苏科版八上数学课件3.1勾股定理第1课时勾股定理(共16张PPT)

8 25
B C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵⑴正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
C Aa c
b B 图甲
图甲 图乙 A的面积 4 9 B的面积 4 16 C的面积 8 25
A 图乙 a
Bb c C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的
1 112
SP+SQ =SR
2 145
SP+SQ =SR
3 4 16 20
SP+SQ =SR
4 16 25 41
SP+SQ =SR
SP+SQ=SR
a2 +b2 =c2
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c 股b
┏
勾a
a2=a2c2+-bb22=c2
b2=c2-a2
数，你有什么发现？
9+16=25 32+42=52
SA+SB=SC
C A
B 图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 4 44 8
4
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
A
图乙
C A
B 图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 4 99 4 16
x = 15
y=5
z=7
A
C B
D
E
F
七嘴八舌
1.说说对勾股定理的认识?谈谈学 习感受?

邮票的秘密 观察这枚邮票图案小方格的个数， 你有什么发现?
4
5
3
3 +4 =5
2
2
2
F
D
B
3
c 4
I
E
C H
A G
F
D
B
3
c 4
I
E
C H
A G
L
F
K I
D
B
3
c 4
E
C H
A G
J
猜想： 直角三角形中三边之间有怎样的 关系?
4 5 a c 3
3 +4 =5
2
2
2
b
2 ? a+ b= c 2 2
2 2
2
勾股史话
2 2 2 勾股定理： 勾 股 弦
勾
勾
弦 股
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为“勾”，下半部分 称为 “股”.我国古代学者把直角三角 形较短的直角边称为“勾”，较长的直 角边称为“股”，斜边称为“弦”.
商高定理 我国是最早了解勾股定理的国家之 一．早在三千多年前，周朝数学家商高就 提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾 等于三，股等于四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五”，它被记载于我国 古代著名的数学著作《周髀算经》中.
比一比，看看谁算得又快又准！
1.求下列直角三角形中未知边的长．
5 8 17 y
2 2 2
x
12
z 20
16
2 2 2 z + 1 6 = 2 0 1 2 =x 8 y 1 7 5+
2
2
2
y = 15
x = 13

5 在 Rt△ABC 中 ， 斜 边 AB ＝ 2 ， 则 AB2 ＋ BC2 ＋ CA2 ＝ ____8____．
6 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心， AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝____2____．
7 【2019·黔东南州】如图，点E在正方形ABCD的边AB上 ， 若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为____3____．
12 【中考·益阳】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC
的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的
解题思路完成解答过程．
解：作 AD⊥BC 于 D，在△ABC 中， AB＝15，BC＝14， AC＝13，设 BD＝x，则 CD＝14－x. 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝ AC2－CD2＝132－(14－x)2， 所以 152－x2＝132－(14－x)2. 解得 x＝9. 所以 AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144，所以 AD＝12.
14 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m， BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形ABCD的面积．
【点拨】利用分割法将四边形 ABCD 分 割 成 △ ABC 和 △ ACD 两 个直角三角形，将这两个直角三 角形面积相加即可得到结果．
解：如图，连接 AC. 因为∠B＝∠D＝90°， 所以△ABC 与△ACD 都是直角三角形． 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 AC2 ＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则 AC＝25 m. 在 Rt△ACD 中，根据勾股定理，得 AD2＝AC2－CD2 ＝252－72＝576，则 AD＝24 m．故 S 四边形 ABCD＝

A．13
B．26
C．47
D．94
图 放大
第1题
如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB＝90°， AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边 AB 翻折，使点 B 落 在直角边 AC 的延长线上的点 E 处，折痕为 AD，则
1
CE 的长为________ cm.
图 放大
第3题
如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD
图 放大解：将正方形 MTKN 的面积设为 x，将其余八 个全等的三角形中的一个面积设为 y.
∵正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，且 S1＋S2＋S3＝21，
且 S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x， ∴S1＋S2＋S3＝3x＋12y＝21， ∴x＋4y＝7， ∴S2＝x＋4y＝7.
b a
c
， ，
．
3.1 勾股定理（2）
c
， ．
3.1 勾股定理（2）
弦图
赵爽 东汉末至三国时代吴国
人，为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方圆说》．
3.1 勾股定理（2）
a2 b2
a2＋b2＝c2
3.1 勾股定理（2） 活动二：你能根据下面的图形验证勾股定理吗？
a
bc
，
c
a
．
b
3.1 勾股定理（2） 两个证明基本上完全相同！
第10题(1)
(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明． 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2＋b2＝c2.
证明：由(1)知△ABC≌△DEC，∴CE＝BC＝a.
∵S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，DF⊥AB，

邮票赏 析
这是1955年希腊曾经发行的 纪念一位数学家的邮票.
例1、如图，一根电线杆在离地面5米处断
裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，
电线杆折断之前有多高？
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
B
∴在Ｒt△ＡＢＣ中，
5米
ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５，
根据勾股定理， AB2 AC2 BC2
C
12米
A
即AB2 122 52 169
3、在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲 ， 它高出水面1米 ，一阵大风吹过，红莲被吹至一 边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距 离为2米 ，问这里水深多少A？
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
？x
B
课堂小结
1.说说对勾股定理的认识?谈谈学习感受?
2.思考验证勾股定理的方法．
面积各为多少？
SA+SB=SC
C Aa c
b B 图甲
图甲 图乙 A的面积 4 9 B的面积 4 16 C的面积 8 25
A
图乙
a
Bb c C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
SA+SB=SC C
Aa c b
图甲 B
图乙 a
bc C
SA+SB=SC
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图，一个高3 米，宽4 米的大门，需 在相对角的顶点间加一个加固木条，则木 条的长为( ) C
A.3米 B.4米 C.5米 D.6米

并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力．
2．让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的
目标
些
过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定
值．
3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．
形面积与以
形吗？
正方形面积
AB 为 边 的
积．拼图活
学生的猜想
究的趣味性
生的空间思
（图 2）
手能力，体 —数学的思
拼图，你有什么发现？
活动引发我们的灵感，运算推演证实我们的猜想．为了计算面积方
SR 的 求 的难点，这
幅图形放在方格纸中．如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出图
先在学案上
形的面积．你是如何得到的？如何计算 SR（几何画板）？
苏科版初中数学
充分利 前面阅读的 本上的练习 问，让学生 再规范板书 对勾股定理 用，让学生 角三角形三 两边，可以
这是一 生活的实例 理的运用中 教育．
TB:小初高题库
苏科版初中数学
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库
出发，揭示
直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起
的根源，符
来探讨这个问题．板书：直角三角形三边数量关系．
知心理，也
8
本节课的目
体会到当一
x
（图 1）
不好解决时 一般问题转
题来研究．
索 猜想归纳
学生讨论．

SA+SB=SC C
Aa c b
图甲 B
图乙 a
bc C
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用
拼 图
A 2、4、6
Ｂ 6、8、10
Ｃ 4、6、8
Ｄ 8、10、12
如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC 边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
例题分析
例２．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
勾
B
C
股
定
A
理
SA+SB=SC
C A
B 图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 4 4 8
C
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的
面积各有为什多么少关？系？
SA+SB=SC
A
图乙
C A
B 图甲
图甲 图乙 A的面积 4 9 B的面积 4 16 C的面积 8 25
B C
SA+SB=SC
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:

勾
B
C
股
定
A
理
第一页，共7页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)怎样用数学知识来证明呢?
a2+b2=c2
用 拼 图 法 证 明
第二页，共7页。
(zhèngmíng)
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)怎样用数学知识来证明呢?
(zhèngmíng)
a2+b2=c2
用
拼 图
ab
法 证
b
a
明
A
10
D
8 10 B6
8-x E
8-x x
F4 C
第七页，共7页。
A
60°
D
B
C
方法(fāngfǎ)小结:在三角形中求边长问题,往 往利用勾股定理,若题中没有直角三角形,可构成叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC 边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
cb a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab
∴a2 +b2 =c2
第四页，共7页。
数学书第54、55页有不同 的验证勾股定理的方法 (fāngfǎ),请同学们打开课本试 一试看看现在能不能自己把书 上的问题解决掉
第五页，共7页。
5:已知:△ABC 中,∠A=60°,AB=9cm,AC=14.4cm,求BC的长.
a
b
ba
第三页，共7页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)怎样用数学知识来证明呢?
a2+b2=c2
(zhèngmíng)
用 拼 图
法a
证
b明

C
（1）• 观第察二图级1、图2，并填 写下表：• 第•三第级四级
• 第五级
B
C
图1
A
B
图2
A的面积 （单位面积）
图1
16
图2
4
B的面积 （单位面积）
9
9
C的面积 （单位面积）
25
13
2019/8/30
10
单击此处编母版标题样式
（• 单2）击右此图处中正编方辑形母版文本样式
A,B，• 第C的二面级积之间有
据《周• 髀第算四级经》记载，西周战国时期
4
股
• 第五级
（约公元前1千多年）有个叫商高的人对
周公说，把一根直尺折成直角，两端连接
得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，
那么弦等于5.
∟
弦5
勾
3
2019/8/30
12
单击此处编母版标题样式
人们还发现，在直角三角形中，
• 勾单是击6此，处编股辑是母8版，文本弦一样定式是10；
•解图单中:由击把图此大可处正知方编大形辑正的母方面形版积的文分边本成长了样为四式：部a+分b则，面分积别为是(：a+边b长)2，为a
的正• 第方•二形第级，三边级长为b的正方形，还有两个长为b，宽为a的
长方形. • 第四级 根据同一个图• 形第面五级积相等，由左图可得
(a+b)2=a2+b2+4× 1 ab，
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• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
3.1勾股定理
• 第四级 • 第五级
2019/8/30
1
单击此处编母版标题样式

b
c
a2 b2 c2
a
2.在验证勾股定理中，我们使用数学中的一种思想方法：
等积法： 一个图形通过不同角度计算的面积相等。
1.在Rt△ABC中，∠C＝900。
（1）如果BC=9，AC=12，那么AB=
；
（2）如果BC=8，AB=10，那么AC=
；
（3）如果AC=20，BC=15，那么AB=
；
（4）如果AB=13，AC=12，那么BC=
谁能用语言叙述这一结论？
观察所得到的各组数据，我们发现：
Ca B
SP+SQ=SR
bc
A
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
A
a c 股 弦
b 2＋ 2＝ 2
b
c
C 勾a B
勾股史话
我国是最早了解勾股定理的国家之一． 早在三千多年前，周朝的数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、 弦五”．它被记载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中．在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一 般形式．这一发现，至少早于古希腊人500多年．作为一名中国人， 我们应为我国古人的博学和多思而感到自豪！
2
b
a
a c
aa
b
a
a2 2ab b2 2ab c2 b
a
c
a2 b2 c2
bc
a
a cb
c
a
b
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能 验证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理 吗？把你的想法与大家交流一下。