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向量微分算子∇定义为k z j y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇，它称为哈密顿算子，运用向量微分算子，我们有(1)、设),,(z y x u u =，则u k z u j y u i x u u grad =∂∂+∂∂+∂∂=∇u z u y u x u u u ∆=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=∇⋅∇=∇2222222grad 其中222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆，称为拉普拉斯算子。
(2)、设有向量场 k z y x R j z y x Q i z y x P A ),,(),,(),,(++=，则A z R y Q x P k R j Q i P k z j y i x A div )()(=∂∂+∂∂+∂∂=++⋅∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ A R Q P zy x k j i A rot =∂∂∂∂∂∂=⨯∇在坐标轴上的投影为z Q y R ∂∂-∂∂，x R z P ∂∂-∂∂，y P x Q ∂∂-∂∂ 的向量叫做向量场A 的旋度，记作Arot ，即 R Q P z y x k j i A rot =∂∂∂∂∂∂=⨯∇k y P x Q j x R z P i z Q y R A ⋅∂∂-∂∂+⋅∂∂-∂∂+⋅∂∂-∂∂=)()()(rot k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ⋅+⋅+⋅=),,(),,(),,(),,(v 在点M 的散度，记作v div ，即z R y Q x P v ∂∂+∂∂+∂∂=div现在，高斯公式和斯托克斯公式可分别写成⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=⋅∇dS A dv A n ⎰⎰⎰∑Γ=⨯∇dsA dS A t n )(高斯公式设有空间区域V 由分片光滑的双侧闭曲面S 围成．若函数R Q P ,,在V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=()()()y dxd z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P S ⎰⎰++,,,,,,， 其中S 取外侧．称为高斯公式.斯托克斯公式双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向的规定：右手法则．设光滑曲面S 的边界L 是按块光滑的连续曲线．若函数R Q P ,,在S （连同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰=⎰++L Rdz Qdy Pdx （2） 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．。
