南京师范大学模拟试卷一

2023年高考语文模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．1、阅读下面的文字，完成下面小题。

一个人聪明、拥有知识的程度，关涉到他能够做出正确的选择，趋利避害。

正如一般人会认为，那些出类拔萃的聪明人很少会犯低级错误，荀子也认为“知明而行无过矣”。

然而古圣先贤的话一定是吗？现实情况是，聪明人做傻事这种现象很普遍，以致有了一个成语叫“聪明反被聪明误”。

聪明人做傻事的原因之一是懒。

聪明人老早就能感觉到困难，又不愿意吃苦，用功被视为愚笨的标志，用心理学术语来说，叫低估了的作用。

另一方面，聪明人更有可能相信假新闻和阴谋论。

（），为自己的直觉辩护时花样更多。

有时候专业知识也会让一个人变得更，以为自己有权利故步自封，跟自己相悖的观点。

聪明人做傻事也可能是因为他们周围的文化，比如在职场上，认真思考很费劲，提出难题也会让人变得不受欢迎，聪明人很快就明白了这一点，所以他们干脆随波逐流。

1．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A．一个人聪明、拥确知识的程度，关涉他能够做出正确的选择，趋利避害。

B．—个人聪明、拥有知识的程度，关涉他能否做出正确的选择，趋利避害。

C．一个人聪明、拥有知识的程度的高低，关涉到他能否做出正确的选择，趋利避害。

D．一个人聪叫、拥有知识，关涉到他能够做出正确的选择，趋利避害。

2．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A．清规戒律坚毅独断专行排除B．金科玉律坚毅刚愎自用排斥C．清规戒律坚强刚愎自用排除D．金科玉律坚强独断专行排斥3．下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是（）A．错误的信念如何辩解得更合乎逻辑，取决于他们强大的思维能力B．他们思维能力更强大，导致他们更合乎逻辑地为自己的错误信念辩解C．因为他们把自己的错误信念辩解得更合乎逻辑，说明他们的思维能力更强大D．因为他们思维能力更强大，所以在为自己的错误信念辩解时更合乎逻辑2、阅读下面的文字，完成下面各题。

2017届南京师范大学附中高三考前模拟考试数学第Ⅰ卷(共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分。

不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸指定的位置上。

1。

已知集合，则______________【答案】【解析】,所以2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模______________【答案】【解析】因为，所以3. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图,根据图形推断，该时段的时速超过的车辆数为______________辆。

【答案】【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得时速超过的汽车的频率为；所以时速超过的汽车辆数为．所以答案应填：77．考点:频率分布直方图．4。

如图所示的流程图中，输出的为______________【答案】【解析】由题意输出点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查。

先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项。

5。

函数的定义域是______________【答案】【解析】由题意得,即定义域是6. 袋中有形状、大小相同的只球，其中只白球，只红球，只黄球，从中一次随机摸出只球，则这只球颜色不同的概率为______________【答案】【解析】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；。

.所以所求的概率是．考点:古典概型概率7. 已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是______________【答案】【解析】四棱锥的侧面积是8。

设变量满足约束条件，若目标函数的最小值为,则___________【答案】【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,因为目标函数的最小值为，所以，因此，解得点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得。

江苏省南师附中2020届高三年级第一次模拟考试数学Ⅰ2020.03.19参考公式：1．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑；2．圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{}0,e x A ，{}1,0,1B =-，若A BB ⋃=，则x =________． 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是________． 3．24log 4log 2+=________．4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=________．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0x ϕ≤≤，若()f x 是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为________．7．已知()3log f x x =，若a ，b 满足()()121f a f b -=-，且2a b ≠，则a b +的最小值为________． 8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为________．9．若抛物线24x y =的点到双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为________．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m βP ，则αβP ； ②若m α⊥，m βP ，则αβ⊥； ③若m αP ，m n P ，则n αP ；④若m α⊥，αβP ，则m β⊥．其中的正确命题序号是________．1l ．设0x >，0y >，向量()1,4a x =-r ，(),b x y =-r ，若a b r rP ，则x y +的最小值为________．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已如CP =4CA =，则CP CA ⋅=________． 13．已知正数a ，b ，c 满足()220b a c b ac ++-=，则ba c+的最大值为________． 14．若()21001m x m mx -<≠+对一切4x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是________． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算．15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =2，BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥．(1）求证：EF P 平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =．（1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长． 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/2m 和80元/2m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域； （2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22163x y +=，若圆O ：()2220x y R R +=>的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r．（1）求O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程．19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a R =+++∈． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范田（e 是自然对数的底数，271828e ≈L ．） 20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，()*n n n k c a a n +=+∈N ．若对任意的正整数n 满足：1n n b b +≤，且{}n c 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列．（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且11a =，11b =-，25c =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．数学Ⅱ（附加题）2l ．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答理区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3545x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长． C ．[选修4-5：不等式选讲]已知1x ，2x ，()30,x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若()DC AB R λ=∈u u u r u u u r，且向量PC uuu r 与BD u u u r夹角的余弦值为15．（1）求λ的值：（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 23．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，*n N ∈．记()021k n n knT k a=-=+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 2．-1 3．52 4．56 5．1 6．-1 7．32+ 8．499．3 10．②④ 11．9 12．6 13．22 14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 15．证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， ∵F ，G 分别是PC ，PD 的中点FG CD ∴P ，且12FG CD =又∵E 为AB 中点AE CD ∴P ，且12AE CD =AE FG ∴P ．AE FG =四边形AEFG 为平行四边形EF AG ∴P ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD EF ∴P 平面PAD（2）设AC DE H =I ，由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点，得12AH AE CH CD ==又AB =1BC =AC ∴=，133AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∆∴∆: 90AHE ABC ∠∴∠==︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE16．解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =．得sin C =tan 3C =-所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦．0A π<<Q ，所以4A π= （2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理sin sin AB BCC A=得，a AB ⨯==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin B =所以ABC ∆的面积为21133sin 221010S AB BC B a a =⋅=⨯==，所以1a =，即1BC =． 17．（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， 48422801203204802y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+⨯⨯+⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()43204800y x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）43204802080y x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，解得14x ≤≤； []1,4x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记()4f x x x=+，设1202x x <<≤，则120x x -<，1240x x -<， ()()()()1212121212124440x x x x f x f x x x x x x x --∴-=+--=>，即()()12f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增， 所以函数4320480y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(]0,2上递减，在[)2,+∞上递增， ∴2x =时，min 4320248017602y ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭． ()2x m ∴=，总造价最小为1760元．18（1）设的切为y kx b =+，点()11,A x y ，()22,B x y ．由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得122412kbx x k +=-+，2122212b b x x k -=+．因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=．又因为点()11,A x y ，()22,B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx xkb x x b++++=．所以()()2222222126401212k b k b b k k+---+=++，化简得2222b k =+， 所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=．此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r．（2）设点()00,Q x y，点(M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛+⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或者00,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点,2Q ⎛- ⎝⎭或2Q ⎛ ⎝⎭ 故直线MN的方程为y x =y x =+19．（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()()()()()()2122ln 221ln 2221ln 1f x ax x ax x ax ax x ax ax x x'=+++⋅+=+++=++，则()()1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,+∞，()()2ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）函数()()222ln ln 12af x ax x x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线． 由（1）知()()()21ln 1f x ax x '=++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()0f x '>，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；2）当0a <时，令()0f x '=，得1x e =或1a -，其中11e<， ①若111-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()0f x '<，刚以函数()f x 在区间()1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102af e ae e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-， 其中()()2222213421330e e e e e +-----=>，即()222113e e+->-，所以a 的取值范是21a ≤≤-； ②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任()1,x e ∈，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对于任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102a f e ae e e =+++<，解得229213e a e+<-， 其中()222221134221333e e e e e e e e e +----⎛⎫⎛⎫---==<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a 的取值范围是()22211e a e +-<<-．综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-．20．（1）当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，11a S a ==符合上式，则()211n a n n =-≥，2n b k ∴=-，422n c n k =--，则1n n b b +≤，14n n c c +-=对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}n a ∴为()H k 数列．（2）1a =Q ，11b =-，22a =，由数列{}n a 为()1H 数列，则{}n c 是等差数列，且13c =，25c = 21n c n ∴=+ 即121n n a a n ++=+，()11n n a n a n +∴-+=-，则{}n a n -是常数列，110a -=Q ，n a n ∴=．验证：11n n n b a a +=-=-，1n n b b +∴≤对任意正整数n 都成立 n a n ∴=． 又由121n n a a n ++=+，1223n n a a n +++=+， 两式相减得；22n n a a +-=，()2112121k a a k k -=+-=-，()22212k a a k k =+-=，n a n ∴=（3）由数列{}n a 为()2H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222n n n n n n n n c c a a a a b b d +++++∴-=+-+=--=， 132n n b b d ++∴--=则()()123220n n n n b b b b d d +++-+-=-= 又1n n b b +≤，1n n b b +∴=，∴数列{}n b 为常数列，则21n n n b a a b +=-=22n n n n n c a a a b +∴=+=-由()112n n n n c c a a d ++-=-=，12n n da a +∴-=，{}n a ∴是等差数列 21．A 解：（1）因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =，所以0a = （2）因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--，令()f λ=，解得2λ=，1λ=． B ．解：直线l ：3545x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程为430x y -=圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()2211x y -+=， 则圆C 的圆心到直线1的距离为45d ==，所以65AB ==． C ．解：因为1x ，2x ，()30,x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=， 又()()21223312331121111119x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⋅++≥++=⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用． 22．（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -()1,0,0B ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r，所以(),2,0C λ，从而(),2,2PC λ=-u u u r，则由cos ,PC BD =u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=．（2）易得()2,2,2PC =-u u u r ，()0,2,2PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =r， 则0n PC ⋅=r u u u r ，0n PD ⋅=r u u u r，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量()0,1,1n =r ，又易得()1,0,2PB =-u u u r，故cos ,PB n PB n PB n⋅==⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，所以直线PB 与平面PCD．23．（1）由二项式定理得21C ii n a +=，221035T a a a =++；（2）()()()()12221212121C C 21C C 221C n n n n nn n n n n n T n n n ----=+=++=+，进而可得到结论． 解析：由二项式定理得2C ii n i a +=（i =0，1，2，…，2n +1）． （1）210221055535C 3C +5C =30T a a a =++=+；（2）()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n kn kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-Q()()()12121002121C21C n nnn k n kn n k n n k k k T k a k k -++-++===∴=+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn k n kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n n n nnn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----∴=+=++=+． *21C n n N -∈Qn T ∴能被42n +整除。

江苏省南京市南京师范大学附属中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D 13 2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．83．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了4．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B 33a bC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+5．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-6．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 7．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =（ ） A ．2132AB AC + B ．1124AB AC + C ．1123AB AC + D ．2133AB AC + 8．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）9．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．810．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m的取值范围是（ ）A ．1,2e -⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]11．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．212．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 3．24log 4log 2+=________.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．6．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知CP =u u u v 4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =. （1）求角A 的值； （2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列 ．21．已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 【解析】 【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．-1 【解析】 【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部． 【详解】 由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-． 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．52【解析】 【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4．56【解析】 【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形 6．-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．32【解析】 【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 8．49【解析】分析： 先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．3 【解析】 【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出． 【详解】 抛物线x 2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题. 10．②④ 【解析】 【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案． 【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键． 11．9 【解析】 【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】 ：因为a r∥b r， 所以4x+（1﹣x ）y=0， 又x ＞0，y ＞0， 所以1x +4y=1， 故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9． 当y x=4x y ，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立． （x+y ）min =9． 故答案为9． 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12．6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．√5−22【解析】 【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2，借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2，=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，AB =，1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ． 【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点 得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．（1）4A π= （2）1BC =【解析】 【分析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =.得sin 10C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】 【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式； （2）解不等式2080y ≤可得； （3）由函数单调性可得最小值． 【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元． 【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．（1）222x y +=（2）y x y x ==+【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程． 【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．19．（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立； 对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 20．（1）见解析； （2）n a n =； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式 【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式， 则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ， 两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21．（1）0a =（2）1 【解析】 【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．65AB = 【解析】 【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 23．证明见解析 【解析】 【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=， 所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．（1）2λ=；（2）5. 【解析】【详解】 （1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =， 不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ； （1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+，所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

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南京师范大学
2014年攻读硕士学位研究生入学考试模拟题（1）
科目：汉语基础满分：150分
考试时间：180分钟出题时间：2012年9月
说明：所有答案写在答题纸上，不要做任何标记。

此试题由育明教育提供，仅供育明教育学员参考。

壹、汉语语言文学基础知识（共80分）
一、填空题（每小题一分，共30分）
1.现代汉民族共同语的基础方言是___________。

2．汉语缺乏形态变化，表达语法意义的主要手段是_________。

3．“鲜艳”这个词，用汉语意义的主要手段是___________。

4.从音色角度划分出来的最小的语音单位是___________。

官方网址
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南京师范大学模拟试卷课程误差理论与测量平差基础一、填空题（20分）1. 某平差问题有以下函数模型(Q=I)（11分） 1L ∧=1x ∧2L ∧=1x ∧-2x ∧3L ∧=-1x ∧+3x ∧4L ∧=-3x ∧+A 5L ∧=-2x ∧-B 1x ∧+3x ∧+C=0试问：（1）以上函数模型为何种平差方法的模型？（3分）答：附有限制条件的间接平差。

（2）本题中，n= ，t= ，c= ，u= ，s= 。

（5分） 答：n=5，t=2，c=5，u=3，s=1 （3）将上述方程写成矩阵形式。

（3分）答：5,1L ∧=100110101001010⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3,1x ∧+000A B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()1013,1x ∧+C=02. 衡量精度的指标有方差和中误差、平均误差、或然误差、 、 。

（4分）答：极限误差 相对中误差3. 测定A 、B 两点间高差，共布设了16个测站，各测站观测高差是同精度独立观测值，其方差均值为2σ站=1m 2m ，则AB 两点间高差的中误差为ABh σ= 。

（5分） 答：ABh σ=4mm 。

二、证明题在间接平差中，参数1n X ∧与1n V 改正数是否相关？试证明之。

（10分）证明：X ∧=0x +x ∧BB N x ∧-TB Pl=0x ∧=1BBN -T B Pl又l=L-oLx ∧=1BBN -T B Pl -1BB N -T B P o L V=B x ∧-l=B 1BBN -TB Pl -B 1BB N -TB P oL -L+oL = (B 1BBN -TB P-E)L- B 1BB N -TB P oL +oL 令 LL Q =Qx vQ ∧=1BB N -TB PQ 1(-E)T T BB BN B P -=1BBN -T B ( P 1BB N -TB P -E) =1BBN -TB P 1BB N -TB P-E 1BB N -TB =1BBN -TB -1BB N -TB =0 ∴1n X ∧与1n V 不相关。

【精品】江苏省南京师范大学附属中学高三模拟考试语文试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．下列词语中加点的字，每对读音都相同的一组是（）A．秧歌/怏怏不乐罢黜/相形见绌阿胶/阿谀奉承B．造诣/自怨自艾懈怠/百战不殆饯行/践规踏矩C．驰骋/锃光瓦亮搪塞/敷衍塞责蛮横/横行霸道D．纰缪/未雨绸缪粮饷/不稂不莠俳句/徘徊不前2．下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是（）（3分）A．每晚六时许，城市的马路上来往的车辆不绝如缕．．．．，一些马路志愿者们站在路口，面带微笑地提醒那些准备“中国式过马路”的行人：为了您的安全，请遵守交通规则！B．中国将用十年左右的时间，突破重型运载火箭关键技术，建设中国独立自主的空间站，这一振奋人心的消息让科学家们蠢蠢欲动．．．．。

C．在河南的一场矿难中，三十三名矿工尽管年龄不一，性格各异，但是他们相濡以沫．．．．，共同度过了一个多月的井下生活。

D．李嘉诚这位曾表态财富应该“取诸社会，还诸社会”的富翁，挥金如土．．．．，至今已向社会捐款近13．7亿美元，这位富翁还称他的“李嘉诚基金会”是自己的“第三个儿子”。

二、语言表达3．请补写出下面语段的空缺部分。

要求：符合情境，简明得体。

（4分）著名教授沈志云先生是两院院士，在物理学方面颇有建树。

在一次访问现场，他提到“沈氏理论”是1983年在麻省理工学院召开的第八届国际车辆系统动力学会议上发表的，如今已经过了几十年，还在被引用。

现场响起一片掌声，他却打住喝彩：“你们别鼓掌，这不是个好现象。

一篇文章过了几十年还在被引用，我认为是坏事，说明。

如果，我认为才值得鼓掌。

”此番言语，又引起现场掌声一片。

4．（题文）阅读下面这幅漫画，回答问题。

（5分）（1）简要说明漫画的主要内容。

（2分）（2）这幅漫画想要表达怎样的期望？（3分）三、文言文阅读阅读下面的文言文，完成后面的题。

高考语文四模试卷附答案一、现代文阅读（35分）1．（9分）阅读下面的文字，完成下列各题。

对知行问题的简略回溯何俊知易行难，还是知难行易？知行问题，自古以来都十分重要。

这虽然是个哲学问题，但也切实存在于每个普通人的日常生活之中。

商朝贤臣傅说曾对商王武丁说：“非知之艰，行之惟艰。

”在傅说看来，知道一个东西并不难，行动才难，即知易行难。

这就较早地提出了知行的关系问题。

但实际上，认知也并非十分容易。

爱因斯坦提出相对论时，全球仅有几人能听懂；弗洛伊德早年在柏林大学讲述自己的代表作《梦的解析》时，也只有两人听课。

可见，理解并接受一种新的道理或知识也实非易事。

孔子对知行问题有何看法？孔子的哲学以仁学为标志，关于仁的内涵，孔子有不同层面的回答，其中一个层面就是把仁建立在“知”的基础上。

樊迟问仁，子曰：“爱人。

”问知，子曰：“知人。

”也就是说，一个没有“知”的人是不可能成为仁者的。

孔子曾言：“唯仁者能爱人，能恶人。

”仁者不是简单地爱人，必须知道什么行为值得痛恨。

所以，在孔子有关仁的阐发中，“知”是第一位的，有了“知”才能谈“仁”。

《论语》以“学而时习之”开篇，这其实就包含了知与行两个方面，学就是知，习就是行。

他把“知”的过程分成了学与思两部分，子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。

”若一个人只学不思，就容易迷茫。

可是，若只重视思而不重视学，同样也是很危险的。

虽然“知”是成为仁者的前提，但在知与行的轻重问题上，孔子又突显了行的重要性，认为行重于知，主张敏行。

子曰：“君子欲讷于言而敏于行。

”子曰：“吾有知乎哉？无知也。

有鄙夫问于我，空空如也，我叩其两端而竭焉。

”子曰：“由，诲汝知之乎？知之为知之，不知为不知，是知也。

”由此观之，知是前提，行是终端；若没有行，知仍是空的。

在孔子之后，知行问题在儒家思想中仍占据着重要地位，儒家关于知行的论说也有进一步展开。

例如《中庸》中叙述：“君子尊德性而道问学，致广大而尽精微，极高明而道中庸。