九年级数学导学案：《圆》第一节 圆周角导学案2

课题:24.1.1圆导学目标：1.经历圆的有关概念的形成过程，理解圆的描述定义和集合概念.2.理解弧、弦、半圆、直径等有关概念，了解等圆、等弧的概念.导学过程：一、欣赏圆二、描绘圆1．圆规画圆；2．借助于现有工具画圆；3．体育老师如何在操场画圆？三、描述圆我们用圆规画圆时，把圆规的一个脚固定，另一个脚绕着它转动一周就画出了一个圆（如图1）．由此，我们可以得到圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__________.（如图2），固定的端点O叫_________（确定圆的位置）．线段OA叫做_________ （确定圆的大小）．以点O为圆心的圆，记作__________，读作________．（1）（2）四、领会圆问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？⊙O上所有的点到O点的距离均等于_______________．问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？到O点的距离都等于r的点都在__________ 上.所以说：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离_________ 定长r的点组成的图形．用集合的观点定义圆：到定点的距离等于定长的点的集合叫做_________．五、应用圆1.如图，已知点P、Q，且PQ=4cm..P Q （1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合.（2）在所画的图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q 的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来.图(2)D CBA BDA CBDA C图(1)图(3)（3）在所画的图形中，到点P 的距离小于或等于2cm ，且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎么样的图形？把它画出来.2.如图（1），四边形ABCD 是矩形，那么点A 、B 、C 、D 在同一个圆上吗？你能说明理由吗？变题1：如图（2），四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，上述结论是否成立？为什么？变题2：如图（3），若点A 、C 在直线BD 的同侧，∠A =∠C =90°，上述结论还成立吗？为什么？六、研究圆： 与圆有关的概念1.如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，且A 、O 、B在同一直线上，我们通过右图认识与圆有关的概念．弦：连接圆上任意两点的_________叫做弦(如图中的AC、AB).直径：经过圆心的________ 叫做直径(如图中的AB).弧：圆上任意两点间的________ 叫做圆弧，简称弧，以A、B为端点的弧记作_______，读作“_______”或“_______”.半圆：圆的任意一条_______ 的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，半圆是一种特殊的弧.优弧、劣弧：大于_______ 的弧叫做优弧（如图中的_______），小于_______ 的弧叫做劣弧(如图中_______)，优弧、劣弧都是弧，但是优弧大于半圆，劣弧小于半圆．（优弧必须用三个字母表示）2.在同圆或等圆中，能够互相_______的弧叫做等弧，能够_______ 的两个圆叫做等圆.七、自主评价八、回顾反思，深化提高经过一节课的合作探究，你对圆的相关知识又多了解了多少？又学到哪些方法或数学思想，与大家交流一下.4.对角线互相垂直的四边形的各边的中点是否在同一个圆上？并说明理由.【自主评价】1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆.2.如图1，点A O D 、、以及点B O C 、、则圆中有 条弦.3．已知⊙O 中最长的弦为16cm ，则⊙O 的半径为____ cm. 4.下列说法正确的是 （填序号）①直径是弦 ②弦是直径 ③半径是弦 ④半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧 ⑥长度相等的两条弧是等弧 ⑦等弧的长度相等5.如图2，在ABC ∆中，90,40,ACB A ∠=︒∠=︒以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求ACD ∠的度数．（图2）（图1）6．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E、F、G、H分别为OD、OA、OB、OC的中点，试说明E、F、G、H四个点在以点O为圆心、OE为半径的同一个圆上。

初中-数学-打印版24.1.4《圆周角》（2）学习目标1．认识圆内接四边形，理解并掌握圆内接四边形的性质. 2．灵活运用圆的性质解决相关问题. 学习重点：圆内接四边形及其性质. 学习难点: 运用圆的性质解决相关问题. 学习过程 一．自主学习1．如图1，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点，你能确定∠ACB 的度数吗?为什么？ 2．如图2，圆周角∠BCA =90º，弦AB 经过圆心O 吗？为什么？ 我们还可以得到圆周角定理的推论：在_______或______中，如果两个______相等，那么_____________一定相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________.图1 3．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__________________；这个圆叫做________________.4．思考：圆内接四边形的对角有什么关系？为什么？ 这样，我们利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质：______________________. 二．探索新知思考1 你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？说说你有多少种方法？思考2 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是_____三角形。

请证明这个结论.三．应用新知例1 如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， (1)求BC 、BD 、AD 的长。

(2)求CD 的长。

例2 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，（1）求证： BD = DE ；（2）连接BE ，如果BC=6，AB=5，求BE 的长．O ED CB A OC B A图3O D C B A E OCA B初中-数学-打印版四．发现总结1．解决圆周角的问题时常根据_______所对的圆周角是______作为依据，添加辅助线构造______三角形.2．求三角形的高的常用方法有哪些？ 五．巩固提高如图，点D 为Rt △ABC 斜边AB 上的一点，以CD 为直径的圆分别交△ABC 三边于点E 、F 、G三点，连EF 、FG.（1）求证：∠EFG =∠B ； （2）若AC=2BC=54，D 为AE 的中点，求CD 的长.六．课堂检测1．如图1，若AB 是⊙0的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°， 则∠BCD=（ ） A.116° B.32° C.58° D.64°2．如图2，⊙O 的直径AB=13，弦AC=5，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的 长（ ） A. 7 B. 9 C.2217D. 29 3．如图3，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE=____________.4．如图4，AB 是半圆O 的直径，D 为 AC 的中点，∠B=40°，求∠C 的度数为________.图1 图2 图3 图45．如图，AB 为⊙O 的直径，点Q 在弦BC 的延长线上，且∠PCQ =∠PCA. （1）求证：PA=PB ； （2）求PCBC AC 的值.6．如图，BC 为⊙O 的直径，F 是半圆上异于B 、C 的一点，A 是弧BF 的中点，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF 交AD 于点E.O ABD CDG E FB AC Q POC BCB（1）求证：AE = BE.（2）若⊙O的半径为5，AD= 4，求AE的长.初中-数学-打印版。

（5）（4）A24.1.4圆周角导学案（1）学习目标：1.了解圆周角的概念．理解圆周角的定理．理解圆周角定理的推论.（重点）2.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．（难点） 自主学习：阅读教材85至86页 1.定义：顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角.（完成书后练习第1题） 2. ① 如图，AB 为⊙O 的直径，∠BOC 、∠BAC 分别是所对的圆心角、圆周角，利用以前所学知识求出图（1），（2），（3）中∠BAC 的度数分别为 ．通过计算发现：∠BAC ＝ ∠BOC ， 即， 。

② 观察图（4）和（5）中的圆周角和圆心角，它们与图（1）（2）（3）有什么不同？还能得到与①相同的结论吗？你是怎么得到的？③ 圆周角定理的证明运用了什么数学思想？3.如图（6），在⊙O 中，所对的圆心角为 ，所对的圆周角是 ，你能得到什么结论？合作探究探究1 教材88页练习3 探究2 教材88页练习2 典型题例1.如图（7），点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=350①∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ②∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 2.如图（8），点A ，B ，C 在⊙O 上， 若∠BAC=60°，则∠BOC=____°；若∠AOB=90°，则∠ACB=____°. 3.如图（9），点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC 的形状，并说明理由.4.如图（10），⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°，求弦DC 的长.BC （1） （2） （3）BC （6）（7）（8）(9)（10）B（13）圆周角（1）限时训练1.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°2.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°3.如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°4.如图，A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中，相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对5.如图,D 是弧AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个6.如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°7.如图⊙O 中弧AB 的度数为60°，AC 是⊙O 的直径，那么∠BOC 等于 ( ) A ．150° B ．130° C ．120° D ．60°8.如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是弧AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.9.如图,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BD 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形.10.已知,如图,∠BAC 的邻补角∠BAD=100°,则∠BOC=_____度. 11.如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_____度.12.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °,则点O 到CD 的距离OE= . 13.如图（13）,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径，且AD=6cm ，若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长.第2题第3题 第4题 第5题 第7题 第6题 第9题 第10题 CD 第11题 第12题24.1.4圆周角导学案（2）学习目标：1．掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径。

一、 圆周角定理导学案【学习目标】掌握圆周角定理及其证明；掌握圆心角定理及圆周角定理的两个推论；能用定理和推论解决相关的几何问题。

【学习过程】 （一）、探究导入一、旧知回顾1、圆周角的定义：2、圆心角的定义：3、外角与两个不相邻内角的关系： 二、探究阅读并结合课本P24-P25的内容，完成下列要求： （1）：利用量角器测量如下三个图形中圆心角BOC ∠和圆周角BAC ∠的度数并填空 （2）：猜想圆心角和圆周角的关系：圆周角等于它所对圆心角的 (3)：用合理的方法自主证明如下图的三种情况（1） (2) (3)= BOC ∠= BOC ∠=BAC ∠= BAC ∠= BAC ∠= 综上结论：BOC ∠= BAC ∠ 证明：（2） （1） （3）综上三种情况猜想：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的图（二）、新课传授一、1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的2.练习：1、如图1，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A、50°B、80°C、90°D、100°图1 图2练习： 2、如图2，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °AB＝2，则⊙O 的半径是。

二、1、思考（1）如图3.弧AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？图3 图4 图5 （2）如图4.在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？（3）如图5.问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：∠C1、∠C2、∠C3的度数是问题2：若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是。

2、圆心角定理：圆心角的度数它所对弧的度数。

3、圆周角定理的推论推论①：同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧。

推论②：半圆（或直径）所对的圆周角是；90的圆周角所对的弦是4.判断正误（1）同弧或等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的圆周角所对的弧相等（）（3）90°角所对的弦是直径（）（4）直径所对的角等于90°（）（5）长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（）1．如图一，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC ＝( )A ．30° B.45° C ．60° D.75°图一三、学以致用例1：如图，ΔABC 中，AB=AC ， ΔABC 外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D ，求证：练习：1图2－1－ 5 2－1－102．如图2－1－10，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．AE AD AB ⨯=2 如图2－1－5，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF ︵的度数为( ) A ．25° B.50° C ．100°D.120°BCA练习.2、如图所示，OA OA 是⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦 AB AB 相交于D ，AO 的延长线交⊙O 于E 求证：D D 是AB 的中点.2、如图，BC 为⊙O 的直径，BC AD ⊥,垂足为D ，AB =AF ,BF 和AD 相交于E ，求证：BE AE =三、师生互动1.如图所示，已知AD 是ABC ∆的高，AE 是ABC ∆的外接圆直径 求证：（1）AD AE AC AB ⋅=⋅ (2) DAC BAE ∠=∠______2tan 307.(12==∠=⊥θθ则设且于在半圆上的直径是半圆年深圳一模，COD BD ，AD D AB ，CD C ，O ）ABAPAC2.如图所示，AB 与CD 相交于圆内一点P .求证：AD 弧的度数与BC 弧的度数和的一半等于APD ∠的度数.（你能用两种方法吗？）变式：如图，圆O 的两条弦的延长线相交于点P .求证：BC 弧的度数与AD 弧的度数差的一半等于APD ∠的度数.【课时作业】（大小题均写解题过程）1.下列说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相同的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的序号是 .2.如图所示，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径， 则C B A ∠+∠+∠= .3.在半径为cm 7的圆内有长为cm 37的弦，则此弦所对圆周角的度数 为 .4.已知：如图，AB 是弦O Θ的一条弦，ACB ∠的平分线交AB 于点E ，交⊙O 于点D .D求证：CBDCCE AC =.5.如图，圆内接ABC ∆中，AC AB =,D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和ABC ∆外接圆的交点，(1)求证：AE AD AB ⋅=2；（2）当D 为BC 延长线上的一点时，第（1）题的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。