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高中数学逆变换与逆矩阵逆矩阵的概念课件苏教版

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2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵本讲整合课件

2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵本讲整合课件

3
11 13 ,
10 1 (-1) × (-1) + 3 × 3 (-1) × 2 + 3 × 1 11 13 ∴det(AB)= = 11 − 130 = −119. 10 1
∴(AB)-1=
- 119
10 119
1
13 119 11 119
.
专题一
专题二
专题三
专题四
4 方法二:∵A= -1 3
3
1
提示:要求(AB)-1,可以先求出AB,再求det(AB),最后求出(AB)-1;也 可以先求A-1,B-1,再由逆矩阵的性质(AB)-1=B-1A-1,求出(AB)-1.
专题一
专题二
专题三
专题四
4 5 解:方法一:∵AB= -1 (-1) × 4 + 5 × 3
-1
2 =
3 1 2×4+5× 1 =
= n
������ = ,∴ ������ =
②当
-������������+������������ . ������������-������������ ������ ������ ������ ������ ad-cb=0 时,若 = = , 有无穷多解;若 ������ ������ ������ ������
2 11
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 转化思想 转化思想是指在研究和解决有关问题时采用某种手段将问题通 过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.本讲中用 到转化思想的有:判断某矩阵A是否可逆,可转化成判断|A|=ad-bc 是否为0,判断某二元一次方程组是否有唯一解可转化为判断系数 矩阵的行列式是否为零.

高等数学逆矩阵ppt课件

高等数学逆矩阵ppt课件

268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a

2019-2020学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2

2019-2020学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2

－38 －18.
已知矩阵 A＝ca db，利用行列式求矩阵 A 的逆矩阵的步骤 如下：
(1)首先计算 det(A)＝ca db＝ad－bc，当 det(A)≠0 时，逆 矩阵存在．
d (2)利用 A－1＝de－tcA
detA
－b detaA，求出逆矩阵 A－1. detA
θ θ
－sin cos
θθ＝cos2
θ－(－sin2
θ)＝1.
2．若
x2 －1
1y2＝xy
－yx，求 x＋y 的值．
解：x2＋y2＝－2xy⇒x＋y＝0.
利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵
[例 2] 已知 A＝－11 22，B＝－11 11，判断 AB 是否可
(3)二阶行列式0a 10＝a，当 a＝0 时，矩阵不可逆，当 a≠0 时，
1 矩阵可逆，逆矩阵为a
0
.
0 1
4．若矩阵 A＝63 x92存在逆矩阵，求 x 的取值范围．
解：据题意 det(A)≠0，即36 9x2≠0. ∴3x2－54≠0. ∴x≠±3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠±3 2}.
逆，若可逆求出逆矩阵． [思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．
[精解详析]
AB＝－11
2 1 2 －1
11＝－ －13
31.
因 det(AB)＝－ －13 31＝－1＋9＝8≠0，故 AB 可逆，
1 ∴(AB)－1＝83
8
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[例 3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
3x－2y＝1， －x＋4y＝3.
[思路点拨]
求出相应行列式的值，利用 x＝DDx，y＝DDy求

(苏教版)2017-2018学年高中2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念课件选修4-2(数学)

(苏教版)2017-2018学年高中2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念课件选修4-2(数学)

2 A＝ 0
1 0 ， B ＝ 0 5
3 ， 求矩阵 AB 的逆矩阵． 1
x －3
13 ＝ 得 －1 y 5 13 3 －1×13＋3×5 2 ＝ ＝ ， －1×13＋2×5 －3
2

5
x＝2， 故 y＝－3，
即 A(2，－3)为所求．
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
0 a b c d ＝ 2
解：设矩阵 A
1 0
a 的逆矩阵为 c
－a －b 1 0 0 ，即 ＝ 1 2c 2d 0 1 1 故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而 A 的逆矩阵为 A－1 －1 0 ＝ 1 ， 0 2 －1 0 1 2 －1 －1 －2 所以 A B＝ ＝ . 1 3 0 2 0 6 0
(2)矩阵 B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内 的点绕原点顺时针旋转 90° .它存在逆变换 TB－1：将平面内的点 绕原点逆时针旋转 90° ，所对应的变换矩阵为 B
－1
0 ＝ 1
－1 . 0
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观 察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一 一映射． 关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变 换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆 变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．
b d － ad － bc ad － bc －c a ad－bc －1 ad － bc 可逆，且A ＝__________________.
b ，若ad－bc≠0，则A必 d

苏教版数学选修4-2课件：2.4 2.4.1 逆矩阵的概念

苏教版数学选修4-2课件：2.4 2.4.1 逆矩阵的概念

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4.逆矩阵的求法
一般地，对于二阶矩阵 A＝ac db，当 ad－bc≠0，矩阵 A 可逆，且它的逆 矩阵
A－1＝ad－－dcbc ad－bc
ad－－abbc. ad－bc
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[思考·探究] 1.2.2 节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什 么？
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
B－1＝10 21.
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下一页
(3)矩阵 C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线 y＝x 上，它 不是一一映射，在这个变换下，直线 y＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除 直线 y＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵 C 不存在逆矩阵.
(4)矩阵 D 对应的是绕原点逆时针方向旋转 90°的旋转变换，因此它存在逆 变换：绕原点顺时针旋转 90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为

江苏理数 选修4-2 矩阵与变换 第二节 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

江苏理数 选修4-2 矩阵与变换 第二节 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个 非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3， －4
2－6＝2λ， 即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3， 解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝ ＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2． 已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ， 向量 α ＝ －3是 －4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故 不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得 的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量， 因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征 值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的 所有特征向量了．

苏教版高中数学选修4-2：逆矩阵的概念_课件1

苏教版高中数学选修4-2：逆矩阵的概念_课件1

阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．
课 堂 互 动
1 (1)A＝0
120；(2)B＝10
－12；
课 时 作
探
业
究
1 1
(3)C＝21 21；(4)D＝01 －01.
2 2
菜单
课 前
【思路探究】 矩阵→对应的几何变换→
当 堂
自
双
主 导
判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵
基 达
学
标
【自主解答】 (1)矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面
内点的横坐标保持不变，纵坐标沿 y 轴方向压缩为原来的12，
课
堂 因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵 课
互
时
动 坐标沿 y 轴方向伸长为原来的 2 倍，所对应的变换矩阵记为
堂
课
互
(1)注意到 1×3－2×1＝1≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且 时
动
作
探 究
3 A－1＝－121
－111＝－32 1
－11.
业
菜单
课 前
当
(2)注意到 2×5－4×3＝－2≠0，故 B 存在逆矩阵 B－1， 堂
自
双
主且
导
基 达
学
5 －3
标
课
B－1＝－ －24 －2
的，B 称为 A 的逆矩阵，记作：A－1＝B.
菜单
课
当
前
3．逆矩阵的性质
自
堂 双
主 导
基
(1)若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵是惟一的． 达
学
标
(2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩

逆矩阵ppt课件

逆矩阵ppt课件

例 5 利用逆矩阵求解线性方程组
32xx11x22
x2
x3 3, 5x3 2,
3x1 2x2 3x3 1.
解
2 2 1
令
Hale Waihona Puke A3 31 2
53 ,
x1 3
则
A
x2
2
.
x3 1
7 4 9
由例2知，A1
6
3
3
7
,
2 4
x1
3 7 4 9 3 4
则
A21 A22 A23
A31
A32
A33
M11 M21 M31 7 4 9
M12
M 22
M 32
6
3
7
M13 M23 M33 3 2 4 10
例3
设
P
2 0
2
1
,
B
1 0
1 1
，且 AP PB, 求 An.
解：因| P | = 2，，则 P 可逆，且
A1
ad
1
bc
d c
b
a
9
2 2 1
例2
求3阶方阵
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1， M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
则
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
证明： A2 3A 5E 0 ( A E)( A 4E) 9E 所以A + E 可逆，且
( A E)1 1 ( A 4E) 9

逆矩阵的计算ppt课件

逆矩阵的计算ppt课件
可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E 。
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26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
上页 下页 返回
27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
上页 下页 返回
8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
上页 下页 返回
9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
上页 下页 返回
11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),

高中数学2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修40

高中数学2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修40
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2.2.4 旋转 变换
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2．2.4 旋转变换
1．旋转变换
将一个图形 F 绕某个定点 O 旋转角度 θ 所得图形 F′的变
换称为_旋__转__变__换__．其中点 O 称为旋转中心，角度 θ 称为_旋__转__角__．
解：由题意得旋转变换矩阵为
cos－60° sin－60°
1 3
－csoins－ －6600°°＝－223
2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
2
M＝scions
45° 45°
－sin cos
4455°°＝
2 2
2
－
2
2
，
2
2
任意选取双曲线 x2－y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在变换作
用下变为 P′(x，y)，
x＝ 则有
22x0－
22y0，
y＝ 22x0＋ 22y0，
那么
x0＝
22x＋y，
y0＝ 22y－x，
又因为点 P 在曲线 x2－y2＝1 上，
因为绕原点逆时针旋转 90°的变换所对应的矩阵为
M＝csions
90° 90°
－sin cos
9900°°＝01
－10.
所以10
－1 0
－02＝－20，

高中数学—逆变换与逆矩阵

高中数学—逆变换与逆矩阵

2. 从线性变换的角度考虑下列矩阵是否可逆. 若 可逆, 求其逆矩阵, 并用逆矩阵的定义进行验证.
(1) 1 2
0 1
;
(2) 1 0
0 2
;
(3) 0 0
0 1
;
(4) cosq sinq
-sinq cosq
.
解: (4) 矩阵对应的是旋转变换, 点 P 经过旋转 q
后变换为 P.
若将点 P 作旋转变换 -q 角, 则又变回到点 P.
x y
问题6.
=
3 2
x
-
12伸y,缩它变们换的 复:xy合 ==变2x换y,
=
1 2
x
3 2
y.
和旋转变换 R30:
R30· 可逆吗? 如
果可逆, 逆变换是什么?
设点 P 伸缩变换得点 P1, 点 P1 旋转变换得点 P2.
则点 P2 旋转变换 R-30 得点 P1, 点 P1 伸缩变换
-1
:
.
解: (1) 矩阵对应的是切变变换, 直角坐标系 xOy
内任一点 P 经变换后, x 坐标保持不变, y 坐标增加
2x 得点 P.
若将点 P 的 x 坐标保持不变, y 坐标减少 2x, 则
又变回到点 P.
所以矩阵可逆,
其逆矩阵为
1 -2
0 1.
检验:
1 2
0 1
1 -2
0 1
=
1 0
0 1
,
1 -2
那么 B1=E2B1 =(B2A)B1 =B2(AB1) =B2E2 =B2.
即 B1=B2, A 的逆矩阵唯一.
性质1
设 A 是一个二阶矩阵, 如果 A 是可逆的, 则 A 的逆矩阵是唯一的.

逆矩阵与逆变换

逆矩阵与逆变换

逆变换与逆矩阵教学目标1.逆矩阵的概念；2.逆矩阵的性质。

教学重点及难点逆矩阵的概念与简单性质。

教学过程一、逆变换与逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A-，读作Ａ的逆。

一般地，设A是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。

【应用】1.试寻找Ｒ30o的逆变换。

【应用】1.A ＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A -。

2. A ＝2142⎛⎫ ⎪⎝⎭，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A -。

由以上两题，总结一般矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。

二、逆矩阵的性质1.二阶矩阵可逆的唯一性。

性质1：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的。

性质2：.设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。

【练习：P 50】补充练习：1.下列变换不存在逆变换的是 （ ）A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。

B.60oR 变换。

C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。

D.以y 轴为反射变换2.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）A. 0110⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0.5001⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ）A.111()AB A B ---=B. 111()AB B A ---=C.11()A A --=D. 2112()()A A --=4.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是5.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1将（1，0）变成点6.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为 7.设ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标为8.A ＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭122122⎛- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 答案：1.A 2.D 3.A 4. 1001⎛⎫⎪-⎝⎭ 5.（3，2） 6. 1110-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7.（1，3）。

高考数学一轮单元复习 第71讲 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量课件

高考数学一轮单元复习 第71讲 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量课件

.
│要点探究
要点探究
► 探究点1 逆矩阵的求法

3 2 例 1 已知 A＝ －4 －2，求 A－1.
【思路】利用待定系数法或者利用行列式．
│要点探究
【解答】方法一：利用待定系数法． 设A
－1
a ＝ c
b ， d 0 . 1
a b 1 3 2 则 －4 －2 ＝ c d 0
│要点探究
3 A＝ 2
变式题
[2009· 江苏卷] 求矩阵
2 的逆矩列式．
│要点探究
【解答】设矩阵 A
3 则 2 x 的逆矩阵为 z
y ， w
2 x y 1 0 ＝ ， 1z w 0 1 3y＋2w 1 0 ＝0 1， 2y＋w 3y＋2w＝0， 且 2y＋w＝1.
的解．
【思路】解二元一次方程组的常用方法是矩阵解法 和行列式法．
│要点探究
2x＋3y＝1 【解答】方法一：原方程可以化为 4x＋5y＝6 2 D＝ 4
，
1 3 2 1 3 ＝－ 2 ， D ＝ ＝－ 13 ， D ＝ ＝8 x y 5 6 5 4 6 Dx 13 x＝ D ＝ 2 ， 所以，方程组的解为 y＝Dy＝－4. D 2x＋3y＝1， 方法二：原方程可以化为 4x＋5y＝6， 2 即 4 3 x 1 ＝ ， 5 y 6
a A＝ c
│知识梳理
4．特征向量的性质 设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于任意的非零平面向量 α，设 α＝t1ξ2＋t2ξ2(t1，t2 为实数)，则对任意的正整数 n，有 Ana =
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则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y， 故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)． 又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
11＝－223
2 1－
3.
2
6．若矩阵 A＝01 10，B＝01 －1 变换下的曲线方程．
12，求曲线 x2＋y2＝1 在矩阵(AB)
解：(AB)－1＝B－1A－1＝10
－2 1 1 0
01＝10
－21.
设 P(x，y)是圆 x2＋y2＝1 上任意一点，P 点在(AB)－1 对应
变换下变成 Q(x′，y′)
2.4 逆变 换与 逆矩 阵
2.4.1 逆矩 阵的 概念
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2.4
逆变换与逆矩阵
2．4.1 逆矩阵的概念
1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A、B，若有_A_B__＝__B_A_＝ ___E_，则称A是可逆 的，B称为A的逆矩阵，记为A－1.
2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵 A、B 均可逆，则_A__B_也可逆，且_(_A_B_)_－_1_＝__B_ _－_1A__－_1_. (2)已知 A、B、C 为二阶矩阵且 AB＝AC，若 A 存在逆矩阵， 则_B__＝__C_.
db，则－01
0 a 2 c
db＝
1 0
10，即－2ac －2db＝01
0 1
故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而 A 的逆矩阵为 A－1
－1 0
＝
0
1， 2
－1
所以 A－1B＝
0
0 1 2
1 0
62＝－01
－32 .
2．已知矩阵 M＝21 －－31所对应的线性变换把点 A(x，y)变成点 A′(13,5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
[精解详析]
(1)矩阵 A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点
的纵坐标保持不变，横坐标沿 x 轴方向拉伸为原来 2 倍的伸缩变
换，因此它存在逆变换 TA－1：将平面内点的纵坐标保持不变，
横坐标沿 x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为 A－1＝
1 2
0.
0 1
(2)矩阵 B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内 的点绕原点顺时针旋转 90°.它存在逆变换 TB－1：将平面内的点 绕原点逆时针旋转 90°，所对应的变换矩阵为 B－1＝01 －10.
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
解：由 M＝21 －－31，得 2×(－1)－(－3)×1＝1≠0， 故 M －1＝－ －11 32.
从而由21
－3 －1
xy＝153得
xy＝－－11
3 2
153＝－ －11× ×1133＋ ＋32× ×55＝－32，
故xy＝＝－2，3， 即 A(2，－3)为所求．
[例 2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵． (1)A＝02 10；(2)B＝－01 10. [思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需 找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．
3
2
，求
A－1.
1
2 2
解：设 M＝10
1 －11，N＝2
3
－
3
2
，则
1
A＝MN.
2 2
∵1×1－0×(－1)＝1≠0，
∴M－1＝10
1 3
11，同理
N－1＝
2
－
3 2
2 .
1 2
由逆矩阵的性质，得
A－1＝(MN)－1＝N－1M－1
1 3
＝
2
－
3 2
2
1 2
1 0
1 1＋ 3
公式法求解． [精解详析]
法一：待定系数法：设A－1＝zx
wy ，
则32
2 x 1 z
wy ＝10
01.
即3x2＋ x＋2zz 23yy＋ ＋w2w＝01 10，
故32xx＋ ＋2z＝z＝01，，
3y＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw＝0， 2y＋w＝1，
解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，
从而A的逆矩阵为A－1＝－21 －32.
0 1. 5
而矩阵 B 对应的变换为切变变换，
其逆矩阵 B－1＝10 －31， ∴(AB)－1＝B－1A－1
＝10
1
－3 1
2 0
015＝120
－35
1
.
5
(1)要避免犯如下错误(AB)－1＝A－1B－1. (2)此题也可以先求出 AB 再求其逆．
5．已知 A＝01
－1 1
1 2 3
－
所以 A－1＝0
1. 5
逆矩阵的概念与性质的应用
[例 3] 若矩阵 A＝20 05，B＝10 31，求矩阵 AB 的逆矩阵． [思路点拨] 根据公式(AB)－1＝B－1A－1，先求出 B－1、A－1， 再利用矩阵乘法求解．
[精解详析] 因为矩阵 A 所对应的变换为伸缩变换，
1 所以 A－1＝2
0
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观 察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一 一映射．
关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变 换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆 变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．
3．已知矩阵 A＝－ －1223
3．逆矩阵的求法
(1)公式法：对于二阶矩阵A＝ac
ad－d bc －ad－b bc
－c
a
可逆，且A－1＝__a_d_－__b_c____a_d_－__b_c__ .
db，若ad－bc≠0，则A必
(2)待定系数法．
(3)逆变换法．
逆矩阵的求法
[例1]
求矩阵A＝23 12的逆矩阵．
[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用
法二：公式法：ad－bc＝3×1－2×2＝－1≠0，
∴A－1＝－21 －32.
用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A的逆矩阵 A－1，再由AA－1＝E得相等矩阵，最后利用相等矩阵的 概念求出A－1.
1．(江苏高考)已知矩阵A＝－10 02，B＝01 62，求矩阵A－1B.
解：设矩阵 A 的逆矩阵为ca
3
2
，求 A－1.
－12
解：矩阵 A 对应的变换是旋转变换 R240°，它的逆变换
是 R－240°
∴A－1＝csions－－224400°°
－sin－240° cos－240°
＝－12
－
3 2
.
3 2
－12
1 4．已知矩阵 A＝2
0，求 A－1.
0 5
解：因矩阵 A 所对应的变换为伸缩变换，
2 0