09二B答案

2009年专四听力答案PART I DICTATIONNew Year's EveFor many people in the west, New Year's Eve is the biggest party of the year. /lt's the time to get together with friends or family/and welcome in the coming year. / New Year's parties can take place in different places. /Some people hold a house party; others attend street parties;/ while some just go for a few drinks with their friends. /Big cities have large and spectacular fireworks displays. / There is one thing that all New Year's Eve parties have in common,/ the countdown to midnight./ When the clock strikes 12, people give a loud cheer and sing songs./ It's also popular to make a promise in the New Year. /This is called a New Year's resolution. / Typical resolutions include giving up smoking and keeping fit. /However, the promise is often broken quite quickly /and people are back into their bad habits within weeks or days. PART ⅡLISTENING COMPREHENSIONSECTION A CONVERSATIONSQuestions I to 3 are based on the following conversation.W: Hi, Mark. How are you?M: (2) Actually, I'm really fed up, Linda. It's Jean.W: (2) Jean? Who is Jean?M: Oh, nobody really. (1) Just a most stunningly attractive girl in my year school. W: Oh, is that all? (1) So what's the problem?M: (1) Well, the thing is I just don't know how to make her notice me, or...W: Wait a minute. I've got a brilliant idea I (3) Why don't you try talking to her?M: (3)But I wouldn't know what to say. 1...W: Look, she's in your chemistry class, isn't she? You're good at chemistry. (3) You could offer to help her with her chemistry homework. How about that?M: Not bad. Just one problem.W: What?M: (3) She's better than me at chemistry.W: OK, then? (3) Well, there is that party at John's on Friday night. You could invite her.M: ( 2/3 ) Just another small problem. John's her boyfriend.Key:1.B 2.C 3.AQuestions 4 to 7 are based on the following conversation.W: Yes, can I help you?M: Yes, you see I bought this personal stereo at your shop three days ago. And I'm afraid that it hasn't really matched up to what I was told about it.W: I see. What exactly is the matter?M: (4/6) Well, first of all, there's this large scratch across the front of it.W: But you should have noticed that when you bought it.M: But it was in the box and all sealed up.W: (4) Well, I am sorry, but it really is your responsibility to check the goods when you buy them. How were were to know that it wasn't you who made the scratch?M: That's ridiculous. (6) But, anyway, it's not the most important thing. I really am not happy about this other thing.W:And what is that?M: Look, it says here that the noise from it should be undetectable by other people, W: Yes, that's right.M: But people can hear it and it's really embarrassing on the bus and the underground. W: Well, I am sorry. (5)But it must be the way you are wearing the headphones.M: (5) Look, I know how to put earphones in my ears. Thank you very much. But what I want to know is what you are going to do about it all.W: (7) Well, I suppose we could exchange it for another model if you really aren't happy with it.M: No, I certainly am not.W: (7) Well, if I just could have the receipt.M: Yes, well there is a slight problem about this receipt.Key: 4.C 5.A 6D 7.B.Questions 8 to 10 are based on the following conversation.W: Hello, Happy Time Catering Services Victoria speaking. How can I help you?M: Hello, Victoria. This is Joe Smith from Country Holidays. (8/9) I wonder if you could do some catering for us next week. (10) We're having a small reception. It's to launch our summer holiday advertising campaign. Would you be free?W: When exactly is it, Mr. Smith?M: April 21st, that's Thursday. Oh, sorry, no. (9)lt should be Friday.W: Oh, Yes, I can do that. ( 10) Where will you be holding at?M: We thought we would have had it at head office and use the conference room because there is enough room for everyone there.W: OK, what aort of things would you like?M: Just a light lunch I think. So that People can eat while they move around and talk to each other. ( 10)You did something similar for us last year. We will be happy to have the same menu again.W: Right, I will look at my dairy and see what you had last time. Oh, I nearly forgot to ask you, (10) how many should I cater for?M: Well, I think most people will be able to come, perhaps around 30. No, let's say 35, to be sure.W: Right, thank you for getting in touch Mr. Smith. I will send confirmation of the arrangements by the end of this week.M: OK.Key: 8.C 9.A 10.DSECTION B PASSAGESQuestions 11 to 13 are based on the following passage.For shopaholics, the post-Christmas period means only one thing—sales! (12) Across the country, prices are slashed on clothing, electronics, home furnishings and more, (11) but London is the place for serious shopping and you can certainly pick up some amazing bargains. (12) The sales start on Boxing Day—26th, December and continue for the month of January, but the keenest bargain hunters get there early to be first through the doors, (12) In Oxford Street queues formed outside shops ahead of pre-dawn openings for the start of their sales. At Brent Cross, in north London, more than 1 ,000 people were queuing at 3:30a. m. for the ' Next' clothing store's sale which began at 4 a. m. Some people even camped outside the shops to be the first in the line.(13) Some people are taking their friends shopping with them and buying their Christmas presents in the sales. A practical but unromantic way of making sure you get the gift you really want. For a less exciting but less stressful shopping experience, online retailers are also getting in on the act with January sales of their own. (13) The most organized of all are those who are already doing their present shopping for next Christmas in the Jyuary" sales.Key:11.C 12.A 13.DQuestions 14 to 17 are based on the following passage.(14)Ballroom dancing used to be seen as something rather unfashionable that old people might do. (15) For the past five years though, the popularity of ballroom dancing has soared thanks to a reality TV show. Strictly Come Dancing is one of the big TV shows. ( 16) Millions of people tune in every Saturday night to watch the show which airs from September right up to Christmas. (16) In the show a number of professional ballroom dancers each dance with a celebrity. Every week they have to learn a different ballroom dance and perform it live on TV on Saturday night. The show demonstrates how glamorous ballroom dancing is. The celebrities get to wear colorful dresses and suits to dance in, and it looks like a lot of fun. The TV programme also shows what good exercise it can be to ballroom dance and what hard work is involved in learning the dances and performing them properly. Dance schools around the country have seen a boost in the number of people wanting to learn how to dance.(17) And it's not only old people who are interested. Lots of children and young people in their 20s are keen to learn.Key: 14.B 15.D 16.A 17.CQuestions 18 to 20 are based on the following passage.(18) Recently, a couple in New Zealand were forbidden from naming their baby son 4Real. Even though New Zealand has quite liberal rules about naming children, names beginning with a number are not allowed. They decided to call him Superman instead. In many countries around the world, unusual names for children are becoming more popular, especially since the increasing trend for celebrities to give their children unusual names. (19) Some parents choose names which come from popular culture.For example, there have been six boys named Gandalf after the character in the Lord of the Rings novels and films. Equally names related to sport are fairly common —since 1984, 36 children have been called Arsenal after the football team. Other parents like to make up names, or combine names to make their own unique version, a method demonstrated by Jordan, the British model, who recently invented the name Tidarnii for her daughter by combining the names Thea and Amy (the two grandmothers) - She was quoted as saying that the accent and double letters were added tomake the name 'more exotic'. (20) Other countries have much stricter rules when it comes to naming children. Countries including Japan, Denmark, Spain, Germany and Argentina have an approved list of names from which parents must choose.Key: 18.C 19.D 20.ASECTION C NEWS BROADCASTNews Item IEleven fishing boat crew who had been stranded since October in a remote part of Russia's Far East have been rescued after sheltering nearly three months at an abandoned military base. (21 )The eight men and three women took refuge at the base after their small boat collided on October 10th. Their attempts to fix one of the boats did not succeed, (22) and they had to remain at the abandoned base where there were only flour and -cooking fat. Other supplies at the base, which was abandoned in 2003 including Christmas ornaments, and the crew members put them up on a small tree inside their quarters, but supplies began running low and early this week, five set off on foot across snow fields. On Friday, after fours days of trudging, they reached a working military radio station, (23) the center called rescuers and helicopters were sent to take the eleven to the regional capital.Key:21.B 22.C 23.ANews Item 2(24) Spain's King Juan Carlos with 32 years on the throne turns 70 Saturday, but after years of undeniable adulation among Spaniards for putting down an attempted coup in 1981 , (25) he's recently faced more difficult times. Small groups of leftists have burned his photo, and fiery criticism has also come from the right with one leading conservative radio host calling for him to step down. Juan Carlos fired back with a rare public defense of his reign in a recent speech. "It's been the longest period of stability and prosperity in Spain ever in a parliamentary monarchy " , the King said.Key:24.B25.DNews Item 3It goes against religious taboos in Iraq to involve women in fighting, but three recent suicide bombings carried out by women could indicate insurgents are growing increasingly desperate. (26) In November 4th, a woman detonated an explosive vest next to a U.S. patrol in Diyala's regional capital, Baqouba, 35 miles northeast ofBagdad (27) wounding seven U. S. troops and five Iraqis. (26) On December 7th, a woman attacked the offices of a Diyala-based Sunni group, fighting al-Qaida in Iraq, (27) killing 15 people and wounding 35 , (26) then on December 31st, a bomber in Baqouba, detonated her suicide vest close to a police patrol (27) wounding five policemen and four civilians.Key:26.A 27.BNews Item 4(28) Chinese government is poised to conduct its first national survey of pollution sources in February to help control environmental deterioration in the country. The study will identify and collect data on the sources of industrial, agricultural and residential pollution for two months. Last year, China's environment was facing a grave situation with several major rivers and lakes clogged by industrial waste. (29) China's environmental cleanup is compromised by more than two decades of rapid economic growth and a lack of technology especially. (30) Every province, autonomous region and municipality has set up a census office and will report to a main center staffed by officials from sovemment departments. Data will be reviewed multiple times before being put into a database and will be analyzed in the second half of 2008. Findings will be examined and approved by mid-2009.Key：28.C 29.A 30.B。

函数与导数一、单选题1.(2024·全国)已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x+ln (x +1),x ≥0，在R 上单调递增，则a 取值的范围是()A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)2.(2024·全国)已知函数为f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x -1)+f (x -2)，且当x <3时f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是()A.f (10)>100B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<100003.(2024·全国)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24.(2024·全国)设函数f (x )=(x +a )ln (x +b )，若f (x )≥0，则a 2+b 2的最小值为()A.18B.14C.12D.15.(2024·全国)曲线f x =x 6+3x -1在0,-1 处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-326.(2024·全国)函数f x =-x 2+e x -e -x sin x 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为()A. B.C. D.7.(2024·全国)设函数f x =e x +2sin x1+x 2，则曲线y =f x 在0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.238.(2024·北京)已知x 1,y 1 ，x 2,y 2 是函数y =2x图象上不同的两点，则下列正确的是()A.log 2y 1+y 22>x 1+x22 B.log 2y 1+y 22<x 1+x22C.log 2y 1+y 22>x 1+x 2D.log 2y 1+y 22<x 1+x 29.(2024·天津)下列函数是偶函数的是()A.y=e x-x2x2+1B.y=cos x+x2x2+1C.y=e x-xx+1D.y=sin x+4xe|x|10.(2024·天津)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a11.(2024·上海)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x+cos xB.sin x cos xC.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x12.(2024·上海)已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M=x0x0∈R,x∈-∞,x0,f x <f x0，在使得M =-1,1的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x=2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x=-1处取到极小值二、多选题13.(2024·全国)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f x2C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)14.(2024·全国)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当a>1时，f(x)有三个零点B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a，使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题15.(2024·全国)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.16.(2024·全国)已知a>1，1log8a -1log a4=-52，则a=．17.(2024·全国)曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为．18.(2024·天津)若函数f x =2x2-ax-ax-2+1有唯一零点，则a的取值范围为．19.(2024·上海)已知f x =x,x>01,x≤0,则f3 =．四、解答题20.(2024·全国)已知函数f(x)=ln x2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0，且f (x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若f (x )>-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围．21.(2024·全国)已知函数f (x )=e x -ax -a 3．(1)当a =1时，求曲线y =f (x )在点1,f (1) 处的切线方程；(2)若f (x )有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．22.(2024·全国)已知函数f x =a x -1 -ln x +1．(1)求f x 的单调区间；(2)若a ≤2时，证明：当x >1时，f x <e x -1恒成立．23.(2024·全国)已知函数f x =1-ax ln 1+x -x ．(1)当a =-2时，求f x 的极值；(2)当x ≥0时，f x ≥0恒成立，求a 的取值范围．24.(2024·北京)已知f x =x +k ln 1+x 在t ,f t t >0 处切线为l ．(1)若切线l 的斜率k =-1，求f x 单调区间；(2)证明：切线l 不经过0,0 ；(3)已知k =1，A t ,f t ，C 0,f t ，O 0,0 ，其中t >0，切线l 与y 轴交于点B 时．当2S △ACO =15S △ABO ，符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95)25.(2024·天津)设函数f x =x ln x ．(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的取值范围；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．26.(2024·上海)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．27.(2024·上海)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．参考答案：1.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为f x 在R上单调递增，且x≥0时，f x =e x+ln x+1单调递增，则需满足--2a2×-1≥0-a≤e0+ln1，解得-1≤a≤0，即a的范围是[-1,0].故选：B.2.B【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)+ f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.3.D【分析】解法一：令F x =ax2+a-1,G x =cos x，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令h x =f(x)-g x ,x∈-1,1，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a=2，并代入检验即可.【解析】解法一：令f(x)=g x ，即a(x+1)2-1=cos x+2ax，可得ax2+a-1=cos x，令F x =ax2+a-1,G x =cos x，原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F0 =G0 ，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F x =G x ，可得2x2+1-cos x=0因为x∈-1,1，则2x2≥0,1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2.解法二：令h x =f(x)-g x =ax2+a-1-cos x,x∈-1,1，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4.C【分析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，分类讨论-a 与-b ,1-b 的大小关系，结合符号分析判断，即可得b =a +1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln (x +b )的符号，进而可得x +a 的符号，即可得b =a +1，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；若-a ≤-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-b <-a <1-b ，当x ∈-a ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-a =1-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a <0,ln x +b <0，此时f (x )>0；当x ∈1-b ,+∞ 时，可知x +a ≥0,ln x +b ≥0，此时f (x )≥0；可知若-a =1-b ，符合题意；若-a >1-b ，当x ∈1-b ,-a 时，可知x +a 0,ln x +b 0，此时f (x )<0，不合题意；综上所述：-a =1-b ，即b =a +1，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12；解法二：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；则当x ∈-b ,1-b 时，ln x +b <0，故x +a ≤0，所以1-b +a ≤0；x ∈1-b ,+∞ 时，ln x +b >0，故x +a ≥0，所以1-b +a ≥0；故1-b +a =0，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12.故选：C .【点睛】关键点点睛：分别求x +a =0、ln (x +b )=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5.A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】f x =6x 5+3，所以f 0 =3，故切线方程为y =3(x -0)-1=3x -1，故切线的横截距为13，纵截距为-1，故切线与坐标轴围成的面积为12×1×13=16故选：A .6.B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入x =1可得f 1 >0，可排除D .【解析】f -x =-x 2+e -x -e x sin -x =-x 2+e x -e -x sin x =f x ，又函数定义域为-2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又f 1 =-1+e -1e sin1>-1+e -1e sin π6=e 2-1-12e >14-12e>0，故可排除D .故选：B .7.A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】fx =ex+2cos x 1+x 2 -e x +2sin x ⋅2x1+x 22，则f0 =e 0+2cos0 1+0 -e 0+2sin0 ×01+02=3，即该切线方程为y -1=3x ，即y =3x +1，令x =0，则y =1，令y =0，则x =-13，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S =12×1×-13 =16.故选：A .8.A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设x 1<x 2，因为函数y =2x 是增函数，所以0<2x 1<2x 2，即0<y 1<y 2，对于选项AB ：可得2x1+2x 22>2x 1·2x 2=2x 1+x 22，即y 1+y 22>2x 1+x 22>0，根据函数y =log 2x 是增函数，所以log 2y 1+y 22>log 22x 1+x22=x 1+x22，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如x 1=0,x 2=1，则y 1=1,y 2=2，可得log 2y 1+y 22=log 232∈0,1 ，即log 2y 1+y 22<1=x 1+x 2，故C 错误；对于选项D ：例如x 1=-1,x 2=-2，则y 1=12,y 2=14，可得log 2y 1+y 22=log 238=log 23-3∈-2,-1 ，即log 2y 1+y 22>-3=x 1+x 2，故D 错误，故选：A .9.B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A ，设f x =e x -x 2x 2+1，函数定义域为R ，但f -1 =e -1-12，f 1 =e -12，则f -1 ≠f 1 ，故A 错误；对B ，设g x =cos x +x 2x 2+1，函数定义域为R ，且g -x =cos -x +-x 2-x 2+1=cos x +x 2x 2+1=g x ，则g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设h x =e x -xx +1，函数定义域为x |x ≠-1 ，不关于原点对称，则h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设φx =sin x +4x e |x |，函数定义域为R ，因为φ1 =sin1+4e ，φ-1 =-sin1-4e ，则φ1 ≠φ-1 ，则φx 不是偶函数，故D 错误.故选：B .10.B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为y =4.2x 在R 上递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a <1<b ，因为y =log 4.2x 在(0,+∞)上递增，且0<0.2<1，所以log 4.20.2<log 4.21=0，即c <0，所以b >a >c ，故选：B 11.A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【解析】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．12.B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【解析】对于A ，若存在y =f (x )是偶函数, 取x 0=1∈[-1,1],则对于任意x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而f (-1)=f (1), 矛盾, 故A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .13.ACD【分析】求出函数f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数f x 在1,3 上的值域即可判断C ；直接作差可判断D .【解析】对A ，因为函数f x 的定义域为R ，而f x =2x -1 x -4 +x -1 2=3x -1 x -3 ，易知当x ∈1,3 时，f x <0，当x ∈-∞,1 或x ∈3,+∞ 时，f x >0函数f x 在-∞,1 上单调递增，在1,3 上单调递减，在3,+∞ 上单调递增，故x =3是函数f x 的极小值点，正确；对B ，当0<x <1时，x -x 2=x 1-x >0，所以1>x >x 2>0，而由上可知，函数f x 在0,1 上单调递增，所以f x >f x 2 ，错误；对C ，当1<x <2时，1<2x -1<3，而由上可知，函数f x 在1,3 上单调递减，所以f 1 >f 2x -1 >f 3 ，即-4<f 2x -1 <0，正确；对D ，当-1<x <0时，f (2-x )-f (x )=1-x 2-2-x -x -1 2x -4 =x -1 22-2x >0，所以f (2-x )>f (x )，正确；故选：ACD .14.AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为x =0,x =a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出f (x )在(-1,0),(0,a ),(a ,2a )上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，则f (x )=f (2b -x )为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A 选项，f (x )=6x 2-6ax =6x (x -a )，由于a >1，故x ∈-∞,0 ∪a ,+∞ 时f (x )>0，故f (x )在-∞,0 ,a ,+∞ 上单调递增，x ∈(0,a )时，f (x )<0，f (x )单调递减，则f (x )在x =0处取到极大值，在x =a 处取到极小值，由f (0)=1>0，f (a )=1-a 3<0，则f (0)f (a )<0，根据零点存在定理f (x )在(0,a )上有一个零点，又f (-1)=-1-3a <0，f (2a )=4a 3+1>0，则f (-1)f (0)<0,f (a )f (2a )<0，则f (x )在(-1,0),(a ,2a )上各有一个零点，于是a >1时，f (x )有三个零点，A 选项正确；B 选项，f (x )=6x (x -a )，a <0时，x ∈(a ,0),f (x )<0，f (x )单调递减，x ∈(0,+∞)时f (x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )在x =0处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，即存在这样的a ,b 使得f (x )=f (2b -x )，即2x 3-3ax 2+1=2(2b -x )3-3a (2b -x )2+1，根据二项式定理，等式右边(2b -x )3展开式含有x 3的项为2C 33(2b )0(-x )3=-2x 3，于是等式左右两边x 3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f (1)=3-3a ，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，事实上，f (x )+f (2-x )=2x 3-3ax 2+1+2(2-x )3-3a (2-x )2+1=(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a ，于是6-6a =(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a即12-6a =012a -24=018-12a =6-6a，解得a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f (x )=2x 3-3ax 2+1，f (x )=6x 2-6ax ，f (x )=12x -6a ，由f (x )=0⇔x =a 2，于是该三次函数的对称中心为a 2,f a2，由题意(1,f (1))也是对称中心，故a2=1⇔a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：(1)f (x )的对称轴为x =b ⇔f (x )=f (2b -x )；(2)f (x )关于(a ,b )对称⇔f (x )+f (2a -x )=2b ；(3)任何三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是f (x )=0的解，即-b 3a ,f -b3a 是三次函数的对称中心15.ln2【分析】先求出曲线y =e x +x 在0,1 的切线方程，再设曲线y =ln x +1 +a 的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，求出y ，利用公切线斜率相等求出x 0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【解析】由y =e x +x 得y =e x +1，y |x =0=e 0+1=2，故曲线y =e x +x 在0,1 处的切线方程为y =2x +1；由y =ln x +1 +a 得y =1x +1，设切线与曲线y =ln x +1 +a 相切的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，由两曲线有公切线得y =1x 0+1=2，解得x 0=-12，则切点为-12,a +ln 12 ，切线方程为y =2x +12 +a +ln 12=2x +1+a -ln2，根据两切线重合,所以a -ln2=0，解得a =ln2.故答案为：ln216.64【分析】将log 8a ,log a 4利用换底公式转化成log 2a 来表示即可求解.【解析】由题1log 8a -1log a 4=3log 2a -12log 2a =-52，整理得log 2a 2-5log 2a -6=0，⇒log 2a =-1或log 2a =6，又a >1，所以log 2a =6=log 226，故a =26=64故答案为：64.17.-2,1【分析】将函数转化为方程，令x 3-3x =-x -1 2+a ，分离参数a ，构造新函数g x =x 3+x 2-5x +1,结合导数求得g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令x 3-3x =-x -1 2+a ，即a =x 3+x 2-5x +1，令g x =x 3+x 2-5x +1x >0 ,则g x =3x 2+2x -5=3x +5 x -1 ，令g x =0x >0 得x =1，当x ∈0,1 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，g 0 =1,g 1 =-2，因为曲线y =x 3-3x 与y =-x -1 2+a 在0,+∞ 上有两个不同的交点，所以等价于y =a 与g x 有两个交点，所以a ∈-2,1.故答案为：-2,1 18.-3,-1 ∪1,3【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g x =2x 2-ax 与h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，则两函数图象有唯一交点，分a =0、a >0与a <0进行讨论，当a >0时，计算函数定义域可得x ≥a 或x ≤0，计算可得a ∈0,2 时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当a ∈0,2 时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当a <0时，按同一方式讨论即可得.【解析】令f x =0，即2x 2-ax =ax -2 -1，由题可得x 2-ax ≥0，当a =0时，x ∈R ，有2x 2=-2 -1=1，则x =±22，不符合要求，舍去；当a >0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥a 或x ≤0，当x ≤0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =2时，即4x +1=0，即x =-14，当a ∈0,2 ，x =-12+a 或x =12-a>0(正值舍去)，当a ∈2,+∞ 时，x =-12+a <0或x =12-a<0，有两解，舍去，即当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤0时有唯一解，则当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥a 时需无解，当a ∈0,2 ，且x ≥a 时，由函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在1a ,2a上单调递减，在2a ,3a上单调递增，令g x =y =2x 2-ax ，即x -a 2 2a 24-y 2a 2=1，故x ≥a 时，g x 图象为双曲线x2a 24-y 2a2=1右支的x 轴上方部分向右平移a2所得，由x2a 24-y 2a2=1的渐近线方程为y =±aa 2x =±2x ，即g x 部分的渐近线方程为y =2x -a 2，其斜率为2，又a ∈0,2 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x ≥2a 时的斜率a ∈0,2 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在a ,+∞ 上单调递增，故有1a <a 3a>a，解得1<a <3，故1<a <3符合要求；当a <0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥0或x ≤a ，当x ≥0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =-2时，即4x -1=0，即x =14，当a ∈-2,0 ，x =-12+a <0(负值舍去)或x =12-a0，当a ∈-∞,2 时，x =-12+a >0或x =12-a>0，有两解，舍去，即当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥0时有唯一解，则当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤a 时需无解，当a ∈-2,0 ，且x ≤a 时，由函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在2a ,1a上单调递减，在3a ,2a上单调递增，同理可得：x ≤a 时，g x 图象为双曲线x 2a 24-y 2a 2=1左支的x 轴上方部分向左平移a2所得，g x 部分的渐近线方程为y =-2x +a 2，其斜率为-2，又a ∈-2,0 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x <2a 时的斜率a ∈-2,0 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在-∞,a 上单调递减，故有1a >a 3a<a，解得-3<a <-1，故-3<a <-1符合要求；综上所述，a ∈-3,-1 ∪1,3 .故答案为：-3,-1 ∪1,3 .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数f x 的零点问题转化为函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.19.3【分析】利用分段函数的形式可求f 3 .【解析】因为f x =x ,x >01,x ≤0, 故f 3 =3，故答案为：3.20.(1)-2(2)证明见解析(3)b ≥-23【分析】(1)求出f x min =2+a 后根据f (x )≥0可求a 的最小值；(2)设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，可证P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n 也在函数的图像上，从而可证对称性；(3)根据题设可判断f 1 =-2即a =-2，再根据f (x )>-2在1,2 上恒成立可求得b ≥-23.【解析】(1)b =0时，f x =ln x2-x+ax ，其中x ∈0,2 ，则f x =1x +12-x =2x 2-x+a ,x ∈0,2 ，因为x 2-x ≤2-x +x 2 2=1，当且仅当x =1时等号成立，故f x min =2+a ，而f x ≥0成立，故a +2≥0即a ≥-2，所以a 的最小值为-2.，(2)f x =ln x2-x+ax +b x -1 3的定义域为0,2 ，设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n ，因为P m ,n 在y =f x 图象上，故n =ln m2-m+am +b m -1 3，而f 2-m =ln 2-m m +a 2-m +b 2-m -1 3=-ln m2-m +am +b m -1 3 +2a ，=-n +2a ，所以Q 2-m ,2a -n 也在y =f x 图象上，由P 的任意性可得y =f x 图象为中心对称图形，且对称中心为1,a .(3)因为f x >-2当且仅当1<x<2，故x=1为f x =-2的一个解，所以f1 =-2即a=-2，先考虑1<x<2时，f x >-2恒成立.此时f x >-2即为lnx2-x+21-x+b x-13>0在1,2上恒成立，设t=x-1∈0,1，则ln t+11-t-2t+bt3>0在0,1上恒成立，设g t =ln t+11-t-2t+bt3,t∈0,1，则g t =21-t2-2+3bt2=t2-3bt2+2+3b1-t2，当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，故g t >0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当-23≤b<0时，-3bt2+2+3b≥2+3b≥0，故g t ≥0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当b<-23，则当0<t<1+23b<1时，g t <0故在0,1+2 3b上g t 为减函数，故g t <g0 =0，不合题意，舍；综上，f x >-2在1,2上恒成立时b≥-2 3 .而当b≥-23时，而b≥-23时，由上述过程可得g t 在0,1递增，故g t >0的解为0,1，即f x >-2的解为1,2.综上，b≥-2 3 .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.21.(1)e-1x-y-1=0(2)1,+∞【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；(2)解法一：求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f (x)=e x-a有零点，可得a>0，进而利用导数求f x 的单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可.【解析】(1)当a=1时，则f(x)=e x-x-1，f (x)=e x-1，可得f(1)=e-2，f (1)=e-1，即切点坐标为1,e-2，切线斜率k=e-1，所以切线方程为y-e-2=e-1x-1，即e-1x-y-1=0.(2)解法一：因为f(x)的定义域为R，且f (x)=e x-a，若a≤0，则f (x)≥0对任意x∈R恒成立，可知f (x )在R 上单调递增，无极值，不合题意；若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，则g a =2a +1a>0，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ ；解法二：因为f (x )的定义域为R ，且f (x )=e x -a ，若f (x )有极小值，则f (x )=e x -a 有零点，令f (x )=e x -a =0，可得e x =a ，可知y =e x 与y =a 有交点，则a >0，若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，符合题意，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，因为则y =a 2,y =ln a -1在0,+∞ 内单调递增，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ .22.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x >1时，e x -1-2x +1+ln x >0即可.【解析】(1)f (x )定义域为(0,+∞)，f (x )=a -1x =ax -1x当a ≤0时，f (x )=ax -1x <0，故f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，x ∈1a,+∞ 时，f (x )>0，f (x )单调递增，当x ∈0,1a时，f (x )<0，f (x )单调递减.综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,+∞)上单调递减；a >0时，f (x )在1a ,+∞ 上单调递增，在0,1a上单调递减.(2)a ≤2，且x >1时，e x -1-f (x )=e x -1-a (x -1)+ln x -1≥e x -1-2x +1+ln x ，令g (x )=e x -1-2x +1+ln x (x >1)，下证g (x )>0即可.g (x )=e x -1-2+1x ，再令h (x )=g (x )，则h (x )=e x -1-1x2，显然h (x )在(1,+∞)上递增，则h (x )>h (1)=e 0-1=0，即g (x )=h (x )在(1,+∞)上递增，故g (x)>g (1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，问题得证23.(1)极小值为0，无极大值.(2)a≤-12【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数，就a≤-12、-12<a<0、a≥0分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】(1)当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，故f (x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-11+x+1，因为y=2ln(1+x),y=-11+x+1在-1,+∞上为增函数，故f (x)在-1,+∞上为增函数，而f (0)=0，故当-1<x<0时，f (x)<0，当x>0时，f (x)>0，故f x 在x=0处取极小值且极小值为f0 =0，无极大值.(2)f x =-a ln1+x+1-ax1+x-1=-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，设s x =-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，则s x =-ax+1-a+11+x2=-a x+1+a+11+x2=-ax+2a+11+x2，当a≤-12时，sx >0，故s x 在0,+∞上为增函数，故s x >s0 =0，即f x >0，所以f x 在0,+∞上为增函数，故f x ≥f0 =0.当-12<a<0时，当0<x<-2a+1a时，sx <0，故s x 在0,-2a+1 a上为减函数，故在0,-2a+1a上s x <s0 ，即在0,-2a+1 a上f x <0即f x 为减函数，故在0,-2a+1 a上f x <f0 =0，不合题意，舍.当a≥0，此时s x <0在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上f x <f0 =0恒成立，不合题意，舍；综上，a≤-1 2 .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.24.(1)单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)证明见解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；(2)写出切线方程y-f(t)=1+k1+t(x-t)(t>0)，将(0,0)代入再设新函数F(t)=ln(1+t)-t1+t，利用导数研究其零点即可；(3)分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S ABO 得到13ln (1+t )-2t -15t1+t=0，再设新函数h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)研究其零点即可.【解析】(1)f (x )=x -ln (1+x ),f (x )=1-11+x =x1+x(x >-1)，当x ∈-1,0 时，f x <0；当x ∈0,+∞ ，f x >0；∴f (x )在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.则f (x )的单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)f (x )=1+k 1+x ，切线l 的斜率为1+k1+t，则切线方程为y -f (t )=1+k1+t (x -t )(t >0)，将(0,0)代入则-f (t )=-t 1+k 1+t,f (t )=t 1+k1+t ，即t +k ln (1+t )=t +t k 1+t ，则ln (1+t )=t 1+t ，ln (1+t )-t1+t =0，令F (t )=ln (1+t )-t1+t，假设l 过(0,0)，则F (t )在t ∈(0,+∞)存在零点.F (t )=11+t -1+t -t (1+t )2=t(1+t )2>0，∴F (t )在(0,+∞)上单调递增，F (t )>F (0)=0，∴F (t )在(0,+∞)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).(3)k =1时，f (x )=x +ln (1+x ),f (x )=1+11+x =x +21+x>0.S △ACO =12tf (t )，设l 与y 轴交点B 为(0,q )，t >0时，若q <0，则此时l 与f (x )必有交点，与切线定义矛盾.由(2)知q ≠0.所以q >0，则切线l 的方程为y -t -ln t +1 =1+11+t x -t ，令x =0，则y =q =y =ln (1+t )-tt +1.∵2S △ACO =15S ABO ，则2tf (t )=15t ln (1+t )-t t +1，∴13ln (1+t )-2t -15t 1+t =0，记h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)，∴满足条件的A 有几个即h (t )有几个零点.h(t )=131+t -2-15(t +1)2=13t +13-2t 2+2t +1 -15(t +1)2=2t 2+9t -4(t +1)2=(-2t +1)(t -4)(t +1)2，当t ∈0,12 时，h t <0，此时h t 单调递减；当t ∈12,4 时，h t >0，此时h t 单调递增；当t ∈4,+∞ 时，h t <0，此时h t 单调递减；因为h (0)=0,h 120,h (4)=13ln5-20 13×1.6-20=0.8>0，h (24)=13ln25-48-15×2425=26ln5-48-725<26×1.61-48-725=-20.54<0，所以由零点存在性定理及h (t )的单调性，h (t )在12,4 上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h (t )有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.25.(1)y =x -1(2)2(3)证明过程见解析【分析】(1)直接使用导数的几何意义；(2)先由题设条件得到a =2，再证明a =2时条件满足；(3)先确定f x 的单调性，再对x 1,x 2分类讨论.【解析】(1)由于f x =x ln x ，故f x =ln x +1.所以f 1 =0，f 1 =1，所以所求的切线经过1,0 ，且斜率为1，故其方程为y =x -1.(2)设h t =t -1-ln t ，则h t =1-1t =t -1t，从而当0<t <1时h t <0，当t >1时h t >0.所以h t 在0,1 上递减，在1,+∞ 上递增，这就说明h t ≥h 1 ，即t -1≥ln t ，且等号成立当且仅当t =1.设g t =a t -1 -2ln t ，则f x -a x -x =x ln x -a x -x =x a 1x -1-2ln 1x=x ⋅g 1x.当x ∈0,+∞ 时，1x的取值范围是0,+∞ ，所以命题等价于对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0.一方面，若对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0，则对t ∈0,+∞ 有0≤g t =a t -1 -2ln t =a t -1 +2ln 1t ≤a t -1 +21t -1 =at +2t-a -2，取t =2，得0≤a -1，故a ≥1>0.再取t =2a ，得0≤a ⋅2a +2a 2-a -2=22a -a -2=-a -2 2，所以a =2.另一方面，若a =2，则对任意t ∈0,+∞ 都有g t =2t -1 -2ln t =2h t ≥0，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是2 .(3)先证明一个结论：对0<a <b ，有ln a +1<f b -f ab -a<ln b +1.证明：前面已经证明不等式t -1≥ln t ，故b ln b -a ln a b -a =a ln b -a ln ab -a +ln b =ln b a b a -1+ln b <1+ln b ，且b ln b -a ln a b -a =b ln b -b ln a b -a +ln a =-ln a b 1-a b +ln a >-ab-1 1-a b+ln a =1+ln a ，所以ln a +1<b ln b -a ln ab -a <ln b +1，即ln a +1<f b -f a b -a<ln b +1.由f x =ln x +1，可知当0<x <1e 时f x <0，当x >1e时f x >0.所以f x 在0,1e 上递减，在1e,+∞ 上递增.不妨设x 1≤x 2，下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一：当1e≤x 1≤x 2<1时，有f x 1 -f x 2 =f x 2 -f x 1 <ln x 2+1 x 2-x 1 <x 2-x 1<x 2-x 1，结论成立；情况二：当0<x 1≤x 2≤1e时，有f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2.对任意的c ∈0,1e，设φx =x ln x -c ln c -c -x ，则φx =ln x +1+12c -x.由于φx 单调递增，且有φ c 2e1+12c=ln c2e1+12c+1+12c -c2e1+12c<ln1e1+12c+1+12c -c2=-1-12c +1+12c=0，且当x ≥c -14ln 2c-1 2，x >c 2时，由12c -x≥ln 2c -1可知φ x =ln x +1+12c -x >ln c 2+1+12c -x =12c -x-ln 2c -1 ≥0.所以φ x 在0,c 上存在零点x 0，再结合φ x 单调递增，即知0<x <x 0时φ x <0，x 0<x <c 时φ x >0.故φx 在0,x 0 上递减，在x 0,c 上递增.①当x 0≤x ≤c 时，有φx ≤φc =0；②当0<x <x 0时，由于c ln 1c =-2f c ≤-2f 1e =2e <1，故我们可以取q ∈c ln 1c,1 .从而当0<x <c1-q 2时，由c -x >q c ，可得φx =x ln x -c ln c -c -x <-c ln c -c -x <-c ln c -q c =c c ln 1c-q <0.再根据φx 在0,x 0 上递减，即知对0<x <x 0都有φx <0；综合①②可知对任意0<x ≤c ，都有φx ≤0，即φx =x ln x -c ln c -c -x ≤0.根据c ∈0,1e和0<x ≤c 的任意性，取c =x 2，x =x 1，就得到x 1ln x 1-x 2ln x 2-x 2-x 1≤0.所以f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2≤x 2-x 1.情况三：当0<x 1≤1e ≤x 2<1时，根据情况一和情况二的讨论，可得f x 1 -f 1e≤1e -x 1≤x 2-x 1，f 1e -f x 2 ≤x 2-1e ≤x 2-x 1.而根据f x 的单调性，知f x 1 -f x 2 ≤f x 1 -f 1e 或f x 1 -f x 2 ≤f 1e-f x 2 .故一定有f x 1 -f x 2 ≤x 2-x 1成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合f x 的单调性进行分类讨论.26.(1)x |1<x <2(2)a >1【分析】(1)求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围．【解析】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ，故log a 4=2，故a 2=4即a =2(负的舍去)，而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数，故f 2x -2 <f x ，故0<2x -2<x 即1<x <2，故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，故2f ax =f x +1 +f x +2 有解，故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ，因为a >0,a ≠1，故x >0，故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解，由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解，令t =1x ∈0,+∞ ，而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ，故a 2>1即a >1.27.(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【解析】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -0 2=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x 2=1x 2即x =1时取等号，故对于点M 0,0 ，存在点P 1,1 ，使得该点是M 0,0 在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x -1)2+e x -0 2=(x -1)2+e 2x ，则s x =2x -1 +2e 2x ，因为y =2x -1 ,y =2e 2x 均为R 上单调递增函数，则s x =2x -1 +2e 2x 在R 上为严格增函数，而s 0 =0，故当x <0时，s x <0，当x >0时，s x >0，故s x min =s 0 =2，此时P 0,1 ，而f x =e x ,k =f 0 =1，故f x 在点P 处的切线方程为y =x +1.而k MP =0-11-0=-1，故k MP ⋅k =-1，故直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直．(3)设s 1x =(x -t +1)2+f x -f t +g t 2，s 2x =(x -t -1)2+f x -f t -g t 2，而s 1x =2(x -t +1)+2f x -f t +g t f x ，s 2x =2(x -t -1)+2f x -f t -g t f x ，若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，设P x 0,y 0 ，则x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则x 0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，即s 1 x 0 =2x 0-t +1 +2f x 0 f x 0 -f (t )+g (t ) =0①s 2 x 0 =2x 0-t -1 +2f x 0 f x 0 -f (t )-g (t ) =0②由①②相等得4+4g (t )⋅f x 0 =0，即1+f x 0 g (t )=0，即f x 0 =-1g (t )，又因为函数g (x )在定义域R 上恒正，则f x 0 =-1g (t )<0恒成立，接下来证明x 0=t ，因为x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，则s 1x 0 ≤s (t ),s 2x 0 ≤s (t )，即x 0-t +1 2+f x 0 -f t +g t 2≤1+g t 2，③x 0-t -12+f x 0 -f t -g t 2≤1+g t 2，④③+④得2x 0-t 2+2+2f x 0 -f (t ) 2+2g 2(t )≤2+2g 2(t )即x 0-t 2+f x 0 -f t 2≤0，因为x 0-t 2≥0,f x 0 -f t 2≥0则x 0-t =0f x 0 -f t =0，解得x 0=t ，则f t =-1g (t )<0恒成立，因为t 的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.。

第09课美丽的颜色【基础训练】一、选择题1．下列句子中加点词语运用不恰当的一项是（）A．路边有一只小鸟在吃食，我小心翼翼．．．．地走过，生怕打扰了它吃早餐。

B．如果我们犯错了，老师总是和颜悦色．．．地告诫，从不斥责我们。

C．五一假期，我们去爬了云台山，累得筋疲力尽．．．．。

D．用自己的能力证明自己，胜过用空话夸奖．．自己。

【答案】D【解析】【详解】D项有误“夸奖”赞美；称赞。

与“空话”语境不符。

“小心翼翼”形容谨慎小心,一点不敢疏忽。

“和颜悦色”形容和善可亲。

“筋疲力尽”形容非常疲乏，一点力气也没有了。

【点睛】此题主要考查正确使用词语（成语）的能力。

在平时的复习中应养成规范使用汉语言文字的习惯，不要被一些媒体的错误用法所误导，并注重积累。

积累一些常见的近义词、易错词，注意区分近义词中不同语素的含义，做题时根据语境分析哪个更合适；更重要的是在阅读中培养语感，注意词语使用的语境。

2．下列病句修改不正确的一项是（）A．我们应该发挥广大青年的充分的作用，让他们在省运期间各显其能，使运动员从中感受到周口青年的友好。

（将“充分”调至“发挥”前，并删掉“的”）B．秋风一阵阵吹来，树技摇曳，月光.树影晃动起来，发出沙沙声。

（去掉“月光”）C．前期准备工作已经完成，现在，摆在我们面前的任务就是如何提高产品质量的问题了。

（将“任务”或“的问题”删掉）D．既然你来了，我也该走了。

（缺少主语）【答案】D【解析】【详解】考查对句子语病的辨析与修改。

D项有误，关联词语搭配不当，将“也”改为“就”。

3．下列加横线的成语使用有误的一项是（）A．国文和英文，则必须学有素养，临阵磨枪、临时抱佛脚，是不行的。

B．观赏日出的人们，无不赞叹太阳升起时的巧夺天工。

C．这舞松之风更把云雾吹得千姿万态，令人眼花缭乱。

D．在西部，沙子一旦摆脱了水，它们就会纵横捭阖，所向披靡。

【答案】B【详解】A．临阵磨枪：临：到，快要；阵：阵地、战场；枪：指梭镖、长矛一类的武器。

二类轮机管理题库09试题及答案您的姓名： [填空题] *_________________________________1.船体外形大小的尺度称为船舶主尺度，船舶主尺度的参数包括()——。

①垂线间长②型宽③型深④吃水 [单选题] *A.①②④B.②③④C.①③D.①②③(正确答案)2.船舶微倾前后两浮力作用线的交点称为()——。

[单选题] *A.稳心(正确答案)B.重心C.浮心D.漂心3.船舶初稳性指的是()——。

[单选题] *A.船舶在开始倾斜时的稳性B.船舶在小角度倾斜时的稳性(正确答案)C.船舶在平衡状态时的稳性D.船舶在空载状态时的稳性4.根据《中华人民共和国船员条例》的规定，船员用人单位和船员应当按照国家有关规定参加( )并依法按时足额缴纳各项保险费用。

①工伤保险②医疗保险③养老保险④失业保险 [单选题] *A.①②③B.①②④C.①②③④(正确答案)D.①③④5.车床、钻床作业的安全注意事项包括()①应严格遵守操作规程②工件应装夹牢靠③操作者衣着要紧身，袖口要扣好④操作者要带好防护眼镜5操作者要带好手套 [单选题] *A.①②③B.①②③④(正确答案)C.①②③⑤D.①②③④⑤6.以下船舶对水域油污染的途径中，属于操作性排放的是()——。

①油船装卸油作业中的排油、漏油②事故溢油③含油舱底水④船舶加装燃润油时的跑、冒、滴、漏⑤油舱调驳作业中意外排油 [单选题] *A.①②③⑤B.②④⑤C.①②③④D.①③④⑤(正确答案)7.船舶在营运过程中产生的垃圾应存放在用于盛放垃圾的容器中。

[单选题] *A.对(正确答案)B.错8.《中华人民共和国船员条例》规定，违反本条例的规定()，可由海事管理机构处1000元以上1万元以下罚 [单选题] *A.船员值班时在控制室休息(正确答案)B.船员发现或者发生险情、事故、保安事件未及时报告C.船舶进出港时，船长未在驾驶台D.轮机长在弃船时未最后离船9.根据《中华人民共和国船员违法记分办法》，被责令其参加法规培训和考试的船员，可向()___的海事管理机构报名。

1专题09 利用公共边模型证明三角形全等知识对接考点一、全等三角形基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等. 3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 要点补充：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.专项训练一、单选题1．（2021·河北邢台·）已知：在ABC 中，AB AC = 求证：B C ∠=∠ 证明：如图，作______ 在ABD △和ACD △中， AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACD ∴≌△△B C ∴∠=∠其中，横线应补充的条件是（ ）A ．BC 边上高ADB ．BC 边上中线AD C ．A ∠的平分线AD D ．BC 边的垂直平分线【答案】C 【分析】根据全等三角形判定SAS ，即可选出． 【详解】证明：如图，作A ∠的平分线AD 在ABD △和ACD △中， AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACD ∴≌△△B C ∴∠=∠ 故选C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，属于基础题型．2．（2021·合肥市第四十五中学九年级）如图边长为4的正方形ABCD 中，E 为边AD 上一点，且1AE =， F 为边AB 上一动点，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90︒得到线段 FG ，连接DG ，则DG 的最小值为（ ）3AB ．4C．D【答案】A 【分析】过G 点作GH AB ⊥交AB 于点H ，过G 点作GI AD ⊥交AD 于点I ，根据EF 绕点F 顺时针旋转90︒得到线段FG ，可得90EFG ∠=，EF GF =，利用AAS 易证FHGEAF ，再根据四边形AHGI 是矩形，可得AIGH ，IG AH ,设AF x =，则AI GH AFx ，1IGAHx ，4DIAD AIx ，根据勾股定理可得222232541222DGxx x，即当32x =时，DG 有最小值． 【详解】解：如图示：过G 点作GH AB ⊥交AB 于点H ，过G 点作GI AD ⊥交AD 于点I ，∵线段EF 绕点F 顺时针旋转90︒得到线段FG ， ∵90EFG ∠=，EF GF = ∵90EFA HFG ， 又∵90EFA FEA∵HFGAEF∵GH AB ⊥，四边形ABCD 是正方形， ∵90FHG EAF，∵FHG EAF AAS∵FHEA ，GHFA ，∵GH AB ⊥，GI AD ⊥ ∵四边形AHGI 是矩形， ∵AIGH ，IGAH ,设AF x =，则AI GH AFx ，1IGAHx ， 4DIAD AIx ，在Rt DIG中，22222232541222 DG DI IG x x x，即当32x=时，2DG有最小值252，∵当32x=时，DG故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．3．（2021·河北邢台·）如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，用ADB∠的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【答案】C【分析】连接AC，证明∵ABC为等边三角形，得到∵ABC=60°，根据菱形性质即可求解．【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∵AB=BC，∵CE为边AB的垂直平分线，∵BC=AC，∵AB=BC=AC，∵∵ABC为等边三角形，∵∵ABC=60°，∵四边形ABCD为菱形，∵∵ADB=113022ADC ABC∠=∠=︒．故选：C5【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，证明∵ABC 为等边三角形是解题关键．4．（2021·浙江宁波市·九年级一模）如图，四边形ABCD 和DEFG 均为正方形，点E 在对角线AC 上，点F 在边BC 上，连结CG 和EG ．若知道正方形ABCD 和DEFG 的面积，则一定能求出（ ）A ．四边形ABFE 的周长B ．四边形ECGD 的周长C ．四边形AEGD 的周长 D ．四边形ACGD 的周长【答案】B 【分析】根据正方形的性质易证ADE ≌CDG ，再根据全等三角形的性质得出AE CG =，结合各个选项只有四边形ECGD 的周长是由AC 与DE 确定，从而得出答案． 【详解】解：四边形ABCD 和DEFG 均为正方形， ,,90AD DC DE DG ADC EDG ∴==∠=∠=︒ADE EDC CDG EDC ∠+∠=∠+∠ ADE CDG ∴∠=∠∴ADE ≌CDG ， ∴AE CG =． ∴四边形ECGD 的周长EC CG GD DE =+++EC AE GD DE=+++=+．2AC DE因为知道正方形ABCD和DEFG的面积，所以它们的边长和对角线均可确定，即AC与DE确定，一定能求出四边形ECGD的周长,其他选项不符合；故B正确．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．（2021·江苏九年级）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH 的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（）A．S变化，l不变B．S不变，l变化C．S变化，l变化D．S与l均不变【答案】D【分析】如解析图，利用全等三角形的判定与性质，证明∵AOG∵∵COH，从而得到AG=CH，最终将所求问题转换到四边形OABC中进行判断即可．【详解】如图所示，连接OA，OC，由正六边形的性质可知，OA=OC，∵AOC=∵GOH=120°，∵OAG=∵OCH=60°，∵∵AOG=∵COH，在∵AOG与∵COH中，7AOG COH OA OCOAG OCH ∠⎪∠⎧=∠=∠⎪⎨⎩= ∵∵AOG ∵∵COH (ASA )， ∵AOG COH S S =△△，AG =CH ，∵2l GB BC CH GB BC AG AB BC AB =++=++=+=， COHAOGOGBC OGBC OABC S SS SS S =+=+=四边形四边形四边形，∵正六边形ABCDEF 的边长为定值，∵l 不改变，四边形OABC 的面积不改变，即S 不改变， 故选：D ．【点睛】本题考查正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质，理解正六边形的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．6．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级）如图，M 是ABC 的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，且8AB =，3MN =．则AC 的长为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C 【分析】延长BN 交AC 于D ，证明ANB ∵AND △，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可． 【详解】延长BN 交AC 于D ， 在ANB 和AND △中 ，90NAB NAD AN ANANB AND ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∵ANB ∵AND △， ∵ AD =AB =8，BN =ND ， ∵ M 是ABC 的边BC 的中点， ∵ DC =2MN =6， ∵ AC =AD +CD =14， 故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．7．（2021·山西太原市·）如图，在矩形纸片ABCD 中，9AD =，7AB =，点F 是BC 上一点，点E 在AD 上，将矩形纸片沿直线EF 折叠，点A 落在点A '处．点B 恰好落在边CD 上的点B '处，A B '交AD 于点G ，若3CB '=，则四边形EFB G '的面积等于（ ）A ．353B ．553C ．352D ．1456【答案】D 【分析】根据矩形的性质得4DB '=，设BF x =，由勾股定理得5,4BF CF ==，再证明FCB B DG ''∆≅∆得3GD CB '==，由勾股定理得25GB '=，可得，设2A G '=.AE A E y '==由勾股定理求出83AE A E '==，最后由四边形EFB G'9的面积A EG A B FE S S S '∆''=-梯形求出结论即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，且97AD AB ==， ∵97BC AD CD AB ====， ∵3CB '= ∵4DB '= 设BF x = ∵9CF x =-∵BF B F '=且222B F FC B C ''=+ ∵222(9)3x x =-+ ∵5x =∵5,4BF CF == ∵∵90FB A D ''︒=∠=∵∵90,90FB C GB D GB D DGB '''∠+∠=︒∠+∠=︒， ∵FB C DGB ''∠=∠ ∵4D C FC B D '∠=∠==， ∵FCB B DG ''∆≅∆ ∵3GD CB '==∵25GB '== ∵7A B AB ''== ∵2A G '= 设.AE A E y '== ∵936EG y y =--=- 又222EG A E A G ''=+ ∵222(6)2y y -=+ 解得，83y = ∵83AE A E '==∵118161()(5)72236AB FE ABFES S AE BF AB'==+⨯=⨯+⨯=梯形梯形，118822233A EGS A E A G'∆''=⨯=⨯⨯=∵四边形EFB G'的面积1618145636A EGA B FES S S'∆''=-=-=梯形故选：D【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用矩形的性质与勾股定理等其它知识有机结合．8．（2021·湖南九年级）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且12AFFB=，CE∵DF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝12BC，连接CM．有如下结论：∵AE＝BF；∵AN；∵∵ADF＝∵GMF；∵S∵ANF＝19S∵ABC，上述结论中，正确的是（）A．∵∵B．∵∵C．∵∵∵D．∵∵∵【答案】C【分析】∵正确．证明∵ADF∵∵DCE（ASA），即可判断．∵正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．∵正确．作GH∵CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，ECa，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．∵错误．设∵ANF的面积为m，由AF∵CD，推出13 AF FNCD DN==，∵AFN∵∵CDN，推出∵ADN的面积为3m，∵DCN的面积为9m，推出∵ADC的面积＝∵ABC的面积＝12m，由此即可判断．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝AB＝CD＝BC，∵CDE＝∵DAF＝90°，∵CE∵DF，∵∵DCE+∵CDF＝∵ADF+∵CDF＝90°，∵∵ADF＝∵DCE，11在∵ADF 与∵DCE 中， DAF CDE AD CDADF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵ADF ∵∵DCE （ASA ）， ∵DE ＝AF ，∵AD ﹣DE ＝BC ﹣AF ，即AE ＝BF ， 故∵正确； ∵AB ∵CD ， ∵AF ANCD CN=， ∵AF ：FB ＝1：2，∵AF ：AB ＝AF ：CD ＝1：3， ∵13AN CN =， ∵14AN AC =， ∵ACAD ， ∵AN； 故∵正确；作GH ∵CE 于H ，设AF ＝DE ＝a ，BF ＝2a ，则AB ＝CD ＝BC ＝3a ，EC，由∵CMD ∵∵CDE ，可得CM， 由∵GHC ∵∵CDE ，可得CH， ∵CH ＝MH ＝12CM ，∵GH ∵CM ， ∵GM ＝GC ， ∵∵GMH ＝∵GCH ，∵∵FMG +∵GMH ＝90°，∵DCE +∵GCM ＝90°， ∵∵FMG ＝∵DCE ， ∵∵ADF ＝∵DCE ， ∵∵ADF ＝∵GMF ； 故∵正确，设∵ANF 的面积为m ， ∵AF ∵CD ， ∵13AF FN CD DN ==，∵AFN ∵∵CDN ， ∵∵ADN 的面积为3m ，∵DCN 的面积为9m ， ∵∵ADC 的面积＝∵ABC 的面积＝12m ， ∵S ∵ANF ：S ∵ABC ＝1：12， 故∵错误， 故选：C ． 【点睛】本题是一个综合性的题目，综合考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识．9．（2021·山东）如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，BCE ACD ∠=∠，40BAC D ∠=∠=︒，AB DE =，则BCE ∠的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【答案】C 【分析】13通过证明∵ABC ∵∵DEC ，可得AC =DC ，从而40CAD D ∠=∠=︒，然后求出∵ACD 的值，进而可求BCE ∠的度数． 【详解】解：∵BCE ACD ∠=∠，∵BCE ACE ACD ACE ∠-∠=∠-∠， ∵∵ACB =∵DCE ． 在∵ABC 和∵DEC 中ACB DCE BAC D AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ABC ∵∵DEC ， ∵AC =DC ，∵40CAD D ∠=∠=︒， ∵∵ACD =180°-40°-40°=100°，∵∵BCE =∵BCA +∵ACE =∵DCE +∵ACE =∵ACD =100°， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．10．（2021·山东枣庄市·）如图，在平行四边形ABCD 中，90BAC ∠=，AB AC =，过点A 作边BC 的垂线AF 交DC 的延长线于点E ，点F 是垂足，连接BE 、DF ，DF 交AC 于点O ．则下列结论：∵四边形ABEC 是正方形；∵:1:3CO BE =；∵DE ；∵AOD OCEF S S ∆=四边形，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】∵先证明∵ABF∵∵ECF ，得AB=EC ，再得四边形ABEC 为平行四边形，进而由∵BAC=90°，得四边形ABCD 是正方形，便可判断正误；∵由∵OCF∵∵OAD ，得OC ：OA=1：2，进而得OC ：BE 的值，便可判断正误；∵根据AB ，DE=2AB 进行推理说明便可；∵由∵OCF 与∵OAD 的面积关系和∵OCF 与∵AOF 的面积关系，便可得四边形OCEF 的面积与∵AOD 的面积关系． 【详解】∵90BAC ∠=，AB AC =，BF CF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，//AB DE ∴， BAF CEF ∴∠=∠， AFB CFE ∠=∠， ()ABF ECF AAS ∴∆≅∆，AB CE ∴=，∴四边形ABEC 是平行四边形，90BAC ∠=， AB AC =，∴四边形ABEC 是正方形，故此题结论正确；∵//OC AD ，~OCF OAD ∴∆∆，:::1:2OC OA CF AD CF BC ∴===，:1:3OC AC ∴=，AC BE =，:1:3OC BE ∴=，故此小题结论正确；∵∵AB ＝CD ＝ECAB CD EC ==，2DE AB ∴=，AB AC =， 90BAC ∠=，AB ∴=，2DE ∴==，故此小题结论正确； ∵~OCF OAD ∆∆，15211()24OCF OAD S S ∆∆∴==∵， 14OCF OAD S S ∆∆∴=∵， :1:3OC AC =，3DCF ACFACF CEF S S S S ∆∆∆∆∴==，334CEF OCF OAD S S S ∆∆∆∴==， 13()44OCF CEF OAD OAD OCEF S S S S S ∆∆∆∆∴=+=+=四边形，故此小题结论正确．故选D ． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定，三角形相似的性质，解题关键在于掌握各性质定义的运用 二、填空题11．（2021·北京平谷·）如图，在ABC ∆和ADC ∆中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，只需添加一个条件即可证明ABC ADC ∆∆≌，这个条件可以是________________(写出一个即可).【答案】BAC DAC ∠=∠（答案不唯一） 【分析】由题意可得在ABC ∆与ADC ∆中，已有ABC ∠=90ADC ∠=︒，AC=AC ，根据三角形全等的判定定理再添加一个条件即可． 【详解】解：在ABC ∆与ADC ∆中，ABC ∠=90ADC ∠=︒，AC=AC ， 若BAC DAC ∠=∠，则由AAS 可得ABC ADC ∆∆≌．故答案为：BAC DAC ∠=∠（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟记三角形全等的判定定理．12．（2021·北京顺义·九年级）如图，12∠=∠，只需添加一个条件即可证明ABC BAD ≌，这个条件可以是________（写出一个即可）【答案】AD =BC 或∵D =∵C 或∵DBA =∵CAB 等（答案不唯一，填一个即可）． 【分析】根据三角形全等的判定定理，添加边相等或角相等即可． 【详解】解：添加AD =BC ，可用SAS 判断ABC BAD ≌； 添加∵D =∵C ，可用AAS 判断ABC BAD ≌； 添加∵DBA =∵CAB ，可用ASA 判断ABC BAD ≌；故答案为：AD =BC 或∵D =∵C 或∵DBA =∵CAB 等（答案不唯一，填一个即可）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟记全等三角形的判定定理，准确添加正确条件．13．（2021·全国九年级专题练习）在ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明ABD∵ACD ，这个条件可以是________（写出一个即可）【答案】∵BAD=∵CAD （或BD=CD ） 【分析】证明ABD∵ACD ，已经具备,,AB AC AD AD == 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案． 【详解】 解：,,AB AC AD AD ==17∴ 要使,ABD ACD ≌则可以添加：∵BAD=∵CAD ， 此时利用边角边判定：,ABD ACD ≌ 或可以添加：,BD CD =此时利用边边边判定：,ABD ACD ≌ 故答案为：∵BAD=∵CAD 或（.BD CD =） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．14．（2021·黑龙江佳木斯·九年级）如图，E 是平行四边形ABCD 边上的点，CE ，BA 的延长线交于点F ，添加一个条件______，使得AFE DCE △≌△（填一个即可）．【答案】AE DE =或AF DC =或FE CE =（答案不唯一）． 【分析】根据已知条件，找出使AFE DCE △≌△的条件，再添加缺少条件即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∵AF ∵CD ，∵∵F =∵ECD ，∵F AE =∵D ，要使AFE DCE △≌△，只要再添加一对边对应相等即可， 故答案为：AE DE =或AF DC =或FE CE =（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质得出存在条件，再根据全等三角形的判定确定添加条件．15．（2021·北京西城·九年级二模）如图，直线l 为线段AB 的垂直平分线，垂足为C ，直线l 上的两点E ，F 位于AB 异侧（E ，F 两点不与点C 重合）．只需添加一个条件即可证明ACE BCF ≌△△，这个条件可以是____．【答案】CE CF = 【分析】根据全等三角形的判定直接写出条件即可 【详解】证明：添加：CE CF =，理由如下： ∵直线l 为线段AB 的垂直平分线 ∵AC =CB ,∵ACE =∵BCF 又CE CF =∵ACE BCF ≌△△（SAS ） 故答案为：CE CF = 【点睛】本题考查全等三角形的判定，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定是关键 三、解答题16．（2021·北京顺义·九年级）已知：如图，在Rt ABC ∆中，∵ACB ＝90°，∵CAB ＝30°，P 是AB 边上任意一点，D 是AB 边的中点，连接CP ，CD ，并将PC 绕点P 逆时针旋转60°得到PE ，连接AE ． （1）求证：CD ＝BC ； （2）∵依题意补全图形；∵用等式表示线段PE 与AE 的数量关系，并证明．19【答案】（1）见解析；（2）∵见解析；∵PE ＝AE ，见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质证明60,,B CD BD ∠=︒= 可得BCD △是等边三角形，从而可得结论； （2）∵根据题干的语句画图即可；∵连接EC ，ED ，证明∵EPC 是等边三角形，再证明∵ADE ∵∵CDE ，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵∵ACB ＝90°，∵CAB ＝30° ， ∵∵ABC ＝ 60° ∵D 是AB 边的中点， ∵CD ＝BD ． ∵∵CDB 是等边三角形 ∵CD ＝BC ．（2）∵依题意画图如下：∵线段PE 与AE 之间的数量关系为PE ＝AE ．证明：连接EC，ED∵PE＝PC，∵EPC＝60°∵∵EPC是等边三角形∵CP＝CE，∵ECP＝60°∵∵DCB＝60°∵∵ECD＝∵PCB，∵CD＝CB，∵∵CPB∵∵CED，∵∵CDE＝∵B＝60°，∵∵CDB＝60°∵∵ADE＝60°，∵∵ADE＝∵CDE∵DA＝DC∵∵ADE ∵∵CDE∵AE＝CE∵AE＝PE【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形全等的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键．17．（2021·山东）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．（1）求证：∵BFH∵∵DEG；（2）连接DF，若DF＝BF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）四边形EGFH是菱形，见解析.【分析】（1）证∵FBH=∵EDG，DE=BF，BH=DG，由SAS即可得出结论；（2）连接EF交GH于O，由全等三角形的性质得出FH=EG，∵BHF=∵DGE，证出FH∵EG，得出四边形EGFH是平行四边形，由等腰三角形的性质得出EF∵GH，即可得出四边形EGFH是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∵AD＝BC，AD∵BC，∵∵FBH＝∵EDG，∵AE＝CF，BG＝DH，∵DE＝BF，BH＝DG，在∵BFH和∵DEG中，BF DEFBH EDG BH DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BFH∵∵DEG（SAS）；（2）解：若DF＝BF，则四边形EGFH是菱形；理由如下：连接EF交GH于O，如图：由（1）得：∵BFH∵∵DEG，∵FH＝EG，∵BHF＝∵DGE，∵FH∵EG，∵四边形EGFH是平行四边形，∵OG＝OH，∵BG＝DH，∵OB＝OD，∵DF＝BF，∵EF∵GH，∵四边形EGFH是菱形．21【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 18．（2021·贵州）已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点．（1）求证：∵ABM∵∵DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形MENF 是菱形；理由见解析. 【分析】（1）由矩形的性质得出AB =DC ，∵A =∵D ，再由M 是AD 的中点，根据SAS 即可证明∵ABM ∵∵DCM ； （2）先由（1）得出BM =CM ，再由已知条件证出M E=MF ，EN 、FN 是∵BCM 的中位线，即可证出EN =FN =ME =MF ，得出四边形MENF 是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∵∵A=∵D=90°，AB=DC ， ∵M 是AD 的中点， ∵AM=DM ，在∵ABM 和∵DCM 中， AB AC A D AM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ABM∵∵DCM （SAS ）；（2）解：四边形MENF 是菱形；理由如下： 由（1）得：∵ABM∵∵DCM ， ∵BM=CM ，23∵E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点， ∵ME=BE=12BM ，MF=CF=12CM ，∵ME=MF ，又∵N 是BC 的中点，∵EN 、FN 是∵BCM 的中位线， ∵EN=12CM ，FN=12BM ， ∵EN=FN=ME=MF ， ∵四边形MENF 是菱形．点睛：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 19．（2021·山西九年级二模）如图，在Rt ∵ABC 中，∵C =90°，AC ＜BC ． （1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．∵作出AB 的垂直平分线MN ，MN 分别与AB 交于点D ，与BC 交于点E ． ∵过点B 作BF 垂直于AE ，垂足为F ． （2）推理证明：求证AC =BF ．【答案】（1）∵见解析；∵见解析；（2）见解析 【分析】（1）∵根据垂直平分线的作法得出即可；∵延长AE ，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法得出即可；（2）根据垂直平分线的性质得到AE =BE ，再加上90BFE ACE ∠=∠=︒，BEF AEC ∠=∠，证得：BEF AEC △≌△，根据全等的性质得AC BF =． 【详解】 （1）∵∵：如图直线MN，BF就是所要求的作的图形．（2）证明：∵MN垂直平分AB，∵AE=BE．∵BF∵AE，垂足为F，∵90∠=∠=︒．BFE ACE∵BEF AEC∠=∠，∵BEF AEC△≌△．∵AC=BF．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作法、垂直平分线性质以及全等三角形的应用，根据已知得出AE与BE的关系是解题关键．20．（2021·云南昆明市·）如图，AE平分BAC∠，点D为AE上一点，请添加一个条件______．使ABD ACD△≌△，并证明．=；见解析【答案】AB AC【分析】根据角平分线定义推出∵BAD=∵CAD，进而利用全等三角形的判定解答即可．【详解】=证明：添加的条件为AB AC∵AE平分BAC∠25∵BAD CAD ∠=∠． 在ABD △和ACD △中AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()SAS ABD ACD ≌△△． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．21．（2021·北京门头沟区·）已知：如图，AB DE =，AF DC =，请补充一个条件可以得到BC EF =．补充的条件：__________________； 证明：【答案】∵A =∵D ，见解析 【分析】填一个条件，可以根据“边角边”判断△△ACB DFE ≅即可． 【详解】 填∵A =∵D ，∵AB DE =，AF DC =， ∵AC DF =， ∵△△ACB DFE ≅， ∵BC EF =． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟记全等三角形的判定定理，正确添加条件．22．（2021·云南九年级）如图，在ABC 和DEF 中，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF CE =，//AB DE，请添加一个条件，使ABC DEF △≌△，这个添加的条件可以是____（只需写一个，不添加辅助线），并证明．【答案】AB DE =，见解析 【分析】根据平行线的性质求得B E ∠=∠，根据等式的性质求得BC EF =，添加AB DE =，从而利用SAS 定理证明三角形全等． 【详解】解：添加条件AB DE =，证明如下∵//AB DE ∵B E ∠=∠， ∵BF CE =，∵BF CF CE CF +=+． 即：BC EF =在ABC 和DEF 中AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()ABC DEF SAS ≌． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法正确推理论证是解题关键．23．（2021·广东深圳·九年级）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG∵ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：∵ADG∵∵DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∵ADG＝∵C＝90°，AD＝DC，∵DAG＝∵CDE，即可得出∵ADG∵∵DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据∵DCE∵∵HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∵∵ADG＝∵C＝90°，AD＝DC，又∵AG∵DE，∵∵DAG+∵ADF＝90°＝∵CDE+∵ADF，∵∵DAG＝∵CDE，∵∵ADG∵∵DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∵BE＝CE，又∵∵C＝∵HBE＝90°，∵DEC＝∵HEB，∵∵DCE∵∵HBE（ASA），27∵BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∵AFH＝90°，AH＝AB．∵Rt∵AFH中，BF＝12【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．29。

题目：在帷幕下游加强坝基排水系统，增强排水能力，是减小扬压力最经济、最有效的措施。

选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：喷浆修补前应对被喷面进行凿毛处理，并用高压水冲洗干净。

选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：温度缝是混凝土固结时产生的水化作用或外界温度引起的。

选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：砌石坝下游渗水处往往有乳白色碳酸盐沉积物，这是坝体产生渗漏的明显标志。

选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：侧垂线法是混凝土坝和浆砌石坝的位移观测的方法。

选项A：对
选项B：错
答案：错
题目：工作闸门在静水中启闭，承担运行中的主要任务。

选项A：对
选项B：错
答案：错
题目：当闸门运行接近最大开度或关闭接近闸底时，要特别注意控制升降速度，逐渐变缓。

选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：定期检查与特别检查都是全面检查。

选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：水闸建成后，在运用头二至三年进行一次安全鉴定。

选项A：对
选项B：错
答案：错
题目：闸门开启过程中，如发现闸门及启闭机发生振动，应快速通过振动位置。

选项A：对
选项B：错
答案：错
题目：重力坝（）是坝体安全的关键。

选项A：抗滑稳定
选项B：变形控制
选项C：刚度。

专题09 法向量秒求一．叉乘法求解法向量111222111221221112212211122122PAB PA=a b c PB=a b cn(x,y,z)b cx b c b cb ca cy(a c a c)a ca bz a b a ba b===-=-=--==-设平面的两边构成的向量为（，，）、（，，）平面PAB的一个法向量则，，，，，，二．掐头去尾交叉法求法向量111222a(x,y,z)b(x,y,z)n(x,y,z)===已知平面内两相交直线的方向向量、平面的法向量为分两步写，第一步横写两遍，掐头去尾；第二步：由左向右，交叉相乘再相减121212121212n(y z z y,z x x z,x y y x)=---说明：两种方法的实质是一样，都可以使用【例1】（2020·辽宁节选）已知平面α上三点()3,2,1A ，()1,2,0B -，()4,2,1C --，则平面α的一个法向量为（ ） A ．()4,9,16-- B ．()4,9,16- C ．()16,9,4-- D ．()16,9,4-【答案】B【解析】解法一：常规法由已知()4,0,1AB =--，()1,4,2AC =--， 设平面α的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得40420x z x y z --=⎧⎨--=⎩，取4x =，可得16z =-，9y =，所以，平面α的一个法向量为()4,9,16=-n .故选：B.解法二：叉乘法由已知()4,0,1AB =--，()1,4,2AC =--，设平面α的一个法向量为(),,n x y z =()0x 0(2)(4)(1)44241y [4(2)1(1)]9120z 4(4)101614n 4,9,16n B==⨯---⨯-=-----=-=--⨯--⨯-=--==-⨯--⨯=-=--，-1，，，-4，，只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选解法三：掐头去尾交叉法()n 4,9,16n B=--只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选【例2】（2020·全国）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)-B ．(1,1,1)-C．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解法一：常规法(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-,设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，化简得0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，∴x y z ==，故选C.解法二：叉乘法1x 11001110y -110(1)1-11-1z 101-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，【】，1，（），()n 1,1,1n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C解法三：掐头去尾交叉法()n 1,1,1n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C1．（2020·全国）在三棱锥P ABC -中，CP 、CA 、CB 两两垂直，1AC CB ==，2PC =，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB 的法向量的是（ ）A ．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．()C ．()1,1,1D ．()2,2,1-【解析】解法一：常规法()1,0,2PA =-，()1,1,0AB =-，设平面PAB 的一个法向量为(),,1n x y =， 由00n PA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩则200x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，()2,2,1n ∴=．又111,1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A. 解法二：叉乘法()1,0,2PA =-，()1,1,0AB =-，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y x 01(2)212y -[01(2)(1)]2-10z 110-11-11==-⨯-=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=0，-21， 0，，1，0（），()n 2,2,1n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A解法三：掐头去尾交叉法()1,0,2PA =-，()1,1,0AB =-，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y()n 2,2,1n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知(4A -，6，1)-，(4B ，3，2)，则下列各向量中是平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量的是（ ）A ．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B ．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．(15-，4，36) D ．(15，4，36)-【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量是(,u x =y ，)z ，则·0·0u OA u OB ⎧=⎨=⎩，，即4604320x y z x y z -+-=⎧⎨++=⎩，，得90y z +=，令1y =，解得15419x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，，，令4y =，解得15436x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，故15,1,94u ⎛⎫=-⎪⎝⎭或(15,4u =，36)-． 故选：BD ． 解法二：叉乘法(4(4,3,2),(,,)=-==，6,-1)、设平面是坐标原点的一个法向量是OA OB n x y z6x 623(1)15241y -[424(1)44246z 43463643==⨯-⨯-=--=-=-⨯-⨯-=-==-⨯-⨯=-，-13，，]， ，，()n 15,4,36n n =-λ只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD解法三：掐头去尾交叉法()n 15,4,36n n =-λ只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面1D EF 的一个法向量是___________.【答案】(6-，3，2) 【解析】解法一：常规法长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系， 则1(0D ，0，3)，(1E ，4，0)，(0F ，2，0)，1(1D E =，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，则11·430·230n x y z n y z D E D F ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩，取3y =，得(6n =-，3，2)，则平面1D EF 的一个法向量是(6-，3，2).故答案为：(6-，3，2). 解法二：叉乘法1(1D E =，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，x 4(3)2(3)6313y -[1(3)0(3)334z 120422==⨯--⨯-=---=-=⨯--⨯-=-==⨯-⨯=4，-32，，]0，1，（）0，()n 6,3,1n n =-λ2只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 6,3,1n n =-λ2只要跟成倍数都是平面的法向量4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =平面1OCB 的法向量n =________.【答案】()1,0,1-（答案不唯一） 【解析】解法一：常规法ABCD 是正方形，且AB =AO OC 1∴==，OC (0,1,0)∴=，A(0,1,0)-，B(1,0,0)， (1,1,0)AB ∴=，11A B (1,1,0)∴=，OA 1=，1AA =1OA 1∴=，故1(0,0,1)OA =，故1111OB OA A B (1,1,1)=+=， ∵向量(,,)n x y z =是平面OCB 1的法向量，OC 0y n ∴⋅==，1OB 0n x y z ⋅=++=，故0y =，x z =-，取1x =，故1z =-，平面1OCB 的法向量()1,0,1n =- 故答案为：()1,0,1-（答案不唯一）5．（2020·全国）已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.求平面ABC 的一个法向量； 【答案】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =（答案不唯一）； 【解析】解法一：常规法因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -， 所以()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-， 设(),,n x y z =为平面ABC 的一个法向量，则有230320n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，所以x y z ==，不妨令1x =，则()1,1,1n =，所以平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =； 解法二：叉乘法所以()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-，设(),,n x y z =为平面ABC 的一个法向量，1x 12(3)37223y -[2213]712-3z 123-37-32-==-⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯-⨯=，3-3，，，1，（），()n 7,7,7n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 7,7,7n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量（2）若存在实数m ，n ，使a mAB nAC =+， 即()()()3,4,12,1,31,3,2m n -=--+-，则2334321m n m n m n -+=⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩，解得57117m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以51177a AB AC =-+，即向量()3,4,1a =-与平面ABC 平行.6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点．()1求证：AC OB ⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()2. 【解析】()1由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点，∴//CD SO ， CD ⊥底面圆O ，OB 在底面圆O 上，∴OB CD ⊥． 60AOB ∠=︒，∴AOB 为正三角形，又因为D 为OB 的中点，∴OB AD ⊥， 又因为ADCD D =，且AD⊂平面ACD ， C D ⊂平面ACD ，∴OB⊥平面ACD，AC⊂平面ACD，∴AC OB⊥．()2解法一：常规法如图，以D为原点，DA，DB，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,0,2C，()0,1,0O-，()0,1,4S-，故()2AC=-，()1,4AS=--，()3,1,0OA=，设平面SOA的法向量为(),,n x y z=，由n ASn OA⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得40y zy⎧-+=⎪+=，令1x=，得()1,3,0n=-为平面SOA的一个法向量，设直线AC与平面SOA所成的角为θ，则sin cos,141n ACn ACn ACθ⋅-=〈〉====⋅，即直线AC与平面SOA所成的角的正弦值为14．解法二：叉乘法()1,4=--AS，()3,1,0OA=，设平面SOA的法向量为(),,n x y z=，1x 10144y -[04]1z 1-101-==-⨯-⨯=-==--=-==-=，41， ，（） ()n 4,43,0n n =-λ只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 4,43,0n n =-λ只要跟成倍数都是平面的法向量7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为PC 中点，E 为AD 中点，PA ＝AC ＝2，BC ＝1．（1）求证：AD ⊥平面PBC ：（2）求PE 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥ 又因为BC AC ⊥，=PA AC A ∩∴BC ⊥平面PAC ，∴BC AD ⊥． ∵PA AC =，D 为PC 中点， ∴AD PC ⊥，又∵PC BC C ⋂=， ∴AD ⊥平面PBC ； （2）解法一：常规法以C 为坐标原点建立如图空间直角坐标系()2,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,2P ，∴()1,0,1D ，310,22E ⎛⎫⎪⎝⎭,， ∴13,0,22PE =--⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,1,0AB =-，()1,0,1AD =-．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z =，则00AB m AD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩200x y x z -+=⎧⇒⎨-+=⎩，令1x =，则2,1==y z ，得()1,2,1m =．设PE 与平面ABD 所成角为θ，则2sin 10θ-⋅====⋅PE m PE m解法二：叉乘法()2,1,0AB =-，()1,0,1AD =-．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z =，1x 11001120y -210(1)]2-11-1z 201-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，[，2，（），()n 1,2,1n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则2sin 10θ-⋅====⋅PE m PE m解法三：掐头去尾交叉法()n 1,2,1n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则2sin 10θ-⋅====⋅PE m PE m8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AD CD ⊥，//ABCD ，且3PA PC PD ===，24CD AD AB ===，O 为AC 的中点.()1求证：OP BC ⊥；()2求直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】()1证明见解析；()289. 【解析】()1因为AD CD ⊥，所以AC =又3,PA PC O ==为AC 的中点，所以PO AC ⊥，1PO ==，连接OD ，在Rt ACD △中，O 为AC 的中点，所以12OD AC ==因为222OD OP PD +=， 所以OP OD ⊥， 又ODAC O =，所以OP ⊥平面ABCD . 又BC ⊂平面ABCD ， 所以OP BC ⊥.()2解法一：常规法如图，以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与OP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()4,2,0B ，()0,4,0C ，()2,2,1P ，()4,2,0BC =-，()2,2,1CP =-，()2,2,1DP =. 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BC n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得420220x y x y z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，可得()1,2,2n =.设直线DP 与平面PBC 所成角为θ， 则88sin cos ,339DP n θ===⨯. 即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89. 解法二：叉乘法()4,2,0BC =-，()2,2,1CP =-设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =， 2x 21(2)02140y -[4102]421-2z 4(2)24422==⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯--⨯=-，0-2，，，4，，()n 2,4,4n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ.即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法三：掐头去尾交叉法()4,2,0BC =-，()2,2,1CP =-设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，()n 2,4,4n n =λ只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ.即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89. 9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点.（1）求证：AE PC ⊥；（2）求二面角B AE C --的正弦值.【答案】（1）见详解；（2）3【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点，∵AE PD ⊥，CD AD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥. ∵PA AD A ⋂= ∴CD ⊥平面PAD ，∵AE 平面PAD ，∴CD AE ⊥， ∵CDPD D =.∴AE ⊥平面PCD ， ∵PC 平面PCD ， ∴AE PC ⊥. （2）解法一：常规法以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴， 建立如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(0,1,1)AE =，(2,0,0)AB =，(2,2,0)AC =，设平面ABE 的一个法向量(,,)m x y z =，则200m AB x m AE y z ⎧⋅=⋅=⎨⋅=+=⎩，取1y =，得(0,1,1)m =-.设平面AEC 的一个法向量为111(,,)n x y z =.则2200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取11x =.得(1,1,1)n =-，cos 3||||3m n m n m n ⋅-<⋅>==-⋅⨯，∴二面角B AE C --的正弦值= 解法二：叉乘法（法向量求解略） 解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小； 【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系， 则A （0，0，0）、D（0，2，0）、P （0，0，2）. 在Rt △BAD 中，AD =2，BD =， ∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0）， ∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ， 又AP ∩AC =A ， 故BD ⊥平面PAC . （2）解法一：常规法（3）由（1）得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =，则110,0n PD C n D ==⋅⋅，即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩，∴0x y z =⎧⎨=⎩，故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =,∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP =为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得111cos 2n AP n APθ⋅===⋅， 故二面角P —CD —B 余弦值的大小为2.解法二：叉乘法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- 2x 200002y -[00(2)(2)4-2002z 002-14-20==⨯-⨯=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=，-20， 0，]，，（），()n0,4,4n n=λ只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA⊥平面ABCD，∴(0,01)AP =为平面ABCD的法向量.设二面角P—CD—B的大小为θ，依题意可得111cos2n APn APθ⋅===⋅，故二面角P—CD—B 余弦值的大小为2.解法三：掐头去尾交叉法(0,2,2),(2,0,0)PD CD=-=-()n0,4,4n n=λ只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA⊥平面ABCD，∴(0,01)AP=为平面ABCD的法向量.设二面角P—CD—B的大小为θ，依题意可得111cos2n APn APθ⋅===⋅，故二面角P—CD—B余弦值的大小为2.21/ 21。

人教部编版六年级下学期语文课文第三单元第9课《那个星期天》同步练习姓名：班级：考号：一、积累运用L读拼音，写词语。

一个阳光mi'ngmVi 的午后，我在大树下玩耍，看到一群m舌yi,有的好像搬着东西走来走去，有的好像被b台n*o 了，显出十分jlng hu台ng 的样子，非常有趣。

2.给下面词语中的加下划线的字注音。

吓唬拨弄耽搁揉动泡注急遽缥缈遇怅3.填空。

本文讲述了在一个,母亲答应带作者外出，作者从等到，再到天色暗下去，最终的事，表达了作者的之情。

4•根据课文内容，填写词语。

①我蹲在院子的地上，用树枝着一个蚁穴，爬着去找更多的蚁穴。

②我想衣服一洗完我马上拉起她就走，决不许她再O③我现在还能感觉到那光线漫长而的变化，孤独而的黄昏到来。

④（男孩儿）闭上眼睛不再看太阳，光线正无可挽回地，一派O.用〃望〃组成不同的词语填空。

我妈妈这个星期天能带我出去玩。

于是，我热切地星期天快点到来。

好不容易到了星期天，妈妈却不停地忙着做家务，让我的落空了,我感到很O5.填空。

《那个星期天》的作者是现代著名作家O文章主要记叙了一个星期天母亲答应带〃我〃出去，但是由于家务繁忙，一次次爽约，最后没有去成的事。

在那个星期天，〃我〃经历了从等待开始时的、心怀欢喜，到继续等待时的、仍然有所期盼，再到等待未果时的,到最后等待结束，的心理过程。

6.下列句子中没有语病的一项是（）A.通过教育，使我明白了许多做人的道理。

7.现在，他们之间的矛盾和友谊已基本解决。

C.他不但学习很刻苦，然而成绩却上不去。

D.同学们正在聚精会神地观看幼儿园小朋友们的精彩表演。

8.下面对《那个星期天》的分析有误的一项是（）A.本文不是表现童年的无知，而是以一段铭刻心头的记忆缅怀逝去的母亲，诠释母爱的至纯至真。

8.本文以〃我〃的口吻叙述故事，亲切自然，清楚地表明了〃我〃是文章的主人公。

C.本文有着强烈的感染力，这主要得益于心理描写。

文中如"焦急又兴奋”之类的直接描写并不多，更多的是间接表现人物心理。