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一级动力学曲线横纵坐标
【原创实用版】
目录
1.动力学曲线的定义和概念
2.一级动力学曲线的特点和横纵坐标的含义
3.一级动力学曲线的应用和实际案例
4.总结
正文
动力学曲线是物理学中描述物体运动状态的一种图像，它通过将物体的位移、速度和加速度等物理量按时间顺序绘制在坐标系中，从而直观地表现出物体的运动规律。
在动力学曲线中，根据物体运动的不同特点，可以分为一级动力学曲线、二级动力学曲线等。
一级动力学曲线，又称为匀加速运动曲线，是指物体在运动过程中，其加速度保持不变的运动轨迹。
在一级动力学曲线中，横坐标通常表示时间，纵坐标表示位移。
横纵坐标的数值变化可以反映出物体在不同时间内的位移变化情况，从而为研究物体的运动状态提供依据。
在一级动力学曲线中，横纵坐标的具体含义如下：
- 横坐标：时间，表示物体运动的持续时间，通常以秒为单位。
- 纵坐标：位移，表示物体在某一时间内所经过的路程，通常以米为单位。
一级动力学曲线在实际生活中的应用非常广泛，例如在运动学、力学、航空航天等领域都有重要的应用。
一个典型的应用案例是自由落体运动，即在没有阻力的情况下，物体在重力作用下做的匀加速直线运动。
在这个过程中，物体的位移与时间的平方成正比，因此其动力学曲线为一条抛物线。
总结来说，一级动力学曲线是一种描述物体匀加速运动的图像，通过横纵坐标可以直观地反映物体在不同时间内的位移变化情况。
第一节 坐标系与参数方程考试要求1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．第一课时 坐标系[知识排查·微点淘金]知识点1 平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．知识点2 极坐标系与点的极坐标在如图所示的极坐标系中，点O 是极点，射线Ox 是极轴，θ为极角(通常取逆时针方向)，ρ为极径(表示极点O 与点M 的距离)，点M 的极坐标是M (ρ，θ)．[微提醒](1)极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．(2)由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．知识点3 直角坐标与极坐标的互化(1)如图，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为(x ，y )、极坐标为(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）Ｗ.(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般取ρ≥0，θ∈[0，2π)．常用结论曲线极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a ，0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.(√) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(√) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(×)2．(链接教材选修4－4 P 15T 4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π2 B ．⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1，0)D ．(1，π)解析：选B 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2.故选B ． 3．(链接教材选修4－4 P 15T 2)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2答案：D4．(链接教材选修4－4 P 15T 3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为 .解析：因为y ＝1－x (0≤x ≤1)，所以ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，所以ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.答案：ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π25．(极坐标与直角坐标的互化致误)若点P 的直角坐标为(3，－3)，则点P 的极坐标为 ．解析：因为点P (3，－3)在第四象限，与原点的距离为23，且OP 与x 轴所成的角为－π6，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，－π6. 答案：⎝⎛⎭⎫23，－π6一、基础探究点——平面直角坐标系中的伸缩变换(题组练透)1．曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为 ．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.答案：x ′24＋y ′2＝12．曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为 ．解析：根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.答案：4x 2＋9y 2＝11.应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标（x ，y ）与变换后的坐标（x ′，y ′）.2.平面上的曲线y ＝f （x ）在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f （x ），得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到,y ′＝h （x ′），即为变换之后的方程.二、应用探究点——求曲线的极坐标方程(思维拓展)[典例剖析][例1] 如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4， M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6或(3，π3)或(3，2π3)或(3，5π6)．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[学会用活]1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0， 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233，∴M (2，0)，N ⎝⎛⎭⎫0，233.∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6，∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．三、综合探究点——极坐标方程的应用(思维拓展)[典例剖析][例2] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32，即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[学会用活]2.如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OP A 的顶角∠OP A 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．解：取O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcosθ＝5，设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，∵点A 在直线ρcos θ＝5上，∴ρ0cos θ0＝5， ①∵△OP A 为等腰三角形，且∠OP A ＝120°，而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝30°，∴ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°. ②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.限时规范训练 基础夯实练1．在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1，比较系数得λ＝13，μ＝12，所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同．M 为曲线C 1上异于极点的动点，点N 在射线OM 上，且|ON |·|OM |＝20，记点N 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C 1，C 2的位置关系．解：(1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得ρ2＝4ρsin θ.故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，由|ON |·|OM |＝20，即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ，所以20ρ＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54，无实数解，因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点，易知曲线C 1是圆，曲线C 2是直线，所以C 1与C 2相离．3．(2021·四川泸州二模)在平面直角坐标系xOy 中，动直线l 1：y ＝1k x (k ∈R ，且k ≠0)与动直线l 2：y ＝－k (x －4)(k ∈R ，且k ≠0)交点P 的轨迹为曲线C 1.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3＝0，求曲线C 1与曲线C 2的交点的极坐标．解：(1)设直线l 1与l 2的交点P (x 0，y 0)，所以y 0＝1kx 0和y 0＝－k (x 0－4)，消去参数k 得C 1的普通方程为x 20－4x 0＋y 20＝0，把x 0＝ρcos θ，y 0＝ρsin θ代入上式得(ρcos θ)2－4ρcos θ＋(ρsin θ)2＝0， 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0且ρ≠4)； (2)将ρ＝4cos θ代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3＝0得 4cos θ⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝0，则θ＝12k π－π6(k ∈Z )， 即曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3＋2k π，⎝⎛⎭⎫23，11π6＋2k π(k ∈Z )． 综合提升练4．(2021·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，且曲线C 1与极轴的交点为M (异于极点)；曲线C 2的圆心为C 2(3，0)，且过极点O .(1)求点M 的直角坐标及曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2与曲线C 1、C 2分别交于点A 、B ，当∠ABM ＝π6时，求tan α.解：(1)因为曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以ρ2＝2ρcos θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y2代入上式得，圆C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，则点M 的直角坐标为(2, 0)，因为圆C 2的圆心为C 2(3，0)，且过极点O .所以圆C 2的半径为3，故圆C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9. (2)依题意设A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，α)，B (ρ2，α)， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝6cos α，则|AB |＝ρ2－ρ1＝6cos α－2cos α＝4cos α，∵OM 为圆C 1的直径，故OA ⊥AM ，∴|AM |＝2sin α，则在Rt △ABM 中，∠ABM ＝π6，|AB |＝3|AM |，则4cos α＝23sin α，故tan α＝233.5．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值． 解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2 θ＋9ρ2sin 2 θ＝9， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2 θ， 由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.创新应用练6．在平面直角坐标系中，将曲线C 1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线C 2的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标．解：(1)由ρ＝4cos θ得曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 经过变换后曲线对应的方程为x 24＋y 2＝1，即为曲线C 2的普通方程，∴曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)．(2)设四边形MNPQ 的周长为l ，点M (2cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 则l ＝8cos α＋4sin α ＝45⎝⎛⎭⎫25cos α＋15sin α ＝45·sin(α＋φ)， 其中cos φ＝15＝55，sin φ＝25＝255.∴当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，l 取得最大值，此时α＝π2－φ＋2k π，k ∈Z ，l max ＝45，∴2cos α＝2sin φ＝455，sin α＝cos φ＝55，即M ⎝⎛⎭⎫455，55.。
课题：常用曲线的极坐标方程（1)教学目的:知识目标：了解掌握极坐标系中直线和圆的方程能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：求直线与圆的极坐标方程教学难点：寻找关于ρ，θ的等式授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入:问题情境情境1：3cos =θρ ， 5=ρ， 2sin =θρ, πθ43=分别表示什么曲线? 情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化,它们的方程分别是什么？二、讲解新课：1、若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的极坐标方程。
变式训练：直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π，求此直线l 的极坐标方程。
把前面所讲特殊直线用此通式来验证。
2、若圆心的坐标为),(00θρM ,圆的半径为r ，求圆的方程。
运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。
3、例题讲解在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中,求过极点O 的弦的中点的轨迹。
变式训练在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(πC ，半径3=r ， (1）求圆C 的极坐标方程。
（2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上,且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程.三、巩固与练习四、小 结:本节课学习了以下内容：1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ，θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y ；2．求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。
五、课后作业:见教材P10习题1.2六、课后反思：。
教材习题点拨思考：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题?答：建立直角坐标系的原则是使直线或曲线的方程尽可能的简单，一般有以下一些规则．如：(1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上．思考:我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置．这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？答:点P的直角坐标为（－680错误!,680错误!），即巨响的位置在信息中心的西680错误!m，北680错误!m处，还可以说,巨响在信息中心的西偏北45°方向，距离680错误!m处，从以上的两种表述可以看出，对这个问题而言，第二种角与距离的方法更简单些．探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么?解：如图，以点F为坐标原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系．由已知，点A，B，F的坐标分别为A错误!，B错误!，F（0，0)．设点C的坐标为(x，y），则点E的坐标为错误!，即错误!.由b2＋c2＝5a2，可得|AC|2＋|AB|2＝5｜BC|2，即错误!2＋y2＋c2＝5错误!.整理得,2x2＋2y2－3cx＝0.因为BE＝错误!，CF＝（－x，－y），所以BE·CF＝－错误!＋错误!－错误!＝－错误!(2x2＋2y2－3cx)＝0。
因此，BE与CF互相垂直．以上这种建立直角坐标系的方法也可以,但是不如教科书上提供的建系方式好,因此在运算过程中出现了较多的分数，增加了运算的难度，也就增加了出错的概率．思考：在伸缩变换④下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线?答：由伸缩变换公式()()0,0x x y y λλμμ'=⋅>⎧⎪⎨'=⋅>⎪⎩可知，在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变，曲线(包括直线）的形状不变,直线、双曲线、抛物线还是变为直线、双曲线、抛物线．虽然圆可以变椭圆、椭圆也可以变成圆,但这是因为我们可以认为圆是椭圆的特例．习题1.11．两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26,求点M 的轨迹．解:设两个定点分别为A ，B ，以直线AB 为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (－3,0),B （3，0)．设M (x ，y ）是轨迹上任意一点，则有｜MA |2＋|MB ｜2＝26，即（x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝26，化简得x 2＋y 2＝4。
