2.5平面向量应用举例【很好】

2.5平面向量的应用举例2.5.1平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。

下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。

例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。

如图2..5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？分析：不妨设=，=，则=+，=-，。

与= ·=（+）·（-）=a·a+a·b+b·a+b·b+2a·b。

同理-2a·b。

观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2（）=2+）。

即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。

思考如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。

解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。

这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。

例2 如图2.5-2，连接□ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上的两点要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可。

2.5 平面向量应用举例一、学习目标设定1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．二、导入情境创设如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N 的灯具，则每根绳子的拉力是多少？三、学习策略分析本节课采用“情境—问题”的课堂教学模式，即在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中发现并证明基本不等式，并在此过程中逐步提高推理论证能力及数形结合能力。

四、自主学习设计1． 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 2． 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法 120o10N相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．五、课时对点练习1．某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示( )．A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB→＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )．A ．4,0B ．16,0C ．2,0D ．16,44．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则 △ABC 为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形 5．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________．六、课堂内容小结平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．七、探究延伸拓展1.以O 为原点，OF 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设OF ·FG =1，点F 的坐标为(t ，0)，t ∈［3，+∞)，点G 的坐标为(x 0，y 0).(1)求x 0关于t 的函数x 0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；(2)设△OFG 的面积S=631t ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当|OG |取得最小值时椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若点P 的坐标为(0，92)，C 、D 是椭圆上的两点，且PC =λPD (λ≠1)，求实数λ的取值范围.2.如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m 的线段,其端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动,设点M 满足=λ(λ是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E 、F,使得|ME |、||、||成等差数列?若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由.3. 已知△OPQ的面积为S，且OP·PQ=1，OP=m，S=43m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q.(1)当m∈(1，2)时，求|OQ|的最大值，并求出此时的椭圆C方程；(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且MP=λ1PN，MD=λ2DN请找出λ1、λ2之间的关系，并证明你的结论.。

2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。

三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。

五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

2.5 平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： .(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： .(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 .(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__ __．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__ __．[知识点拨]向量方法在平面几何中应用的几点说明：(1)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(2)要证明A 、B 、C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →.(3)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可．1．四边形ABCD 中，若AB →＝12DC →，则四边形ABCD 是 ( ) A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形 2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是 ( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0 3．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们合力大小于10N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为________N ( )A ．53B ．10C ．5 2D ．54．若直线l ：mx ＋2y ＋6＝0与向量(1－m,1)平行，则实数m 的值为__ __.命题方向1 ⇨向量在平面几何中的应用典例1 如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2.求对角线AC 的长．〔跟踪练习1〕如图所示，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC ⊥BD ．命题方向2 ⇨向量在物理中的应用典例2 如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围.〔跟踪练习2〕两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i 、j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1、F 2分别对该质点所做的功；(2)F 1、F 2的合力F 对该质点所做的功．用向量方法探究存在性问题做题时，我们会遇到一些存在性问题、比较复杂的综合问题等等，解决此类问题常常运用坐标法，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．典例3 在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 是边AC 上靠近点A 的一个三等分点，试问：在线段BM (端点除外)上是否存在点P ，使得PC ⊥BM ？〔跟踪练习3〕△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．对向量相等的定义理解不清楚典例4 已知在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相互平分，且AC ⊥BD ，求证：四边形ABCD 是菱形. 〔跟踪练习4〕如右图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接DP 、EF ，求证：DP ⊥EF .1．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是 ( )A ．(8,0)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为 ( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形3．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝04．已知△ABC 的重心是G ，CA 的中点为M ，且A 、M 、G 三点的坐标分别是(6,6)，(7,4)，(163，83)，则|BC |为 ( )A ．410B ．10C ．102D ．210A 级 基础巩固一、选择题1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1→、F 2→，则|F 1→＋F 2→|为 ( )A ．(5,0)B ．(－5,0)C ． 5D ．－ 52．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是 ( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是 ( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是 ( )A ．5B ．－5C ．32D ．－325．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的 ( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点6．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．402N二、填空题7．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做功的是__ __.8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 .三、解答题9．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，用向量法证明CD ＝12AB ． 10．某人骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a km/h 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.B 级 素养提升一、选择题1．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m) ( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10) 2．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( )A ．5B ．25C ．5D ．103．已知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的 ( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心4．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝ ( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10二、填空题5．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是____m ，方向是东偏北____.6．作用于同一点的两个力F 1、F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为7．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形.8．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长.。