正交曲线坐标系向量微分算子

高等流体力学第一章第章预备知识●场论与正交曲线坐标•场：具有物理量的空间=f t •物理量()f R t 空间位置，§1.1 向量及张量的基本运算一向量运算符号规定、向量运算符号规定1、爱因斯坦（Einstein ）求和符号定义：数学式子中任一项出现一对符号相同的指标（哑指标）如：i i 112233a =a +a +a e e e e ++()12112233i i j j 12k a b k =k a b +a b +a b +3k +e e i克罗内尔2、克罗内尔（Kronecker ）δ符号定义：任意两个正交单位向量点积用表示ij δ1i=j =δ=⎧e e i =1i j ij 0i j ⎨≠⎩123i j ，，，3、置换符号任意两个正交单位向量叉积可表示为式中称为置换符号，又称利西（Ricci ）符号i j ijk ke e e e ×=ijk e j i ⎧0j k 231i j k 123123ijk e ⎪=⎨，，中有个或个自由指标值相同，，中按顺序任取个排列 1 i j k 132133⎪−⎩，，中按顺序任取个排列e e 123123i j ijk k a b e a a a ==e e 123b b b()()()()()()() a b c d a c b d b c a d ××=−i i i i i三、向量分量的坐标变换i i i i =a a ′′=e e a 和分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位向量，各单位向量间的夹角余弦（即方i i a a ′，i i ′e e ，a 向余弦）为(123)j j j l m n j =，，，，各坐标轴方向余弦e e e ()()123i i i i i i i a a a i =, , ′′′′==e e e e i i 123123l l l m m 1′e ()()123i i i i i i i a a a i=, , ′′′′==e e e e i i 12′′e e 123123 m m m n n n 23′′e e 3′e例如：阶的基本算()()()1121311123112233a a a a l a l a l a ′′′′=++=++e e e e e e i i i 四、二阶张量的基本运算二阶张量是两个向量的并积表示为：()B j 123i i j j i j i j ij i j a c a c b i =, , ===e e e e e e ，ac =！i j j i≠e e e e二阶张量的基本运算规则1、二阶张量的基本运算规则()i j i j i ja b c d ±±e e ab cd =()()()c =c =c =c i i i i a b a b b a b a ()()()i i i i ab cd =a b c d =b c ad =ad c b b b d b d d b ()()()()()()==i i i i i i i i c ab d =c a c a a c ()××ab c =a b c 2、二阶张量分量的坐标变换B=b b =′′′′e e e e ij i j i j i j()()()ij i j i i j j i j i j ij b b b ′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ′′，i j i j i i j j ij i j i j b b b ′′′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ，例如：()()()j ()()()()()()11211122112312111213b b b b ′′′′′′′′=++e e e e e e e e e e e e i i i i i i ()()()()()()()()()()()()211221221222231223311321321322331323b b b b b b ′′′′′′′′′′′′++++++e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e i i i i i i i i i i i i 1111121213132l m b l m b l m b l =+++12122222323m b l m b l m b ++313132323333l m b l m b l m b +++T =−）二阶单位张量()()22ij ij ji ij ji T T T T ++5）二阶单位张量：ijδϕgradϕϕϕϕ∂∂∂=++i j kl x y z∂∂∂∂x y z∂∂∂在直角坐标系中的梯度●重要性质：2、向量梯度的定义、性质定义个●定义：一个二阶张量向量的散度的定义物理量的散度可用来判别场是否有源1、向量的散度的定义如：Q=d d i v sd =++V xy z ΔΩ∫∫∫⎜⎟∂∂∂⎝⎠y x z ∂∂∂a a a 则有div x y z++∂∂∂a =◆流体力学中x z y div y x z∂∂∂++P p p p =则应力张量散度x y z∂∂∂3、有源场与无源场∂()xx xy xz p u+p v+p w x =∂()yx yy yz p u+p v+p w y∂+∂∂()zx zy zz p u p v p z+++∂三物理量的旋度三、物理量的旋度⎛⎞⎞a a rot y y x x z z y zz x x y ∂∂⎛∂∂∂∂⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠a a a a a =i +j +k xy z ∂∂∂=∂∂∂a a a xyz◆流体力学中速度旋度为：δ解：rot rot rot rot ωω=+×=×V V R R ()()0δi ωω×=R x z x y z y x x z z y ωωωωωω−−+−−−k ()()()y x x y ⎥⎢⎥∂∂∂⎦⎣⎦2222ωωω=i+j+k =ωx y z j ∴ rot 2δ=V ω§1.3 哈密顿（x ∂ix ∂i=div ∂∂∇=i i i a a e a =e a =rot i i x x ∂∂∇×××=∂∂a a e a =e a i i i i x x ∂∂i i2i j x x x x 2∂∂∂∇=∇∇==∂∂∂∂i i a a a a e e i j i i§1.4 广义高斯（Gauss ）定理与斯托克斯（Stokes ）定理一广义高斯定理、广义高斯定理d dA τ∇=∫i i a n a d dA τ∇=∫n Aτ∫A τϕϕ∫ d dA τ∇×=×∫∫a n a 二、斯托克斯定理A τ标量势向量势和场()A ldA dl ∇×=∫∫i n a a i 三、标量势及向量势、调和场可以证明0∇×∇a =a =∇×i =a =b 式中称为向量的标量势，称为向量的向量势ϕ 0∇∇a ϕa b a流体力学中速度势为单位质量力=●流体力学中，速度势，单位质量力的势定义为ϕϕ∇V −∇f = U f U ●如向量处处是无旋的，即，，同时又是无散的即=0∇×a ϕ∇a =是无散的，即则其势必满足此时向量场称为调和场=0∇i a ϕ=0ϕϕ2∇∇=∇i 此时，向量场称为调和场，为调和函数ϕa。

第39卷第3期曲靖师范学院学报Vol. 39 No. 32020年5月JOURNAL OF QUJING NORMAL UNIVERSITY May. 2020矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用-----正交曲线坐标系下杨阔,李丽（阿坝师范学院 应用物理研究所，四川 汶川 623002）摘 要:在物理学相关专业的教材《数学物理方法》中，正交曲线坐标系下的矢量场散度和旋度的相关应用非常广泛，但是，教材中并未结合定义给出一般性的证明.以矢量场的散度和旋度的定义和物 理图像为基础，结合基本的微积分方法，给出了正交曲线坐标系下的矢量场散度和旋度公式的证明和一些典型应用，为学生理解并应用提供参考.关键词：正交曲线坐标系；散度;旋度场；矢量场中图分类号:0411.1 文献标识码:A 文章编号= 1009 -8879（2020）03 -0024 -050引言1 正交曲线坐标系中的度量正交曲线坐标系下的矢量场的散度和旋度的计算在物理学的多个分支中具有重要的应用，但是在许多《数学物理方法》教材中，仅仅是给出了直角坐标系下的散度公式和旋度公式的推 导过程，并未给出一般正交曲线坐标系下的公式 的证明过程，只是将公式以附录形式给出⑴•有文献采用了矢量微分算子的性质对这两个公式 进行了证明，或者采用坐标变换的观点，用张量 分析的方法进行了证明或推导，但是这些推导所 用的数学手段都超出了学生数学方法的储备,这给学生在学习、理解和应用这两个公式带来了困扰I".本文从矢量场散度和旋度的定义和物理 图像入手，给出一般正交曲线坐标系下散度和旋度公式的详细推导和证明.本文所采用的方法不 需要学生掌握张量分析的相关知识，也不涉及到矢量微分算子的性质•虽然证明过程损失了一些简洁性，但是，这种证明方法所需要的数学基础 较低，只需要基本微积分的知识就可以达到,对于学生理解和使用公式提供了方便.若空间中的点与有序数组5恐心一一对应，则称为空间点的曲线坐标，曲线坐标（91,$2,他）与直角坐标（光,y,z ）互为单值函数.坐标曲面由下列等值曲面定义：91（%,y,z ）二 Cl ,g2（%,y,z ）二 C2,g3（%』,z ）=c 3.将坐标曲面两两相交的交线定义坐标曲线, 如图1所示.图1正交曲线坐标系的坐标线和单位标架矢量rQi 线：g2（%,y,z ）= C2,g3（%,y,z ）= c 3 ”2 线：gi （%,y,z ）= Cl ,q 3Cx,y,z ）= c 3S3 线：gi （%,y,z ）= C] ,g2（%,y,z ）= c 2收稿日期：2020-03 -24基金项目：四川堵教育厅自然科学基金项目“用于无线通信系统的小型化超宽带天线的设计研究” （18ZA0004）. 作者简介:杨 阔，阿坝师范学院应用物理研究所副教授，主要从事电磁场与电磁波研究.・24・杨阔，李丽：矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用若坐标曲线相互正交，则构成正交曲线坐标系.用勺“2心表示对应正交曲线的切线单位矢量，则空间任意矢量场可表示为：F=几勺+F2c2+F3e3其中"二｛：宀用取，山2，施分别表示坐标曲线的弧微分,并使弧长增大方向为坐标增大方向，有⑺:二仏dg(=l,2,3)(1)定义以下系数为拉梅系数(也称度量系数):(2)由此看出，一般情况下，拉梅系数是(0旳2, ^3)的函数，即叽=川2,他)•在正交曲线坐标系中，弧长、面积、体积元素分别为：ds=J(dS])2+(ds2)2+(ds3)2(3) dS12=(bids?=h1h2dq1dq2dS13=ds]ds3=h x h3dq i dq3(4)dS23=d52d53=h2h3dq2dq3dV=dsidszdss=h1h2h3dq1dq2dq32矢量场散度公式的推导及证明域体积大小为d#=h1h2h3dq1dq2dq3，所构成的封闭曲面为S,由六个有向面积元-dS230,图2正交曲线坐标系下矢量场散度计算示意图其中,包含了p点的面积元大小分别为：(IS23=d^2^-^3；=h1h3dq1dq3;dS]2仏仏曲1曲2；(7)在P点坐标发生了变化d qi,dq2,dq3之后,未包含P点的三个面积元大小分别变为:dS；3=心(山+dgi川2,93)篦(山+曲\内2, q3)dq2dq3(8) dS；3=hi(q、,q2+dg?旳3)篦(山，血+dg?, ^3)d^d^3(9) dS；2=h1(q1,q2,q3+dg?)心(gi旳2,他+ dx3)dgi dq2在P点的dU邻域内：—Rs F4S23~-h2h3dq2dq3(10)(11)设矢量场F=几勺+F2e2+F3e3，在空间中任意一点P处的散度定义为⑻：设01=F x h2h3(12)・dsdivF=Hmg5(5)则:£23F id^23-A d^d^3(13)S为包围P点的任意闭合曲面，散度的物理意义为矢量通量的体密度.根据定义,结合图2,可取封闭曲面S为包围dV的边界曲面，有：F4S23=015+dq1,q2,q3^dq2dq3丿S233B/B1dq2dq3++・••①故:一kJ帆+匸皿；3边严％+监加陥-£12耳d%+L耳dS；2(6)如图2所示，在空间中建立一个正交曲线坐标系，取空间中P点附近一个由六个坐标面构成的邻域，当坐标线变化量为dgi、dg2、dg3时，该邻£^dS23+R/idS；3=譽曲曲2曲3(14)同理可得：^dS13+f F2dS；3="Eg叫価2耐(15)・25・第3期曲靖师范学院学报第39卷(山，$2，$3)」j j/1攵、=----------------曲1曲2曲3(16)其中，02(91，$2，$3)=〃2^也3；03(91，$2，$3)=F3h i h2.将式(14)-(16)带入式(6)可得矢量场F通过体积为=h.h.h.dq.dq.dq.的总的通量为：「0伤(山，92，他)*。

向量微分算子∇定义为k z j y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇，它称为哈密顿算子，运用向量微分算子，我们有(1)、设),,(z y x u u =，则u k z u j y u i x u u grad =∂∂+∂∂+∂∂=∇u z u y u x u u u ∆=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=∇⋅∇=∇2222222grad 其中222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆，称为拉普拉斯算子。

(2)、设有向量场 k z y x R j z y x Q i z y x P A ),,(),,(),,(++=，则A z R y Q x P k R j Q i P k z j y i x A div )()(=∂∂+∂∂+∂∂=++⋅∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ A R Q P zy x k j i A rot =∂∂∂∂∂∂=⨯∇在坐标轴上的投影为z Q y R ∂∂-∂∂，x R z P ∂∂-∂∂，y P x Q ∂∂-∂∂ 的向量叫做向量场A 的旋度，记作Arot ，即 R Q P z y x k j i A rot =∂∂∂∂∂∂=⨯∇k y P x Q j x R z P i z Q y R A ⋅∂∂-∂∂+⋅∂∂-∂∂+⋅∂∂-∂∂=)()()(rot k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ⋅+⋅+⋅=),,(),,(),,(),,(v 在点M 的散度，记作v div ，即z R y Q x P v ∂∂+∂∂+∂∂=div现在，高斯公式和斯托克斯公式可分别写成⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=⋅∇dS A dv A n ⎰⎰⎰∑Γ=⨯∇dsA dS A t n )(高斯公式设有空间区域V 由分片光滑的双侧闭曲面S 围成．若函数R Q P ,,在V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=()()()y dxd z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P S ⎰⎰++,,,,,,， 其中S 取外侧．称为高斯公式.斯托克斯公式双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向的规定：右手法则．设光滑曲面S 的边界L 是按块光滑的连续曲线．若函数R Q P ,,在S （连同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰=⎰++L Rdz Qdy Pdx （2） 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．。

应用张量分析推导柱坐标系和球坐标系中弹性力学几何方程和
平衡微分方程
周正峰
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2022(41)11
【摘要】利用正交曲线坐标系与笛卡儿坐标系单位矢量的关系,以及笛卡儿坐标系单位矢量为常矢量的特性,从单位矢量变换的角度,推导柱坐标系和球坐标系中的梯度算子,以及单位矢量对坐标的偏导数.并根据张量的场论基础,通过微分运算,推导出位移矢量的梯度和应力张量的散度.再根据几何方程和平衡微分方程的张量表达形式,推导出柱坐标系和球坐标系中的应变几何方程和应力平衡微分方程.
【总页数】5页(P4-8)
【作者】周正峰
【作者单位】西南交通大学土木工程学院;西南交通大学道路工程四川省重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】O302
【相关文献】
1.三维球、柱坐标系下导热微分方程的离散求解
2.极坐标系和球坐标系几何和平衡方程统一推导方法
3.三维球、柱坐标系下导热微分方程的离散求解
4.用Lagrange
方程求自由质点在球坐标系中运动微分方程5.极坐标系中弹性力学平面问题的Hamilton正则方程及状态空间有限元法
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两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式ΞGeneral Expression s Between Un it Vectors of TwoCurv ili near Orthogonal Coord i nate System s易辉跃　唐　斌　晏才宏　周希朗(上海交通大学电子工程系,上海200030)Y I Huiyue ,TANG B i n ,YAN Ca ihong ,ZHOU X ilang(D ep a rt m en t of E lectron ic E ng ineering ,S hang ha i J iaotong U n iversity ,S hang ha i 200030)【摘要】　本文采用不同的分析思路,导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系,并推广到更一般的情况—任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。

只要一种正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知,利用这些关系式即可得到正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。

利用文献上已有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系,文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢量间的变换矩阵,进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。

关键词:　正交曲线坐标系,单位矢量,变换矩阵Abstract :　Concise exp ressi on s betw een un it vecto rs of cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system s and tho se of cartesian coo rdinate system w ere derived in term s of differen t analytical ideas.T hese exp ressi on s w ere expanded to mo re general relati on s betw een un it vecto rs of tw o cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system s.W ith the help of these exp ressi on s ,relati on s betw een un it vecto rs of a cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system and tho se of cartesian coo rdinate system o r ano ther cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system can easily be ob tained as long as the single 2value relati on s betw een these tw o coo rdinates are know n .By m ean s of the relati on s betw een cu rvilinear o rthogonal coo rdinates p rovided by o ther au tho rs ,the tran sfo rm ati on m atrixes betw een un it vecto rs of cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system s and tho se of cartesian coo rdinate system o r ano ther cu rvilinear o rthogonal coo rdinate system w ere given .Key ter m s :　Cu rvilinear o rthogonal coo rdinate ,U n it vecto r ,T ran sfo rm ati on m atrix一、引 言众所周知,根据求解实际电磁场边值问题的需要,人们已引出了十多种正交曲线坐标系,给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系、圆柱坐标系等坐标间的关系,并提供了各种坐标系的度量因子(拉梅系数)〔1〕,为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便。

正交曲线坐标系基向量的二阶偏导数陈功;朱文辉【期刊名称】《盐城工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(027)001【摘要】研究了正交曲线坐标系基向量的二阶偏导数,运用基变换的单位正交性给出了当坐标函数三阶偏导数连续时拉梅系数满足的两个偏微分方程,由此证明了基向量的二阶混合偏导数与求导顺序无关,推导了基向量的二阶偏导数公式.【总页数】4页(P22-25)【作者】陈功;朱文辉【作者单位】复旦大学力学与工程科学系,上海200443;南通职业大学基础课部,江苏南通226007【正文语种】中文【中图分类】O182.2【相关文献】1.正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数 [J], 孙树生;成泰民2.正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数 [J], 孙树生;成泰民3.正交曲线坐标系中单位基矢的导数 [J], 成泰民;孙树生4.求一般正交曲线坐标系中单位基矢之时空导数的一种简便方法 [J], 安秉权5.曲线正交坐标系下_∇<sup style="margin-left:-9px;">→</sup>_<i>A</i><sup style="margin-left:-8px;">→</sup>与∇² _<i>A</i><supstyle="margin-left:-8px;">→</sup>的一种推导 [J], 陈葛锐;贺梦冬;陈小艳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

求一般正交曲线坐标系中单位基矢之时空导数的一种简便方法
求一般正交曲线坐标系中单位基矢之时空导数的一种简便
方法
安秉权
【期刊名称】《固原师专学报》
【年(卷),期】1998(019)003
【摘要】利用不同坐标系的基矢间线性变换，给出了一般正交坐标系中单位基矢坟导的一种简便方法。

【总页数】3页(32-34)
【关键词】线性变换;正交曲线坐标系;单位基矢;导数
【作者】安秉权
【作者单位】固原师专物理系
【正文语种】英文
【中图分类】O411
【相关文献】
1.正交曲线坐标系中单位基矢的导数 [J], 成泰民; 孙树生
2.正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数 [J], 孙树生; 成泰民
3.正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数 [J], 孙树生; 成泰民
4.正交曲线坐标系中单位矢量的时间导数 [J], Koo,WK; 张学龙
5.曲线正交坐标系下单位矢量的空间导数及场量的( )算符运算[J], 白少民
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一般数学分析或高等数学课本中只给出了正交直角坐标系下曲面面积的积分算法，但是有些时候我们知道的是曲面在球坐标系柱坐标系等广义正交坐标系下的方程，这时需要先把曲面方程转化为正交直角坐标系下的方程然后代入计算，这样不仅多出步骤，而且有些时候面积的积分在球坐标系或柱坐标系下进行会更加简单，为此我们来求一下在广义正交坐标系下曲面面积的微分是怎样的。

()()()()11233312121212u 1111曲面的参数方程通常用向量函数表示为(,)：r r (,) (,)， r (,)(,)(,)假设曲面在广义正交坐标系u ，u ，u 下的方程为u =u u ，u 则曲面可表示为：r r u ，u u ，u ，在曲面任一点P ：r r (u ,u )处，令u 改变du ，相应地r 改变dr r du ，p 点移动到p 点x y z μνμνμνμνμνμν⎡⎤⎢⎥∑=∈∆=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑=∈∆==212121u 222212u u u u 12121212331131u ；令u 改变du ，相应地r 改变dr r du ，p 点移动到p 点；曲面的微分即为向量pp ，pp 所张平行四边形，其面积为ds=pp pp =r du r du =r r du du 在p 点分别以u 坐标轴，u 坐标轴，u 坐标轴的切线方向为正方向建立局部正交直角坐标系，在建立的新的坐标系中u h du ，0，h d u r ==⨯⨯⨯∂∂2121313113223223u 232233u u 23131212u u h ，0，h du u u 0，h du ，h du u u r =0，h ，h du u u u r r =-h h ，-h h ，h h u u ⎛⎫ ⎪⎛⎫∂⎝⎭= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂ ⎪∂⎛⎫∂⎝⎭= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂∂⨯ ⎪∂∂⎝⎭()11212123123=h h 则h du du 其中的h ，h ，h 为广义正交坐标系的标度因子此式即为广义正交坐标系下曲面面积的微分方程。