高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修

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椭圆及其标准方程一、教学目标:知识与技能目标：准确理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导.过程与方法目标：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.情感、态度与价值观目标：通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度。

二、教学重点、难点：重点是椭圆的定义及标准方程，难点是推导椭圆的标准方程。

三、教学过程：教学环节教学内容和形式设计意图复习提问（1）圆的定义是什么？圆的标准方程的形式怎样?（2）如何推导圆的标准方程呢？激活学生已有的认知结构,为本课推导椭圆标准方程提供了方法与策略。

讲授新课一、授新1.椭圆的定义: (略）活动过程:操作--——-交流—-———归纳—-———多媒体演示——-——联系生活形成概念：在动手过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.操作: 〈1>固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上你得到了怎样的图形? 〈2>如果调整1F 、2F 的相对位置，细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化? 在变化的过程中发现圆与椭圆的联系；建立起用联系与发展的观点看问题;为下一节深入研究方程系数的几何意义埋下伏笔。

2．2.1 椭圆及其标准方程1．椭圆(1)□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，□02这两个定点叫做椭圆的焦点，□03两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 应用定义解题时，不要漏掉|MF 1|＋|MF 2|＝2a □04>|F 1F 2|这一个条件． (2)集合的语言描述为P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a □05>|F 1F 2|}． 2．椭圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.( )(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．( ) 答案(1)√(2)×(3)√(1)(教材改编P 38“椭圆的定义”)设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段(2)a ＝5，c ＝3，焦点在x 轴上的椭圆标准方程为________________________． (3)椭圆的方程为y 29＋x 24＝1，则a ＝______，b ＝______，c ＝________.(4)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为________．答案 (1)A (2)x 225＋y 216＝1 (3)3 25 (4)6解析 (1)∵|MF 1|＋|MF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，由椭圆定义可知，动点M 的轨迹为椭圆．探究1 椭圆的定义例1 已知△ABC 的周长是8，且B (－1,0)，C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 29＋y 28＝1(x ≠±3) B.x 29＋y 28＝1(x ≠0) C.x 24＋y 23＝1(y ≠0) D.x 23＋y 24＝1(y ≠0) [解析] ∵|AB |＋|AC |＝8－|BC |＝6>|BC |＝2，∴顶点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝3，b ＝2 2.又∵A ，B ，C 三点不共线，∴顶点A 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1(x ≠±3)．拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.【跟踪训练1】已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解设圆P的半径为r.又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.探究2 椭圆标准方程的应用例2 若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72C.72<m <16 D ．m >72[解析] 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m ＋9>0，m ＋9>16－m ，解得72<m <16.[答案] C[条件探究] 若将例2条件“y 轴”改为“x 轴”，其他条件不变，试求实数m 的取值范围．解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m ＋9>0，16－m >m ＋9，解得－9<m <72.[结论探究] 如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？ 解 由题意得c 2＝(m ＋9)－(16－m )＝2m －7， 所以c ＝2m －7，又72<m <16，所以0<2m －7<25，c ∈(0,5)， 所以焦距2c ∈(0,10)． 拓展提升方程x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m <n .【跟踪训练2】 (1)“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由方程x 27－m ＋y2m －3＝1表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m ≠m －3，解得3<m <7且m ≠5，所以3<m <7且m ≠5⇒3<m <7， 而3<m <7推不出3<m <7且m ≠5.所以，“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m2＝1(m >0)，并且焦距为6，求实数m 的值．解 ∵2c ＝6，∴c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2，a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，∴m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25, a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34. 探究3 椭圆的标准方程例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)； (2)a ＝8，c ＝6；(3)经过两点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. [解] (1)由题意得，2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，得a ＝6. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32. ∴所求的椭圆的方程为x 232＋y 236＝1.(2)∵a ＝8，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64－36＝28.当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 264＋y 228＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 264＋x 228＝1.故所求的椭圆方程为x 264＋y 228＝1或y 264＋x 228＝1.(3)①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴焦点在x 轴上的椭圆不存在．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.[解法探究] 解答例3(1)(3)有没有其他解法呢？ 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16b 2＋18a2＝1，a 2－b 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.∴所求的椭圆方程为x 232＋y 236＝1.(3)设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4，∴所求的椭圆方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 215＝1. 例4 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．[解] 如图所示，由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .②由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1与C 2为焦点．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48. ∴椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a 2－b 2＝c 2求出参数a ，b ，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a ，b ，c 三者之间的关系，通过解方程组求出a ，b .但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．因为它包括焦点在x 轴上(m <n )或焦点在y 轴上(m >n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c ，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．②求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【跟踪训练3】 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋3y22＝1解析 设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2.因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的坐标为(c ，b 2)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，即⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，得b 2＝23，所以椭圆方程为x 2＋3y22＝1.(2)求过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程．解 ∵c 2＝9－4＝5，焦点在x 轴上，∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1，∴a 2＝15， ∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.探究4 椭圆的焦点三角形问题例5 已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解] 由x 24＋y 23＝1可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4.② 由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.[条件探究] 例5中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？解 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×4×32＝ 3.拓展提升1.椭圆中焦点三角形的解题策略在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式：(1)由椭圆的定义可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式，|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)利用正、余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式． 这样我们便可求解出|PF 1|，|PF 2|.但是通常情况下我们是把|PF 1|±|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF 1|与|PF 2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用．2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2. (3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|·sin∠F 1MF 2＝b 2tan ∠F 1MF 22.【跟踪训练4】 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －4＝6－4＝2.∵|F 1F 2|＝2c ＝27，∴在△F 1PF 2中，利用余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2的大小为120°.1.椭圆定义的应用(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算.(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决. 2.椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围).(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n＝1，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m >0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化. 3.求椭圆标准方程的常用方法 (1)求关键量代入法； (2)待定系数法； (3)定义法； (4)相关点法.4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.1．若平面内点M 到定点F 1(0，－1)，F 2(0,1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．直线F 1F 2 C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线 答案 C解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹为线段F 1F 2.2．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的方程是( ) A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1 C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 D ．以上都不对 答案 A解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125，∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1.故选A.3．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±320，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，±320 答案 D解析 椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，知焦点在y 轴上，c 2＝116－125＝9400，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320. 4．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，①12r 1r 2＝9，②r 21＋r 22＝(2c )2，③由①得r 21＋2r 1r 2＋r 22＝4a 2，由②得r 1r 2＝18，所以r 21＋r 22＋36＝4a 2，④ ④－③得36＝4a 2－4c 2，即4b 2＝36， 所以b 2＝9，b ＝3.5．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．解 设d 是点M 到直线x ＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪|MF |d ＝12， 由此得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12.将上式两边平方，并化简，得3x 2＋4y 2＝48， 即点M 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.。