正切函数的图象和性质教案

正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质。

2. 能够绘制正切函数的图象，理解正切函数图象的特点。

3. 能够运用正切函数的性质与图象解决实际问题。

二、教学重点：1. 正切函数的定义。

2. 正切函数的性质。

3. 正切函数图象的特点。

三、教学难点：1. 正切函数的性质的理解与运用。

2. 正切函数图象的绘制与分析。

四、教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：利用正切函数的实际应用情境，引导学生思考正切函数的定义，激发学生的学习兴趣。

2. 新课：讲解正切函数的定义，通过示例让学生理解正切函数的概念。

讲解正切函数的性质，让学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质。

讲解正切函数图象的特点，让学生通过观察、实验、探究等方式，掌握正切函数图象的特点。

3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固正切函数的性质与图象。

六、教学反思：本节课通过引导学生思考正切函数的定义，讲解正切函数的性质与图象，让学生掌握了正切函数的基本知识。

在教学过程中，注意调动学生的积极性，引导学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质与图象。

但在教学中也存在一些问题，如部分学生对正切函数的理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。

六、教学拓展：1. 讲解正切函数的周期性，引导学生理解正切函数周期性的含义。

2. 讲解正切函数的奇偶性，引导学生理解正切函数奇偶性的含义。

3. 讲解正切函数的单调性，引导学生理解正切函数单调性的含义。

七、课堂小结：2. 强调正切函数在实际应用中的重要性。

八、课后作业：1. 巩固正切函数的性质与图象，完成课后练习题。

2. 搜集正切函数在实际应用中的例子，加深对正切函数的理解。

1. 课后对学生进行提问，了解学生对正切函数性质与图象的掌握情况。

2. 分析学生的练习作业，评估学生对正切函数性质与图象的掌握程度。

教学设计（主备人：闫定芳） 教研组长审查签名： 高中课程标准∙数学必修第一册（下） 教案执行时间：4.10 正切函数的图象和性质教学设计一、内容及其解1、内容:本节主要学习利用正切线画正切函数的图象及正切函数的图象和性质.2、解析:通过本节的学习能理解并掌握作正切函数的图象的方法,能用正切函数的图象解决有关问题.二、目标及其解析 1、目标:①使学生会利用正切线画出正切函数的图象,并通过图象了解正切函数的性质. ②培养学生应用类比的方法进行学习. ③会求与正切函数相关的简单函数的定义域,值域2、解析:正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数.它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性.为了更好研究其性质,首先讨论y=tanx 的作用.三、教学问题诊断分析本节的重点是正切函数的图象和性质.难点是利用正切线画正切函数y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图象.四、教学支撑条件分析为了加强学生对正切函数的图象和性质的理解,用类比的方法利用几何眼画板动态的研究图象,体会数行结合的优点.五、教学过程设计 (一)教学基本流程复习正弦曲线的作法→作厂作出正切函数的图象→对比正、余弦函数的性质得到正切函数的性质→小结.(二)教学情景 1、问题及例题:问题1：回忆正弦曲线的作图法,由此法能否作出正切函数y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图象.设计意图:帮助学生回顾旧知识、同时获得新知识. 问题2: y=tanx (x ∈R,且x ≠2π+k π,k ∈Z)的周期为什么是π.利用这一性质如何作出此函数的完整图象？对比正、余弦函数的性质得到正切函数的哪些性质？设计意图:让学生知道正切函数的周期并在最小周期内进行分析. 问题3:对于无数条互相平行的直线x=K π+2π,(k ∈Z)在正切函数的图象中有何特点？设计意图:让学生知道无数条互相平行的直线x=K π+2π,(k ∈Z)与y=tanx 的图象无交点,且任意两条平行线间的图象均相同.问题5:回忆y=Asin(ωx+ϕ)的周期,类似地考虑: y=Atan(ωx+ϕ)是周期函数吗？若是如何求？设计意图:让学生对比分析,易于得出正切函数T=πω问题6:如何判断函数的单调性？正切函数有减区间吗？若没有,能否说正切函数在整个定义域内是增函数？式说明理由.设计意图:让学生利用定义法判断函数的单调性正切函数无减区间, 因为正切函数具有周期性,只能在每一个区间内谈单调性.问题7:如何判断函数的奇偶性,其图象有何特点？设计意图:让学生回忆奇偶性的定义,即f(-x)=-f(x)则为奇函数,图象关于原点对称. 例1 求函数y=tan(x+4π)的定义域.解:令Z=x+4π、那么y=tanz 的定义域是｛Z ∣Z ≠K π+2π,(k ∈Z.)｝由Z=x+4π、Z=x+4π可得X= K π+2π-4π=4π+ K π. 所以函数y=tan(x+4π)的定义域是｛X ∣X ≠K π+4π(k ∈Z.)｝例2: 求函数y=tan(2x+3π)的周期.解:T=πω=2π例3:判断下列函数的奇偶性 ①y=tanx-sinx. ②y=lg1tan 1tan xx-+解: ①令f(x)= tanx-sinx,则f(-x)=tan(-x)-sin(-x)=-tanx+sinx=-f(x) 所以f(x)=tanx-sinx 为奇函数, ① 令f(x)=lg1tan 1tan x x -+ .则f(-x)= lg 1tan()1tan()x x --+- =lg 1tan 1tan x x +- = - lg 1tan 1tan xx -+=-f(x)所以y=lg 1tan 1tan xx-+是奇函数.例4:求函数F(x)=44tan (3)1tan (3)1x x ππ---+的周期与单调区间. 解: f(x)=44tan (3)1tan (3)1x x ππ---+=tan(4x ππ-)=tan 4x π.周期T= πω= 4ππ=4, K π-2π<4x π.< K π+2π,4k-2<x<4k+2,所以函数F(x)的单调区间是(4k-2,4k+2)(k ∈Z). 目标检测 第一课时(1) 求下列函数的定义域: ①②(2) 求下列函数的单调区间及周期 ①y=tan x ;②y=3tanx(6π-4x )(3) 判断下列函数的奇偶性; ①y=tanx(-4π≤x ≤3π); ②y=tanx+1tan 2x小结:本节主要用到数形结合的思想,即把数量关系转化为图形性问,或把图形性问题转化为数量关系的问题来研究.配餐作业 A 组:教材P79 页第1、2、3、4题设计意图:让学生对正切函数性质灵活运用. B 组:教材P79页5、6题设计意图:加强知识的综合性应用. C 组:教材P80页第6题设计意图:此题是综合性比较强的题目,让学生自己选择. 目标检测 第二课时(1)、求下列函数的定义域:①-tanx), ②(2)求y=-tanx ²+10tanx-1的值域.(3)已知 f(x)=tan ²x+tanx(x+3∏/2).求:①f(x)的周期. ②f(x)的单调区间.设计意图:掌握正切函数的图象和性质,并能正确运用它的性质去解决一些实际问题. 小结:本节主要用到数行结合的思想.既把数量关系问题转化为图象性质问题,或把图形性问题转化为数量关系问题来研究,借助单位圆或正切函数的图象对问题直观、迅速作出判断.配餐作业 A 组:1、要得到y=tan(2x-3π)的图象,只需将函数y=tan2x 的图象 ( D )A 、向左平移3π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、 向右平移6π个单位.2、当-π/2＜x ＜2π时,函数y=tan ∣x ∣的图象是 ( C )A 、关于园点对称.B 、关于x 轴对称.C 、关于y 轴对称.D 、不是对称图象. 设计意图:让学生对正切函数性质加深认识并灵活运用。

正切函数的图象和性质【教学目标】1．掌握正切函数的性质； 2．掌握性质的简单应用； 3．会解决一些实际问题。

【教学重点】正切函数的性质的应用。

【教学难点】灵活应用正切函数的性质解决相关问题。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入：正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT 。

正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线” 余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2．值域：R3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。

6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质： 1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 2．值域：R ，3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y4．周期：π=T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减。

二、讲解范例：例1 用图象解不等式3tan ≥x 解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2,3ππππ亦可利用单位圆求解例2求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ， ∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数。

正切函数的图像与性质一、教学目标：，π内的性质 (重点 )．1. 推导并理解正切函数在区间－π2 22.能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用 (重点 )．3.会用正切函数的性质解决有关问题二、教学重点1、推导并理解正切函数在区间π π内的性质－2，22、能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用．3.会用正切函数的性质解决有关问题三、教学难点1、推导并理解正切函数在区间π π－ 2 ， 2内的性质2、能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用，会用正切函数的性质解决有关问题四、教学过程解析式y＝tan x图象定义域_________________________ 值域R周期π奇偶性奇单调性上都是增函数提示函数 y＝ tan x 的对称中心的坐标是kπ，0 ， (k∈Z) ，不是 (kπ，0)(k∈Z) 2思考尝试1．思考判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)正切函数在整个定义域内是增函数． ( )(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π .()(4)函数 y ＝tan x 为奇函数，故对任意 x ∈ R 都有 tan(－x)＝－ tan x. () 2．函数 y ＝tan 2x 的最小正周期是 ()ππ A ． 2π B ．π C. 2 D. 4．函数 ＝ tan x －π的定义域是 ( )3 y 4ππA. x x ≠ 4B. x x ≠－ 4C x x≠ π＋ π，k ∈ ZD. ≠ π＋3π，k ∈Zk4x x k 44. 函数 ＝ tan x － π≤ x ≤π且x ≠0 的值域是 ____________ y 4 45．函数 y ＝－ tan x 的单调递减区间是 __________ 正切函数的定义域、值域问题例 1、 (1)函数 y ＝lg( 3－tan x)的定义域为 ____．π π(2)函数 y ＝sin x ＋tan x ， x ∈ － 4 ， 3 的值域为 ___．1．求与正切函数有关的函数的定义域时， 除了求函数定义域的一般要求外， 还要π 保证正切函数 y ＝ tan x 有意义即 x ≠ 2 ＋ k π，k ∈Z2．求解与正切函数有关的函数的值域时， 要注意函数的定义域， 在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新 “ 元” 的范围．变式训练、(1)函数 y ＝ 1 的定义域为 ()tan xA ． {x|x ≠0}B ．{x|x ≠k π， k ∈ Z}C. x x ≠ π＋ π，k ∈ZD. x x ≠k π， k ∈ Z k 22(2)函数 tan(sin x)的值域为 ________________．正切函数的单调性及其应用 (互动探究 )例 2、(1)比较下列两个数的大小 (用“>”或 “<”填空 )：① tan 2π10π 7 ________tan7 .② tan 6π________tan 13π.5 － 51π(2)求函数 y＝tan 2x＋4的单调增区间．1π迁移探究、(变换条件、改变问法 )把本例 (2)中改为：求函数 y＝tan －2x＋4的单调减区间．归纳升华1．求函数 y＝ Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数 )的单调区间的方法：(1)若ω>0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令 kπ －πω ＋φπ＋π∈Z)，解得x的范围．2 <x <k 2 (k(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－ (－ωx－φ)] ＝－ Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想．2．运用正切函数单调性比较大小的方法：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小的关系．正切函数的奇偶性与周期性π例 3、(1)函数 y＝4tan 3x＋6的周期为 _______．(2)判断下列函数的奇偶性：①y＝ tan2x－ tan x；1－ tan x②y＝ xtan 2x＋ x4.归纳π1．一般地，函数 y＝ Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|ω|，常常利用此公式来求周期．2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与 f(x)的关系．变式训练、直线 y＝3 与函数 y＝ tan ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是 ()A．π2πB. ωπC.2ωπD.ω五、课堂练习：见变式训练六、教学小结： 1． 正切函数的性质(1)正切函数常用的三条性质．k π①对称性：正切函数图象的对称中心是2 ，0 (k ∈Z) ，不存在对称轴．ππ②单调性：正切函数在每个区间 k π－ 2 ，k π＋ 2 (k ∈Z) 内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．2．“三点两线法 ”作正切曲线的简图(1) “三点”分别为 π， ， π ＋π， 1 ， π －π，－ 1 ，其中 k ∈ Z ；(k0) k 4 k 4ππ两线为直线 x ＝ k π ＋ 2 和直线 x ＝ k π－2 ，其中 k ∈Z( 两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交 )．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内．七、教学反思正切函数的图像与性质一、学习目标：1.推导并理解正切函数在区间 － π π内的性质．2 ， 2 2.能画出 y ＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用．3.会用正切函数的性质解决有关问题 二、学习过程解析式 y ＝ tan x图象定义域_________________________值域R周期π奇偶性奇单调性上都是增函数提示 函数 y ＝ tan x 的对称中心的坐标是 k π，0 ， (k ∈Z) ，不是 (k π ，0)(k ∈Z) 2思考尝试1．思考判断 (正确的打“√”，错误的打“×” )(1)正切函数在整个定义域内是增函数． ()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．() (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π .()(4)函数 y ＝tan x 为奇函数，故对任意 x ∈ R 都有 tan(－x)＝－ tan x. () 2．函数 y ＝tan 2x 的最小正周期是 ()ππ A ． 2π B ．πC. 2D. 4．函数 ＝ tan x －π的定义域是 ( )3 y 4ππA. x x ≠ 4B. x x ≠－ 4C x x≠ π＋ π，k ∈ ZD. ≠ π＋3π，k ∈Zk4x x k 44. 函数 ＝ tan x － π≤ ≤π且 ≠ 的值域是 ____________ y 4 x 4 x 05．函数 y ＝－ tan x 的单调递减区间是 __________ 正切函数的定义域、值域问题例 1、 (1)函数 y ＝lg( 3－tan x)的定义域为 ____．π π(2)函数 y ＝sin x ＋tan x ， x ∈ － 4 ， 3 的值域为 ___．1．求与正切函数有关的函数的定义域时， 除了求函数定义域的一般要求外， 还要π 保证正切函数 y ＝ tan x 有意义即 x ≠ 2 ＋ k π，k ∈Z2．求解与正切函数有关的函数的值域时， 要注意函数的定义域， 在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“ 元” 的范围．变式训练、(1)函数1y ＝tan x 的定义域为()A ． {x|x ≠0}B ．{x|x ≠k π， k ∈ Z}≠ π＋ π，k ∈Z D. x x ≠k π， k ∈ Z C. x x k 22(2)函数 tan(sin x)的值域为 ________________．正切函数的单调性及其应用 (互动探究 )例 2、 (1)比较下列两个数的大小 (用“>”或 “<”填空 )：① tan2π10π 7 ________tan7.6ππ② tan135 ________tan － 5.(2)求函数 y ＝tan 1π的单调增区间．2x ＋4迁移探究、 (变换条件、改变问法 )把本例 (2)中改为：求函数 y ＝tan －1＋ π 的2x4单调减区间．归纳升华1． 求函数 y ＝ Atan(ωx＋ φ)(A ， ω，φ都是常数 )的单调区间的方法：(1)若 ω>0，由于 y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换 ”的思想，令 k π －πω ＋φ π＋ π ∈ Z) ，解得 x 的范围．2 <x <k 2 (k(2)若 ω<0，可利用诱导公式先把 y ＝Atan(ωx＋φ)转化为 y ＝Atan[－ (－ωx－φ)]＝－ Atan(－ ωx－ φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换 ”的思想．2．运用正切函数单调性比较大小的方法：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小的关系．正切函数的奇偶性与周期性π例 3、 (1)函数 y ＝4tan 3x ＋ 6 的周期为 _______．(2)判断下列函数的奇偶性：① y ＝tan 2x － tan x ；1－ tan x② y ＝ xtan 2x ＋ x 4.归纳π1．一般地，函数 y＝ Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|ω|，常常利用此公式来求周期．2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与 f(x)的关系．变式训练、直线 y＝3 与函数 y＝ tan ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是 ()A．π2πB. ωπC.2ωπD.ω五、课堂练习：见变式训练六、教学小结：1．正切函数的性质(1)正切函数常用的三条性质．kπ①对称性：正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z) ，不存在对称轴．ππ②单调性：正切函数在每个区间 kπ－2 ，kπ＋2 (k∈Z) 内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．2．“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为 (kπ， 0)，π， 1 ，π，其中 k∈ Z；π ＋π －，－ 1k4 k 4ππ两线为直线 x＝ kπ＋2和直线 x＝ kπ－2，其中 k∈Z( 两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交 )．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内．七、教学反思。

§1.4.3正切函数的图像与性质【教学目标】1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x 的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课时安排】1课时 【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？大家怎么知道正切函数的值域是R? 通过单位圆中的正切线可以得到。

那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问） 问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即[0，2 ]内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。

问题3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。

方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象； 第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去； 第三步：根据图象总结性质。

高中数学正切函数图像教案一、教学目标：1. 掌握正切函数的定义和性质；2. 理解正切函数的图像及其特点；3. 能够求解正切函数的相关问题。

二、教学重点：1. 正切函数的定义和性质；2. 正切函数的图像及特点。

三、教学内容：1. 正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)2. 正切函数的性质：- 周期性：tan(x + π) = tan(x)- 奇函数性质：tan(-x) = -tan(x)- 定义域：x ≠ kπ + π/2，k为整数- 值域：(-∞, +∞)3. 正切函数的图像分析：- 对称轴：x = kπ，k为整数- 渐近线：y = π/2 + kπ，k为整数四、教学步骤：1. 引入：通过实际问题引入正切函数的概念，引导学生思考正切函数的定义和性质；2. 讲解：介绍正切函数的定义和性质，并解释其图像特点；3. 分析：分析正切函数的图像，特别是对称轴和渐近线的位置；4. 计算：让学生通过实例计算正切函数的相关数值；5. 练习：布置练习题，让学生巩固和提高对正切函数的理解和运用能力；6. 总结：总结正切函数的特点和性质，强调重点。

五、课堂讨论：1. 你认为正切函数的图像有什么特点？2. 如何求解正切函数的相关问题？3. 你觉得学习正切函数有什么实际意义？六、作业布置：1. 完成课堂练习题；2. 总结正切函数的概念和性质；3. 思考如何应用正切函数解决实际问题。

七、延伸拓展：1. 对于正切函数的极限性质进行深入研究；2. 探讨正切函数在实际问题中的应用。

八、教学反馈：1. 收集学生的作业，并及时给予反馈；2. 回顾本节课的重点，强化学生对正切函数的理解。

《正切函数的性质与图像》的教学设计一.教材分析1.地位与作用《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。

在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。

2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。

我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。

二．学情分析通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。

这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。

三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.知识目标：1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。

2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。

3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2. 能力目标：1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、德育目标：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

《正切函数的图像及性质》教案 "数学组一、 教学目标：1、 知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、 过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、 情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时 正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】 常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】1． 正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

第4课时正切函数的性质与图象【教学目标】1．知识目标（1）理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质。

（2）会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

2．能力目标培养学生作图能力，运用函数图象分析、探究问题的能力。

3．情感目标经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用。

【重点难点】重点正切函数的性质与图象。

难点利用正切线研究正切函数的单调性及值域。

案例（一）教学过程板书设计案例（二） 教学过程1． 正切函数的性质探讨。

教师――前面对正弦函数、余弦函数性质进行研究时，同时运用了函数的图象和诱导公式，也就是采用的数行结合方法。

对正切函数性质的研究咱们换一新视角来研究，不先研究图象，而先研究性质，根据性质再做图象。

下面请你借助研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，根据诱导公式、正切线依次对正切函数的周期性、奇偶性、单调性、最值做出研究。

学生――探究正切函数的周期性，根据诱导公式x x tan )tan(=+π来研究。

师生――教师重点解析，指出正切函数的周期是，不予证明，后面结合图象会看到。

进一步指明，正切函数的基本周期区间常取为（－)2,2ππ学生――自主探究正切函数的奇偶性，教师引导学生注意正切函数的定义域。

师生――共同说明正切函数的奇偶性。

学生――自主探究正切函数的单调性，遇到障碍。

教师――单调性无法根据诱导公式来说明，引导学生利用正切线，数行结合探究正切函数在一个基本区间（－)2,2ππ内的单调性，再根据其周期性研究正切函数的所有单调区间。

学生――画出正切线，观察思考正切线在基本区间内的变化规律，说明正切函数的单调性。

师生――教师结合图１.４－８进一步解释正切函数的单调性，规范给出正切函数的单调区间。

学生――结合图１.４－８中的正切线，利用极限思想求正切函数在一个周期的区间（－)2,2ππ上y 的取值范围，即得正切函数的值域。

师生――共同归纳正切函数的值域是实数集R ２．正切函数的图象教师――正切函数的性质通过诱导公式和正切线进行了研究，下面转向函数图象研究。

正切函数的性质与图像教案第一篇：正切函数的性质与图像教案1．4．3 正切函数的性质和图像一、教学目标1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；二、课时 1课时三、教学重点正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具多媒体、实物投影仪六、教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z 2可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(kπ,0)k∈Z.2(3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(-ππ22,)内是增函数,π2+kπ,π+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域根据正切函数的定义tanα=y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+π,k∈Z,所以正切函2ππ,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于-切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(-π2且无限接近-π2时,正ππ且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方22ππ22,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1 问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-ππ,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22ππ,)的图象为好.22π+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(-ππ22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(-π4,-1),(0,0),（π,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(-x=-π4,-1),(0,0),（π,1),再画两条平行线4π2,x=π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=π+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性π+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称22kπ的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(-+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例略课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.第二篇：正切函数的图像与性质教案高中数学正切函数的图像与性质昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案试讲科目：高中数学学校：云南师范大学姓名：何会芳2013年5月3日制高中数学正切函数的图像与性质一.教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。