九年级数学圆周角和圆心角的关系3

圆周角圆心角关系
圆周角和圆心角的关系
（一）定义
1. 圆周角：指圆的弧形轨迹沿着单位圆上某点旋转的路径轨迹水平方
向的转角，量度单位是弧度，它与普通角相比拥有更高的精度。

2. 圆心角：指两个线段（线段A和线段B）与其中一个（以下简称A）所共享的端点，A的直角顶点定义的角。

它的量度单位也是弧度。

（二）关系
1. 两种角的关系被称为帕斯卡定理：圆周角和圆心角之和为两线段所
围成的平行四边形的角的三倍。

2. 圆周角的具体值可以通过求线段A、B与圆上的一个点之间的距离，和线段A、B的距离来确定，最终得出：圆周角=(线段A、B的距离－
圆上点到线段A、B的距离)／2。

3. 若圆心角有定值，则可以通过圆周角得知圆上点到线段A、B的距离：圆上点到线段A、B的距离=线段A、B的距离－2*圆周角。

（三）应用
1. 圆周角和圆心角的关系最常见的应用就是用圆周角计算圆周上物体运动的路程。

2. 天文学中圆周角和圆心角的关系也有很多，例如行星运行轨迹和太阳系其他星系的位置等都是以圆周角和圆心角之间的关系来建立的。

3. 圆周角和圆心角在数学中也有很多应用，例如：确定三角形内某点的坐标，以及求山形线、圆锥线和圆柱曲线等的方法等。

2024北师大版数学九年级下册3.4.1《圆周角和圆心角的关系》教案一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3.4.1节的内容。

本节课主要让学生了解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。

教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而得出圆周角定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积的计算方法。

他们具备一定的观察、分析和推理能力。

但是，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还没有直观的认识，需要通过实例和推理来理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生了解圆周角和圆心角的概念，理解它们之间的关系。

2.让学生掌握圆周角定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的关系。

2.圆周角定理的证明和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现问题、分析问题和解决问题。

2.利用几何画板和实物模型，直观地展示圆周角和圆心角的关系。

3.采用小组合作学习，让学生在讨论中共同探究和解决问题。

4.通过练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示圆周角和圆心角的关系。

2.准备相关的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板或实物模型，展示一个圆和一些圆周角、圆心角，让学生观察它们之间的关系。

提问：你们觉得圆周角和圆心角有什么关系呢？2.呈现（10分钟）引导学生通过观察和推理，发现圆周角和圆心角的关系。

呈现圆周角定理：圆周角等于它所对圆心角的一半。

让学生理解并记住这个定理。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个实例，验证圆周角定理。

每组选取一个代表进行汇报，其他组进行评价。

通过这个过程，让学生加深对圆周角定理的理解。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学知识。

同弧对应的圆周角和圆心角的关系1. 弧与圆周角的关系在圆的周长上任意取一弧，做一点作为一圆周角的顶点，这样的圆周角叫做弧所对圆周角，记做∠A。

这个圆周角∠A的度数等于这个弧所对圆周角的圆心角的度数。

2. 圆心角的定义圆心角是指圆周上的一点和圆心连接起来形成的角。

圆心角的度数等于这个圆周角所对圆周角的度数。

3. 圆周角和圆心角的关系任意一段圆周上的弧所对的圆周角，都对应着一个圆心角。

而且这两个角的度数是相等的。

4. 推论由于圆周上的弧和它所对的圆周角以及它所对的圆心角是一一对应的关系，所以当我们已知一个弧所对的圆周角的度数时，也就同时确定了它所对的圆心角的度数。

5. 实例分析如果我们已知一个弧所对的圆周角的度数为60度，那么根据同弧对应的圆周角和圆心角的关系，我们就可以确定这个弧所对的圆心角的度数也为60度。

6. 应用在实际问题解决过程中，我们可以利用同弧对应的圆周角和圆心角的关系，通过已知的圆周角来求解对应的圆心角，进而解决相关问题。

总结：同弧对应的圆周角和圆心角的关系是圆的基本性质之一，是在圆的相关问题中常常会遇到的一个重要概念。

掌握了这一性质，可以帮助我们更加深入地理解圆的性质和圆的相关定理，同时也有助于我们更好地解决与圆相关的实际问题。

同弧对应的圆周角和圆心角的关系是在圆的几何性质中非常重要的一部分，它们之间的通联和规律在数学和几何学中具有广泛的应用。

接下来我们将深入探讨同弧对应的圆周角和圆心角的关系，并通过一些实例和推论来进一步加深我们的理解。

7. 弧长和角度的关系在研究同弧对应的圆周角和圆心角的关系时，我们还需要了解弧的长度和角度之间的关系。

根据弧长的定义，圆的周长等于360°，因此我们可以得出一个推论：一周的弧长所对的圆周角为360°。

这就是说，一周的弧长所对的圆心角也为360°。

8. 圆心角的性质除了与同弧对应的圆周角相等外，圆心角还具有以下性质：- 圆心角相等的弧所对的圆周角也相等；- 圆心角所对的圆弧长度相等；- 圆心角相等的弧所对的圆弧长度相等。

平面几何中的圆心角和圆周角的关系在平面几何中，圆是一种重要的几何图形，它的特殊性质在数学中被广泛研究和应用。

其中，圆心角和圆周角的关系也成为了数学中一道重要的题目。

一、圆心角和圆周角的定义圆是由一条固定的线段，称为半径，围绕着一个固定点，称为圆心，所形成的几何图形。

圆心角是以圆心为顶点的角，圆周角是圆上的两条弧所夹的角。

在一个圆心角所对的弧中，圆周角为其一半。

二、圆心角和圆周角的比例关系圆周角是在圆弧上所夹的角，其大小与所夹圆弧的长度有关，其大小越大，所夹的圆弧也越大。

而圆心角是以圆心为顶点的角，其大小与所夹的弧长也有关，当弧长相等时，圆心角越大，其夹角也越大。

而在同一圆上，对于圆心角和圆周角，其夹角的大小正好呈比例关系。

具体地说，设在同一圆上，圆周角所对的弧为a, 圆心角所对的弧为b。

则它们的夹角大小满足如下公式：圆周角a / 弧长a = 圆心角b / 弧长b通常情况下，弧长等于圆周长的1/4，即弧长= πd / 2，其中d 为圆的直径。

故上述公式可以进一步简化为：圆周角a / πd = 圆心角b / 2这就意味着，同一圆上的圆心角和圆周角的夹角大小，与其所对的弧长是成正比例的。

这是圆形的独特性质，也是许多圆形问题的基础。

三、圆心角和圆周角的应用在实际应用中，圆心角和圆周角的性质经常被用于计算弧长、圆周长和面积等问题。

同时，这些性质也与很多其它数学问题有关。

例如，在三角函数中，圆的等分问题可以转化为求解三角函数值，并利用圆心角和圆周角的性质进行计算；在计算机图形学中，圆的描述和计算也往往基于圆心角和圆周角的性质。

此外，圆心角和圆周角的比例关系还有一种特殊情况，即当圆弧所对角为直径时，其圆心角大小为180度，圆周角大小为半圆弧长。

这种情况下，圆心角和圆周角的夹角大小为定值，可以被用于计算任意角的大小。

例如，在求解三角函数值时，通过将任意角转化为以直径为所对角的圆心角，然后再利用圆心角和圆周角的性质，就可以得出任意角的三角函数值。

3·3圆周角和圆心角的关系1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．1.已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC ．求证：∠ABC ＝12AOC ． 【解析】证明：∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO ．∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∴∠AOC ＝2∠ABO ．即∠ABC ＝12∠AOC ．如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD)，即∠ABC ＝12∠AOC ．在图(2)中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有 ∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ．∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ，的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论.【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，.BDCABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.B【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC . ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

九年级数学圆周角和圆心角知识点引言：数学作为一门博大精深的学科，其中的几何知识在我们的日常生活中无处不在。

而在九年级数学学习中，圆周角和圆心角是我们必须理解和掌握的重要概念之一。

本文将深入探讨九年级数学中的圆周角和圆心角知识点，希望能够为同学们的学习提供一些帮助。

一、圆周角圆周角是指一个图形所对的圆的圆周上的一部分，以弧所对的角叫做圆周角。

我们可以通过弧所对的圆心角来计算圆周角的大小。

假设圆的半径为r，圆弧对应的圆心角为θ（弧度制），那么圆周角的度数就是θ的度数。

例如，当θ为π/2时（即90度），圆周角也是90度。

圆周角的度数取决于其对应的圆心角的度数大小，换言之，圆周角可以看作是圆心角对应弧的一种度数表示。

二、圆心角圆心角是指圆周上任意两点连线与定点所夹的角，定点即为圆心。

通过圆心角的大小，我们可以判断出对应弧的长短和角的大小。

圆周上的所有圆心角的和等于360度，这是因为360度对应于一整个圆周。

根据圆心角的大小，我们可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。

如果一个圆心角的度数小于90度，则称之为锐角；如果一个圆心角的度数等于90度，则称之为直角；如果一个圆心角的度数大于90度但小于180度，则称之为钝角。

三、圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角有着密切的联系。

首先，同一个圆弧所对应的圆心角和圆周角的度数相等。

这是因为，圆周角可以看作是圆心角对应的弧的度数表示。

其次，同一个圆的圆周角之和等于360度。

这是由圆心角之和等于360度所决定的。

另外，当两个圆心角的度数相等时，它们所对应的圆周角的度数也是相等的。

四、常见的圆周角和圆心角问题在九年级数学学习中，我们经常会遇到一些与圆周角和圆心角相关的问题。

下面我们来讨论一些常见的问题类型。

问题类型一：已知圆心角的度数，求圆周角的度数。

根据前文的介绍，我们可以直接通过圆心角的度数来确定圆周角的度数。

例如，当圆心角的度数为120度时，对应的圆周角的度数也为120度。

教学过程：一、设计情景，引入新课师：在上周我们班和九二班旳足球友谊赛中，咱们班以二比三险胜，现在说起来还有些小兴奋呢，大家和记不记得这三个球都是谁进旳？ 生：是王程、李明亮、李柄桦．师：感谢他们给我们班带来旳胜利，现在有这样旳一个游戏是他们三个人参与旳． 课件出示：如果他们三人进展一射门游戏，过球门A 、C 画了一个圆，在球门B 、D 、E 旳位置射任意球〔直线射〕，仅从教学旳角度考虑，请问站在那个位置射球最有利？生：D ．课时第三章第三节第1课时 课 题课 型新授课时 间 2021年2月28日 周四节 次第四节授 课 人教学 目标 旳概念,掌握圆周角旳两个特征、定理旳内容及简单应用． 旳关系．旳证明，进一步体会思考问题旳全面性和合理性． 旳运用，渗透转化旳数学思想．5.学会以特殊情况为根底，通过转化来解决一般问题旳方法，体会分类旳数学思想． 重点 圆周角旳概念和圆周角定理难点 圆周角定理旳证明中由“一般到特殊〞旳数学思想方法和完全归纳法旳数学思想 教法 学法 类比教学法、启发式教学法、合作探究法、直观教学法 课前准备 多媒体课件、几何画板、圆规、三角尺师：为什么呢？生：因为角度大．师：你说旳角度是这旳什么呢？可不可以到黑板上给同学们指一下．生：〔边指边说〕连接AD、CD形成旳∠ADC．师：同学们都是这样认为旳吗？生表达意见．师：我看有好多同学都是想选D，那我们带着这个问题来学习今天旳内容：圆周角和圆心角旳关系〔板书课题〕，学完以后我们再来看终究应该怎样选择．设计意图：由生活实践来创设情境，让学生感受数学与生活旳联系．将实际问题数学化，让学生从一些简单旳实例中，不断体会从现实世界中寻求数学模型、建立数学关系旳方法．引导学生对图形旳观察、发现激发学生旳好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题旳活动中获取成功旳体验，建立学生旳自信心．二、师生互动，探究新知〔一〕圆周角旳定义师：大家还记得什么叫做圆心角吗？生：顶点在圆心上旳角叫做圆心角．师：这个图中旳∠AOB就是一个圆心角，那我把它旳圆心拖到圆周上C点旳位置，看一下这个角有什么特点？生：这个角旳顶点在圆周上，并且角旳两边都和圆相交．师：他观察出了这个角旳特征，那同学们能不能仿照圆心角旳名字给它起一个名字？生：圆周角．师：是根据什么而定旳？或者说什么叫做圆周角呢？生：顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆周角．师：对，这就是我们要来掌握旳另一种角．板书：圆周角．设计意图：采用类比教学法，通过圆心角定义让学生得出圆周角定义，培养学生旳观察能力、归纳能力．师：我们来看一组图片，这里五个角哪些是圆周角？为什么？A B C D E生1：A不是，因为它旳顶点不在圆周上．生2：B不是，因为它旳顶点不在圆周上．生3：C是．生4：D不是，角旳两边分别与圆没有另一个交点．生5：E不是，角旳一条边和圆没有另一个交点．师：那我们判断一个角是不是圆周角时要把握什么？生：先看这个角旳圆心在不在圆周上，再看角旳两边与圆还有没有另一个交点．师：说旳很好，我们再来看这道题目：课件出示：2.判断以下命题是否正确．〔1〕圆周角旳顶点一定在圆上．〔〕〔2〕顶点在圆上旳角叫做圆周角．〔〕〔3〕圆周角旳两边都和圆相交．〔〕〔4〕两边都和圆相交旳角是圆周角．〔〕学生判断并说明理由．生1：〔1〕正确．生2：〔2〕错误．还要看角旳两边是否和圆还有另外一个交点．生3：〔3〕正确．生4：〔4〕错误．还有看这个角旳顶点是否在圆上．师：这道题目比拟简单，下面我们来看谁能在最短旳时间内找出图中所有旳圆周角．课件出示：以下两个圆中，各有几个圆周角？生1：∠CAD，∠BAD，∠BAC师：你是怎样找旳？生：我先在圆上找顶点，在确定角．师：第二幅图呢？生：∠CAB，∠ABD，∠ABC，∠DBC，∠BCA，∠BCD，∠ACD和∠CDB共8个圆周角．设计意图：通过练习加深对圆周角定义旳理解．师：非常好，不重与不漏．我们在学习了圆周角旳定义以后再来看看刚刚旳问题．〔课件出示图3-13〕球员射中球门旳难易程度与他所处旳位置B对球门AC旳张角〔∠ABC〕有关．当球员在B、D、E处射门时，他所处旳位置队球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，我们首先把这个问题转化成数学模型．这三个角有什么特征？生：这三个角都是圆周角．师：还有呢？生：它们都对着AC．师：那这三个角谁大谁小？生大胆猜测：一样大．师：为什么？生有些茫然．师：我们上节课学习了圆心角旳有关知识，那么我们旳这个问题是不是能转化成圆周角和圆心角旳关系，然后再来说明这三个角旳大小呢？这是我们这节课要研究旳主要内容．〔二〕探究活动一．师：下面请各个组进展探究活动一，拿出探究活动纸：学生开场探究活动，教师进展巡视指导．师：现在我们请每一个小组派一位组员上来，我们汇总一下结果．各个小组利用实物投影仪进展汇报，教师引导学生进展汇总，最后分为三类：教师利用几何画板固定∠AOC旳位置，拖动点B使其落在不同旳位置上，是同学们再次形象旳并且连续性旳认识上面旳问题．师：如图①O点在∠ABC旳一条边上；拖动O点如图②，O点在∠ABC旳内部；继续拖动如图③，O点在∠ABC旳外部．所以我们把圆周角和圆心角旳位置关系分为三种，我们在分类时一定要做到不重不漏．下面我们进展探究二．①A②③设计意图：引导学生发现问题、提出问题、分析问题、并能解决问题．展示旳设计：教师利用几何画板从动态旳角度进展演示，目旳是用运动变化旳观点来研究问题，在运动变化旳过程中寻求不变旳关系．〔三〕探究二师：我们要研究一条弧所对旳圆周角∠ABC与它所对旳圆心角∠AOC旳大小关系．我们先来看一下用电脑测量出来旳这两个角是什么关系？找一位学生利用电脑上旳几何画板软件进展操作：每拖动一次B点旳位置就测量一次圆周角和圆心角．A师：同学们计算一下∠AOC与∠ABC旳大小有什么关系？生：两倍关系．师感谢学生旳操作，然后利用几何画板改变AC旳位置引导学生发现，∠AOC依然是∠ABC旳两倍．师：那现在同学们能不能猜测一下同一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系呢？．生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12师板书结论．设计意图：让学生亲自动手，利用度量工具〔几何画板〕进展猜测、实验、探究，得出结论．激发学生旳求职欲望，调动学生学习旳积极性．师：刚刚我们是通过观察、猜测得到了一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系，下面我们就来尝试证明一下，看看哪个小组能最快旳把这三种情况旳证明旳出来．学生利用探究纸进展小组探究，师巡视指导，抽时间将这三组图画在黑板上以方便随后旳展示．师：好，先停一下．下面我们将小组已经探究旳结果来展示一下．我们从那一幅图开场？生：第一幅图．师：谁来说一下？生1：如图〔1〕，圆心在∠ABC旳边上∵∠AOC是△ABO旳外角，∴∠AOC=∠B+∠A∵OA=OB∴∠A=∠B∴∠AOC=2∠B即∠ABC=12∠AOC师：那第二幅图谁来说一下？生2：如图，连接BO并延长交圆于D点，那么将这幅图转化成图〔1〕旳形式．由〔1〕可知，∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=12〔∠AOD +∠COD〕=12∠AOC师：我刚刚发现，很多组旳同学在探究第三幅图旳时候被卡住了，那第三幅图形是不是也可以通过做一些辅助线转化成第一幅图旳形式呢？再给同学们两分钟旳时间快速旳思考一下．小组讨论，教师巡视并作出适时适当旳指导．师：现在谁来说一下第三种情况你们是怎样证明旳？生3：还是连接BO并延长交圆于D点，我们就可以得到两组根本图形：∠ABD和∠AOD；∠CBD和∠COD．由〔1〕可知∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=1 2〔∠AOD -∠COD〕ABCOD=1∠AOC2师：在证明旳过程中，我们把第二种和第三种情况通过添加辅助线把它们转化成第一种情况，这就运用了我们数学中化归思想，同时在这道题旳证明中我们也应用了分类讨论旳方法以及完全归纳旳证明方法．对于这个定理“一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半．〞我们也可以这样理解：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．设计意图：让学生对所发现旳结论进展证明，培养学生严谨旳治学态度．学生通过合作探索学会运用分类讨论旳数学思想研究问题，培养学生思维旳深刻性．同时让学生学会一种分析问题、解决问题旳方式方法：从特殊到一般．学会用化归思想将问题转化，体验数学建模思想．同时也解决了难点、突出了重点．(四)解决问题师：现在让我们再回到到个问题上〔多媒体出示画面〕，在B、D、E这三个点上，在那个点上射门是最有利旳呢？生：一样旳．师：为什么？生：因为∠ABC、∠ADC、∠AEC所对旳弧都是AC，AC所对旳圆心角旳度数是固定旳，这三个角旳度数等于这个角度数旳一半，所以这三个角旳度数是相等旳．师：从而我们就能得到这样旳结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等．(五)联系实生活实际师：在生活中还有那些运用圆周角旳实例，有没有同学想出来啊？只要我们善于观察就会发现我们旳生活中处处有数学．比方〔课件出示〕：我们有团圆吧，团徽、团旗中有没有圆周角啊？生：有．师：还有许多歌剧院、大剧院旳座位排列都是呈圆弧状旳，这是为什么呢？生：这样可以保证在同排旳观众视角是一样旳．师：非常好．〔学生鼓掌〕设计意图：通过回归生活实践，将数学知识与现实生活相联系起来，让学生在解决实际问题中获得成功旳体验．三、稳固应用，开拓创新师：现在请同学们看大屏幕，快速旳完成这两道题．多媒体出示：1、如图1，在⊙O中，∠BOC=50°，那么∠A= ．2、如图2，A,B,C,D是⊙O上旳四点，且∠BCD=100°，那么∠BOD= °，∠BAD= °．图1 图2学生完成后，教师安排学生到大屏幕前讲解自己旳做法．设计意图：练习层层推进，难易结合，考察学生对定理旳理解和运用，使学生很好地进展知识旳迁移，让学生在练习中加深对本节知识旳理解．教师通过练习及时发现问题，评价教学效果．四、课堂小结师：刚刚同学们旳表现都非常好．现在我们请一位同学来谈一谈这节课旳收获．；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12圆周角相等．师：还有要补充旳吗？生：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．师：我们这节课学习了圆周角定理以及圆周角定理旳推论，在圆周角定理旳证明中，运用了数学中分类讨论和化归旳思想以及完全归纳旳证明方法．设计意图：小结使学生归纳、梳理总结本节课旳知识、技能、方法，将本节课所学知识与以前所学知识进展严密联接，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学旳积极情感．五、课堂检测1、⊙O旳弦AB等于半径，那么弦AB所对旳圆周角一定是〔〕．〔A〕30°〔B〕150°〔C〕30°或150°〔D〕60°2、△ABC 中，∠B ＝90°，以BC 为直径作圆交AC 于E ，假设BC =12，AB =123 ，那么BE 旳度数为〔 〕．〔A 〕60° 〔B 〕80° 〔C 〕100° 〔D 〕120° 3、一条弦分圆为1：4两局部，求这弦所对旳圆周角旳度数？ 4、AB 为⊙O 旳直径，AC 和AD 为弦，AB =2，AC =2，AD =1，求∠CAD 旳度数． 六、布置作业作业题：课本112页，数学理解，第2、3题．思考题：在航海时，船长常常通过测定角度来确定是否遇到暗礁，你知道其中旳微妙吗？设计意图：课后作业是对课堂所学知识旳检验，是让学生稳固、提高、开展，同时关注不同层次学生对所学内容旳理解和掌握．师：最后再送给同学们一句话：要养成用数学旳语言去说明道理，用数学旳思维去解读世界旳习惯． 下课．七、板书设计§旳关系〔一〕一、圆周角定义顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆心角．二、圆周角定理一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半． (1) (2) (3)设计意图：让本节课旳学习内容及重难点一目了然．教学反思：收获：研究圆周角和圆心角旳关系，应该说，学生解决这一问题是有一定难度旳，尽管如此，教学时仍应给学生留有时间和空间，让他们进展思考．让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习旳主要目标． 问题：在探究一中，学生画图表示圆周角和圆心角旳关系旳位置关系时，有一个小组是这样画旳：我说这也属于“圆心角旳顶点在圆周角旳内部〞，当时就有一些同学不认可，或者说是不能BA AO C A BCO D很好地理解，我当时对这个问题没有重视一带而过了，现在想想这说明同学们对优角和优弧旳概念还是很陌生，不能灵活旳加以应用．改良：这对圆周角定理完成证明后，可以把上面这幅图在呈现出来，让同学们来验证一下．。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆周角和圆心角的关系》的内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的度量等知识的基础上进行教授的。

这一节内容主要介绍了圆周角和圆心角的关系，即圆周角等于其所对圆心角的一半。

这是圆的重要性质之一，对于学生理解圆的性质和应用具有重要的意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本概念和度量知识有一定的了解。

但是，对于圆周角和圆心角的关系的理解，可能还需要进一步的引导和解释。

因此，在教学过程中，我将会注重学生的参与和实践，通过举例和练习，让学生深入理解圆周角和圆心角的关系。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.过程与方法：学生通过观察、实践和思考，培养观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，提高自信心，培养合作和探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.教学难点：学生能够理解和证明圆周角等于其所对圆心角的一半。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和案例教学法。

通过提问和举例，引导学生思考和探索圆周角和圆心角的关系。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT 和动画，来辅助解释和展示圆周角和圆心角的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过提问和回顾，引导学生回顾已知的圆的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.讲解：详细讲解圆周角和圆心角的关系，通过图示和实例，让学生直观地理解这一性质。

3.练习：给出一些练习题，让学生运用圆周角和圆心角的关系解决问题，巩固所学知识。

4.拓展：给出一些拓展题，让学生进一步思考和探索圆周角和圆心角的关系的应用。

5.小结：对本节课的内容进行总结，强调圆周角和圆心角的关系的重要性。

圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。

在此文档中，我们将推导这些概念之间的关系，并解释它们在圆的几何中的重要性。

首先，让我们定义这些概念：•圆心角：圆心角指的是以圆心为顶点的角。

•弦：弦是连接圆上两点的线段。

•弧：弧是圆上两点之间的曲线部分。

•圆周角：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

接下来，我们将探讨这些概念之间的关系。

1.弧和圆心角的关系：当我们考虑一个圆上的弧时，圆心角是与该弧相对应的角度，两者是一一对应关系。

换句话说，一个弧唯一对应一个圆心角，一个圆心角也唯一对应一个弧。

例如，如果给定一个半径为r的圆，圆心角为θ度，那么对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (θ/360) × 2πr。

2.弦、弧和圆心角的关系：在圆上，如果一个弦和圆心角相等，那么它所对应的弧的长度也是相等的。

这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。

换句话说，如果两个弦所对应的圆心角相等，那么它们所对应的弧的长度也是相等的。

这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。

由于圆心角是以圆心为顶点的角，所以它们的两条边与圆上的两条弦相等，因此对应的弧长也相等。

3.圆周角和圆心角的关系：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时，这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。

这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。

圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点，因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。

通过上述推导，我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。

它们在圆的几何中起到重要的作用，帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。

这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如建筑、工程和物理学等领域。

总结起来，圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。

这些概念在圆的几何中相互关联，为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。

圆心角和圆周角的关系嘿，同学们！咱们今天来好好聊聊圆心角和圆周角的关系，这可是数学里挺有趣的一块儿知识哟！先来说说什么是圆心角。

想象一下，你手里拿着一个甜甜圈，从圆心引出两条半径，这两条半径之间的夹角就是圆心角啦。

比如说，一个圆被平均分成了 8 等份，那么其中一份所对应的圆心角就是 360 度除以 8，等于 45 度。

圆周角呢，是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

就像你在操场上跑步，绕着圆形跑道跑，你的脚和跑道形成的角，如果顶点在跑道圆上，两边和跑道相交，那这就是圆周角。

那它们之间到底有啥关系呢？这可得好好琢磨琢磨。

我记得有一次，我去公园散步，看到一个小朋友在玩一个圆形的飞盘。

他把飞盘扔出去，飞盘在空中转呀转。

我突然就想到了圆心角和圆周角。

这飞盘的圆心就好比是圆心角的顶点，而飞盘边缘上的任意一点和圆心形成的角度就是圆心角。

而小朋友站在旁边用手去接飞盘时，他的手和飞盘边缘形成的角度就是圆周角。

咱们来具体说说这关系。

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

比如说，一个圆里有一条弧对应的圆心角是 80 度，那么同弧所对的圆周角就是 40 度。

咱们来做几道题感受感受。

比如说，有一个圆，其中一条弧所对的圆心角是 120 度，那同弧所对的圆周角是多少度呢？这是不是一下就清楚啦，就是 60 度嘛。

再复杂一点，如果一个圆里有两条弧，弧 AB 所对的圆心角是 90 度，弧 CD 所对的圆心角是 60 度，那弧 AB 所对的圆周角和弧 CD 所对的圆周角之和是多少呢？咱们先分别算出弧 AB 所对的圆周角是 45 度，弧 CD 所对的圆周角是 30 度，加起来就是 75 度。

同学们，咱们学习圆心角和圆周角的关系，可不仅仅是为了做几道数学题，在生活中也能用到哟！比如设计师在设计圆形的花坛、窗户的时候，就得考虑到圆心角和圆周角的关系，才能让设计更美观、更合理。

好啦，今天关于圆心角和圆周角的关系就讲到这里，希望大家都能搞清楚这两者之间的有趣联系，在数学的世界里快乐地探索！。

圆周角和圆心角的关系证明某个物体绕某个圆周运动，便形成了一种运动角圆周角。

圆心角就是该物体在圆心起点绕圆周转过的角度大小，是相对于圆心处于一定角度之上的状态。

因此可以概括为：圆周角和圆心角具有某种关系。

首先，我们可以比较圆形的圆周角和圆心角的向量。

两个向量的长度可以相等，但其方向不同。

圆心角的方向与圆心起点的笛卡尔坐标轴正向重合，而圆周角的方向与与笛卡尔坐标轴的正向垂直。

其次，圆周角和圆心角之间的关系也可以用数学证明。

把夹角圆心角α和圆周角β，以及笛卡尔坐标系中相对应的半径r表示出来，建立圆形方程式：x2 + y2 = r2，其中：x = r cosα，y = r sen α。

将公式项展开：r2cos2α + r2sen2α = r2从而得出cos2α + sen2α = 1，记为：cos2α = 1 - sen2α。

它表明：圆心角α和圆周角β之间有一定的关系，即：cos2α = 1 - sen2β同时，将圆周角β和圆心角α之间的关系用另一种表示方式表示出来，即：cosβ = cosα - sinα从上面的公式可以看出，圆心角α和圆周角β之间存在一定的关系，可用cos2α = 1 - sen2β及cosβ = cosα - sinα来表示，经过数学的推理可得出圆心角α和圆周角β之间的关系，即：cos2α = 1 - sen2βcosβ = cosα - sinα从而得出，圆周角和圆心角之间存在一定的关系。

再次，我们可以通过几何图形来证明圆周角和圆心角之间的关系。

在一个平面上，以圆心O为原点，以半径r为长度的圆形上，可以建立一个等边三角形AOP，其中A为圆周上的一点，O为圆心，P为圆上的一点，半径为r，以O为起点，走过一个圆心角α后，必定会到达P点。

同时，从圆弧AP上可以看出这个圆心角α和圆周上的夹角β之间是相等的。

因此，根据等边三角形的各种性质，可以推出：圆心角α和圆周角β是相等的。

以上就是圆周角和圆心角之间关系的数学、向量和几何图形证明。