4. 当 a 从 0º到 180º变化时, 曲线 x2 y2cosa 1 表示的曲线的形状怎样变化? 2 y 1. 解: 原方程变为 x 2 1 cosa (1) 当a0º 时, 方程为 x2y21, 曲线是个圆. 1 1, (2) 当 0º <a<90º 时, cosa 曲线是焦点在 y 轴上的椭圆. (3) 当 a90º 时, 方程为 x±1, 曲线是两条直线. 1 0, 曲线是焦点在 (4) 当 90º <a<180º 时, cosa x 轴上的双曲线. (5) 当 a180º 时, 方程为 x2-y21, 曲线是等轴 双曲线. (看下面的动感变化图)
y l
p
oF
·
x
四、三种圆锥曲线的光学性质
椭圆: 光源从椭圆的一个焦点发出, 经过椭圆 反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上.
四、三种圆锥曲线的光学性质
双曲线: 光源从双曲线的一个焦点发出, 经 过双曲线反射后, 反射光线是散开的, 好象是从 另一个焦点发出的光线.
四、三种圆锥曲线的光学性质 抛物线: 光源从抛物线的焦点发出, 经过抛物 线反射后, 形成一束平行光线.
2384
y
439
o F F1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
2. 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点 的椭圆. 设地球半径为 R, 卫星近地点, 远地点离地 面的距离分别为 r1, r2, 求卫星轨道的离心率. y 解: 以椭圆的长轴所在直 r1 线为 x 轴, 短轴所在直线为 y 轴, 建立直角坐标系, r2 R 2a r22Rr1, x F1 o F2 c a-R-r1 1 (r2 2R r1 ) - R - r1 a 2 1 (r2 - r1 ), 2 1 (r - r ) 2 1 r2 - r1 c 2 . e a 1 (r 2 R r ) 2R r2 r1 1 2 2
2 2 y2 y2 x x (1) 曲线 1 与曲线 1 (k 9) 25 9 25 - k 9 - k 的( D ) (A) 长轴长相等. (B) 短轴长相等. (C) 离心率相等. (D) 焦距相同.
3. 选择题.
解: 前一条曲线的 c2 25 - 916, 后一条曲线的 c2 (25 - k) - (9 - k) 16, ∴ 两曲线的焦距相等.
解: 如图, |AO| cr439, |BO| r-c2384, r6371, 由 |AO| |BO| 解得 c 972.5,
则 a |AO|cr439 = 7782.5, B 于是得 b2 a2-c2 7782.52-972.52 ≈77222, 2 y2 x ∴ 卫星轨迹的方程为 2 2 1. 7783 7722
-a
y
b
o
-b y b
a x
-a
o
-b y
p 2
a
x
-
o
p 2
x
6. 开口变化
若把圆的离心率视为 0, 随着离心率的逐渐 增大, 曲线从较圆的椭圆逐渐变为较扁的椭圆. 接近于 e
1
0
y
o
x
随着离心率的逐渐增大, 双曲线的开口逐渐 增大.
e
>1
y
o
x
抛物线 y22px (p>0), p 逐渐增大, 抛物线的 开口逐渐增大.
三、三种圆锥曲线的主要性质
1. 轴: 椭圆: 长轴长为 2a, 短轴长为 2b. 焦距 2c.
双曲线: 实轴长为 2a, 虚轴长为 2b. 焦距 2c.
抛物线: 对称轴是抛物线的轴. 焦点到准线的距离 p. 2. 离心率:
c e 椭圆: a (0<e<1). c e 双曲线: (e>1). a
平面平行于圆锥的底面。
平面不平行圆锥的底面， 也不平行母线， 也不平行轴。
平面平行于圆锥的轴。
平面平行于圆锥的母线。
二、三种圆锥曲线的定义与方程 1. 定义 椭圆: 到两定点的距离之和等于定长的点的 轨迹. 两定点间的距离为: 2c. 定长为: 2a, 2a>2c. 双曲线: 到两定点的距离之差的绝对值等于 定长的点的轨迹. 两定点间的距离为: 2c. 定长为: 2a, 2a<2c. 抛物线: 到一定点与一定直线的距离相等的 点的轨迹. 定点到定直线的距离: p.
3. 选择题. (2) 与圆 x2y21 及圆 x2y2-8x120 都外切的圆 的圆心在 ( B ) (A) 一个椭圆上 (B) 双曲线的一支上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上
解: 设两定圆圆心分别为 C1, C2, 与两圆都外切的圆心为 M, 半径为 r. 两已知圆的半径分别是 r11, r22. 则 |MC1| r1r |MC2| r2r 2 r, 1 r, 得 |MC2| - |MC1| 1 (常数), ∴点M在双曲线的一支上.
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A组
1. 如图, 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道, 是 以地心 (地球的中心) F2为一个焦点的椭圆, 已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面 439 km, 远地点B (离地面最远的点) 距地面 2384 km, 并且F2、A、B在同一直线上, 地球半径约为 6371 km, 求卫星运行的轨道方程 (精确到 1 km).
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
知识要点 复习参考题
自我检测题
一、圆锥曲线
直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，都 可以用一个平面截顶点相对的两个圆锥而得， 所以，我们把这几种曲线叫圆锥曲线。
看下面的动画效果：
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平面过两圆锥的母线。
抛物线: e=1.
3. 准线: 抛物线: x - p .
2
4. 渐近线:
双曲线: y b x,
b 为变量 y 的分母的算术根,
a 为变量 x 的分母的算术根.
a
5. 图形: 椭圆: ① 画矩形, ② 画椭圆. 双曲线: ① 画矩形, ② 画渐近线, ③ 画双曲线. 抛物线: ① 画焦点、准线, ② 找到焦点、到准 线距离相等的点, ③ 画抛物线.
2. 标准方程
2 y x 1, 椭圆: 2 2 a b 2
y2 x2 或 2 2 1, a b y2 x2 或 2 - 2 1, a b
b2a2-c2.
2 2 y x 双曲线: 2 - 2 1, a b
b2c2-a2. 抛物线: y22px, x2 2py,
或 y2 -2px, x2 -2py. (p>0).
