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B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2. ∴B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）
=B2E2=B2. 即：B1=B2.
探究4
两个可逆变 换的复合变换仍 可逆么?
伸缩变换ρ:
x′= x , y′= 2 y
旋转变换R30°:
x′= 3 x－1 y , 22
y′= 1 x +
3 y
22
它们的逆矩阵分别为:
∴逆变换是唯一的. 4.设二阶矩阵A可逆,则A A－1 = A－1 A = E , 即：A－1 A = A A－1 = E .
∴ ( ) A－1可逆且 A－1 －1 = A.
5.设二阶矩阵A可逆,则A A－1 = A－1 A = E .
∴ ( ) A2 A－1 2 = A(AA－1) A－1 = AE A－1 = A A－1 = E , ∴( ) A－1 2 A2 = ( A－1 A－1 A)A = A－1 EA = A－1 A = E . ∴ A2 也可逆且( ) A2 －1 = ( ) A－1 2 .
对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶 矩阵B,使得AB=BA=E?
例1 旋转变换
R30°：
x′= 3 x－1 y , 22
y′= 1 x +
3 y.
22
x′=
31 x + y,
R－30°：
2 y′=－1
x
+
2 3
y.
22
y α′ R30°
R－30°
30°
α
O
x
对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量 α
1 0
2
01
01
（3） 0 0 不可逆 01
（4） cosθ －sinθ sinθ cosθ
cos θ 可逆,其逆矩阵为 －sinθ
sin θ cos θ
3.设线性变换ρ是可逆的，σ1，σ2 都是它的逆 矩阵,则ρ • σ1 = σ1 • ρ = I ,ρ • σ2 = σ2 • ρ = I .
∴σ1 = σ1 • I = σ1 • (ρ • σ2) = (σ1 • ρ) • σ2 = I • σ2 = σ2 .
σα = I（σα）=
= R－30°((R30°• σ
)(αR)－=30°RR－3300°°)(σIαα
)==RR－3－03°0(°Rα3.0°(σα
))
∴σ = R－30°,假设不成立. ∴逆变换是唯一的.
性质1
设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的, 则A的逆矩阵是唯一的. 证明：设B1,B2都是A的逆矩阵,则
教材习题答案
1（. 1）伸缩变换ρ：
x′= y′=
x, ky
可逆,其逆变换为σ：
x′= x ,
y′= 1 y k
（2）关于x轴的反射变换ρ：
x′= x , y′=－y
可逆，
x′= x , 其逆变换为ρ： y′=－y.
2（. 1） 1 0 可逆,其逆矩阵为 1 0
21
－2 1
（2） 2 0
可逆,其逆矩阵为
类似：(R30°• ρ) •（ρ－1 R－30°）= I .
即：变换R30°• ρ可逆,
( ) 且
R30°• ρ －1
=
ρ－1 R－30°=
ρ－1
R －1 30°
.
性质2
设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则 AB 也பைடு நூலகம்逆,且(AB)－1=B－1A－1. 证明：∵(AB)(B－1A－1)
=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2, (B－1A－1) (AB) = B－1( AA－1 )B= B－1E2B= B－1B=E2,
即:(AB)(B－1A－1) =(B－1A－1)(AB)=E2
∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.
课堂小结
1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使 得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆. 2.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆 矩阵是唯一的. 3.A , B是二阶矩阵,若A ,B都可逆,则AB也可 逆,且(AB)－1=B－1A－1.
答案:不是. 如A= 2 1 00
探究3
1.若一个线性变换是可逆的,则它的逆 变换是唯一的么?
2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆 矩阵是唯一的么?
反证法
以例1中的两个旋转变换为例
证明: 假设不唯一,则存在变换R30°的任意一 个逆变换σ,使得σ R30° = R30° σ= I.
∴对平面上任意一个向量 α 有,
由图可得：α α′ α
有：（R 30 °·R －30 ° ）α = R30°（R－30° ）=α
α
∴ R30°·R－30°= I 同理可得：R－30°·R30°= I
31
对于二阶矩阵 2 －1 2
2 ,存在二阶矩阵 3 2
3 －1 2 2 ,使得 13 22
31
22 －1 3
22
3 －1 22 13
x′= x , ρ－1： y′= 1 y
2
R－30°:
x′=
31 x + y,
22
y′=－1 x +
3 y
22
任意一个平面向量: α=
x .
y
先经ρ·R30°的复合变换,再经R－30°·ρ－1,
最终仍得到 α
y
R30°
如图:
R－30°
ρ－1
ρ
α
O
x
∴（ρ－1 R－30°）• (R30°• ρ) = I；
用矩阵的语言表述:
设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B, 使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆 矩阵,并称B是A的逆矩阵.
设A是一个二阶可逆矩阵, 对于对应的线性变换为ρ,由矩 阵和变换的对应关系,得到A的 逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩 阵.
思考
是否每一个二阶矩阵都可 逆?若能,请说明理由;若不能, 请举例说明.
22
= 3 －1 22
31 22
1 3 －1 3
22
22
= E2
思考
一般的旋转变 换Rψ,也有相似的结 论么?
探究2
对于切变变换、伸缩变 换、反射变换等线性变换,能 否找到一个线性变换,使得它 们的复合变换是恒等变换 I ?
同学们:我会了哦!你 们会了么?类比书本
看看答对了么?
定义
设ρ是一个线性变换,若存在线性变换 σ,使得σρ=ρσ= I ,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ 的逆矩阵.
知识与能力 掌握逆矩阵的概念和简单性质
过程与方法 通过线性变换理解逆矩阵的性质
情感态度与价值观 培养学生提出问题,解决问题的 能力
重点：
逆矩阵的概念与简单性质.
难点：
逆矩阵的概念; 用线性变换的角度理解逆矩阵的 简单性质.
探究1
对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性 变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?
导入新课
除了我们已学过 的一些矩阵的性质之 外还有其他性质么?
知识回顾
矩阵乘法的运算性质
结合律 (ab)c=a(bc) 交换律 ab=ba 消去律 设a≠0,若ab=a,则b=c;若
ba=ca,则b=c.
实数的乘法运算中有一条重要的运
算性质：如果a
≠
0,则1 a
•
a
=
a
•
1 a
=
1.
类比
把恒等变换I 和单位矩阵 E作为数1的类比对象
