正交曲线坐标系中的向量微分算子

旋度
Az Ay A A Ay Az R ex ( ) ey ( x z ) ez ( ) y z z x x y
梯度的方向就是标量场变化 率最大的方向，其模就是变 化率的最大值。 在给定点，梯度沿任意方向 的投影就是沿这个方向的标 量场的方向导数。
n lim
A dl S
L 0
lim S 0 S
为矢量场在点M 处沿方向 n的环量面密度。 特点：其值与点M 处的方向 n有关。
环量面密度的计算公式
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
C 0
（C 是常矢量）
(uC ) u C （u 是标量场） (uF ) u F u F （F 是矢量场） (F G) F G ( F G ) G F F G （矢量场的旋度的散度 恒为零） ( F ) 0 ( u ) 0
10
利用积分中值定理：
Ax Az Az Ay [( ) cos(n , x) ( ) cos( n , y ) y z z x Ax ( ) cos(n , z )] S x y M
因此环量面密度为：
Ay
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
（1）矢量场的环量 矢量场A沿任一闭合曲线L的积分,称为环量。

全书分上下两册，三篇，十五章。上册包括第一篇“流体力 学基础”和第二篇“流体动力学基本原理及流体工程”，具体内 容为：绪论、场论与正交曲线坐标、流体静力学、流体运动学、 流体动力学微分形式基本方程、流体动力学积分形式基本方程、 伯努利方程式及其应用、量纲分析和相似原理、流动阻力与管道 计算、边界层理论、流体绕过物体的流动和气体动力学基础。下 册包括第三篇“计算流体动力学”，具体内容为：计算流体动力 学的数学物理基础、流体动力学问题的有限差分解法和流体动力
第一节 第二节 第三节 第四节
连续性方程 动量方程 动量矩方程 能量方程
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
伯努利方程式及其限定条件 实际流体的伯努利方程式 实际流体的总流伯努利方程式 相对运动的伯努利方程式
伯努利方程式的应用
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第八章 量纲分析和相似原理
流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正
交曲线坐标
前言
本书是为高等工科院校非力学专业硕士研究生流体力学课程 教学编写的。考虑到教学时数有限，所以有些内容并未深入展开。 本书重点放在流体力学的基本概念、基本理论和解决流体力学问 题的基本方法上，目的在于为研究生开展课题研究和将来从事工 作提供必需的较为坚实的流体力学基础知识，同时也兼顾到工程 技术人员和科技工作者的需要。
第1页
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第一章 绪 论
第一节 流体力学的研究对象和发展历史
自Newton(1642-1727)提出了三大运动定律和线性流体的粘性定律以后， 流体力学得到了较大的发展。十八世纪的一大批数学家如Bernoulli、 Euler、 Lagrange、 Laplace等在理想流体的假定下取得了许多无摩擦流 动问题的研究成果，如Euler的运动微分方程和其积分形式——Bernoulli 方程。但理想流体的假定有较大的局限性，工程实际中的大多数流动无 不受流体粘性的影响。当时的工程师们开始抵制这种他们认为不切实际 的理想流体流动理论，在几乎完全依赖实验的基础上发展了一门新的科 学——水力学。这样的实验科学家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy 等。他们通过实验得到了诸如明渠流动、船舶阻力、管道流动、波动等 问题的有用数据。

∗ ∗
d (a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 ) √ √ 1 ∂ det G 1 ∂ det G = √ a1 + √ a2 1 2 ∂x g ∂x g22 11 det G det G √ 1 det G ∂ √ + a3 . 3 ∂x g33 det G
∗ ∗
正交曲线坐标系中的Laplace算符 分形式．
§15.1 正交曲面坐标系
第2页
§15.1 正交曲面坐标系
作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x1 , x2 , x3 }， x1 = ξ (x, y, z ), 它的坐标面是三组曲面 x1 = 常数, x2 = 常数, x3 = 常数. x2 = η (x, y, z ), x3 = ζ (x, y, z ),
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
“∗ ”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 √ det G I gii ∗ i dx = dx , ∗ dxI = √ dxi , gii det G
第5页
其中(i, I )构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4
k=1,2,3 k=1,2,3
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33
aki akj = δij .
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性
∗ ∗
1 ∂ r ∂r
r
∂ ∂r
+
1 ∂2 ∂2 + . r2 ∂θ2 ∂z 2
r2 ∂ ∂θ
∂u ∂r sin θ r2
sin θdr ∧ dθ ∧ dφ ∂u ∂θ + dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 ∂ sin θ ∂θ 1 ∂2u dφ ∧ dr ∧ dθ, sin θ ∂φ2 ∂u ∂θ + 1 r2 sin2 θ ∂2u . ∂φ2

fA f f f x y z ( f Ac ) (e x f A c ) (e y f A c ) (e z f A c ) x y z f f f A ex A ey A e z A f x y z ( f A) f A A f 所以
微分算子是一个运算符号在运算中具有矢量和微分的双重性质其优点在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数运算从而明显地简化运算过程并且推导简明扼要易于掌握
1.3 矢量微分算子
一、微分算子▽的定义
ex ey ez x y z
在电磁场理论中,为简化运算，引入了微分算子▽，它 已成为场论分析中不可缺少的工具。微分算子▽是一个运算 符号，在运算中具有矢量和微分的双重性质，其优点在于可 以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数运算，从而明显 地简化运算过程，并且推导简明扼要，易于掌握。 微分算子▽的三种基本运算为
Ax Az
Ay
4
例2： ( A B ) ? ( A B ) ( A c B ) ( A B c )(*)
由矢量代数恒等式 可得
A ( B C ) ( A C ) B ( A B )C B ( A C ) C ( A B ) ( A c B ) A ( B ) ( Ac ) B A ( B ) ( A ) B ( A Bc ) ( Bc ) A ( A ) Bc ( B ) A B ( A )
A A A A ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) x y z x y z 2 2 2 A A A 2 A 2 2 2 x y z 2 2 2 2 2 2 2 x y z

总结词
阐述向量微分算子具有的特性，如线性性、连续性、 可逆性等。
详细描述
向量微分算子具有一系列重要的性质。它通常是线性 的，意味着对于任意常数c和d，以及向量函数f和g， 有L(c*f+d*g)=c*L(f)+d*L(g)。此外，向量微分算子 还是连续的，意味着当输入的函数或场在一定范围内 变化时，输出的函数或场也会连续变化。有些向量微 分算子还是可逆的，意味着存在另一个算子，当与原 算子结合时，可以恢复原始的向量函数或场。
向量微分算子在解析几何中的应用实例
01
曲线的弯曲程度
利用向量微分算子，我们可以计算曲线的曲率，了解曲线在各个点的弯
曲程度。
02
速度和加速度的研究
在解析几何中，我们可以使用向量微分算子来研究物体的速度和加速度
，了解物体的运动状态。
03
向量的散度和旋度
向量的散度和旋度是描述向量场的重要概念，它们可以通过向量微分算
2023-2026
END
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REPORTING
向量微分算子的几何意义
要点一
总结词
解释向量微分算子在几何上的表现和意义，如何影响向量 场的方向、大小等。
要点二
详细描述
向量微分算子在几何上有着深刻的含义。通过对向量函数 或场施加微分算子，可以改变其方向、大小或形状。这在 实际应用中非常有用，例如在流体动力学中，可以使用向 量微分算子来描述流体速度场的变化规律；在电磁学中， 可以用来研究电场或磁场的变化。因此，理解向量微分算 子的几何意义对于深入理解其应用非常重要。
子进行计算。在解析几何中，向量的散度和旋度可以用于研究向量场的
性质和变化规律。

1 d dR 2 µ r + k − λ − 2 R = 0 r dr dr r
d 2Z + λZ = 0
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
∇2v + k2v = 0
1 ∂ ∂v 1 ∂2v ∂2v 2 r + 2 2 + 2 + k v = 0 r ∂r ∂r r ∂φ ∂z
u0(r,φ) = R0(r)Φ0(φ) = C0 + D0 lnr
um1(r,φ) = Rm(r)Φm1(φ) = (Cm1r m + Dm1r −m )sinmφ
um2(r,φ) = Rm(r)Φm2(φ) = (Cm2r m + Dm2r −m )cos mφ
一般解：
u(r,φ) = C0 + D0 lnr +
dz
2
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
1 d dR 2 µ r + k − λ − 2 R = 0 r dr dr r
柱函数
9.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量
球坐标系下，亥姆霍兹方程 ∇2v + k2v = 0 的具体形式为：
1 ∂ 2 ∂v 1 1 ∂ ∂v ∂2v + k2v = 0 r + 2 sinθ + 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ 2 r 2 ∂r ∂r r sinθ ∂θ
cos2π λ −1 A、B有非零解 ⇔ =0 cos2π λ −1 − sin2π λ sin2π λ
λm = m2, m = 1,2,3⋯
相应的A、B为任意值
本征函数 Φm1(φ) = sinmφ, Φm2(φ) = cosmφ

u(r,φ) r=0 有界， 0 < φ < 2π 有界， u(r,φ) r=a = f (φ), 0 < φ < 2π
令 u(r,φ) = R(r)Φ(φ) ，分离变量
1 ∂ ∂R 1 ∂ 2Φ Φ =0 r + R 2 2 r ∂r ∂r r ∂φ
r2 1 ∂ 2Φ ∂ ∂R 1 两边同乘以 得 ≡λ r =− 2 RΦ Φ ∂φ ∂r ∂r R
x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ z=z
0≤ ρ < ∞ 0 ≤ ϕ ≤ 2π − ∞ < z < +∞
正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符： 直角坐标系：
∇ =
2
∂2 ∂x
2
+
∂2 ∂y
2
+
∂2 ∂z2
柱坐标系：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 ∇ = + ρ + ρ ∂ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z2
u0(r,φ) = R0(r)Φ0(φ) = C0 + D0 lnr
um1(r,φ) = Rm(r)Φm1(φ) = (Cm1r m + Dm1r −m )sinmφ
um2(r,φ) = Rm(r)Φm2(φ) = (Cm2r m + Dm2r −m )cos mφ
一般解：
u(r,φ) = C0 + D0 lnr +
∂ ∂R r r − λR = 0⋯⋯⋯⋯(1) ∂r ∂ r
∂ 2Φ ∂φ
2
+ λΦ = 0⋯⋯⋯⋯( 2)
Φ(0) = Φ(2π )
若 λ = 0 可知： Φ(φ) = C1φ + C2 本征函数 Φ0(φ) = 1 若 λ ≠ 0 可知： Φ(φ) = Asin λφ + Bcos λφ 由周期性条件知：

( Az Ay ) ( Ax Az ) ( Ay Ax ) 0 x y z y z x z x y
( A) 0 (f ) 0
8
四、包含 算子的恒等式
(1)( f g) f g
(2)( fg) f g gf
(3)(
f) gur
gf ur
g2
f g ur
(g 0) ur
ex
f y
ey
f z
ez )
2 f 2 f 2 f x2 y 2 z 2
5
例2：求
ur A
在直角坐标系中的展开式。 f
2 f x2
2 f y2
2 f z 2
A
x
Aex
y
A
( x
ex
Aey
z
y ey z
Aez
ez )
( A x
ex
A y
ey
A z
ez
)
2
f
2A x 2
2A y 2
2A z 2
2A
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2
A
Axex
Ayey
Azez
2A x 2
2 Ax x 2
ex
2 Ay x 2
ey
2 Az x 2
ez
A
(
2
Ax
x2
2 Ax y2
2 Ax z 2
)ex
(2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
二、 一重▽算子
f
( x
ex
y
ey
z
ez
)
f
f f f x ex y ey z ez

向量微分算子∇定义为k z j y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇，它称为哈密顿算子，运用向量微分算子，我们有(1)、设),,(z y x u u =，则u k z u j y u i x u u grad =∂∂+∂∂+∂∂=∇u z u y u x u u u ∆=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=∇⋅∇=∇2222222grad 其中222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆，称为拉普拉斯算子。

(2)、设有向量场 k z y x R j z y x Q i z y x P A ),,(),,(),,(++=，则A z R y Q x P k R j Q i P k z j y i x A div )()(=∂∂+∂∂+∂∂=++⋅∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ A R Q P zy x k j i A rot =∂∂∂∂∂∂=⨯∇在坐标轴上的投影为z Q y R ∂∂-∂∂，x R z P ∂∂-∂∂，y P x Q ∂∂-∂∂ 的向量叫做向量场A 的旋度，记作Arot ，即 R Q P z y x k j i A rot =∂∂∂∂∂∂=⨯∇k y P x Q j x R z P i z Q y R A ⋅∂∂-∂∂+⋅∂∂-∂∂+⋅∂∂-∂∂=)()()(rot k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ⋅+⋅+⋅=),,(),,(),,(),,(v 在点M 的散度，记作v div ，即z R y Q x P v ∂∂+∂∂+∂∂=div现在，高斯公式和斯托克斯公式可分别写成⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=⋅∇dS A dv A n ⎰⎰⎰∑Γ=⨯∇dsA dS A t n )(高斯公式设有空间区域V 由分片光滑的双侧闭曲面S 围成．若函数R Q P ,,在V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=()()()y dxd z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P S ⎰⎰++,,,,,,， 其中S 取外侧．称为高斯公式.斯托克斯公式双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向的规定：右手法则．设光滑曲面S 的边界L 是按块光滑的连续曲线．若函数R Q P ,,在S （连同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰=⎰++L Rdz Qdy Pdx （2） 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．。

k
它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
1. 设u u(x, y, z), 则
u

u x
i

u y
j

u z
k
grad u
2u u grad u

2u x2

2u y2

2u z2


u
称为△为拉普拉斯（Laplace）算子。
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第五节
向量微分算子
第十一章
向量微分算子
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向量微分算子
定义向量微分算子:


x
i

y
j

z
y
z
P QR
div
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5. 例子

, ,
x y z
设 f , g 有二阶连续偏导数，则div( f g) 0
i jk
证明 : f g fx f y fz
gx gy gz
( f y gz fz g y ), ( fz gx fx gz ), ( fx g y f y gx )
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课堂练习 设 r x2 y2 z2, 则
div (grad r)
2 r
; rot (grad r)
0.
提示: grad r x , y , z

d r eˆ1h1dq1 eˆ2h2dq2 eˆ3h3dq3
二、直角坐标系
1、坐标变量： x, y, z
2、坐标面： x C1 ， y C2 ， z C3
Z为常数平面
z eˆz
r
eˆx
p
eˆ y
坐标线：三条直线
3、基矢： eˆx , eˆy , eˆz ，正交且符合右螺旋
x x为常数平面
4、拉梅系数（度规系数）
在坐标系中，设 Pq1, q2 , q3 点的位置矢量为：
r
r
q1
,
q2
,
q3
则
d
r
r q1
dq1
r q2
dq2
r q3
dq3
式中
r
q1
r
q2
r
q3
r q1
eˆ1
h1eˆ1
r q2
eˆ2
h2eˆ2
r q3
eˆ3
h3eˆ3
h1, h2, h3 称为坐标系的度规系数（拉梅系数）。这样，
l
l
代表了 u M 的最大变化率的大小和方向。根据梯度的定义，可以得到直角坐标系中梯
度的表达式为：
gradu
eˆx
u x
eˆy
u y
eˆz
u z
在矢量分析中，引入矢量微分算符（哈密顿算符）：
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z
有：
u
eˆx
u x
eˆy
u y
eˆz
u z
gradu
柱坐标系： u
eˆ
u
eˆ
2）梯度的大小为该点标量函数 u M 的最大变化率，即该点最大方向导数；

正交曲线坐标系基向量的二阶偏导数陈功;朱文辉【期刊名称】《盐城工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(027)001【摘要】研究了正交曲线坐标系基向量的二阶偏导数,运用基变换的单位正交性给出了当坐标函数三阶偏导数连续时拉梅系数满足的两个偏微分方程,由此证明了基向量的二阶混合偏导数与求导顺序无关,推导了基向量的二阶偏导数公式.【总页数】4页(P22-25)【作者】陈功;朱文辉【作者单位】复旦大学力学与工程科学系,上海200443;南通职业大学基础课部,江苏南通226007【正文语种】中文【中图分类】O182.2【相关文献】1.正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数 [J], 孙树生;成泰民2.正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数 [J], 孙树生;成泰民3.正交曲线坐标系中单位基矢的导数 [J], 成泰民;孙树生4.求一般正交曲线坐标系中单位基矢之时空导数的一种简便方法 [J], 安秉权5.曲线正交坐标系下_∇<sup style="margin-left:-9px;">→</sup>_<i>A</i><sup style="margin-left:-8px;">→</sup>与∇² _<i>A</i><supstyle="margin-left:-8px;">→</sup>的一种推导 [J], 陈葛锐;贺梦冬;陈小艳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

电磁波名词解释第一章矢量分析1.拉梅系数：在正交曲线坐标系中，其坐标变量（u1 ,u2,u3）不一定都是长度，可能是角度量，其矢量微分元，必然有一个修正系数，称为拉梅系数。

（在正交曲线坐标系中，其坐标变量（u1 ,u2,u3）的矢量微分元的修正系数）2.方向导数：函数在其他特定方向上的变化率，记作（）3.梯度：一个大小为标量场函数在某一点的方向导数的最大值，其方向为取得最大值方向导数的方向的矢量，称为场函数在该点的梯度，记作。

4.散度：矢量场沿矢线方向上的导数，记作。

（该点的通量密度称为该点的散度。

）5.高斯散度定理：某一矢量散度的体积分等于该矢量穿过该体积的封闭表面的总通量。

6.旋度：一个大小为 P点最大的环量密度，其方向为获得最大环量密度的面元S 的法线方向的矢量，称为 P点的旋度，记作▽×F。

7.斯托克斯定理：一个矢量场的旋度在一开放曲面上的曲面积分等于该矢量沿此曲面边界的曲线积分。

8.拉普拉斯算子：在场论研究中，定义一个标量函数梯度的散度的二阶微分算子，称为拉普拉斯算子，记作。

第二章电磁学基本理论1.矢量磁位：引入一个辅助矢量 A,令 B =▽×A,则▽·（▽×A）= 0 ,称 A为矢量磁位。

2.安培环路定律：在真空中，磁场强度沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿过的总电流。

3.位移电流：在电容器两极板间，由于电场随时间的变化而存在位移电流 Id,其数值等于流向正极板的传导电流 Ic4.法拉第电磁感应定律：磁场中的一个闭合导体回路由于某种原因引起穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就产生了感应电流，表示回路中感应了电动势，且感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率。

5.电流连续方程：穿过任何闭合曲面的电流密度矢量等于该点的电荷减少量。

6.电场的高斯定律：穿过任何闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷。

7.磁场的高斯定律：通过任何闭合曲面的磁感应强度矢量 B的通量恒为零。

∇ ⋅ ( A × B) = B ⋅ (∇ × A) − A ⋅ (∇ × B)
常矢转换到算符前，变矢留在算符后
lexu@
16
哈密顿算子
例4 验证
• [证]
l
∫ (a × r ) ⋅ dl
l S
= 2 ∫∫ a ⋅ ds
S
a为常矢
∫ (a × r ) ⋅ dl = ∫∫ [∇ × (a × r )] ⋅ ds
gradu = ∇u = divA = ∇ ⋅ A =
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z
• 旋度：
lexu@
ˆ x ∂ rotA = ∇ × A = ∂x Ax
ˆ y ∂ ∂y Ay
ˆ z ∂ ∂z Az
叉积
5
哈密顿算子
一个新的微分算符
( A ⋅∇)u = Ax A ⋅∇ = Ax ∂ ∂ ∂ + Ay + Az ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u + Ay + Az ∂x ∂y ∂z
管形场
divA ≡ 0 A ≡ rotB
⎧U = z Q( x, y, z )dz − y R( x, y, z )dy 0 ∫z0 ∫y0 ⎪ ⎪ z ⎨ V = − ∫ P( x, y, z )dz z0 ⎪ ⎪ W = C (C为任何常数) ⎩
调和场
divA = 0 rotA = 0
v( x, y ) = − ∫ P( x, yo )dx − ∫ Q( x, y )dy
场论与复变函数
主讲：徐乐
2008年9月6日星期六 2008年
Review
有势场 A = grad u
x xo
A = −grad v

两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式ΞGeneral Expression s Between Un it Vectors of TwoCurv ili near Orthogonal Coord i nate System s易辉跃　唐　斌　晏才宏　周希朗(上海交通大学电子工程系,上海200030)Y I Huiyue ,TANG B i n ,YAN Ca ihong ,ZHOU X ilang(D ep a rt m en t of E lectron ic E ng ineering ,S hang ha i J iaotong U n iversity ,S hang ha i 200030)【摘要】　本文采用不同的分析思路,导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系,并推广到更一般的情况—任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。

只要一种正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知,利用这些关系式即可得到正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。

利用文献上已有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系,文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢量间的变换矩阵,进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。

关键词:　正交曲线坐标系,单位矢量,变换矩阵Abstract :　Concise exp ressi on s betw een un it vecto rs of cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system s and tho se of cartesian coo rdinate system w ere derived in term s of differen t analytical ideas.T hese exp ressi on s w ere expanded to mo re general relati on s betw een un it vecto rs of tw o cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system s.W ith the help of these exp ressi on s ,relati on s betw een un it vecto rs of a cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system and tho se of cartesian coo rdinate system o r ano ther cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system can easily be ob tained as long as the single 2value relati on s betw een these tw o coo rdinates are know n .By m ean s of the relati on s betw een cu rvilinear o rthogonal coo rdinates p rovided by o ther au tho rs ,the tran sfo rm ati on m atrixes betw een un it vecto rs of cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system s and tho se of cartesian coo rdinate system o r ano ther cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system w ere given .Key ter m s :　Cu rvilinear o rthogonal coo rdinate ,U n it vecto r ,T ran sfo rm ati on m atrix一、引 言众所周知,根据求解实际电磁场边值问题的需要,人们已引出了十多种正交曲线坐标系,给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系、圆柱坐标系等坐标间的关系,并提供了各种坐标系的度量因子(拉梅系数)〔1〕,为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便。

求一般正交曲线坐标系中单位基矢之时空导数的一种简便方法
求一般正交曲线坐标系中单位基矢之时空导数的一种简便
方法
安秉权
【期刊名称】《固原师专学报》
【年(卷),期】1998(019)003
【摘要】利用不同坐标系的基矢间线性变换，给出了一般正交坐标系中单位基矢坟导的一种简便方法。

【总页数】3页(32-34)
【关键词】线性变换;正交曲线坐标系;单位基矢;导数
【作者】安秉权
【作者单位】固原师专物理系
【正文语种】英文
【中图分类】O411
【相关文献】
1.正交曲线坐标系中单位基矢的导数 [J], 成泰民; 孙树生
2.正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数 [J], 孙树生; 成泰民
3.正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数 [J], 孙树生; 成泰民
4.正交曲线坐标系中单位矢量的时间导数 [J], Koo,WK; 张学龙
5.曲线正交坐标系下单位矢量的空间导数及场量的( )算符运算[J], 白少民
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向量微分归纳(全)向量微分是微积分中的重要概念之一。

通过对向量的微分，我们可以了解向量的变化率和导数。

本文将介绍向量微分的基本概念和常见的计算方法。

向量微分的定义向量微分是指对向量函数进行微积分运算的过程。

对于向量函数 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} f_1(\mathbf{x}) \\f_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ f_n(\mathbf{x}) \end{bmatrix}$，其中$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m\end{bmatrix}$ 是自变量向量，向量函数的微分定义如下：$$d\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} df_1(\mathbf{x}) \\ df_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ df_n(\mathbf{x}) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_1} &\frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_m} \\ \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_1} & \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n(\mathbf{x})}{\partial x_1} & \frac{\partialf_n(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partialf_n(\mathbf{x})}{\partial x_m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ \vdots \\ dx_m \end{bmatrix}$$其中，$\frac{\partial f_i(\mathbf{x})}{\partial x_j}$ 表示$f_i(\mathbf{x})$ 对 $x_j$ 的偏导数。