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讲1曲线坐标系

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人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正交曲线坐标

流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正交曲线坐标

全书分上下两册，三篇，十五章。上册包括第一篇“流体力 学基础”和第二篇“流体动力学基本原理及流体工程”，具体内 容为：绪论、场论与正交曲线坐标、流体静力学、流体运动学、 流体动力学微分形式基本方程、流体动力学积分形式基本方程、 伯努利方程式及其应用、量纲分析和相似原理、流动阻力与管道 计算、边界层理论、流体绕过物体的流动和气体动力学基础。下 册包括第三篇“计算流体动力学”，具体内容为：计算流体动力 学的数学物理基础、流体动力学问题的有限差分解法和流体动力
第一节 第二节 第三节 第四节
连续性方程 动量方程 动量矩方程 能量方程
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
伯努利方程式及其限定条件 实际流体的伯努利方程式 实际流体的总流伯努利方程式 相对运动的伯努利方程式
伯努利方程式的应用
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第八章 量纲分析和相似原理
流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正
交曲线坐标
前言
本书是为高等工科院校非力学专业硕士研究生流体力学课程 教学编写的。考虑到教学时数有限，所以有些内容并未深入展开。 本书重点放在流体力学的基本概念、基本理论和解决流体力学问 题的基本方法上，目的在于为研究生开展课题研究和将来从事工 作提供必需的较为坚实的流体力学基础知识，同时也兼顾到工程 技术人员和科技工作者的需要。
第1页
退出 返回
第一章 绪 论
第一节 流体力学的研究对象和发展历史
自Newton(1642-1727)提出了三大运动定律和线性流体的粘性定律以后， 流体力学得到了较大的发展。十八世纪的一大批数学家如Bernoulli、 Euler、 Lagrange、 Laplace等在理想流体的假定下取得了许多无摩擦流 动问题的研究成果，如Euler的运动微分方程和其积分形式——Bernoulli 方程。但理想流体的假定有较大的局限性，工程实际中的大多数流动无 不受流体粘性的影响。当时的工程师们开始抵制这种他们认为不切实际 的理想流体流动理论，在几乎完全依赖实验的基础上发展了一门新的科 学——水力学。这样的实验科学家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy 等。他们通过实验得到了诸如明渠流动、船舶阻力、管道流动、波动等 问题的有用数据。

第1讲坐标系种类及坐标转换

第1讲坐标系种类及坐标转换

第1讲坐标系种类及坐标转换在数学和物理学中，坐标系是用于表示和定位点的一组数学规则。

它可以帮助我们在平面或空间中精确地描述和测量位置、方向和距离。

坐标系通常由坐标轴和原点组成，坐标轴是一条直线，它们与原点形成直角。

有多种类型的坐标系，每一种都有特定的用途和应用。

以下是常见的几种坐标系：1.直角坐标系：直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系。

它由两条垂直的坐标轴和一个原点组成。

坐标轴可以是水平的x轴和垂直的y轴，或者在三维空间中可以加上一个垂直的z轴。

直角坐标系使用(x,y,z)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。

2.极坐标系：极坐标系用于描述平面上的点，它由一个原点和一个角度和距离组成。

极坐标系以原点为中心，用一个角度（通常用弧度表示）表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，用一个距离表示点与原点之间的距离。

极坐标系使用(r,θ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线之间的角度。

3.柱坐标系：柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个角度、一个距离和一个高度组成。

柱坐标系类似于极坐标系，但增加了一个垂直的z轴来表示高度。

柱坐标系使用(r,θ,z)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的水平距离，θ表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，z表示点的高度。

4.球坐标系：球坐标系也是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个纬度、一个经度和一个距离组成。

球坐标系使用(r,θ,φ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线（通常是z轴）之间的纬度，φ表示点在参考平面上的经度。

在不同的坐标系之间进行转换时，我们需要使用特定的转换公式。

以直角坐标系和极坐标系为例，我们可以使用以下公式进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些公式使我们能够在不同坐标系之间相互转换，并确保保持位置的准确性。

工程力学-弧坐标系中研究点的运动

工程力学-弧坐标系中研究点的运动
v vt s 2RAcost
y
O
v
an
O1
a
M at
M0
B x
at v s 2R2 Asin t
an
v2
4R2 2 A2
R
cos2 t
4R 2 A2
cos2 t
v 2RAcostet
a at an
12
例1.4 半径r的车轮在直线轨道上纯滚动(滚而不滑)， 已知轮心A的速度为常矢量 u ，求轮缘上一点M
的轨迹、速度、加速度、轨迹曲率半径。
y
Au
根据纯滚动的条件： 轮心A的坐标：
M
xA=OC= MC=ut
O
C
x 轮子转过的角度：
= MC/r = ut / r= xA/ r 即 xA r
选择 为广义坐标（也可选xA）。
点M运
xM
OC r sin
ut r sin ut r
动方程
yM
AC r cos
vB ——B点的速度
38
rB
O
B
vBA
B
rrABvAvABAvABvA以B BvvB为vvABA基A关以(点3A于)两为((21v基)点)指Bv点ABv速A向(BBA的的度与相方大关对向的小系于：转：式A垂向的vvB直一BA速=于致度vAA。)A B应B连v注B线A意，中：
vBA表示以A为基点时B点相对于
(1.15)
et
eb
en
en
lim
S0 S
d dS
(1.17)
可视为副法线 eb 绕切线 et 的转角
5
已知对单位矢量 a ：
da d a
对自然轴系的活动标架，有：

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系

【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础

曲线的极坐标方程乐乐课堂

曲线的极坐标方程乐乐课堂

曲线的极坐标方程在数学中，我们常常通过极坐标方程来描述平面上的曲线。

极坐标方程给出了曲线上每个点的极径和极角，通过这两个参数，我们可以唯一确定曲线上的每个点。

极坐标系极坐标系是一种用于描述平面上的点的坐标系统。

与直角坐标系不同的是，极坐标系使用极径（r）和极角（θ）来表示点的位置。

极径是指点到坐标原点（极点）的距离，可以是正数或零。

极角是指点与极坐标的极轴（通常是x轴）之间的夹角，可以是0到360度之间的任意实数。

极坐标方程极坐标方程是指通过极径和极角来描述一个曲线上的点的方程。

一般来说，极坐标方程可以写成以下形式：r = f(θ)其中r是极径，f是一个描述极径和极角关系的函数。

不同的曲线对应不同的极坐标方程。

下面介绍一些常见的曲线及其极坐标方程。

极坐标方程示例：圆圆是最简单的曲线之一。

它在极坐标系中的方程为：r = a其中a是圆的半径。

不论极角θ取任何值，r都等于a，表示圆上的每个点都与极点的距离相等。

极坐标方程示例：直线直线也可以用极坐标方程来表示。

假设直线与极轴的夹角为α，离极点的距离为d，则直线在极坐标系中的方程为：r = d / cos(θ - α)这个方程描述了直线上每个点的极径与极角之间的关系。

极坐标方程示例：螺线螺线是一种极坐标方程非常复杂的曲线。

它的方程可以写成：r = a + bθ其中a和b是常数，可以控制螺线的形状。

螺线是一种既有径向增长，又有角度变化的曲线。

极坐标方程示例：心形线心形线是一种非常美丽的曲线。

它有多种极坐标方程的表示形式，其中一种常见的方程是：r = a(1 - cos(θ))这个方程描述了心形线上每个点的极径与极角之间的关系。

通过改变参数a的值，可以调整心形线的大小。

总结极坐标方程是一种用于描述平面上曲线的方程。

通过极径和极角，可以准确地表示曲线上每个点的位置。

不同的曲线对应不同的极坐标方程。

在解决一些特定的几何问题时，极坐标方程有时比直角坐标方程更加方便和简洁。

高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第4课时圆的极坐标

3π 即ρ＝2rcos 2 －θ，
故ρ＝－2rsin θ.
3π 经验证，点O(0,0)，A2r， 2 的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsin θ.
[规律方法]
求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况
一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程
圆x2＋y2＝r2还有他的表示形式吗？
1．曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表 示．曲线与方程满足如下关系： 点的坐标 都是方程f(x，y)＝0的解； (1)曲线C上__________ 坐标的点 都在曲线C上． (2)以方程f(x，y)＝0的解为__________
曲线 圆心在极点，半径 为r的圆 圆心为C(r,0)，半径 为r的圆
π 圆心为Cr，2，半
圆形
极坐标方程
ρ＝r __________
(0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ
π π － ≤θ< 2 2
ρ ＝2rsinθ __________
(0≤θ<π)
径为r的圆
1．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是( 2 2 y x A．x2＋ 2 ＝1 B． 2 ＋y2＝1 C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1
2．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极 f(ρ，θ)＝0 坐标中至少有一个满足方程 __________________ ，并且坐标 f(ρ，θ)＝0 适 合 方 程 ________________ 的点都在曲线C上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 __________________ 叫做曲线C的极坐标方程．
f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．

高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角


题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.

常见曲线的极坐标方程1

常见曲线的极坐标方程（1）学习目标：1、能在极坐标系中给出简单图形（过极点的直线）的方程；2、通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义；3、理解极坐标系中直线的方程。

活动过程：活动一：知识回顾1、曲线的极坐标方程的意义。

2、（1）直线1=+y x 的极坐标方程是 ；（2）曲线1cos =θρ的直角坐标方程是 。

活动二：直线的极坐标方程探究：若直线l 经过),(00θρM ，且直线l 的倾斜角为α，求直线l 的极坐标方程。

（这里，直线l 的倾斜角是指极轴与直线l 向上的方向所成的角。

）小结：一些特殊位置的直线的极坐标方程：（1）当直线l 过极点时，直线l 的极坐标方程是： ；（2）当直线l 过点)0,(a M 且垂直于极轴时，直线l 的极坐标方程是： ；（3）当直线l 过点),(2πb M 且平行于极轴时，直线l 的极坐标方程是： 。

活动三：直线的极坐标方程的求解例1：按下列条件写出直线的极坐标方程：（1）经过极点和点),6(5πA 的直线；（2）经过点),5(πB ，且垂直于极轴的直线； （3）经过点),8(6πC ，且平行于极轴的直线；（4）经过点)0,32(D ，且倾斜角为32π的直线。

例2：分析极坐标方程6cos =θρ，6sin =θρ的特点，说明他们分别表示什么曲线？例3：求曲线01cos =+θρ关于直线4πθ=对称的曲线方程。

活动四：课堂小结与自主检测1、按下列条件写出直线的极坐标方程：（1）经过极点，且倾斜角是6π的直线；（2）经过点),2(4πA ，且垂直于极轴的直线；（3）经过点),3(3π-B ，且平行于极轴的直线；（4）经过点)0,4(C ，且倾斜角为43π的直线。

2、直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ．。

第五章_曲线坐标系(原创)

第五章曲线坐标系矢量分析与场论第一节曲线坐标的概念第二节拉梅（Lame）系数第三节坐标变换第四节正交曲线坐标系中的三度矢量分析与场论xyzo M1q 2q 3q 第一节曲线坐标的概念如果空间里的点，其位置不是用直角坐标（x , y ,z ）来表示，而是用另外三个有序数（q 1，q 2，q 3）来表示。

就是说，每三个有序数（q 1, q 2, q 3）就确定一个空间点；反之，空间里的每一点都对应着三个这样的有序数（q 1, q 2, q 3），则称（q 1, q 2, q 3），为空间点的曲线坐标。

矢量分析与场论xyz oM1q 2q 3q 显然，每个曲线坐标（q 1, q 2, q 3）都是空间点的单值函数，由于空间点又可用直角坐标（x , y ,z ）来确定，所以每个曲线坐标（q 1, q 2, q 3）也都是直角坐标（x , y ,z ）的单值函数：112233(,,)(,,)(,,)q q x y z q q x y z q q x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩第一节曲线坐标的概念反过来，每个直角坐标与都是曲线坐标的单值函数：123123123(,,)(,,)(,,)x x q q q y y q q q z z q q q =⎧⎪=⎨⎪=⎩矢量分析与场论第一节曲线坐标的概念容易看出，下面的三个方程112233(,,)(,,) (,,)q x y z c q x y z c q x y z c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（c 1，c 2，c 3为常数）分别表示三个函数的等值曲面；给c 1，c 2，c 3以不同的数值，就得到三族等值曲面，这三族等值曲面，称为坐标曲面。

由于函数是单值函数，所以在空间的各点，每族等值曲面都只有一个曲面经过。

2q 曲线3q 曲线1q 曲线xyzo 11q c =M 22q c =33q c =1e G 2e G 3e G矢量分析与场论此外，在坐标曲面之间，两两相交而成的曲线，称为坐标曲线。

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Cx Cy Cz =A x B x A y By A z B z
= B⋅(C×A =C⋅(A×B) )
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
• 圆柱坐标系 • 球坐标系
dr =eρdρ +eφ ρdφ +ezdz
dSρ = ρdφdz
dr = erdr +e rdθ +eφrsinθdφ θ
dSr = r sinθdθdφ
1637年，笛卡尔(法国，1596~1650)发表了《几何学》， 年 笛卡尔 法国 法国， 发表了《 发表了 几何学》 创立了直角坐标系,为后来牛顿 莱布尼兹发现微积分， 为后来牛顿、 创立了直角坐标系 为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为 一大批数学家的新发现开辟了道路。 一大批数学家的新发现开辟了道路。
S
S +S2 +S3 1
f(ρ,ϕ, z S )d
x
S a 1
y
= ∫∫ f(ρ,ϕ, z S +∫∫ f(ρ,ϕ, z S +∫∫ f(ρ,ϕ, z S )d )d )d
S1 S2
=∫
af(ρ,ϕ,0)ρdϕ ρ +∫ d
2π
S3
0
∫
h
0
f a,ϕ, z dϕ ( )adz
dz
eρ
dϕ dρ e ϕ
x
y
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
dρ
dφ
• 圆柱坐标系的微分 • （拉梅系数、线元、面元、体 拉梅系数、线元、面元、 积元） 积元）
dz
拉梅系数
dρ hρ = =1 dρ
面元
dSρ = dlφdlz = ρdφdz
ρdϕ h = = ρ dSφ = dlρdlz = dρ z d ϕ dϕ dz dSz =dlρdlφ = ρdρdφ hz = =1 dz
场矢量用坐标分量表示 场矢量用坐标分量表示
A r) =ex A (r) +ey A (r) +ez A (r) ( x y z A r) =eρ A (r) +e A (r) +ez A (r) ( ρ ϕ ϕ z A r) =er A (r) +e A (r) +e A (r) ( r θ θ ϕ ϕ
∂eρ ∂ϕ =−ex sinϕ +ey cosϕ = e ϕ
z zρ
ez P
e ϕ
eρ
o φ y
∂e ϕ
∂ϕ
= −ex cosϕ−ey sinϕ = −eρ
= ∂eρ ∂z
∂e ϕ ∂z
x
∂eρ
∂ρ
=0
=0
∂e ϕ
e右 ϕ 手 π ϕ+ 螺 2 旋 ϕ
x
y
eρ
∂ρ
=
位置矢量
r =eρρ +ez z
A⋅ B= A B + A B + A Bz ρ ρ ϕ φ z
eρ e ϕ ez A×B = A A A ρ ϕ z B B Bz ρ ϕ
A
B
A=eρ A +e A +ez A ρ φ φ z
z
A z
A r) (
r =eρrρ +eϕr +ezrz =eρρ +ez z ϕ
r
o
A e ϕ ϕ A ρ
r = ex x +ey y
x = acosϕ
y
dr
y = asinϕ
a
ϕ
r
x
dr = exdx +eydy =−exasinϕdϕ +eyacosϕdϕ
=[exacos(ϕ + ) +eyasin(ϕ + )]dϕ 2 2
π
π
dr
的方向指向有向曲线的切线方向
线元矢量
dr =exdx+eydy +ezdz
坐标单位矢量
z zρ
eρ ,e ,ez φ
eρ ⋅e = e ⋅ez =eρ ⋅ez =0 φ φ eρ ×e =ez φ e ×ez =eρ φ ez ×eρ =e φ
坐标曲线 ρ曲线： φ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与z 曲线 曲面与 φ曲线： ρ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与z曲面的交线 曲线 曲面与 z曲线： ρ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与 曲面与φ曲面的交线 曲线 x
A
矢量A与 B的叉积
ex
ey
ez A z B z
A×B = A A x y B By x
=ex (A Bz − A By ) +ey (A Bx − A Bz ) +ez (A By − A Bx ) y z z x x y
ex ×ex = 0
ey ×ex =−ez
ex ×ey = ez
ey ×ey = 0
A
A eA = 矢量的单位矢量： 矢量的单位矢量： A
矢量的几何表示
常矢量：大小和方向均不变的矢量。 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 变矢量：大小或方向会改变的矢量。 变矢量：大小或方向会改变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。
位置矢量： 位置矢量：
r = exx +ey y +ez z
ez ×ey =−ex
ex ×ez = ey
ey ×ez = ex
ez ×ex = ey
ez ×ez = 0
（5）矢量的混合运算
(A+B)⋅C = A⋅C+B⋅C
(1.1.7)
—— 分配律 —— 分配律
(A+B)×C = A×C+B×C
(1.1.11)
A⋅(B×C) = B⋅(C× A =C⋅(A×B) (1.1.12) 标量三重积 ) ——
A×(B×C) =(A⋅C)B−(A⋅ B)C (1.1.13) 矢量三重积 ——
A⋅(B×C) = B⋅(C×A =C⋅(A×B) )
ex ey ez
A x A y
(1.1.12)
A z
A⋅(B×C) = A⋅ Bx By Bz = Bx By Bz
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
B By B x z = Cx Cy Cz A A A x y z
eϕ = ex cos(ϕ+ ) +ey sin(ϕ +π ) 2
2
π
y
ϕ
x
ey =eρ sin ϕ +e cosϕ ϕ
• 圆柱坐标系的微分 • （拉梅系数、线元、面元、体积元） 拉梅系数、线元、面元、体积元） eρ =ex cosϕ +ey sin ϕ
eϕ = −ex sin ϕ+ey cosϕ
• 1.2.3 圆柱坐标系
z
坐标变量
ρ,φ, z
zρ
坐标单位矢量
·P(ρ,φ,z)
eρ ,e ,ez φ
坐标曲面
x
o φ y
ρ曲面：ρ =Const圆柱面 曲面： 曲面 圆柱面 φ曲面：φ =Const半平面 曲面： 曲面 半平面 z曲面： z =Const平面 曲面： 曲面 平面
• 1.2.3 圆柱坐标系
A±B=ex (A ±B ) +ey (A ±By ) +ez (A ±B ) x x y z z
（3）矢量的标积（点积） ）矢量的标积（点积）
A⋅ B = A cosθ B
A⋅ B= B⋅ A
A⊥ B
Bθ
A
A// B
A⋅ B =0
A⋅ B = A B
矢量 A B的夹角 与
ex ⋅ey =ey ⋅ez =ez ⋅ex =0
体积元
dV = ρdρdφ z d
高度为h的圆 例1：求半径为 高度为 的圆 ：求半径为a高度为 柱侧面的面积。 柱侧面的面积。
dz S = ∫ dS = ∫ ∫ adϕ 0 0
h 2π
S3
z
=2 ah π
S2
o
高度为h的圆 例2：对半径为 高度为 的圆 ：对半径为a高度为 柱表面积分
∫∫f(ρ,ϕ,z)dS = ∫∫
∂ϕ
=e ϕ
∂eρ ∂z =0
=eϕdρρ +eρdρ +ezdz
∂ρ
=
线元矢量
z
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
r(t) (ρ,ϕ, z) r(t +dt) (ρ +dρ,ϕ +dϕ, z +dz)
dz
r(t)
r(t +dt)
d dϕ ρ ϕdρ
ρ
y
eρ
x
ρ +dρ
线元矢量
z
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
坐标曲面： 坐标曲面： x=C1 y=C2 z=C3
z
dsy dz dsx dz
dsz dsx
d r
dx dy dy dsy
r
o
dsz
y
面元
dSx =dydz
dx
dSy = dxdz
x
dSz =dxdy
体积元 d = d d d V x y z
直角坐标系的长度元、面积元、 直角坐标系的长度元、面积元、体积元
=(ex cosϕ +ey sinϕ)ρ +ez z
=exx+ey y +ez z
线元矢量
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
dr = d(eρρ) +d(ez z)
deρ =
∂eρ