??? ? ? Ρ???
μ ? ? ? (
2 ?
? ???
?? 2 t
?
? ?? ?
?G ?
? ???
?? ?G ?
?
? ?? ?
t) ?ǎ * ) Ρ? /
1.2三种常用的正交坐标系 1.3标量场的梯度 1.4矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。 重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。 难点：基矢的变化。 讲授、练习 学时：2学时 §1.2三种常用的正交坐标系 一、坐标系的概念 1、坐标 确定一个空间点需要三个有序数()321,,q q q ，称为空间点的坐标。 2、坐标面、坐标线 两个坐标面的交线称为坐标线。若在空间任意一点，三个坐标面正交(基矢正交)， 称为三维正交坐标系。 3、单位矢 用 321?,?,?e e e 分别表示坐标曲线321,,q q q 上的切向单位基矢。 规定：321?,?,?e e e 的方向关系构成右手系。 注意：在曲线坐标系中321?,?,?e e e 一般是空间点函数。 4、拉梅系数（度规系数） () ()()??? ??===z y x q q z y x q q z y x q q ,,,,,,33 2211()()()??? ??======333 222111,,,,,,c z y x q q c z y x q q c z y x q q 三个等值曲面，称为坐标曲面 由于空间点同时可用()z y x ,,表示，因此
在坐标系中，设()321,,q q q P 点的位置矢量为： ()321,,q q q r r = 则 33 2211dq q r dq q r dq q r r d ??+??+??= 式中 ????????? ? ?=??=??=??=??=??=??33333 2222 2 11111 ??????e h e q r q r e h e q r q r e h e q r q r 321,,h h h 称为坐标系的度规系数（拉梅系数）。这样， 111222333???d r e h dq e h dq e h dq =++ 1、坐标变量：()z y x ,, 2、坐标面：1C x =，2C y =，3C z = 坐标线：三条直线 3、基矢：()z y x e e e ?,?,?，正交且符合右螺旋 矢量表示：???x x y y z z A e A e A e A =++，例：位置矢量 ???x y z r e x e y e z =++ 4、空间微元： 线元： ???x y z dr e dx e dy e dz =++ 面元： ???,,x x y y z z dS e dydz dS e dxdz dS e dxdy === 5、拉梅系数：1321===h h h 三、柱坐标系 1、坐标变量：(),,z ρφ 2、坐标面：1C =ρ，2C φ=，3C z = 坐标线：两条直线、一个曲线 坐标变换：cos , sin ,x y z z ρφρφ=== x 为常数平面 x y z y 为常数平面 Z 为常数平面 e y ?e z ?x e ? (x,y,z ) p r 二、直角坐标系 x y 体元： dV dx dy dz =
曲线正交曲线坐标系()w v u ,,，每一点的单位正交标架()w v u e e e ,,构成右手系， 微分弧与曲线坐标的关系为()()()()2 2 2 2 dw h dv h du h ds w v u ++= 散度： 在直角坐标系下用高斯公式：()S d A dV A V V ?= ??? ?? 换成曲线正交坐标系下可得： ()? ?++= ???dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A udvdw d h h h A v u w u w v w v u D w v u D 右边应用高斯定理的： ()()()udvdw d w h h A v h h A u h h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A v u w u w v w v u D v u w u w v w v u D ? ? ?? ? ????+??+??= ++? 所以：()()()()dudvdw w h h A v h h A u h h A dudvdw h h h A D v u w u w v w v u D w v u ?? ?? ? ????+??+??= ?? 比较得曲正交标架下的散度公式：()()()??? ????+??+??= ??w h h A v h h A u h h A h h h A v u w u w v w v u w v u 1 旋度： 直角坐标下用斯托克斯公式：()? ? ??= ???S S l d A S d A 换成曲线正交坐标系下可得： ()()()dw h A dv h A du h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A w w v v D u u v u w D u w v w v u ++= ??+??+??? ?? 右边应用斯托克斯公式： ()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dw h A dv h A du h A u u v v D w w u u v v w w w w v v D u u ??? ????-??+??? ????-??+??? ????-??=++?? ? 所以： ()()()()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A u u v v D w w u u v v w w v u w D u w v w v u ?? ? ????-??+??? ????-??+??? ????-??=??+??+???? 对比两边可得旋度在曲正交标架下公式。 梯度： 有梯度的定义梯度等于个方向的方向导数乘以该方向的单位向量： w w v v u u e w h e v h e u h ??+??+??= ?????
2003年2月 水 利 学 报SH UI LI X UE BAO 第2期 收稿日期:2002201204 基金项目:国家杰出青年科学基金项目(50125924);高等学校博士学科点专项科研基金项目(2000014112);辽宁省自然科学基 金项目(2001101073) 作者简介:吴修广(1974-),男,山东阳谷人,博士生,从事环境水力学研究。文章编号:055929350(2003)022*******非正交曲线坐标下二维水流计算的SIMPLEC 算法 吴修广1,沈永明1,郑永红2,王平义 3(11大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室 辽宁大连 116023;21中国科学院广州能源研究所,广东广州 510070; 31重庆交通学院河海工程系 重庆 400074)摘要:本文采用Laplace 方程坐标变换方法生成正交曲线网格,并对浅水流动的控制方程进行坐标变换,方程离散时采用B 型交错网格。利用“水位扫描法”结合壁面函数法来处理移动边界,用SI MP LEC 算法解非正交曲线坐标下的k -ε双方程紊流模型,修正了由网格的非正交性引起的误差。通过对美国C olorado 洲Fall River 的资料进行流场验证,计算结果与实测资料基本符合,显示了本模型在不规则水域计算中的实用价值。 关键词:坐标变换;k -ε紊流模型;水位扫描法;壁面函数;SI MP LEC 算法 中图分类号:T V13114文献标识码:A 随着经济发展和社会进步,水利工程建设的步伐也在进一步加快,其中港航建设、大坝建设中的泥沙问题以及近来倍受世人关注的水污染问题已经成为制约水利发展的瓶颈问题,弄清河流、湖泊、海洋中水动力因素,是解决以上问题的重要基础。近年来,数学模型已逐步取代物理模型实验成为研究水流的重要手段,而浅水流动模型是处理大区域流场的一种非常有效的模型。它属于非线性方程组,在目前只能用数值方法求解,因此,有必要研究一种简单、高效的方法来求解浅水流动问题。自Patankar 和S palding [1] 发展了SI MP LE 算法以来,该方法被广泛应用于不可压缩流场的数值模拟,而且该方法还得到了进一步的发展,主要有SI MP LER 算法 [2]、SI MP LEC 算法[3]、SI MP LEX 算法[4]和SI M 2P LET 算法[5]等。这些模型均成功地应用于速度—压力耦合的流场计算,深度平均的浅水流动模型是在静压假定下导出的,一般流体模型中的速度—压力耦合也就转换成浅水流动模型中的速度—水深耦合[6]。 天然河流、海湾的边界曲折、地形复杂,采用坐标变换是解决问题的途径之一。目前多数N -S 方程的坐标变换中,流程全部采用逆变分量,这样就增加了方程的复杂程度。于是忽略掉方程中的非正交项,利用正交变换下的方程进行数值求解[7,8]。对于具有复杂边界的海湾及弯曲的河流,坐标变换中很难保证每个点都正交,特别是边界附近。水位变化是水力计算中难点之一,在目前的紊流数学模型中,多简单的利用“冻结法”,这样做将失去对边界出流动模拟的准确性。 本文研究中,采用正交曲线坐标变换生成数值网格,而数值计算中采用非正交曲线坐标下的k -ε双方程紊流模型,这样可以自动修正网格生成中的非正交项。流速除对流项中采用逆变分量,在其余各项中均采用原始分量,这样使得方程书写简单,有利于将各方程写成通用形式,编写的程序变得更规范。作者受Jian Y e 同位网格[9] 的启发,对普通交错网格做了修改,即采用B 型交错网格,使得u ,v ,k ,ε的计算布置在一个节点上,有利于节省计算程序代码,使程序书写更加规范。引入动边界扫描技术,结合紊流模型的壁面函数法,使壁面随着真实边界而变化。数值求解时,采用控制体积法离散方程,运用SI MP LEC 算法,使计算的流场更符合实际流场。