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人教版九年级数学上册圆周角

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人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理ppt课件

人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理ppt课件
（2）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等。
AB
C′
C
E
O
C
F
DF
B' O′
B O
A'
A
【方法一点通】 利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路
1.在同圆或等圆中,要证弧相等,考虑证明这两条弧所对的圆周角
（圆心角、弦、弦心距）相等.
2.在同圆或等圆中,要证圆周角相等,考虑证明这两个圆周角所对 的弧（圆心角、弦、弦心距）相等.
圆周角定理推理2
同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等
条件“在 同圆或等 圆中”可以 省略吗？
C′
C
B' O′
B O
A'
A
知识要点 圆周角定理的推理
1、（在同圆或等圆中），同弧或等弧所 对的圆周角相等．
2、 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等
A
C
B
·
·
D
E
正确理解圆心角，弦、 弦心距、圆周角与弧 的互推关系
知一推四 前提：同圆 或是等圆中
正确理解圆心角，弦、 弦心距、圆周角与弧 的互推关系
课后练习. P88 第3,4题.
谢谢大家!
课后作业
1． 已知：A⌒C = B⌒D， A
B
求证：AB∥CD． C
D
2.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，求∠BOC的度数。
⌒⌒ AB=A′B′
C′
B A′
B′ O′
人教版数学九年级上册圆周角的概念 和圆周 角的定 理p p t 课件
五、定理
圆周角定 理
在同圆或等圆中，一条弧(同弧或等弧)

人教版九年级上册数学.圆周角PPT课件.

人教版九年级上册数学.圆周角PPT课件.
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪
个选项可能成立（ B ） 21.2 特殊情况下，招标代理机构可于投标有效期满之前以书面形式要求投标人延长有效期。投标人应以书面形式答复招标代理机构的
上述要求。若投标人拒绝上述要求，可在原定的投标有效期满后收回其投标保证金；若投标人接受招标代理机构的延期要求，投标文 件继续有效，且不允许修改，但需相应延长投标保证金的有效期。 1．人员服务礼仪 （3）库存报表：包括商品库存明细表、商品库存汇总表、商品库存报警表、商品库存分析表、商品进销存台帐、商品收发汇总表。 员工在整个服务过程中必须保持精神专注，时刻准备着为顾客服务。举例来说，有些营业场所会有老人光顾。在老人进来的时候，因
D C 革命纲领，充分发动群众，解央了民主革命的核心问题，即土地问题。④所属的世界革命范畴不同:旧民主主义革命属于世界资产阶级
革命的一部分，新民主主义革命属于世界无产阶级革命的一部分。
∠BOC=__1_0_0_°,∠A=__5_0_°_
O
3、如图(2)四边形ABCD中, A B
C
∠B与∠1互补,AD的延 长线与DC所夹∠2=600 ,
D 12 E
则∠1=_1_2_0_°_,∠B=_6_0_°__. B
C
4. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,
这两条弧的度数和为3600( √ )
∠B=80°，则∠ADC=_1_0_0_°∠CDE=__8_0_°__
A
A
D
E
80
B
C
100 D
O
B
C
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=_5_0_°___∠D=__1_3_0_°_
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 ∠A=__4_5_°_,

人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理(教案)

人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角相关的实际问题，如如何计算某个特定圆周角的度数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器和圆规来测量和验证圆周角定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆周角的概念和圆周角的定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算圆上角度的情况？”比如，在制作圆形桌面或设计轮子时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：确保学生理解圆周角的定义，即顶点在圆上，两边分别与圆相交的角。
-圆周角定理：强调圆周角等于其所对圆心角的一半，这是本节课的核心知识点。
-定理的应用：培养学生将圆周角定理应用于解决具体问题，如计算圆周角或圆心角的度数。
举例：通过图形展示，让学生观察并总结出圆周角的定义，进而引导他们理解圆周角定理。在实际例题中，如给出一个圆和其上的圆周角，要求学生计算圆周角或圆心角的度数，强化定理的应用。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出与生活相关的问题来激发学生的兴趣，这是一个很好的开始。我发现学生们对这个问题产生了浓厚的兴趣，积极思考圆周角在日常生活中的应用。但在今后的教学中，我还可以尝试更多元化的导入方式，比如利用多媒体展示一些实际案例，让学生更直观地感受到圆周角的应用。
其次，在新课讲授环节，我注意到有些学生对圆周角定理的证明过程理解得不够透彻。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生逐步推导和证明圆周角定理，让他们在这个过程中锻炼逻辑思维能力。此外，对于重点难点的讲解，我要更加耐心和细致，尽可能用简单的语言让学生明白。

人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理课件(第一课时18张)

人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理课件(第一课时18张)

1
= 2∠AOD,∠CBD
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
A C
●O B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半.
活动三：学以致用
1. 如图1,在圆O中, ∠BOC=50°,则∠BAC = 25°;
2.变式1:如图2,已知∠BCD=120°,则∠AOB= 120; °
3.变式2:如图3,已知圆心角∠AOB=100°，则
⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角
是∠BOC,
则∠
BAC=
1 2
∠BOC
O
A
C
B
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径
∠AOB=2∠BOC. ∠ACB=40°，求∠BAC的度数.
证明：∵
∠ACB=
1 2
∠AOB=40
°
∴ ∠AOB= 80 °
∵ ∠AOB=2∠BOC
O
∴ ∠BOC=40 °
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都和圆相交 （即两边是圆的两条弦）
判别下列各图形中的角是不是圆周角。
×
√
×
√
×
×
×
当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A C
●O
B
E
D
圆周角: ∠ABC,
∠ADC, ∠AEC.
新人教版九年级上册数学
24.1.4圆周角（第1课时）
问题：请同学们想一想，球员射中球门的难易 与什么有关？
总结：如图所示，球员射中球门的难易与他所在的位置B对球门

人教版九年级上册数学圆周角课件

人教版九年级上册数学圆周角课件
∵OC⊥AB，∴AC= 2 AB= 2（cm）， ∴OC=AC，∴∠AOC=45°，
1 ∴∠AOB=90°，∴∠ADB=2 ∠AOB=45°， ∴∠AEB=180°﹣∠ADB=135°。
∴此弦所对的圆周角等于45°或135°。
例题讲授
例5.已知弦AB、CD相交于E，AC 的度数为90°，BD 的度数为30°，则∠AEC=_6__0_°___。
例题讲授
解：如图，∵∠AOC=160°， ∴∠ABC= 12∠AOC= 12×160°=80°， ∵∠ABC+∠AB′C=180°， ∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。 ∴∠ABC的度数是：80°或100°。 故选D。
练一练
1.如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点P是优弧 AMB 上一点，则∠APB的度数为（ ）。 A．45° B．30° C．75° D．60°
1
1
证明：∠A=2 ∠BOC，∠D= 2（360°-∠BOC）
1
1
∴∠A+∠D=2 ∠BOC+ 2（360°-∠BOC）
1
=2 ×360°=180°
∴∠A与∠D互补。
结论：在同圆或等圆中，等弦所对圆周角相等或互补。
探究新知
探究二： 圆的内接多边形
引入概念
探究新知
探究二： 圆的内接多边形
探索圆的内接四边形四个角之间的关系。
解：连接BC， ∵ AC 的度数为90°，BD 的度数为30°， ∴∠ABC=45°，∠BCD=15°， ∴∠AEC=∠ABC+∠BCD=60°。
练一练
等腰△ABC的顶角∠A=120°，腰AB=AC=10， △ABC的外接圆半径等于___1_0___。

人教版数学九年级上册24.1.圆周角(教案)

人教版数学九年级上册24.1.圆周角(教案)
其次，实践活动中的分组讨论非常活跃，学生们提出了不少实际问题，并通过讨论找到了解决方案。这让我意识到，将理论知识与实际情境结合，能够有效提高学生的兴趣和参与度。因此，我计划在未来的课程中，设计更多类似的实践活动，让学生在实践中学习和应用。
我还注意到，在小组讨论环节，部分学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励这部分学生，我打算在接下来的课程中，多设置一些开放性问题，并给予他们更多的鼓励和支持，帮助他们建立自信，积极参与到课堂讨论中来。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的基本概念、圆周角定理及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-在证明圆周角定理时，引导学生关注半径、弦、圆心角之间的数量关系，明确证明过程中的关键步骤。
-结合实际例子，如圆桌的周长、圆形花坛的面积等，让学生学会运用圆周角知识解决生活中的问题。
2.教学难点
-理解并运用圆周角定理：学生需要掌握圆周角定理的推导过程，以及如何将其应用于解题。
-解决与圆周角相关的实际问题：学生需要将理论运用于实际，找出问题中的圆周角关系，并解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的定义及其性质：理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其应用。
-圆周角定理的证明：掌握证明圆周角定理的过程，理解其中的逻辑推理和几何关系。
-圆周角在实际问题中的应用：学会将圆周角知识应用于解决实际问题，如求弧长、圆面积等。
举例解释：

人教版初中九年级上册数学《圆周角》精品课件

人教版初中九年级上册数学《圆周角》精品课件

8 6
O
A
10
B
∴ AD=BD= 2 AB 2
= 5 2 （cm）．
D
知识点3 圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这 个多边形的外接圆.
C
D O
A
B
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
C
那么，圆周角与弧、弦有什么 关系吗？
O
A
B
知识点2 圆周角定理的推论 同弧： ∠BAC与∠BDC同B⌒C，∠BAC与∠BDC
有什么关系？
证明：根据圆周角定理可知，
A
D
BAC 1 BOC, BDC 1 BOC.
2
2
∴ BAC BDC.
同弧所对的圆周角相等．
O
B
C
等弧：B⌒C=C⌒E，∠BDC与∠CAE有什么关系？
80° .
4.如图，点B、A、C都在⊙O上, ∠BOA＝110°，则∠BCA＝
125°.
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC， ∠AOC=78°，求∠DAB的度数． 解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B. 又∵∠B= 1 ∠AOC=39°. ∴∠DAB=239°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个 点，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
AB OA2 OB2 2OA2 2OA 2.
7.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB= 60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. 解：△ABC是等边三角形. 证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，

人教版初中数学九年级上册《圆周角》课件

人教版初中数学九年级上册《圆周角》课件

课堂小结
1． 圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
A
2． 圆周角定理
B
C
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
3.如左图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在 点B、C所在直线的同侧，∠BAC=400 (1)∠BDC=_______° (2)∠BOC=_______°
4．如右图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则 ∠OBC=_______°
5．如图，D是A C的中点，与∠ABD相等的 角的个数是（ ）． A．4个 B．3 个 C．2 个 D．1个
如图，在⊙O中，请在练习本上画出弧BC所对的 圆心角和圆周角。
用量角器分别测量∠BAC与∠BOC的度数,比 较两角的大小,找出关系.
命题:一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
探究一：
(1)当圆心在圆周角的一边上时, A
证明:(圆心在圆周角上)
O
OA OC C BAC
BAC
B 1
C BOC
人教版九年级数学上册第二十四章圆
24.1.4圆周角第一课时
问题 1 下列图形中,哪个是圆心角?什么叫 圆心角?圆心角有什么主要特征?
问题 2 上图中(2)的角有什么主要特征?
问题3 按照顶点在圆上,两边都和圆相 交的条件画图,能画出多少个这样的角?
上图中还有圆周角吗?并分析(1)(4)(6)(7) 为什么不是圆周角?
BOC BAC C
2
结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.
2.当圆心在圆周角内部时
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:

人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT

人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角

初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT

初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT

(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。

24.1.4 第1课时 圆周角定理 初中数学人教版数学九年级上册课件

24.1.4 第1课时 圆周角定理 初中数学人教版数学九年级上册课件
1.圆 周 角 与 圆心 的 位置 有 以下 几 种关 系 ,试 测 量 各图 中 ∠BOC与∠BAC的关系.
圆心在角 圆心在角 的一边上 的内部
圆心在角的外部
通过测量,可得∠BAC=
1∠BOC
2
2.如图,当圆心O在∠BAC内部时,请说明∠A=12∠BOC.
解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠3,∠C=∠4.
2
归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
合作探究
圆周角定理的推论
1.(1) 如 图 , 在 ☉O 中 , A෽B = M෾N , 则
∠MDN与∠ACB的大小关系是
.
(2)直径所对的圆周角是多少度?请说径吗?
请说明理由.
解:(1)∠MDN=∠ACB. (2)因为直径所对的圆心角是180°,所以直径所对的圆周 角是90°.(3)90°圆周角所对的弧是半圆,所以90°圆周 角所对的弦是直径.
(2)当点P在使P෽C=A෽B的位置时,有AF=EF. 证明:∵P෽C=A෽B,∴∠EBD=∠C. ∵∠FAE=90°-∠C,∠AEF=∠BED=90°-∠EBD,
∴∠FAE=∠AEF,AF=EF.
圆周角定理、推论的应用 认真阅读课本“例4”,体会圆周角定理、推论的应用,解决下 面的问题. 2.如图,在☉O中,弦AB=3 cm,点C在☉O上,∠ACB=30°.求 ☉O的直径.
(1)当AP=AB时,求证:AE=BE. (2)当点P在什么位置时,AF=EF,证 明你的结论.
解:(1)证明:如图,连接AB,AP. ∵AP=AB,∴∠ABP=∠P. ∵BC为☉O直径, ∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C. ∵∠C=∠P,∴∠BAE=∠P, ∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.

人教版数学九年级上册课件圆周角

人教版数学九年级上册课件圆周角
.
③在圆周角的外部（如图3）
圆心O在∠BAC的外部.
∵由①可知：
∠DAC=
， ∠BAD=
∴∠DAC-∠BAD= ______
∴∠BAC=
.
再次体验
.
归纳结论:
圆周角的定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半。
几何语言：
෽ 所对的圆心角，
∵∠AOB是
෽ 所对的圆周角
∠ACB是
∴ ∠AOB = 2∠ACB
1
2
理解圆周角的概念；
理解圆周角的定理，理解圆周角
定理的推论.
合作探究
知
识
点
一
问题1、顶点在 圆上 ，并且两边都与圆 相交
的角叫做圆周角．
问题2、圆周角定义的两个特征：
（1）顶点都在 圆上 ；
（2）两边都与圆 相交 ．
练一练
判断下列图形，指出哪个是圆周角，并
说明理由
×
×
√
×
×
合作探究
෽ 所对的圆周角是 ∠ACB ，所对
∴∠ADC=∠CBE=90°.
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°,
∠CEB+∠CBE+∠BCO=180°,
∴∠ACD=∠BCO.
归纳小结
1、顶点在 圆上，并且两边都与圆 相交 的角
叫做圆周角．
2、圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一般
.
3、推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等.
∠COE = 500
，∠DOE = 500 .
2、如下右图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，若
∠CAB＝∠CBA，则∠COB=∠ COA ,AC= BC .

人教版初中九年级上册数学课件 《圆周角》圆(第1课时圆周角及其定理)

人教版初中九年级上册数学课件 《圆周角》圆(第1课时圆周角及其定理)

A．140° C．60°
B．70° D．40°
8
5．某小区新建一个圆形人工湖，如图所示，弦 AB 是湖上一座桥，已知桥 AB 长为 200 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径 AD 长为___2_0_0__2_____m.
9
6．如图，在⊙O 中，弦 AC＝2 3，B 是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O 的 半径 r＝___6___.
17
解：(1)∵∠APC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∴∠ABC ＝∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
(2)PC＝PA＋PB．证明：在 PC 上截取 PD＝PA，连接 AD．∵∠APC＝60°，∴ △APD 是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB ＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB．又∵∠ACP＝∠ABP，∴△APB≌△ ADC(AAS)，∴PB＝DC．又∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB．
18
︵ (3)在AB上任取一点 P，过点 P 作 PE⊥AB，垂足为点 E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足 为点 F.∵S△APB＝12AB·PE，S△ABC＝12AB·CF，∴S 四边形 APBC＝12AB·(PE＋CF)．当点 P
︵ 为AB的中点时，PE＋CF＝PC 最长，即 PC 为⊙O 的直径，此时四边形 APBC 的面 积最大．又∵⊙O 的半径为 1，∴易得等边三角形的边长 AB＝ 3，∴四边形 APBC 的最大面积为 S 四边形 APBC＝12×2× 3＝ 3.
A．16° B．32°
C．58° D．64°
分析：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°－ ∠ABD＝32°，∴∠BCD＝∠A＝ 32°.

人教版初三数学上册圆周角定理

人教版初三数学上册圆周角定理

（2）圆心角的度数定理是什么？
答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
2、引题圆周角：
如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是
圆周角.（如右图）
（演示图形，提出圆周角的定义）
定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
3、概念辨析：
教材P93中1题：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.
（二）圆周角的定理
1、提出圆周角的度数问题
问题：圆周角的度数与什么有关系？
经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周角与圆心角，猜想它们有无关系．引导学生在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得
知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.
提出必须用严格的数学方法去证明.
（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：
当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.
证明：作出过C的直径（略）
圆周角定理: 一条弧所对的
周角等于它所对圆心角的一半.
说明：这个定理的证明我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想.（对A层学生渗透完全归纳法）。

人教版九年级数学上册第24章第1节《圆周角》优秀课件

人教版九年级数学上册第24章第1节《圆周角》优秀课件
1.什么叫圆心角?
回忆
顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的 A
B
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等， 那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？
C
O.
也可以看成经过折叠而成折痕与圆周角的关系.swf
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)
上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小
关系. ∵ OA=OC
A
∴∠A=∠C
O
又 ∠BOC=∠A＋∠C
B
C
∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2
分析论证
你能证明第2种情况吗？
B
A D
O C
巩固练习
2.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
练一练
3、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ D ）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
4、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、70°； C、90°；
B、100°； D、120°
B
C
练习:1,如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上 的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿5＿00＿＿＿ .
D
A
O 40° B
C
3,如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC 于D，交⊙O于F，AE与⊙O的直径，试问 两 弦 BE 与 CF 的 大 小 有 何 关 系 ， 说 明 理 由．

人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角

人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角

O
BAC
BAD DAC
B
C
D
1
1
(BOD DOC ) BOC.
2
2
探究新知
圆心O在∠BAC的外部 证明：连接AO并延长交⊙O于点D.
D
A O
C B
究新知
圆周角定理
一条弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角 的一半；
探究新知
互动探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由.
D
答：相等.
证明：在⊙O中，∵BAC
1 2
BOC
,
BDC 1 BOC ,
2
∴∠BAC=∠BDC.
探究新知
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？
答：相等.
证明：连接OC，OE，OD，OF，
CD EF，
AB E
O
COD EOF .
C
F
A 1 COD，B 1 EOF，
D
2
2
A B.
成立
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 CD EF 成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 90°
探究新知
圆周角定理的推论
A2
同弧或等弧所对的
A1
A3
圆周角相等.
探究新知
试一试
如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在 点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边A（C3没）有和圆相交
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C
·
B
O
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
11/11/2020
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
课堂小结
1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理的运用。
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
11/11/2020
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
作业
1. 习题24.1
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
A
·
B
O
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
证明：以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO，CO= 1 AB, 2 ∴AO=BO=CO
.∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
A
∴∠ACB= 1 ×180°= 90°.
2
∴ △ABC 为直角三角形.
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
∴∠BOC=2∠A 即 A 1 BOC
2
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的
结果，有
BAD 1 BOD
A
2
DAC 1 DOC
O·
2
1
B
C
BAD DAC (BOD DOC)
D
三、探究
分别量一下图中 AB所对的两个
C
圆周角的度数，比较一下，再
变动点C在圆周上的位置，圆 D
周角的度数有没有变化？你能
·O
发现什么规律吗？
再分别量出图中 AB所对的圆周 A
B
角和圆心角的度数，比较一下，
你什么发现？
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
D
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
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11/11/2020
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
练习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那
么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为
直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
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五、定理
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
C2 C1
推论 C3 半圆（或直径）所对的圆周角
A
·O
是直角;
B
90°的圆周角所对的弦是直径．
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练习
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形 ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中
哪些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
C
8 7
3
4
B
6 5
D
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
求BC、AD、BD的长．
C
A
O
B
D
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
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解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
C
BC AB2 AC2 102 62 8
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
A
O
B
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
24.1.4 圆周角
一、概念
什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D
A
试找出图中的圆周角 C
O·
E
B
二、观察
如图是一个圆柱形的海洋馆的
丙D
横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看
A
窗内的海洋动物,同学甲站在 乙C甲O圆心的O 位置，同学乙站在
正对着玻璃窗的靠墙的位置C，
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
四、同弧所对的圆周角和圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个 圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和 ∠BAC的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同， 这时折痕可能会:（1）在圆周角的一条边上；
A
O·
B
C
∵OA=OC， ∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C
他们的视角（∠AOB 和∠ACB） 丁E
B
有什么关系？如果同学丙、丁
分别站在他靠墙的位置D和E，
他们的视角（ ∠ADB 和
∠AEB ）和同学乙的视角相同
吗？
思考
D
AOB是AB所对的圆心角
A
C
ACB是AB所对的圆周角
O
ADB是AB所对的圆周角
E
B
AEB是AB所对的圆周角
它们之间有什么关系呢？
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
六、
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等．
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
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七、例题解析
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，
人 教 版 九 年 级数学 上册圆 周角
练习
2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
方法一
A
B
C
O
方法二
D
A
·
B
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方法三
O
方法四
O
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2
BAC 1 BOC 2
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（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的
结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 (DOC DOB) 2
A
O·
D
C
B
BAC 1 BOC 2