高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的定义和标准方程(2)教案湘教版选修1_1

高中数学湘教版选修2-1（理科）第2章《2.2.1双曲线的定义与标准方程》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲
教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.掌握双曲线的定义和标准方程的推导过程;
2.掌握双曲线的两类标准方程,会求解双曲线的标准方程
2学情分析
学生已经掌握了椭圆的定义和标准方程,以及研究椭圆的方法,所以在学习双曲线的和定义和标准方程时只需要采用类比和比较的方法,找出和椭圆的异同即可。

3重点难点
教学重点:双曲线的定义
教学难点:双曲线方程的推导
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】(一)复习回顾
定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2 (2 >|F1F2|)的点的轨迹
表达式
标准
方程
( )
( )。

双曲线的定义和标准方程● 知识点整理1.掌握双曲线的定义，会利用定义解题；2.掌握双曲线的标准方程及其简单的几何性质，能熟练进行基本量a,b,c,e 的互化；3.掌握求双曲线标准方程的基本步骤：①定型；②定位；③定量；4.了解渐进线的含义，会用渐进线画双曲线的草图，会用共渐进线的双曲线方程)0(2222≠=-λλb y a x 解有关问题。

● 双基练习1.双曲线221916y x -=的 轴在x 轴上， 轴在y 轴上，实轴长= ，虚轴长= ，焦距= ，顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，渐近线方程是 ，离心率是 ，若点P00(,)x y 是双曲线上的点，则0x ∈ ，0y ∈ 。

2.双曲线221916x y -=左支上一点到左焦点的距离是7，则该点到双曲线的右焦点的距离是A ．13B ．13或1C ．9D ．9或4 （ ）3.设过双曲线191622=-y x 的左焦点F 1的弦AB 长为6，则⊿ABF 2（F 2为右焦点）的周长是A ．28B ．22C ．14D ．12 （ ）4.若双曲线的渐进线的方程为x y 23±=，则其离心率为 .● 典型例题例1 有一椭圆，其中心在原点，两个焦点在坐标轴上，焦距为132；一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程。

例2 双曲线以原点为中心，坐标轴为对称轴，且于圆x2+y2=17交与点A（4，－1），如果圆在点A的切线与双曲线的渐进线平行，求双曲线的方程。

课后作业1.双曲线的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 .2.双曲线1322-=-yx的两条渐进线所成的锐角是 .3.经过两点(7,--、3)-的双曲线的标准方程是。

4.已知双曲线2mx2－my2=2的一条准线是y=1，则m= .5.设双曲线)0(12222babyax<<=-的半焦距为c，直线l过两点(a,0),(0,b)，已知原点到直线l的距离为c43，求双曲线的离心率。

高中数学说课稿：湘教版《双曲线的定义及其标准方程》说课稿教案模板《双曲线的定义及其标准方程》说课教案一、教材分析与处理1、教材的地位与作用学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。

假如双曲线研究的透彻、清晰，那么抛物线的学习就会顺理成章。

因此说本节课的作用确实是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。

2、学生状况分析：学生在学习这节课之前，已把握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，因此说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探究和推导方程的基础。

另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜爱被动地同意别人现成的观点，但同时也缺乏发觉问题和提出问题的意识。

依照以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我期望学生能达到以下三个教学目标。

3、教学目标（1）知识与技能：明白得双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观看与探究能力；（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探究活动，激发学生的学习爱好，培养学生用联系的观点认识问题。

4．教学重点、难点依据教学目标，依照学生的认知规律，确定本节课的重点是明白得和把握双曲线的定义及其标准方程。

难点是双曲线标准方程的推导。

5、教材处理：我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双曲线图形。

因为相比之下，几何画板更为形象直观。

通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。

二、教学方法与教学手段1、教学方法闻名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发觉。

”双曲线的定义和标准方程与椭圆专门类似，学生差不多有了一些学习椭圆的体会，因此本节课我采纳了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：（1）以类比思维作为教学的主线（2）以自主探究作为学生的学习方法2、教学手段采纳多媒体辅助教学。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。

2．2.2 双曲线的简单几何性质第一课时 双曲线的简单几何性质[读教材·填要点]双曲线的简单几何性质1．你能求出双曲线x 24－y 23＝1的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？提示：由题意得a 2＝4，b 2＝3，解得a ＝2，b ＝3，则c ＝a 2＋b 2＝7. 因此，实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝2 3. 离心率e ＝c a ＝72. 渐近线方程为y ＝±32x . 2．如何用a ，b 表示双曲线的离心率？提示： e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2. 3．双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示：e ＝ca＝1＋b 2a2，当e 越大时，双曲线开口越大，当e 越小接近于1时，双曲线开口越小．4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1的渐近线有什么关系？提示：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a2＝1的渐近线相同．求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[自主解答] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x .若将“－36”改换为“36”呢？解：把方程9y 2－4x 2＝36化为标准形式为y 24－x 29＝1，∴a ＝2，b ＝3，c ＝13. ∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，实轴长是2a ＝4， 虚轴长是2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝132. 渐近线方程为y ＝±23x .已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y216－x 29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确． 答案：C2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：2求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．[自主解答] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135， 所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12， 故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)∵所求双曲线与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线， ∴设所求双曲线方程为x 2－2y 2＝λ. 又双曲线过点M (2，－2)，则 22－2·(－2)2＝λ，即λ＝－4. ∴所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是： ①根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程； ②由已知条件求出待定系数a ，b ；③将求得的系数a ，b 代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；(2)已知双曲线与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，与曲线x 236－y 264＝1共渐近线．解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由渐近线方程为y ＝±12x ，得b a ＝12，2c ＝10. 又c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝20，b 2＝5， ∴双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1；当焦点在y 轴上时，可得双曲线的方程为y 25－x 220＝1，∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. (2)由x 224＋y 249＝1得双曲线的焦点为(0，±5)． 又双曲线x 236－y 264＝1的渐近线为y ＝±43x ，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则：⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，a 2＋b 2＝25，解得b 2＝9，a 2＝16.∴所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[自主解答] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca＝2＋ 3. [答案] 2＋ 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解．[注意] 求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a ，b ，c 的不等关系．4．(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若ba＝2，求双曲线的离心率；(2)设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上，双曲线两焦点F 1，F 2，|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线离心率的取值范围．解：(1)∵c ＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋22＝ 5.(2)由双曲线定义得：|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 与已知|PF 1|＝4|PF 2|联立解得： |PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2 |得： 83a ＋23a ≥2c ，解得1<e ≤53. 所以离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路求过点P (2，－1)，渐近线方程为y ＝±3x 的双曲线的标准方程．[巧思] 可根据点P (2，－1)与渐近线y ＝±3x 的位置关系，先确定双曲线的标准类型，然后利用待定系数法求标准方程，也可根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点P (2，－1)代入求解．[妙解] 法一：首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P (2，－1)在渐近线y ＝－3x 的上方还是下方．如图所示．x ＝2与y ＝－3x交点为Q(2，－6)，P (2，－1)在Q(2，－6)的上方，所以焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝359，b 2＝35.∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1. 法二：由渐近线方程3x ±y ＝0，可设所求双曲线方程为x 219－y 2＝λ(λ≠0)(*)将点P (2，－1)的坐标代入(*)，得λ＝35， ∴所求的双曲线方程为x 2359－y 235＝1.1．双曲线x 225－y 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x解析：由x 225－y 24＝0，得y 2＝425x 2，即y ＝±25x .答案：A2．双曲线x 225－y 216＝1的离心率是( ) A.35 B.53 C.415D.541解析：a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2＋b 2＝41， ∴e ＝c a ＝415. 答案：C3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：∵e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9， ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：C4．已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.解析：双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，比较系数得b ＝2.答案：25．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．解析：画图可得相似直角三角形，因此有△OAA ′∽△OFF ′，c a ＝62＝3，即e ＝3. 答案：36．求中心在原点，两顶点间距离为6，渐近线为y ＝±3x 的双曲线的标准方程． 解：因为两顶点间的距离为6， 即2a ＝6，∴a ＝3.①当焦点在x 轴上时，则有b a＝3，∴b ＝9. ∴双曲线方程为x 29－y 281＝1.②当焦点在y 轴上时， 则有a b＝3，∴b ＝1.∴双曲线方程为y 29－x 2＝1.一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32D ．1解析：很明显，双曲线的焦点在x 轴上，则离心率e ＝a 2＋3a＝2，解得a ＝1.答案：D2．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：由双曲线的渐近线y ＝±b a x 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，又⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：D4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c,0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－bc .又渐近线的斜率为±b a ，所以由直线垂直关系得－b c ·ba＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，故c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，得方程e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(舍负值)．答案：D 二、填空题5．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33. 答案：336．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝17．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝72＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y23＝1.答案：x 24－y 23＝1.8．已知双曲线x 2m ＋y 24＝1的离心率e ∈(2，2)，则m 的取值范围是________．解析：由双曲线方程知a ＝2，b ＝－m ，m <0，因为e ∈(2，2)，且e 2＝1＋b 2a2，所以2<1＋b 2a 2<4,1<b 2a2<3，因此，有1<－m4<3,4<－m <12，所以－12<m <－4. 答案：(－12，－4) 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)； (2)离心率为54，虚半轴长为2；(3)两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分． 解：(1)由焦点坐标知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4. 由双曲线过点(2,0)知顶点坐标为(2,0)，(－2,0)， 即a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12， 故所求双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.(2)由题意得b ＝2，又e ＝c a ＝54，令c ＝5k (k >0)，则a ＝4k ，由b 2＝c 2－a 2＝9k 2＝4得k 2＝49，∴a 2＝16k 2＝649.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 2649－y 24＝1或y 2649－x 24＝1. (3)由两顶点间的距离是6得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.10.如图所示，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1与双曲线的交点P 满足MP ―→＝3PF 1―→，试求双曲线的离心率．解：连接PF 2，设|F 1F 2|＝2c ， 由MP ―→＝3PF 1―→知 |PF 1|＝14|MF 1|.又△MF 1F 2为正三角形， ∴|PF 1|＝14×2c ＝12c ，∠PF 1F 2＝60°， 由余弦定理可得： |PF 2|＝ c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12c 2－2·2c ·12c cos 60°＝4c 2＋14c 2－c 2＝132c .根据双曲线定义有 2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝13－12c ， ∴离心率e ＝c a＝413－1＝13＋13. 第二课时 直线与双曲线的位置关系[读教材·填要点]1．直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 2．弦长公式斜率为k (k ≠0)的直线l 与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.[小问题·大思维]1．当直线与双曲线只有一个公共点时，直线一定与双曲线相切吗？提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2．当直线的斜率不存在或斜率k ＝0时，如何求弦长？提示：把直线方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求弦长．已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试确定实数k 的取值范围，使：(1)直线l 与双曲线有两个公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k x －，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0，(*)当1－k 2＝0，即k ＝±1，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点． 当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．(1)⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，即k ＜－233或k ＞233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，(1)当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1∪(－1,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，233时，直线与双曲线有两个公共点．(2)当k ＝±1或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞时，直线与双曲线没有公共点．若将“y ＝k (x －1)”改为“y ＝k (x －3)”，试解决(2)(3)两个问题？解：∵直线y ＝k (x －3)过定点(3,0)，且定点(3,0)在双曲线x 2－y 2＝4的内部． ∴当k ＝±1时，直线l 与双曲线有且只有一个公共点； 当直线l 与双曲线没有公共点时，k 不存在，即k ∈∅.解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x 或y 的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．1．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的方程．解：可分两种情况：①直线l 斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意，此时直线l 为x ＝1. ②直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，即k ＝±2，即l 与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一个公共点．直线l 为y ＝2x －1或y ＝－2x ＋3.当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52，直线l 为y ＝52x －32.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝2x －1或y ＝－2x ＋3或y ＝52x －32.已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点．若P 为AB 的中点，(1)求直线AB 的方程； (2)求弦AB 的长．[自主解答] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 代入双曲线方程3x 2－y 2＝3，得 3x 21－y 21＝3,3x 22－y 22＝3，两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝3， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2＝3×x 1＋x 22y 1＋y 22＝3×21＝6.所以直线AB 的方程为6x －y －11＝0. (2)将y ＝6x －11代入3x 2－y 2＝3，得 33x 2－132x ＋124＝0， 则x 1＋x 2＝13233，x 1x 2＝12433，由弦长的公式|AB |＝＋k2x 1－x 22＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]得|AB |＝ ＋1322－4×33×124332， 所以|AB |＝4332 442.保持例题条件不变，试判断A ，B 两点在双曲线的左支上还是在右支上？ 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －11，3x 2－y 2＝3，得33x 2－132x ＋124＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝13233>0，x 1·x 2＝12433>0，即x 1>0且x 2>0，∴点A ，B 都在双曲线的右支上．对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决．另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关的问题，这种问题经常用点差法解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决．2．直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .解：设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*)设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－65m 2－4×310m 2＋＝4. 解得m ＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入上式，得Δ＞0，符合题意． 故m 的值为±2103.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．[巧思] 以AB 为直径的圆过坐标原点，即OA ⊥OB .因此可联立直线与双曲线方程，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则问题可转化为x 1x 2＋y 1y 2＝0求解．[妙解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠± 3.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a 3－a 2， ③x 1x 2＝－23－a 2， ④∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0.解得a ＝±1且满足②， ∴a ＝±1.1．过双曲线x 2－y 2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．8D ．4 2解析：双曲线x 2－y 2＝4的焦点为(±22，0)，把x ＝22代入并解得y ＝±2，∴|AB |＝2－(－2)＝4.答案：B2．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：双曲线方程为x 29－y 24＝1，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．答案：C3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a2，所以|AB |＝2×b 2a＝2×2a .∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a＝ 3. 答案：B4．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值是________．解析：|MF 2|＋|NF 2|－|MN | ＝|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1| ＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|) ＝4a ＝8. 答案：85．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，得x 2－(kx ＋2)2＝6.即(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根．则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k <－1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 6．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A ，B 两点，试问A ，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．解：∵a ＝1，b ＝3，c ＝2， 直线l 过点F 2且倾斜角为45°， ∴直线l 的方程为y ＝x －2. 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－72＜0，∴A ，B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72，∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2| ＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·－2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.一、选择题1．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是( )解析：直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b＝1，若a ＞0，b ＞0，则曲线表示椭圆，故A 不正确．关于B 、D ，由椭圆知直线斜率应满足a ＞0，而由B 、D 知直线斜率均为负值，故B ，D 不正确．由C 可知a ＞0，b ＜0.答案：C2．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M ，F 1三点共线以及P 与N ，F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝6＋3＝9.答案：D3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2.又直线AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2.代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24 －y 25＝1.答案：B4．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB ―→＝2FA ―→， 则此双曲线的渐近线的斜率是( )A ．± 2B ．± 3C ．±2D ．± 5解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ，不妨设过右焦点F (c,0)(c >0)的直线l 与渐近线y ＝b a x 垂直，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l 的方程为y ＝－a b(x －c )，两直线方程联立解得y 1＝ab c ；把方程y ＝－a b (x －c )与方程y ＝－b a x 联立，解得y 2＝abcb 2－a 2，因为FB ―→＝2FA ―→，所以(x 2－c ，y 2)＝2(x 1－c ，y 1)，由此得y 2＝2y 1，故abc b 2－a 2＝2ab c，即2(b2－a 2)＝c 2＝a 2＋b 2，即b ＝3a ，故此双曲线的渐近线斜率是± 3.答案：B 二、填空题5．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：26．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7.∴方程可化为x 2a 2－y 27－a 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a2.∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2.∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.答案：x 22－y 25＝17．设一个圆的圆心在双曲线y 29－x 216＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________．解析：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0，5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则y 0＝3＋52＝4.代入双曲线方程得169－x 2016＝1，所以x 20＝7×169，故|PO |＝ x 20＋y 20＝7×169＋16＝163. 答案：1638．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|， 故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝c2－a2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线定义得4b －2c ＝2a ， 即2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2， 即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ， 又双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ， 所以y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.答案：4x ±3y ＝0 三、解答题9．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1交于两个不同的点A ，B ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解：由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，可知方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的解，消去y ，并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a2>0，解得0<a <2，且a ≠1.而双曲线C 的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，从而e >62，且e ≠2， 故双曲线C 的离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，且过点P (6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线交于两个不同点A ，B ，且OA ―→·OB ―→>2(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．解：(1)由已知e ＝c a ＝233，∴c ＝233a ，b 2＝c 2－a 2＝43a 2－a 2＝13a 2，即a 2＝3b 2.又P (6，1)在双曲线上， ∴63b 2－1b2＝1，∴b 2＝1，a 2＝3. 故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2＝3，消去y 并整理得：(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 交于不同两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)得：⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2，∴k 2<1且k 2≠13.①又x 1＋x 2＝62k1－3k2，x 1x 2＝－91－3k2， ∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝(k 2＋1)93k 2－1－2k ·62k 3k 2－1＋2>2.∴k 2－33k 2－1<0. ∴13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。