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第二章圆锥曲线与方程
本章综述
本章的内容是：曲线与方程，椭圆，双曲线，抛物线.重点是圆锥曲线标准方程及其性质的研究.难点是已知曲线求方程.
根据已知条件选择适当的坐标系，借助数和形的对应关系建立曲线方程，把形的问题转化为数的研究，再把数的研究转化为形来讨论，这是解析几何的基本思想和方法.用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．圆锥曲线是解析几何的重点内容.要深入理解曲线与方程的有关概念与相互关系，重点抓住两个基本问题：一是根据曲线方程研究曲线的基本性质；二是根据曲线的几何特征求曲线的方程.学习本章常用的方法有直接法、代入法、几何法、定义法、交轨法、参数法等. 圆锥曲线方程的应用和开放题在教材的例题和习题中有多处涉及，在各地的高中会考和高考模拟试卷中也有逐年增加的趋势，这类试题一般都紧扣课本内容，贴近生活，具有跨学科的特点.在高考中圆锥曲线占总分的15%左右，分值一直保持稳定.选择题、填空题重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综合性；解答题注重基本方法、数学思想的理解掌握和灵活运用，通常又不单独考查，多数情况是与函数、向量、数列结合起来，综合性强，难度较大，常被安排在试题最后.。
山西省忻州市2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程小结（1）预习案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山西省忻州市2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程小结（1）预习案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章圆锥曲线与方程小结（1）【教学目标】1.知识与技能：熟记椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质等基本知识；掌握涉及圆锥曲线定义、标准方程、几何性质等基本问题的解决方法。
2.过程与方法:通过学生列表总结，从整体上把握本章的逻辑结构，形成知识网络,使知识系统、条理；通过典型例题的讲解熟悉常规问题的处理方法。
3。
情感态度价值观：圆锥曲线是高考中重点考查内容 ,要熟悉基本知识、掌握基本方法,培养学生综合利用知识解决问题的能力.【预习任务】1．阅读并研究课本P78－P79内容并参考教材P74－P77的相关内容。
2.完成下列表格椭圆双曲线抛物线定义图形标准方程范围顶点坐标对称性焦点坐标(错误!,0）离心率准线方程 \ \渐近线方程\ \焦点三角形面积公式\PF 最值PO 最值max 21)(PF F P点位置\ \通径焦半径 \ \2。
注意下列知识:（1)椭圆焦点三角形的面积公式是： 双曲线焦点三角形的面积公式是：解与焦点三角形有关的问题常用哪些知识：（2)求离心率的常用方法：（3) 双曲线的渐近线方程与双曲线方程的关系是:(4)抛物线焦点弦有关的性质：【自主检测】教材P80A组题3，4；【组内互检】1.椭圆、双曲线的离心率公式、焦点三角形的面积公式、通径公式及双曲线的渐进线方程。
第二章 圆锥曲线与方程本章概览 内容提要本章主要学习三种圆锥曲线及方程，它们分别是椭圆、双曲线和抛物线，需掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质具体内容如下： 一、椭圆 1.椭圆定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的方程（1）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）.（2）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：2222bx a y +=1（a ＞b ＞0）.（3）一般表示：Ax 2+By 2=1（A ＞0，B ＞0且A≠B ）.椭圆的简单几何性质（a 222）1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程若焦点F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），则双曲线的标准方程为2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0，c 2=a 2+b 2）若焦点F 1（0，-c ）、F 2（0，c ），则双曲线方程为2222bx a y -=1（a ＞0，b ＞0），c 2=a 2+b 2）222）1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上.四、圆锥曲线的统一性1.它们都是平面截圆锥得到的截口曲线.2.它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，此值的取值范围不同形成了不同的曲线.3.它们的方程都是关于x，y的二次方程.学法指导圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型,有很多非常好的几何性质,这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用,所以学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.高中阶段对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想.同时,在本模块中,在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.圆锥曲线本身有一些很深奥的性质(如光学性质、行星运行轨道的性质等),其中有一些是圆锥曲线最基本的性质.。
2．3.1 双曲线及其标准方程1．双曲线 (1)定义□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述设点M 是双曲线上任意一点，点F 1，F 2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a <|F 1F 2|}． 2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax 2＋By 2＝1(其中AB <0)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x 24－y 216＝1上一点M 到左焦点的距离为8，则点M 到右焦点的距离为________．(2)双曲线x 2－4y 2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P 55T 1)已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)下列方程表示焦点在y 轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2) 5 (3)x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1(4)②③④解析 (3)∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝2 6. 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1.探究1 双曲线标准方程的认识例1 若θ是第三象限角，则方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆[解析] 曲线方程可化为x 2cos θ＋y 2cos θsin θ＝1，θ是第三象限角，则cos θ<0，cos θsin θ>0，所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线．故选A.[答案] A 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 答案 C 解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点；(2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2. [解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3522b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4732a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3522a 2－4b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4732b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，①又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？ 解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． 解 (1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ. ③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解 由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究4 与双曲线有关的轨迹问题例4 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)． 拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】 如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1， |MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支， 且a ＝32，c ＝5，∴b ＝912，∴点M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；(2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞) D．(－∞，－1) 答案 B解析 依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a . ∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．焦点在y 轴上，a ＝3，c ＝5的双曲线方程为________． 答案y 29－x 216＝1 解析 ∵b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16，又焦点在y 轴上， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.5．已知双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解 若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则word- 11 - / 11 双曲线的方程为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24，2c ＝26. ∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25. 双曲线的方程为x 2144－y 225＝1； 若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系． 则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。
圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝ 椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。
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2．２椭圆周长和面积计算公式椭圆定理（又名:椭圆猜想)ﻫﻫ椭圆定理易亚苏ﻫﻫ(关键词:椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。
)ﻫ圆完美的和谐,椭圆和谐的完美.ﻫﻫ一、椭圆第一定义ﻫ椭圆第一定义:平面内与两个定点Ｆ1、Ｆ２的距离的和等于常数（大于Ｆ1F２)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆第一定义的数学表达式：MF1+ＭＦ2＝２a〉F1F２（由于网上发文的遗憾,公式和符号略有缺陷,相信您能够看懂.）M为动点，Ｆ1、F2为定点，a为常数。
在椭圆中,用a表示长半轴的长,b表示短半轴的长，且a＞b＞0；２c表示焦距。
二、椭圆定理(一）椭圆定理Ⅰ(椭圆焦距定理）ﻫ椭圆定理Ⅰ:任意同心圆,小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。
该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理)（略)ﻫ(二)椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理)ﻫ定义1:K１=2/（π—2),K1为椭圆第一常数。
定义2:f=b/a,f为椭圆向心率(a〉ｂ〉０)。
定义3:T=K１＋f,Ｔ为椭圆周率.ﻫ椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合,椭圆第一常数Ｋ1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。
