正切函数的性质与图象-公开课课件

§1.4.3 正切函数的性质 与图像
1、正弦函数的图像与性质 2、余弦函数的图像与性质 3、特殊角的正切值
回顾三角函数线：
想一想?
sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
T
1P o M 1A
正弦线MP
余弦线 OM
x 正切线 AT
有向线段
1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及 画法，即《正弦函数图像类比推导法》。 准确写出正切函数的性质。
2.正切函数的周期性
y
1
3
2
o
2
-1
2
2
3
5
2
2
x
f (x ) tan(x ) tan x 正切函数是周期函
(x R, x k , k Z ) 数，最小周期是 2
巩固练习：
［例2］求函数 正周期.
y 5 tan
x, 2
x (2k 1)
(k Z ) 的最小
解：由T ,
22
由正切函数的的周期性知，正切函数在
( k , k ), k Z
2
2
内都是增函数
巩固练习：
［例4］利用正切函数的单调性比较下列各组中两个 正切值的大小：
(1) tan1380与 tan1430
(2) tan - 13 与tan 17
4 5
解：(1) tan1380 tan1430
(2) tan- 13 tan 17
4 5
巩固练习：
［例5］求函数y
tan( 2
x
3
)的定义域，周期和单调区间。
解：函数的自变量x满足 x k k Z
即x 2k 1 k Z
23
2
3
所以函数的定义域是
x x 2k 1
,
kZ
3
由T ,
得T
2
所以y tan( x ) 的最小正周期为 。
得T
1
2
所以y 5 tan x ,
2
x (2k 1)
(k Z ) 的最小正周期为2
。
2
3.正切函数的奇偶性
f (x) tan(x) tan x f (x)
(x R, x k , k Z )
2
正切函数是 奇 函数
巩固练习：
［例3］ 下列哪个函数是奇函数（ D ）
A. y cos x
2、通过学生自己动手作图，调动学生的积 极性和情感投入，培养学生数形结合的思 想方法。
3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点， 增强学习数学的兴趣。
重点：
学绘画正切函数的简图，推导正切函数的性质。
难点：
体验正切函数基本性质的应用
知识探究（一）：正切函数的图象
思考1：类比正弦函数图象的作法，可以利用
2
3
4
x 5 6 x 5 6
23
由
k
x
2
k ,
k Z,
解得 5 2k x 1 2k,
k Z,
2
2 32
3
3
因此，函数的单调递增区间是
5 3
2k，1 3
2k
，k
Z
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
性质
答案
定义域
x
x R, x k , k Z
2
值域
R
周期性
奇偶性 单调性
奇函数
( k , k ), k Z
正切线作正切函数在区间( , ) 的图象，具
体应如何操作？
22
y
O
x
2
2
思考2：请同学观察正切函数的图象
y
1
3
2
o
2
-1
2
2
3
5
2
2
x
正切曲线是被相互平行的直线 x k , k Z
所隔开的无穷多支曲线组成。
2
知识探究（二）：正切函数的性质
1.正切函数的定义域和值域
f (x) tan x
C. y tan x ( x k )
4
4
B. y sin x
2
D. y tan x ( x k )
2
解： A是偶函数， B是偶函数， C既不是偶函数 也 不是奇函数 ， D是奇函数
所以DБайду номын сангаас正确。
4.正切函数的单调性
由正切线的变化规律知，正切函数在
( , ) 内是 增 函数
2
2
y
1
3
2
o
2
-1
2
2
3
5
2
2
x
正切曲线是被相互平行的直线 x k , k Z
所隔开的无穷多支曲线组成。
2
正弦、余弦函数的图像和性质
y
1
-4 -3
-2
-
o
2
3
4
-1
奇函数 y=sinx (xR)
偶函数y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
定义域：x x R, x k , k Z
观察正切线在
(
2
,
)
的变化。
22
值域： R
无最大值、无最小值。
巩固练习：
［例1］求函数y＝tan2x的定义域.
解：由2x k , (k Z ) ,得 x k (k Z )
2
42
∴y＝tan2x的定义域为：x x k (k Z ) 42