变换和逆矩阵的概念,能用几何变换的观点判断一个矩阵是否存在逆矩阵.
2.掌握求矩阵的逆矩阵的方法.
3.掌握AB可逆的条件及(AB) -1的求法, 理解矩阵乘法满足消去解的条件.
一、【知识回顾】
1.逆变换和逆矩阵的概念
注: ①如果A可逆, 那么逆矩阵唯一.
②二阶矩阵可逆的条件
2.逆矩阵的求法:
①定义法
②几何变换法
3.AB可逆的条件及(AB) -1的求法
4.矩阵乘法满足消去解的条件.
二、【自学检测】
用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在, 把它求出来.
(1) A=é13
ù
ê-ú
22
êú
ê31ú
êë2
úû
é 1
2ù
(2) B=êú
ë0
1û
é 2
0ù
(3) C=êú
ë0
1û
é 1
0ù
(4) D=êú
ë0
0û
1。

2.逆变换与逆矩阵-湘教版选修4-2矩阵与变换教案一、逆变换在矩阵与变换中，逆变换是一种重要的变换。

逆变换的本质是将原变换的作用反转，即将输出值映射回原输入值。

在这个过程中，需要寻找一个新的变换，使得先作用原来的变换再作用新的变换后，得到的结果是原来的输入值。

考虑一个简单的例子：将一个点绕原点旋转α角度，在用一个向量β将其平移后得到新的点。

我们可以用一个组合变换来描述这个过程：T(x,y) = (x,y)Rα(β1,β2) = (x,y)(cosα, sinα, -sinα, cosα)(1,0,0,1)+ (β1,β2)其中，Rα(β1,β2)表示先将点绕原点旋转α角度，再将其平移β1单位水平方向，β2单位垂直方向。

现在，我们想要逆转这个变换，将终点坐标(x’,y’)反向还原回起始坐标(x,y)，也就是满足下面的等式：(x', y') = (x,y)Rα(β1,β2)这个等式求解出来即可得到新的逆变换：(x,y) = (x', y')R-α(-β1,-β2) = (x', y')(cosα, -sinα, sinα, cosα)(-β1,-β2)其中，R-α(-β1,-β2)表示先将点绕原点旋转-α角度，将其平移β1单位水平方向，β2单位垂直方向，即反向执行原来的变换。

二、逆矩阵逆变换的本质是求解一个矩阵的逆矩阵。

对于任意一个可逆矩阵A，存在一个和A相乘等于单位矩阵的矩阵B，使得两个矩阵相乘的结果为单位矩阵：A ×B = B × A = I其中，A和B的乘积顺序并不影响结果，因此称A和B互为逆矩阵。

逆矩阵也满足以下性质：•对于任意可逆矩阵A和其逆矩阵B，A × B = B × A = I•对于任意可逆矩阵A，它的逆矩阵唯一对于一个2x2矩阵A = [a, b; c, d]，其逆矩阵可以通过以下公式求解：B = 1/(ad - bc) × [d, -b; -c, a]如果一个矩阵不可逆，则其行列式等于0。

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad－bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解． 3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝mzx ＋dy ＝n ，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，D x＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D yD .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A.[对应学生用书P34][例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2θ)＝1.2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2 y 2－1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．[精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－3 1. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838 －18. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在． (2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d A－bA －cAa A，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 01；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a001.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 1 1 1＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 12 12 12. (2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 001＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 0 1. 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x 2存在逆矩阵，求x 的取值范围． 解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x 2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D xD ，y ＝D y D求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －2－1 4＝12－2＝10， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝9＋1＝10， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310，这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2515110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡ab cd (4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡ab cd⎦⎥⎤e f. 5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝－2≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解． [精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－m x －2y ＝0，x －＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解．∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 32－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4. 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100.2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0， 即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 021＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解．5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 264＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56.故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡1 234⎦⎥⎤56 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解． 解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 346 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？ 解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋2y ＝0，x ＋－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26 并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321进行加密． (1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40， 于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40. (2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象， 可得。