第九章 正交曲线坐标系中的分离变量

柱坐标拉普拉斯方程分离变量拉普拉斯方程是数学物理中一种常见的偏微分方程，描述了二维和三维空间中的静态场的行为。

柱坐标是一种常见的坐标系，在处理与圆柱形物体相关的问题时非常有用。

本文将介绍柱坐标系下的拉普拉斯方程，以及如何利用分离变量的方法解决这个方程。

柱坐标系简介柱坐标系是一种三维坐标系，由径向r、极角$\\theta$和高度z三个坐标表示。

在柱坐标系中，点的位置可以用$(r, \\theta, z)$表示，其中$r\\geq0$，$0\\leq\\theta<2\\pi$，$-\\infty<z<+\\infty$。

通过极坐标系的转换，我们可以将直角坐标系中的点的坐标转换为柱坐标系中的坐标。

柱坐标系下的拉普拉斯方程在柱坐标系下，拉普拉斯方程可以写作：$$\\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}\\left(r\\frac{\\partial\\Phi}{\\partial r}\\right) + \\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2 \\Phi}{\\partial\\theta^2} + \\frac{\\partial^2 \\Phi}{\\partial z^2} = 0$$其中$\\Phi(r, \\theta, z)$是待求解的场量。

分离变量方法为了解决柱坐标系下的拉普拉斯方程，我们引入一个假设：$\\Phi(r, \\theta, z) = R(r)\\Theta(\\theta)Z(z)$。

将这个假设代入到拉普拉斯方程中，我们可以将方程分解为三个独立的普通微分方程。

首先考虑径向方程$\\frac{1}{r}\\frac{d}{dr}\\left(r\\frac{dR}{dr}\\right) +\\left(\\lambda - \\frac{m^2}{r^2}\\right)R = 0$，其中$\\lambda$和m是待定常数。

3-3-3 球坐标系中的分离变量法在球坐标系中(r , θ, φ)，拉普拉斯方程的形式为：2222222111()(sin )0sin sin r r r r r r ϕϕϕθθθθθφ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂ 同样地，我们仅考虑二维电势问题。

事实上，大多数情况属于这类情况。

在这类问题中，电势φ与方位角φ无关，即静电问题具有轴对称性。

这样，拉普拉斯方程成为：21()(sin )0sin r r r ϕϕθθθθ∂∂∂∂+=∂∂∂∂ (3-3-24) 同样，我们用分离变量法求此方程。

令(,)()()r R r ϕθθ=Θ (3-3-25)带入方程 (3-3-24)并除以R Θ，我们得到：21d d 1d d ()(sin )constant (1)d d sin d d R r n n R r r θθθθΘ=-==+Θ 同样，上式仅为常数时才可能相等，我们将此常数写为n (n +1)。

因此我们得到：2d d ()(1)0d d Rr n n R r r -+= (3-3-26) d d (sin )(1)sin 0d d n n θθθθΘ++Θ= (3-3-27) 方程(3-3-26)可写为：222d d 2(1)0d d R R r r n n R r r +-+=此方程称为欧拉方程，它的解为：1()n nn n n B R r A r r +=+(3-3-28) 式中A n 和B n 为积分常数。

令x = cos θ，方程(3-3-27)成为：2d d [(1)](1)0d d x n n x xΘ-++Θ= (3-3-29) 此方程称为勒让德方程，只有n 为正整数(包括0)时，在区间-1 ≤ x ≤ 1才有有理解。

这个解称为勒让德多项式或勒让德函数，记为()(cos )n n P θθΘ=最后，将以上各个n 值的解线性叠加，我们得到了满足拉普拉斯方程具有轴对称性的电势通解为：1(,)()(cos )n nn n n n B r A r P r ϕθθ∞+==+∑ (3-3-30)下面，我们给出关于勒让德函数一些有用特性。

Chapter 12 球坐标系下的分离变量法Legendre 多项式和球谐函数Abstracts正交曲线坐标系及在此坐标系下Laplace 算术的表示； 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数（例如， Legendre 函数、连带Legendre 函数和球谐函数等）。

函数空间概念(复习)3D ：基矢：{}j e ()1,2,3j =；正交：i j ij e e δ⋅=；表示：112233x x e x e x e =++, 这是3D Euclid space ，直观、简单、符合常识。

(3+1)D ：是加t ，还是加4ite ，如何去加？时空观的变革：相对运动，不但有了相对时空位置，还有了scaling （标尺）、不变性和时空弯曲等概念。

n D ：基矢是{}()j x ϕ()1,2,3,,j n =⋅⋅⋅，带权()x ρ的正交归一性如下：()()()*d ijijx x x x ρϕϕδ=⎰⇒∞D ：Hilbert space. 基矢亦是函数，并且straightscaling →curve scaling.j ：quantum numbers. 抽象、复杂、冲破常识！ 对于任意函数(),f x 只要其定义域与{}()j x ϕ的相同，总有()()1,n n n f x c x ϕ∞==∑其中()()()()()()**1mn m n m n x x x f x c x x x x c ρϕρϕϕ∞===∑⎰⎰d d is a representation!当()f x 已知时，n c 是上式；当()f x 是()n x ϕ的线性组合时，n c 是其系数。

1．n D 向量空间: 有n D 向量的集合.1) 表述：n 个独立的单位矢量12,,,,n e e e ⋅⋅⋅排成基向量，选{}j e 为正交归一基矢，即i j ij e e δ⋅=，则1nj j j x x e ==∑和j j x x e =⋅（在j e 上的坐标值—表示）。

电磁场理论习题解读思考与练习⼀1．证明⽮量3?2??z y x e e e -+=A 和z y x e e e ++=B 相互垂直。

2. 已知⽮量 1.55.8z y e ?e ?+=A 和4936z y e ?.e ?+-=B ，求两⽮量的夹⾓。

3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明⽮量A 和B 处处垂直。

4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的⼀般表达式。

5．根据算符?的与⽮量性，推导下列公式：()()()()B A B A A B A B B A ??++??+=??)(()()A A A A A 2??-?=21 []H E E H H E -=6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：u du df u f ?=?)(， ()du d u u A A ??=??， ()dud u u A A ??=??，()[]0=z ,y ,x A 。

7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的⽅向规定为从源点指向场点。

证明下列结果，R R R R =?'-=?， 311R R R R-=?'-=?，03=??R R ，033=??'-=??RR R R )0(≠R （最后⼀式在0=R 点不成⽴）。

8. 求[])sin(0r k E 及[])sin(0r k E ，其中0E a ,为常⽮量。

9. 应⽤⾼斯定理证明 =??v sd dV f s f ，应⽤斯克斯（Stokes ）定理证明??=??s Ldl dS ??。

10.证明Gauss 积分公式[]+???=??s Vdv d ψφψφψφ2s 。

11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ??、()[]321q ,q ,q F 、()3212q ,q ,q f ?的表达式。