高中数学第二章圆锥曲线与方程：曲线与方程

2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积． 解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0， 得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |， 即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2， 得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。

第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线． 在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解： 设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。

2.5 圆锥曲线与方程1．曲线的方程和方程的曲线的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解满足下列关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.说明：（1）曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.（2）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.（纯粹性）（3）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线 C 上的充要条件是f(x0 ,y0)=02．求曲线方程的一般步骤：（1）建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上任意一点;（2）几何列式：写出满足条件的点Ｍ的集合｛Ｍ/Ｐ(M) ｝;（3）代数方程：将Ｍ点坐标（x,y）代入几何条件，列出方程 f (x,y) =0;（4）化简：化方程为最简形式；（5）证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹。

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.4．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.5．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.6．求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.7．求轨迹方程的常见方法:①直接法②定义法③代入法④参数法（1）直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。

圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝ 椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。

第2章圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．2．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．4．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．曲线方程的求法[例1] 过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．[解] 法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1， 即OA 中点B 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(几何法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 如法一中图，则|MB |＝12|OC |＝12，故B 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为： y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．1．求与圆x 2＋y 2＝1外切，且和x 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程．解：设两圆的切点为A ，M 的坐标为(x ，y )，圆M 与x 轴相切于点N ，∴|AM |＝|MN |， |MO |－1＝|MN |＝|y |. ∴x 2＋y 2－1＝|y |. 化简得：x 2＝2|y |＋1.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2＝2|y |＋1.2．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，点P 分AB 之比为AP ∶PB ＝2∶1，求点P 的轨迹方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意得AP ―→＝2PB―→，即(x －4，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －42，y 0＝3y 2，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －422＋9y 24＝4， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.∴所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.圆锥曲线的定义及性质问题[例2] F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①又S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin 60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B4．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|.∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A直线与圆锥曲线的位置关系[例3] x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．5．设抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋k 所得弦长|AB |＝3 5. (1)求k 的值；(2)以弦AB 为底边，x 轴上的P 点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P 的坐标．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋k ，y 2＝4x ，得4x 2＋4(k －1)x ＋k 2＝0，Δ＝16(k －1)2－16k 2＞0，∴k ＜12.又由根与系数的关系有x 1＋x 2＝1－k ，x 1x 2＝k 24，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·1－2k ， 即51－2k ＝35，∴k ＝－4.(2)设x 轴上点P (x,0)，P 到AB 的距离为d ， 则d ＝|2x －0－4|5＝|2x －4|5，S △PAB ＝12·35·|2x －4|5＝39，∴|2x －4|＝26，∴x ＝15或x ＝－11. ∴P 点坐标为(15,0)或(－11,0).圆锥曲线中的定点、定值、最值问题[例4] (2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：2a 2＋2b2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．6．设椭圆x 29＋y 24＝1上的动点P (x ，y )，点A (a,0)(0＜a ＜3)．若|AP |的最小值为1，求a 的值．解：|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4⎝⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9a 52－4a 25＋4.因为x 29＝1－y 24，所以x 29≤1,0≤|x |≤3. (1)当0＜9a 5≤3，即0＜a ≤53时，x ＝9a 5，|AP |2取最小值4－4a 25＝1.解得a ＝152.因为152＞53，所以a 不存在．(2)当9a 5＞3，即53＜a ＜3时，x ＝3，|AP |2取最小值59⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9a 52＋4－4a25＝1.解得a ＝2或a ＝4(舍)．所以，当a ＝2时，|AP |的最小值为1.7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .证明：如图所示．∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2，∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率k ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率， ∴直线AC 经过原点O .(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.答案：B2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)解析：由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1，又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴2k＞2，即0＜k ＜1.答案：D3．若抛物线x 2＝2ay 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴a2＝－1，即a ＝－2. 答案：A4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 答案：B6．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0.因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2.所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，则双曲线的离心率为( ) A.102B.105C.10D.2解析：设双曲线右焦点为M ，∵OE ⊥PF ，∴在直角三角形OEF 中，|EF |＝c 2－a 24.又OE ―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，∴E 是PF 的中点．∴|PF |＝2c 2－a 24，|PM |＝a .又|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a .∴离心率e ＝c a ＝102.答案：A8．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)， 由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9， 化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.答案：A9．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，若|PF 1|＝7，则△PF 1F 2最大内角的余弦值为( )A ．－17B.17C.59117D.1113解析：由双曲线定义知|PF 2|＝|PF 1|±2a . 所以|PF 2|＝13或|PF 2|＝1<c －a ＝2(舍去)又|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2的最大内角为∠PF 1F 2， cos ∠PF 1F 2＝102＋72－1322×10×7＝－17.答案：A10．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a 2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：D11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＝|AB |＝6，则|F 2B |＝________.解析：由椭圆定义知|F 1A |＋|F 2A |＝|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10，所以|F 1A |＝10－|F 2A |＝4，|F 1B |＝|AB |－|F 1A |＝2，故|F 2B |＝10－|F 1B |＝8.答案：814．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设抛物线焦点为F ，则|PM |＝|PF |－12，∴|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12.∴当且仅当A ，P ，F 共线时|PA |＋|PF |取最小值为|AF |＝5，∴|PA |＋|PM |最小值为92.答案：9215．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：1516．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13，则动点P 的轨迹方程为____________．解析：∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a >0)，2a >2c ＝22， ∴a > 2. 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1， ∵|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时， |PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a2－1.由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3－2＝1.∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ―→＝2MP ―→，故P 为MN 中点．又∵PM ―→⊥PF ―→，P 在y 轴上，F 为(1,0)， 故M 在x 轴的负方向上．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)．∴PM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∵PM ―→⊥PF ―→，∴PM ―→·PF―→＝0，即－x ＋y 24＝0.∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程．18．(本小题满分12分)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 解：(1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝⎛⎭⎪⎫2t 2p，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，消去x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·P Q ―→＝1.证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)．由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q(－3，t )，P (m ，n )， 则O Q ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )，O Q ―→·PF―→＝3＋3m －tn ， OP ―→＝(m ，n )，P Q ―→＝(－3－m ，t －n )． 由OP ―→·P Q ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以O Q ―→·PF ―→＝0，即O Q ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于O Q ，所以过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .。

选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》§2.1.1 椭圆及其标准方程【知识要点】● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹．● 标准方程：（1）()222210x y a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；（2）()222210y x a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．【例题精讲】【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．【基础达标】1．椭圆221259x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102．椭圆2211312x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） A ．26 B ．24 C ．2 D ．2133．已知 F 1，F 2是椭圆221259x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（ ）A ．10B ．16C ．20D ．324．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）A ．2212012x y += B ．22140036x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=5．椭圆2214x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（ ） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．166．椭圆221169x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点()533，-的椭圆方程是 ．1～5 ADCCA【能力提高】8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b =3，焦点在x 轴； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【知识要点】● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．【例题精讲】【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且离心率为22，求椭圆的方程．【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．【例 3】椭圆22110036x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．【例 4】设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．【基础达标】1．已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345，则P 点到椭圆左焦点的距离是（ ） A ．165 B ．665 C ．758D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则 m =（ ） A ．3 B ．32 C ．83 D ．233．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）A ．221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．22 C ．24 D ．126．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ． 7．离心率12e =，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为 ．1～5 BBDDD【能力提高】8．求过点A（－1，－2）且与椭圆22169x y+=的两个焦点相同的椭圆标准方程．9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e=，短轴长为85，求椭圆的方程．10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距m万千米和43m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该卫星与地球的最近距离．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）【知识要点】●掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．●能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．【例题精讲】【例 1】已知椭圆C 的焦点F 1()22,0-和F 2()22,0，长轴长6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．【例 2】椭圆的中心为点E （－1，0），它的一个焦点为F （－3，0），且椭圆的离心率255e =，求这个椭圆的方程．【例 3】已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，求过点O 、F ，并且与直线l ：x =－2相切的圆的方程．【例 4】如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则123++PF P F P F +45++P F P F67+P F P F = ．【基础达标】1．椭圆22110036x y +=上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．82．已知椭圆()2221525x y a a +=>的两个焦点为F 1、 F 2，且|F 1F 2|=8，弦 A B 过点 F 1，则△ A BF 2的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4413．椭圆221259x y +=的焦点 F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知 P F 1⊥PF 2，则△ F 1PF 2的 面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．84．椭圆221164x y +=上的点到直线 x +2y 2-=0 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．105．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ． x －2 y =0 B ． x +2 y －4=0 C ． 2x +3y －12=0 D ． x +2 y －8=06．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，3-）的椭圆的标准方程是 ． 7．离心率53e =，一个焦点的坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 ． F1～5 DDBAD 【能力提高】8．已知椭圆22194x y+=上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标．9．过椭圆22194x y+=内一点D（1，0）引动弦A B，求弦A B的中点M的轨迹方程．10．椭圆221164x y+=上有两点P、Q，O是原点，若O P、OQ斜率之积为14-．求证22OP OQ+为定值．§2.2.1双曲线及其标准方程【知识要点】●掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；●掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程；● 会按y 2特定条件求双曲线的标准方程； ● 理解双曲线与椭圆的联系与区别．【例题精讲】【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a ，b ，c 的值．【例 2】已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点()13,42P -、29,54P⎛⎫ ⎪⎝⎭在此双曲线上，求双曲线的标准方程．【例 3】点 A 位于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上， F 1，F 2是它的两个焦点，求△AF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【例 4】已知三点 P （5，2）、 F 1（－6，0）、 F 2（6，0）．（1）求以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P 、F 1、F 2关于直线 y =x 的对称点分别为 P '、F 1'、F 2'，求以F 1'、F 2'为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．【基础达标】1．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与 m 有关2．椭圆222+134x y n =和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数 n 的值是（ ） A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．93．若0k a <<，双曲线22221x y a k b k -=-+与双曲线22221x y a b-=有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点4．过双曲线221169x y -=左焦点 F 1的弦 A B 长为 6，则 △ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．设F 1，F 2是双曲线2214x y -=的焦点，点 P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=90°，则点 P 到x 轴的距离为（ ）A ．1B ．55C ．2D ．5 6．到两定点F 1（－3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹是 ．7．方程22+111x y k k=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是 ．1～5 CBDAB【能力提高】8．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程．9．如图，某农场在 P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 P A 或 P B 送到庄稼地 A BCD 中去，已知 P A =100 m ，PB =150m ，∠APB =60°．能否在田地 A BCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路 P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路 P B 送肥较近? 如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程．10．已知点()3,0A -和()3,0B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y =x －2 交于 D 、E 两点，求线段 D E 的长．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）【知识要点】● 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． ● 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念．【例题精讲】【例 1】求双曲线2214y x -=的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程．【例 2】求一条渐近线方程是 3x +4y =0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．【例 3】求与双曲线221169x y -=共渐近线且过 A (33，－3)的双曲线的方程．【例 4】已知△ABC 的底边 B C 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sin B －sin C =12sin A ，求点 A 的轨迹．【基础达标】1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（ ）A ．221164x y -= B ．221416x y -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 3．过点（3，0）的直线 l 与双曲线 4x 2－9y 2=36只有一个公共点，则直线 l 共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．方程mx 2＋ny 2＋mn =0（m <n <0）所表示的曲线的焦点坐标是（ ）A ．()0m n ±-，B ．()0n m ±-，C ．()0m n ±-，D ．()0n m ±-，5．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点A (－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A．8 B．4 C．2 D．16．双曲线9y2－4x2=36的渐近线方程是．7．经过点M（3，－1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是．1～5 AACBC【能力提高】8．求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．9．求以椭圆22+16416x y=的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为56π的双曲线方程．10．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，一条渐近线方程为2y x =，那么它的离心率是（ ）A ．63B ．4C ．2D ．3【例 2】过双曲线221916x y -=的左焦点F 1，作倾斜角为=4πα的直线与双曲线交于两点A 、B ，求AB 的长．【例 3】已知动点 P 与双曲线 x 2－y 2=1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且 c os ∠F 1PF 2的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．【例 4】已知不论 b 取何实数，直线 y =kx +b 与双曲线 x 2－2y 2=1总有公共点，试求实数 k 的取值范围．【基础达标】1．到两定点F 1(－3，0)、F 2 (3，0) 的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 4．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为（ ） A ．32 B ．3 C ．43D ．3 5．已知 m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y +n =0与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）A B C D6．双曲线22197x y -=的右焦点到右顶点的距离为 ． 7．与椭圆22+11625x y =有相同的焦点，且离心率为355的双曲线方程为 ．1～5 DDCBC【能力提高】8．设双曲线()222210x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线lyox yox yox yox的距离为34c ，求此双曲线的离心率．9．求过点M (3，－1)且被点M 平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程．10．设双曲线 C 1的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线 C 1上的任意一点，引 Q B ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与 B Q 交于点 Q ，求 Q 点的轨迹方程．§2.3.1 抛物线及其标准方程【知识要点】● 掌握抛物线的定义．● 标准方程的不同形式及其推导过程．● 熟练画出抛物线的草图，求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程．【例题精讲】【例 1】已知抛物线的标准方程是：（1）y 2=12x ，（2）y =12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3）【例3】直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形A PQB的面积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【例4】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段A B 的长．【基础达标】1．抛物线y 2=ax （a ≠0）的准线方程是 （ ） A ．4a x =-B ．4ax = C ．4a x =- D ．4a x =2．抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x －4y －12=0上，此抛物线的方程是（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=12x C ．y 2=－16x D ．y 2=－12x 3．焦点在直线 3x －4y －12=0上的抛物线标准方程是（ ） A ．y 2=16x 或 x 2=16y B ．y 2=16x 或 x 2=12y C ．x 2=－12y 或 y 2=16x D ．x 2=16y 或 y 2=－12x4．已知 M （m ，4）是抛物线 x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |=5，则此抛物线的焦点坐标是（ ）A ．（0，－1）B ．（0，1）C ．（0，－2）D ．（0，2） 5．过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 A B 的长是（ ） A ．42 B ．4 C ．8 D ．26．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是 ． 7．平面上的动点P 到点 A （0，－2）的距离比到直线 l ：y =4的距离小 2，则动点P 的轨迹方程 是 ．1～5 AACBC【能力提高】8．点M 到点（0，8）的距离比它到直线 y =－7的距离大 1，求 M 点的轨迹方程．9．抛物线 y 2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，焦点为 F ，求｜PF ｜的值．10．抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）【知识要点】● 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；● 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；注意数与形的结合．【例题精讲】【例 1】已知抛物线关于x 轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点()2,22M -，求它的标准方程．xy O【例2】过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以A B为直径的圆和这抛物线的准线相切．【例3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px()0p>上，求这个正三角形的边长．【例４】抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，－1）作直线L交抛物线A、B两点，再以A F、BF为邻边作平行四边形F ARB，试求动点R的轨迹方程．【基础达标】1．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB | =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．42．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=4y C ．x 2=2y D ．x 2=12y 3．已知 M 为抛物线y 2=4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P （3，1），则MP MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知抛物线 y 2=－12x 上一点 P (x 0，y 0)到焦点的距离为 8，则 x 0的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．45．抛物线 y 2=8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4± C ．()1,22 D ．()1,22± 6．抛物线 2y 2＋5x =0 的准线方程是 ．7．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，若 A 、B 在准线上的射影是 A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 ．1～5 BABAD【能力提高】8．抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线交于点362⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求二者的方程．9．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程．p>的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准10．设抛物线y2=2px()0线上，且B C∥轴．证明：直线AC经过原点O．§2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例１】过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的二弦O A、OB．（1）求A B中点的轨迹方程．（2）证明：AB与x轴的交点为定点．【例２】已知点 A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛 物线的焦点 F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点 M 的坐标； （3）求 B C 所在直线的方程．【例 3】抛物线 y =－x 2上的点到直线 4x +3y －8=0距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75 C ．85D ．3【基础达标】1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 3x －4y －12=0时，则此抛物线的方 程是（ ）A ．y 2=16xB ．x 2=－12yC ．y 2=8x 或x 2=－6yD ． y 2=16x 或x 2=－12y 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点()5,25-到焦点距离是6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2=－4x B 、y 2=－2x C 、 y 2=2x D 、 y 2=－4x 或x 2=－36y 3．在抛物线 y =x 2上有三点 A 、B 、C ，其横坐标分别为－1，2，3，在y 轴上有一点D 的纵坐标为 6，那么以 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是（ ）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．任意四边形4．抛物线 y 2=4x 的焦点F ，准线为l ，交 x 轴于 R ，过抛物线上一点 P （4，4）作 P Q ⊥ l 于Q ，则梯形 PFRQ 的面积是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 5．抛物线 y 2=－4x 关于直线 x +y =2对称的曲线的顶点坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（0，0）C ．（－2，－2）D ．（2，0） 6．若动点M （x ，y ）到点F （4，0）的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程 是 ．7．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．1～5 DABBA【能力提高】8．经过抛物线 y 2=－8x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60°角的直线与抛物线交 A 、B 两点，求|AB |．9．求过A（－1，1），且与抛物线y=x2+2有一个公共点的直线方程．10．已知抛物线C：y=x2+4x+72，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若C在点M的法线的斜率为12-，求点M的坐标（x0，y0）．第二章圆锥曲线复习（一）【知识要点】●椭圆定义，椭圆的标准方程，椭圆的性质．●双曲线的定义，双曲线的标准方程及特点，双曲线的几何性质．●抛物线定义，抛物线的几何性质．【例题精讲】【例1】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是105-，求椭圆方程．【例 2】已知双曲线2214x y -=和定点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）过 P 点可以做几条直线与双曲线 C 只有一个公共点；（Ⅱ）双曲线C 的弦中，以 P 点为中点的弦 P 1P 2是否存在? 并说明理由．【例 3】已知点 A （0，2）及椭圆22+14x y =，在椭圆上求一点 P 使PA 的值最大．【例 4】己知点P 在抛物线 x 2=y 上运动，Q 点的坐标是（－1，2），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R顺序按逆时针）是平行四边形，求 R 点的轨迹方程．【基础达标】1．平面上到定点 A (1，1)和到定直线 l ：x +2 y =5距离相等的点的轨迹为（ ）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．若椭圆2kx2＋ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4），则k的值为（）A．18B．132C．2D．3163．椭圆22+1259x y=上的点M到焦点F1的距离是2，N是M F1的中点，则ON为（）A．4 B．2 C．8 D．3 24．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）A．32B．62C．32D．25．椭圆22+1259x y=的两焦点F1，F2，过F2引直线L交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．5 B．15 C．10 D．206．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．7．若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦A B过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．1～5 BBACD【能力提高】8．若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，求该双曲线的离心率．9．正方形的一条边A B在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长．10．若椭圆x2+4（y－a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围．第二章 圆锥曲线复习（二）【例题精讲】【例 1】已知直线 l 交椭圆22+12016x y =于 M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线 l 的方程．【例 2】已知倾斜角为4π的直线 l 被双曲线 x 2－4y 2=60截得的弦长82AB =，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程．【例 3】已知直线l ：x =－1，点F （1，0），以F 为焦点，l 为准线的椭圆中，短轴一端点为B ，P为FB 的中点．（Ⅰ）求 P 点的轨迹方程，并说明它是什么曲线； （Ⅱ）M （m ，0）为定点，求｜PM ｜的最小值．【例 4】已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积．【基础达标】1．已知 M （－2，0），N （2，0），4P M P N -=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．若圆 x 2+y 2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（ ） A ．22+1412x y = B ．22+1436x y = C ．229+144x y = D ．22+1364x y = 3．已知 F 1，F 2是椭圆22+1169x y =的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）A ．3B ．8C ．13D ．164．曲线()()22346225x y x y ---+-=的离心率为（ ） A ．110 B ．12C ．2D ．无法确定5．抛物线y2=14x 关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．116⎛⎫⎪⎝⎭，C．（0，1）D．116⎛⎫⎪⎝⎭，6．与椭圆4x2+ 9y2=36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为．7．以双曲线22145x y-=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．1～5 C CABD 【能力提高】8．设F1，F2为双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．9．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．10．设椭圆22+162x y=和双曲线2213xy-=的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，求cos∠F1PF2的值．。