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2.5《平面向量应用举例》课件

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高中数学 第2章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件

高中数学 第2章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件


2021/12/12
第三十三页，共四十八页。
第二十二页，共四十八页。
【跟踪训练 2】 已知定点 A(－1,0)和 B(1,0)，P 是圆(x －3)2＋(y－4)2＝4 上的一动点，求|P→A|2＋|P→B|2 的最大值和最 小值．
解 设圆的圆心为 C，由已知可得O→A＝(－1,0)，O→B＝ (1,0)，所以O→A＋O→B＝0，O→A·O→B＝－1.
(1)若△ABC 是直角三角形，则有A→B·B→C＝0.( × ) (2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．( × ) (3)向量A→B，C→D的夹角就是直线 AB，CD 的夹角．( × )
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第五页，共四十八页。
2．做一做
(1)若向量O→F1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示两个力 F1，
(1)向量的线性运算法的四个步骤 ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线 性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．
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第十六页，共四十八页。
|＝ 6，即 AC＝ 6.
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第十九页，共四十八页。
探究 2 向量在解析几何中的应用 例 2 已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 及点 A(1,1)，M 是 圆上的任意一点，点 N 在线段 MA 的延长线上，且M→A＝2A→N， 求点 N 的轨迹方程．
2021/12/12
第二十页，共四十八页。
(1)物理问题中常见的向量有 □3 力、速度、位移 等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的
平面向量应用举例课件

平面向量应用举例课件


F
由
200 2 cos
3

2
≤
200,
cos

2
≥
3 2
,

2
≤
6
,


≤
3
.
u ur
u ur
F1 F2
从 而 可 知 0 o ， 6 0 o 绳 子 才 不 会 断 .
ur G
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,一m/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
2.5平面向量的应用举例 主页
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
2 cos
u ur
2
（1）θ为何值时，| F 1 最| 小，最小值是多少？
答：在上式ur 中，当θ =0º时，
c
o
s
2
最大，|
u ur F1
最| 小
且等于 | G | .
2
u ur
ur
（2）| F 1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
答：在上式中，当
cos
2

1 2
,
uur ur
| F1 ||G|
即θ=120º时，
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.
平面向量的应用举例精选课件

平面向量的应用举例精选课件

A
F
E
a

B
P D
b

c
C
练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？
D E A
R
F
T
C
1,建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果’翻译‘成几何关系.
2.5 平面向量应用举例
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
a b | a || b | cosθ
2.平面向量数量积的运算律.
(1)a b b a (2)( a) b (a b ) a (b ) (3)(a b ) c a c b c
所以： OD a,即有： a bc 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的 F1 是同个问题，抽象为数学模型如 下： 用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
λ1λ2=-1；
③若向量 a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ),则 a + b 与 a - b 的夹角为90°； ④若向量 a 、 b 满足| a |=3,| b |=4,| a + b |= 13 ,则 a , b 的夹角为60°.
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例1课件

高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例1课件

第二十二页，共三十三页。
探究(tànjiū)
一
(
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
变式训练 3 已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则 BC 的长为
)
A.7
B. 7
C. 19
D.19
解析∵ = − ,
∴ 2 =( − )2= 2 -2 · + 2
(2)说明两向量有公共点.
(3)下结论,即A,B,C三点共线.
2021/12/8
第十二页，共三十三页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
变式训练1如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O, DG⊥BE
于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.
分析要证明 HG∥EF,由向量共线定理,只需证明 =λ (λ≠0).
2021/12/8
第六页，共三十三页。
8.做一做:(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是(
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角(dùnjiǎo)三角形 D.等边三角形
)
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线段AB,AC为
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)三
探究四
证明(方法一)设=a,=b,则=-a+2 , = + =b+2,


所以 · = + · - +
2
2
2
1 2 3

1 2 1 2
251平面向量应用举例.ppt

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11
1.当逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？ 2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？ 3.为何值时，F1 G？
12
,
uuur 于是 RT

1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC
6
练习、证明直径所对的圆周角
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
r b
ar O
B
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
1
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
ur
uur
v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
r ur uur
分析：如图，已知v
ur
uur

v1

v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
9
解：由已知条件得 v v2 0
2
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
平面向量应用举例课件

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充分利用向量这个工具来解决
主页
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 如图， 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？ 条邻边长度之间的关系吗？ uuur uuur uuur uuur uuur uuur DB = AB − AD, AC = AB + AD, 猜想： 猜想： 1.长方形对角线的长度 1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ 何关系？ 2.类比猜想， 2.类比猜想，平行四边 类比猜想 形有相似关系吗？ 形有相似关系吗？
A B
发现： 发现：平行四边形两条对角线 的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。 的两倍。
主页
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基 本思路吗？ 本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 建立平面几何与向量的联系， （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素， 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题； 量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 把运算结果“翻译”成几何关系。 用基底表示
∴ n n − + m m = 0 − 1 = 2
D E R
F T B
C
0A
1 解 得 ： n= m = 3
uuur 1 uuur uuu 1 uuur r uuur 1 uuur 所 以 AR = AC , 同 理 TC = AC , 于 是 RT = AC 3 3 3
平面向量应用举例ppt课件

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探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系
思考1 如何定义直线Ax＋By＋C＝0的法向量？ 答 如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因 此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C ＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是 可取n＝(A，B)，这是因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直 线的法向量也有无数个.
思考1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
§2.5 平面向量应用举例
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及 其它一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具. 3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.
填要点·记疑点
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.
反思与感悟 (1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线 段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算. (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量 n＝(A，B).这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、 求两条直线的夹角时非常有用.
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程. 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
平面向量应用举例PPT教学课件

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2.5平面向量应用举例
复习
a b | a || b | cos a b x1 x2 y1 y2
(1) | a | 5, | b | 6, 30， a b 15 3
(2)a (1,5), b (3, 2), a b 7
复习
? a b a b 0
a b | a || b | cos
| a || b | cos 90 | a || b | 0
0
2
a
|
a
|2
复习
| i | 1 | j | 1
2
i
| i |2
1
2
j | j |2 1
i j 0 ji 0
y
1
j
i1
x
复习：坐标表示模
已知a ( x, y), 求| a |
| a | x2 y2
复习：.坐标表示向量垂直和平行
三、教学方法
因为本节反映了从特殊到一般的认知规律，所 以采用启发式教学，通过图形直观提出问题，通过 数学表格分析问题，通过数学符号解决问题。以独 立思考发现为前提，在教师的指导下，分析解决问 题。
四：教学手段
对教学手段的选择和利用 （1）利用辅助小黑板，展示引入函数的图象，以利节约时间. （2）利用彩色粉笔，引导学生发现图象的规律。
三、教学过程
数形结合 形成概念 剖析例题 巩固新知 及时练习 反馈调控 梳理总结 内化提高 布置作业 以图创新
图形引入 激发兴趣
对称是大自然的一种美， 通过观察图象的共同特征， 引出课题。
数形结合 形成概念
•观察图象的对称特征，完成课本表 格，引导学生观察当自变量互为相 反数时，函数值的变化情况。即 f(x)=f(-x) ，进而引导学生归纳概括 出偶函数的定义。
高中数学 2.5.2平面向量的应用举例课件 新人教A版必修4

高中数学 2.5.2平面向量的应用举例课件 新人教A版必修4


反思小结 观点提炼
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系， 再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？ 用到了什么思想方法？你还有其他什么收获？
完整版ppt
8
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
完整版ppt
9
[作业精选，巩固提高]
• 题：A组：3，4. B组：2.
完整版ppt
10
2.5.2平面向量的应用举例
完整版ppt
1
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
问题1：你能掌握物理中的哪些矢量？
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2
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
用向量研究物理问题的方法: 问题转化，即把物理问题转化为数学问题； 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； 求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； 回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)

人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)

因为 tan α＝10303＝ 33(α 为 ν 和 ν2 的夹角，α为锐
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件

高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件

[证明] ∵A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B)＝|A→D|2－|A→B|2＝0．
∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD．
命题方向2 ⇨向量在物理中的应用
• 物体，典绳例子2 与如铅图垂，方在向细的绳夹O处角用为水θ，平绳力子F2所缓受慢到拉的起拉所力受为重F力1．为G的 • (1)求|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况； • (2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.
[思路分析]
分析条件
→
转化为向量 加法问题
→
求解
解析] (1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝c|oGs|θ，|F2| ＝|G|tanθ．
当 θ 从 0°趋向于 90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大． (2)由(1)，得|F1|＝c|oGs|θ． 由|F1|≤2|G|，得 cosθ≥12． 又因为 0°≤θ<90°，所以 0°≤θ≤60°．
• [解析] 由于向量(A，B)与直线Ax＋By＋c＝0垂直，故应选A．
3．已知两个力 F1，F2 的夹角为 90°，它们合力大小等于 10N，合力与 F1 的
夹角为 60°，则 F1 的大小为______N
(D )
A． 3
B．10
C．5 2
D．5
[解析] |F1|＝|F|cos60°＝10×12＝5．
• [思路分析] 本题是求线段长度的问题，它可以转化为求向量的模来解决．
[解析] 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b，
而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2，
①
∴|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b．

平面向量应用举例课件(人教A必修

平面向量应用举例
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平面向量在物理中的应用 平面向量在解决实际问题 中的应用
平面向量的概念
平面向量在解析几何中的 应用
平面向量与其他数学知识 的综合应用
01
添加章节标题
02
平面向量的概念
向量的定义和表示方法
向量的定义：向量是 具有大小和方向的量， 通常用有向线段表示
向量在平面几何中的应用
向量表示：用有向线段表示向量，可以直观地表示向量的大小和方向 向量运算：向量的加法、减法、数乘和数量积等运算，可以解决平面几何中的很多问题 向量坐标：向量的坐标表示，可以方便地进行向量的运算和比较 向量应用：向量在平面几何中的应用，如求线段长度、求角、求面积等
向量在解析几何中的线性关系
向量与不等式： 向量的模、向量 的夹角等概念与 不等式的性质、 不等式的解法等 概念相结合，解 决实际问题。
向量与函数：向 量的线性组合、 向量的模、向量 的夹角等概念与 函数的定义、函 数的性质、函数 的极限等概念相 结合，解决实际 问题。
向量与几何：向 量的线性组合、 向量的模、向量 的夹角等概念与 几何的性质、几 何的解法等概念 相结合，解决实 际问题。
向量在解析几何中的向量的向量积和向量的混合积
向量积：两个向量的乘积，结果为一个向量，其方向与两个向量垂直，大小等于两个向 量的模的乘积
混合积：三个向量的乘积，结果为一个标量，其大小等于三个向量的模的乘积
应用：在解析几何中，向量积和混合积可以用来解决一些几何问题，如求三角形的面积、 求直线与平面的夹角等
的乘积之和
向量的向量积： 也称为叉积或 外积，是两个 向量对应分量
的乘积之差
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r
r
设 a, b 为两个向量, a x1, y1 ,b x2, y2
a / /b x1 y2 x2 y1
a b x1x2 y1 y2 0
一、平面几何中的向量方法
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你
能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur uuur uuur uuur DB AB AD, AC AB AD,
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
二、平面向量在物理中的应用
1.向量在力学中的应用
思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是 10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重 力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？
F1+F2+G=0 |F1|=|F2|=10N
A
120° B
r
向量的长度(模) | a | x12 y12
若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= x2 x1 2 y2 y1 2
向量的夹角公式
rr
cos ar br ＝
| a || b |
x1x2 和垂直的坐标表示
rr
v1
v
60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.
思考3：船应沿什么方向行驶， 才能使航程最短？ 与上游河岸的夹角为78.73°.
B v1 v
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要 几分钟？
例3 一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地， 然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C 两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法 解决平面几何的问题的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似 、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
2.平面向量数量积的运算律.
F1 F2
西
东
南
1.利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物 理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体 的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要 作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角 形或坐标运算，求有关量的值.
北
位移的方向是南偏西30°，大小
B
是 km.
西
A东
C
南
一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东
45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2|
=4N，方向为东偏北30°， |F3| =6N，方向为西偏北60°，
求这三个力的合力所做的功.
F3 北
W=F·s= J.
r2 r2 0 即AC CB 0 ，∠ACB=90°
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
P113习题2.5A组：3，4. B组：2.
敬请指导
.
量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a 2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
2.向量在运动学中的应用
思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对 岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝ 2㎞/h， 如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？
|v|=
㎞/h.
A
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际 速度v的大小是多少？
Y 例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、
BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的 关系吗？
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
解：设
uuur AB
ar ,
uuur AD
r b,
uuur AR
rr
,则
uuur AC
r a
r b
uuur uuur 由于AR与 A共C线，故设
O C
10N
思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上 运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的 大小有什么关系？
夹角越大越费力.
思考3：若两只手臂的拉力为F1、F2，物体的重力为G， 那么F1、F2、G三个力之间具有什么关系？
F1＋F2＋G=0.
思考4：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么
m)ar
(n
m
1)br
r 0
2
由于向量ar
,
r b不共线
D
F
C
n m 0，
n
m 1 2
0，
ER
T
解得：n= m = 1 3
A
B
uuur 所以AR
1
uuur AC
uuur ,同理TC
1
uuur AC
,
uuur 于是 RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC.
练习.证明直径所对的圆周角是直角. 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
3.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1) (2)
(3)
≤
rr 当且仅当a / /b时，等号成立．
(4)cos =
rr ar br
rr
为a，b的夹角
| a || b |
rr
r
r
设 a, b 为两个向量, a x1, y1 ,b x2, y2
rr
向量数量积的坐标表示 a • b＝ x1x2 y1y2
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
C
r
b
ar O
B
量 AC CB ，即 AC CB 0
解：设 AO a,OC b
则 AC a b,CB a b ，
由此可得：ACCB a b a b
22
2
2
a b a b
思考：能否用向量 坐标形式证明？
2.5平面向量应用举例
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景, 平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角 等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用 向量方法解决平面几何中的一些问题.
本节课我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几 何中的运用，向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位 移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与 物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题 也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运 用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.
rr
n(ar
r b
),
n
R
uuur uuur
又因为 ER与共E线B，
所以设
uuur ER
uuur m EB
m(ar
1
r b )，
D
F
C
uuur uuur uuur 2
因为 AR AE ER
ER
T
所以
rr
1
r b
m(ar
1
r b
)
因此n(ar
2
r b)
1
r b
2
m(ar
1Abr )
B
2
2
即(n
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度与两
条邻边长度之间有何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.
已知：平行四边形ABCD,
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
分析：因为平行四边形对边平行且相 A
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向
|F1|、|G|、θ之间的关系如何？
F
θ∈[0°，180°)
F1 θ F2 G
思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的大小是关 于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什 么？单调性如何？
θ∈[0°，180°)
思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？ 为什么？