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平面向量在解三角形中应用举例卢金宝向量是高中数学课程中很重要的数学概念，贯穿于高中数学课程体系中，同时向量法也是高中数学中比较重要的解题方法。
下面我就举几个例子说明向量在解三角形中的作用。
应用之一：向量法证明正弦定理及余弦定理1.证明正弦定理 过点A 作单位向量j AC ⊥， 由向量的加法可得A B A C C B=+则()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C同理，过点C作⊥ j BC，可得s i n s i n =b c B C从而sin sin abAB=sin cC=2.证明余弦定理在△ABC 中，BC AB AC +=，则有))((BC AB BC AB AC AC ++=⋅∴222)180cos(||||2BCB AC AB AB AC +-︒⋅+=∴B ac a c b cos 2222-+=同理，A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=评述：之所以将向量法推导正弦定理、余弦定理作为向量法在解三角形中作用例题，是因为解三角形最重要的工具就是正弦定理和余弦定理，作为最重要的工具，它们的推导过程是很重要的，而向量法推导正余弦定理是很好的方法，值得我们借鉴与学习。
应用之二：四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥B CD⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB、方向上的单位向量，∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bcAO ++=（bAC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
平面向量在生活中的应用嘿，朋友！想象一下这样一个场景。
在一个阳光明媚的周末，我和好友小明相约去商场逛街。
一进商场，那琳琅满目的商品让人眼花缭乱。
小明兴奋地拉着我，直奔他心心念念的运动品牌店。
就在我们穿梭在人群中的时候，你猜怎么着？平面向量这个看似高深莫测的数学概念，其实正在悄悄地发挥着作用呢！比如说，我们在商场里走动，每个人的行走方向和速度就可以看作是一个个向量。
我朝着东边以每小时 3 公里的速度前进，小明朝着东北方向以每小时 2 公里的速度走着。
这不同的方向和速度，不就是平面向量的体现嘛！再想想，那些在商场里巡逻的保安。
他们按照一定的路线和节奏巡逻，这巡逻的轨迹和速度，也能看作是向量。
如果要计算他们在一定时间内走过的路程，平面向量的知识就能派上用场啦。
还有啊，我们在商场里看到的电梯。
电梯上升或者下降的速度和方向，是不是也能理解为一个向量？这时候，小明眨巴着眼睛，疑惑地问我：“这平面向量在生活里就这点用处？”我笑着拍了拍他的肩膀说：“这才哪儿到哪儿呀！”你看那建筑工人在搭建脚手架的时候，他们要考虑各个杆件的受力方向和大小，这里面就蕴含着向量的运算。
又比如，物流运输中，货车行驶的路线和速度，同样是向量的实际应用。
甚至是我们日常使用的手机导航，它为我们规划的路线，不也是基于对方向和距离的计算，这难道不是平面向量在大显身手吗？想象一下，如果没有平面向量的知识，这世界得变得多么混乱呀！就好像是没有了指南针的航海家，在茫茫大海中迷失方向。
平面向量就像生活中的一位默默无闻但又至关重要的小助手，悄无声息地为我们的生活提供着便利和秩序。
它可不是只存在于枯燥的数学课本里，而是实实在在地融入了我们生活的方方面面。
所以说，平面向量在生活中的应用那可真是无处不在，极为重要！。
平面向量应用举例A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·西安模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于 ( )．
A．1 B．－1 C. D.3
2
2
解析 由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，
所以sin x＝cos x，即x＝，故tan x＝1.π4
答案 A2．(2013·九江模拟)若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是 ( )．
A. B. C．2 D.323312
解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×＝4×sin 30°×＝.32323
答案 B3.(2012·哈尔滨模拟)函数y＝tanx－的部分图象如图所π4π2
示，则(＋)·＝ OA
→ OB→ AB→
( )．A．4 B．6C．1 D．2解析 由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.OA
→ OB→ AB→ OA→ OB→ OB→ OA→ OB→ OA→
答案 B4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，
则·＝ AE
→ AF→
( )．A. B. C. D.5354109158
解析 法一 依题意，不妨设＝E，＝2，BE
→ 12C→ BF→ FC→
则有－＝(－)，即＝＋；AE
→ AB→ 12AC→ AE→ AE→ 23AB→ 13AC→
－＝2(－)，即＝＋.AF
→ AB→ AC→ AF→ AF→ 13AB→ 23AC→
所以·＝·AE
→ AF→ (23AB→ ＋13AC→ )(13AB→ ＋23AC→ )
＝(2＋)·(＋2)19AB→ AC→ AB→ AC→
＝(22＋22＋5·)19AB→ AC→ AB→ AC→
＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝，选A.1953
法二 由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，
如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F(－233，0)
，(－33，0)∴·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝AE
→ AF→ (
－233，－1)(－33，－1)(－2
3
3)(－33)
235
3
，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·上饶适应性测试)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.AE→ BD
→
解析 ·＝·(＋)＝(＋)·(－)＝2－·AE
→ BD→ (AD→ ＋12DC→ )BA→ BC→ AD→ 12DC→ AD→ DC→ AD→ 12DC→
－2＝1－×1×2cos 60°－×4＝－.AD
→ 12DC→ 12123
2
答案 －326．(2013·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若(3b－c)cos A＝acos C，S△ABC＝，则·＝________.2
BA
→ AC→
解析 依题意得(3sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，即3sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B>0，
于是有cos A＝，sin A＝＝，131－cos2A2
2
3
又S△ABC＝·bcsin A＝bc×＝，所以12122232
bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccos A＝－3×＝－1.BA→ AC
→ 1
3
答案 －1三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(k∈R)．AB→ AC→ BA→ BC
→
(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．2
解 (1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B，AB
→ AC→ BA→ BC→
又·＝·，∴bccos A＝accos B，AB
→ AC→ BA→ BC→
∴sin Bcos A＝sin Acos B，即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k，AB→ AC
→ b2＋c2－a22bcc2
2
∵c＝，∴k＝1.2
8．(13分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈
.(π2，3π2)
(1)若||＝||，求角α的值；AC→ BC
→
(2)若·＝－1，求的值．AC→ BC
→ 2sin2α＋sin 2α
1＋tan α
解 (1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，AC
→ BC→
∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
AC
→
2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，
BC
→
由||＝||，可得2＝2，AC
→ BC→ AC→ BC→
即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.又α∈，∴α＝.(π2，3π2)5π4
(2)由·＝－1，AC→ BC
→
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝.①23又＝＝2sin αcos α.2sin2α＋sin 2α1＋tan α2sin2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α
由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，49
∴2sin αcos α＝－.59
∴＝－.2sin2α＋sin 2α1＋tan α59
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aBC
→
＋2b＋3c＝0，则cos B＝ CA
→ AB→
( )．A．－ B. 11241124
C. D．－29362936
解析 由4a＋2b＋3c＝0，得BC
→ CA→ AB→
4a＋3c＝－2b＝－2b(－)＝2b＋2b，BC→ AB→ CA→ BA→ BC→ AB→ BC
→
所以4a＝3c＝2b.
由余弦定理得cos B＝＝＝－.a2＋c2－b22acb24＋49b2－b22·b2·23b1124
答案 A2．(2013·汉中三模)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，OA→ AB→ AC
→
且||＝||，则在方向上的投影为 OA
→ AB→ CA→ CB→
( )．A．1 B．2 C. D．33
解析 如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即OA
→ AB→ AC→ OA→ AD→ AO→
＝2，∴A，O，D共线且||＝2||，又AD
→ AO→ AD→
O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴||＝||＝||＝2，||＝1，AC
→ AB→ OA→ AD→
∴||＝，∴在方向上的投影为.CD
→ 3CA→ CB→
3
答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为
________．解析 若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.3
2x＋y32
当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．12
答案 6
4．(2013·山西大学附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x21312
＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解析 由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－
4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的12
夹角范围为.(π3，π]
答案 (π3，π]
