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《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。
用数学语言表示为：如果角＄＼alpha$ 是一个锐角，那么＄＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＄，其中＄＼sin\alpha$ 是角＄＼alpha$ 的正弦值，＄＼cos\alpha$ 是角＄＼alpha$ 的余弦值。
正切函数＄y ＝＼tan x$ 的定义域为＄＼｛x|x ＼neq k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}， k ＼in Z\｝＄，这是因为当＄x ＝ k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}＄时，＄＼cos x ＝ 0$ ，而分母不能为零。
二、正切函数的图像正切函数的图像是由无数个周期组成的，其周期为＄＼pi$ 。
我们可以通过单位圆来绘制正切函数的图像。
在单位圆中，角＄x$ 的终边与单位圆的交点为＄（cos x, sin x)＄，则＄＼tan x ＝＼frac{＼sin x}｛＼cos x}＄。
当＄x$ 从＄＼frac{＼pi}｛2}＄逐渐增加到＄＼frac{＼pi}｛2}＄时，＄＼tan x$ 的值从负无穷大逐渐增加到正无穷大。
当＄x$ 从＄＼frac{＼pi}｛2}＄逐渐增加到＄＼frac{3\pi}｛2}＄时，＄＼tanx$ 的值从正无穷大逐渐减少到负无穷大。
正切函数的图像具有以下特点：1、周期性：正切函数是周期函数，其周期为＄＼pi$ 。
2、奇偶性：正切函数是奇函数，即＄＼tan(x) ＝＼tan x$ ，其图像关于原点对称。
3、渐近线：正切函数的图像有无数条渐近线，即直线＄x ＝ k\pi＋＼frac{＼pi}｛2}＄，＄k ＼in Z$ 。
三、正切函数的性质1、定义域：＄＼｛x|x ＼neq k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}， k ＼in Z\｝＄2、值域：＄（＼infty, ＋＼infty)＄，正切函数的值域是全体实数。
正切函数的性质与图像
一、正切函数的性质：
1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。
2、值域：实数集R。
3、奇偶性：奇函数。
二、正切函数的图像：
正切定理：
在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。
正切定理：(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)
证明——由下式开始：
由正弦定理得出
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。
放在直角坐标系中（如图《定义图》所示）即tanθ=y/x。
也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x。
曾简写为tg，现已停用，仅在20世纪90年代以前出版的书籍中使用。
