用追赶法解线性方程组

重庆理工大学数学与统计学院数值分析课程设计成绩评定书设计题目：用列主元消去法和追赶法求解带有边值问题的线性方程组专业班学号学生姓名指导教师用列主元消去法和追赶法求解线性方程组摘要：根据高斯消去法的理论知识，通过MATLAB 工具编写函数，运用列主元消去法和追赶法来求解线性方程组。

在消元过程中可能出现)(a k kk0 的情况，这时就可以用列主元消去法来解决，它的特点是每次在系数矩阵中依次按列在主对角线及以下的元素中，选取绝对值最大的元素作为主元，将它调到主对角线上，然后用它消去主对角线以下的元素，最后化为同解的上三角形方程组去求解；而在实际问题中，如求解系数矩阵为对角占优的三对角线性方程组，用追赶法求解就显得更方便。

可以看出，两种方法对于求解线性方程组都具有可行性和准确性。

关键词：高斯消去法；列主元消去法；追赶法；MA TLAB一、问题提出. 考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dx dy dx y d ε容易知道它的精确解为.1111ax e ea y x+⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程,21211a hy y hy y y ii i i i =-++-++-ε简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h hh hh A εεεεεεεεεε2222对1=ε，6.0=a ，100=n ，分别用列主元消去法和追赶法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差，对结果进行分析。

改变n ，讨论同样问题。

二、问题求解2.1列主元消去法2.1.1方法思想高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但它的改进、变形得到的主元素消去法仍然是计算机上常用的计算方法，高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。

Matlab追赶法和迭代法解线性⽅程组实验⽬的：1）追赶法解三对⾓阵；2）掌握解线性⽅程组的迭代法；3）⽤Matlab实现Jacobi及超松弛迭代法实验要求：1）掌握追赶法解三对⾓阵2）掌握解线性⽅程组的迭代法3）提交追赶法、Jacobi及超松弛迭代法的m⽂件实验内容：1）追赶法解三对⾓矩阵⽅程（m⽂件）习题1. ⽤追赶法的m⽂件求解2）Jacobi迭代法解线性⽅程组（m⽂件）对不同初值⽤Jacobi迭代法解习题1并⽐较结果。

3）超松弛迭代法解线性⽅程组（m⽂件）对不同松弛因⼦解习题1并⽐较结果。

实验步骤： 代码：1 %追赶法2 %输⼊：系数矩阵A和因变量d；3 %输出：⾃变量x4 function z=zuigan(A,d)5 n=length(d);6 %取三对⾓元素a,b,c7for i=1:n-18 a(i)=A(i,i);9 b(i)=A(i+1,i);10 c(i)=A(i,i+1);11 end12 a(n)=A(n,n);13 %分解系数矩阵14 u(1)=a(1);15 l(1)=c(1)/a(1);16for i=2:n-117 u(i)=a(i)-b(i-1)*l(i-1);18 l(i)=c(i)/u(i);19 end20 u(n)=a(n)-c(n-1)*l(n-1);21 %解y22 y(1)=d(1)/u(1);23for k=2:n24 y(k)=d(k)-c(k-1)*y(k-1)/u(k);25 end26 %解x27 x(n)=y(n);28for k=n-1:-1:129 x(k)=y(k)-l(k)*x(k+1);30 end31 z=x;32 endzuigan 运⾏： 所得结果，较为粗糙。

代码：1 %雅克⽐迭代法2 %输⼊系数矩阵A，因变量b，初始向量x0,容许误差eps,最⼤迭代次数t3 %输出⾃变量x和迭代数n4 function [z,k]=jacobi(A,b,x0,e,t)5 %默认eps和最⼤迭代次数m6if nargin==37 e=1e-6;8 m=200;9 elseif nargin<310 error('输⼊的参数不⾜');11return;12 elseif nargin==513 m=t;14 end15 n=length(b);16 x(1,:)=x0;17 z(1,:)=x0;18for k=2:m19 sum=0;20for i=1:n21 w=0;22 u=0;23for j=i+1:n24 w=w+A(i,j)*x(k-1,j);25 end26for j=1:i-127 u=u+A(i,j)*x(k-1,j);28 end29 x(k,i)=(-1/A(i,i))*(u+w-b(i));30if sum<abs(x(k,i)-x(k-1,i))31 sum=abs(x(k,i)-x(k-1,i));32 end33 end34if sum<e35 z(k,:)=x(k,:);36return;37 end38 z(k,:)=x(k,:);39 end40 endjacobi 运⾏⽰例，初始向量x0=[0 0 0 0 0 0];和初始向量x0=[1 1 1 1 1 1]; 初始值不同，迭代次数可能不同。

用追赶法解方程组步骤方程组是数学中常见的问题之一，解方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是追赶法。

下面我们来详细介绍用追赶法解方程组的步骤。

步骤一：给定方程组我们需要给定一个方程组。

方程组可以由多个方程组成，每个方程中包含多个未知数和常数项。

我们的目标是求解出方程组中的未知数。

步骤二：将方程组转换为矩阵形式为了方便计算，我们将方程组转换为矩阵形式。

即将每个方程的未知数和常数项放在一个矩阵中，方程组的系数矩阵和常数矩阵分别用A和B表示。

步骤三：进行初等行变换接下来，我们需要进行初等行变换。

初等行变换包括交换两行、用非零常数乘以某一行、将某一行的倍数加到另一行上。

通过初等行变换，我们可以将方程组转化为一个三角矩阵或者行最简形。

步骤四：回代求解在经过初等行变换后，我们得到了一个三角矩阵或者行最简形。

接下来，我们可以通过回代的方式求解出未知数的值。

回代的过程就是从最后一行开始，依次代入求解出上一行的未知数，直到求解出所有的未知数。

步骤五：检验解的正确性在求解出未知数的值后，我们需要检验解的正确性。

即将求解出的未知数代入原方程组中，检查等式是否成立。

如果方程组中的每个等式都成立，则我们得到了方程组的解。

追赶法是一种有效的求解方程组的方法，它可以通过化简方程组的形式，将复杂的计算转化为简单的计算，从而节省时间和精力。

通过追赶法，我们可以快速求解出方程组中的未知数，并检验解的正确性。

在实际应用中，追赶法广泛应用于线性方程组的求解。

线性方程组是一种常见的方程组，它包含线性关系，可以用来描述很多实际问题，如电路分析、力学问题等。

追赶法的优势在于其简单易行、计算速度快的特点，使得它成为解决线性方程组的常用方法之一。

总结起来，用追赶法解方程组的步骤包括给定方程组、将方程组转换为矩阵形式、进行初等行变换、回代求解和检验解的正确性。

通过这一系列步骤，我们可以快速求解出方程组中的未知数，并验证解的正确性。

追赶法在线性方程组的求解中具有重要的应用价值，它不仅能够提高计算效率，还能够简化计算过程，使得解方程组变得更加简单和直观。

一、实验题目用追赶法解线性三对角方程组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡322141141141124321x x x x 二、实验目的1.熟悉掌握追赶法法的基本原理和基本方法。

2.学会用追赶法法解简单的方程组。

三、实验原理（1）f Ly =，求y ；（2）y Ux =，求x ； 从而得到解三对角线方程组的追赶法公式。

1. 计算的递推公式：111/b c =β)/(1--=i i i i i a b c ββ2. 解：f Ly =111/b f y =a ab y a f y i i i i i i i )/()(11----=β3. 解：y Ux =n n y x =1+-=i i i i x y x β四、实验内容及结果原始数据:a=[1,1,1];b=[2,4,4,4];c=[1,1,1];d=[1,-2,2,-3];追赶法解三对角方程组：程序源代码%machase.mfunction x=machase(a,b,c,d)%用途：追赶法解三对角方程组Ax=d%格式：x= machase(a,b,c,d) a为次下对角线元素向量，b主对角元素% 向量，c为次上对角线元素向量，d为右端向量，x返回解向量n=length(a);for k=2:nb(k)=b(k)-a(k)/b(k-1)*c(k-1);d(k)=d(k)-a(k)/b(k-1)*d(k-1);endx(n)=d(n)/b(n);for k=n-1:-1:1x(k)=(d(k)-c(k)*x(k+1))/b(k);end输入：a=[1,1,1];b=[2,4,4,4];c=[1,1,1];d=[1,-2,2,-3];machase(a,b,c,d)结果：ans =0.9615 -0.9231 0.7308五、实验结果分析追赶法为一种特殊的LU分解法。

追赶法是求解三对角矩阵的常用方法，但从整体编程角度分析，其程序编写较迭代法复杂，但通用性较好。

第1篇一、实验目的通过本次实验，掌握追赶法的基本原理和计算步骤，了解追赶法在解三对角线性方程组中的应用，并学会利用C++编程实现追赶法，提高编程能力。

二、实验原理追赶法是一种解三对角线性方程组的迭代方法，其基本原理是利用递推公式逐步求解未知数。

对于形如Ax=b的三对角线性方程组，其中系数矩阵A具有如下形式：A = [a_00, a_01, 0, ..., 0;a_10, a_11, a_12, ..., 0;0, a_21, a_22, ..., a_2n-1;...;0, ..., 0, a_n2]追赶法将系数矩阵A分解为两个因子L和U，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，即：A = LU其中：L = [1, 0, ..., 0;a_10/a_11, 1, 0, ..., 0;..., ..., ..., ...;a_n1/a_n2, ..., ..., ..., 1]U = [a_11, a_12, ..., a_1n;0, a_22, ..., a_2n-1;..., ..., ..., ...;0, ..., ..., a_n2]通过递推公式求解L和U中的元素，进而得到解向量x：x_1 = b_1 / a_11x_i = (b_i - ∑(j=1 to i-1) l_ij x_j) / u_ij, i = 2, ..., n三、实验步骤1. 编写C++程序，实现追赶法的基本算法。

2. 生成三对角线性方程组的系数矩阵A和解向量b。

3. 调用C++程序，计算追赶法的结果，并输出解向量x。

4. 分析追赶法的计算过程，验证结果是否正确。

四、实验数据及结果1. 生成三对角线性方程组的系数矩阵A和解向量b。

假设A为：A = [2, -1, 0, 0, 0;-1, 2, -1, 0, 0;0, -1, 2, -1, 0;0, 0, -1, 2, -1;0, 0, 0, -1, 2]b = [1, 1, 1, 1, 1]2. 追赶法计算结果。

第16讲 追赶法、误差分析在实际应用问题中，经常会遇到解三对角线方程组。

例如：用三次样条函数的插值问题中得到的三转弯及三弯矩方程组，当时说可用追赶法来求解。

还有用差分法解二阶线性常微分方程边值问题，若用三点插值格式也得到解三对角线方程组，本节介绍该类方程组中的特例及该种方程组的解法：追赶法。

优点：1.计算量小。

2.方法简单，存贮量小。

3.数值稳定的（对舍入误差来说）。

1 追赶法三对角线方程组的一般表示方法：可见，对A 的分解只需求i i u l ,且按n n n l u l u l u l −→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−--112211.....的递推过程进行，形象地称为“追”的过程⎩⎨⎧=-==-),....2(/)(/1111n i l y a f y l f y i i i i⎩⎨⎧-=-==+)1,2,.....1(1n i x u y x y x i i i inn 形象地称回代求解过程为“赶”的过程追赶法的计算量为5n-4次乘除法，可用4个 一 维数组存放{}{}{}{}i i i i f c b a ,,,。

共占用4n-2个单元，在计算过程中{}{}{}i i i y u l ,,依次覆盖掉{}{}{}i i i f c b ,,最后，{}i x 覆盖掉{}i y ，所以，追赶法具有计算量小，占用内存单元少的特点。

2、误差分析⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n n l u u u U 121....111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nl a l a l a l L ....33221)1,...,3,2,1(-=n i ⎪⎩⎪⎨⎧+===+++11111i i i i ii i lu a b u l c l b ⎪⎩⎪⎨⎧-===+++ii i i ii i u a b l l c u b l 11111/)1,...,3,2,1(-=n i病态方程组与条件数一个线性方程组Ax=b 是由它的系数矩阵A 和它的右端项b 所确定，在实际问题中，由于各种原因，A 或b 往往有误差，从而使得解也产生误差。

实验一 直接法解线性方程组一、实验目的掌握列选主元消去法与追赶法解线性方程组。

二、实验内容分别写出Guass 列选主元消去法与追赶法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一解线性方程组问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

实验中以下列数据验证程序的正确性。

1、用Guass 列选主元消去法求解方程组 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--5.58.37.33.47.11.85.16.93.51.53.25.2321x x x2、用追赶法求解方程组 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----000010210210000210000210000254321x x x x x三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理1、Guass 列选主元消去法 对于AX =B1）、消元过程：将（A|B ）进行变换为)~|~(B A ，其中A ~是上三角矩阵。

即：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n n nnn n n n b a b a b a a b a a a b a a a b a a a010122111221222221111211k 从1到n-1 a 、 列选主元选取第k 列中绝对值最大元素ik ni k a ≤≤max 作为主元。

b 、 换行ik ij kj b b n k j a a ⇔+=⇔,,1,c 、 归一化 kkk k kj kk kj b a b n k j a a a ⇒+=⇒/,,1,/d 、 消元nk i b b a b n k j n k i a a a a i k ik i ij kj ik ij ,,1,,,1;,,1, +=⇒-+=+=⇒-2）、回代过程：由)~|~(B A 解出11,,,x x x n n -。

1,2,,1,/1-=⇒-⇒∑+=n k x x ab x a b k nk j j kjk nnn n2、追赶法 线性方程组为： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n n n n n nn n n f f f f f x x x x x a b c a b c a b c a b c a 132********33322211做LU 分解为： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1111,12133221n n nR L βββαγαγαγα分解公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-====-)1,,2,1(),,3,2(,),,3,2(111n i c n i b b n i a i i i i i i i i i αββγααγ 则⎩⎨⎧==⇒=⇒=y Ux fLy f LUx f Ax 回代公式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-),,3,2(1111n i y f y f y i i i i i αγα⎩⎨⎧--=-==+)1,,2,1(1n n i x y x y x i i i i n n β五、实验步骤1、理解并掌握列选主元消去法与追赶法；2、画出列选主元消去法与追赶法的流程图3、使用VC 语言编写出相应的程序并调试验证通过1.高斯消元核心代码：void guass(double a[],int n,double b[],double x[]) { int i,j,m;double s;for(i=1,j=0;i<n;i++,j++) { for(m=i;m<n;m++){ s=a[j*n+j]/a[m*n+j]; //printf("%f ",s); //printf("\n");for(int k=j;k<n;k++) { a[m*n+k]=a[m*n+k]*s-a[(i-1)*n+k];}b[m]=b[m]*s-b[i-1];}}for(i=n-1;i>-1;i--){if(i==n-1)x[i]=b[i]/a[i*n+i];else{s=b[i];for(j=1;j<n-i;j++){s=s-a[i*n+n-j]*x[n-j];}x[i]=s/a[i*n+i];}}}运行结果如下：2.追赶法核心代码：void chase(float a[],int n,float l[],float u[]){int i;for(i=1;i<=n-1;i++){l[i*n+i-1]=a[i*n+i-1];if(i==1)l[0]=a[0];elsel[(i-1)*n+i-1]=a[(i-1)*n+i-1]-l[(i-1)*n+i-2]*u[(i-2)*n+i-1];u[(i-1)*n+i-1]=1;u[(i-1)*n+i]=a[(i-1)*n+i]/l[(i-1)*n+i-1];}l[(i-1)*n+i-1]=a[(i-1)*n+i-1]-l[(i-1)*n+i-2]*u[(i-2)*n+i-1];u[(i-1)*n+i-1]=1;}void solve(int n,float l[],float u[],float f[]){float y[4],x[4];for(int i=1;i<=n;i++){if(i==1)y[i-1]=f[0]/l[0];elsey[i-1]=(f[i-1]-l[(i-1)*n+i-2]*y[i-2])/l[(i-1)*n+i-1];}for(i=n;i>0;i--){if(i==n)x[i-1]=y[i-1];elsex[i-1]=y[i-1]-x[i]*u[(i-1)*n+i];}for(i=0;i<n;i++)printf("%f ",x[i]);}运行结果：七、实验注意事项注意如何定义数据结构以保存矩阵和解以降低算法的复杂性。

在探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组之前，我们首先需要了解什么是追赶法和什么是三对角方程组。

追赶法又称托马斯算法，是一种用于求解带状矩阵（即只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵）的线性方程组的方法。

而三对角矩阵就是只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵。

在实际应用中，求解带状矩阵的线性方程组是非常常见的，特别是在数值计算和科学工程领域。

现在，让我们深入探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组的方法和具体步骤。

一、MATLAB追赶法解101阶三对角方程组1. 概念介绍101阶三对角方程组是一个非常大的线性方程组，通常使用传统的高斯消元法来求解会耗费大量的时间和计算资源。

而MATLAB追赶法通过利用三对角矩阵的特殊性质，可以有效地简化计算过程，并且节省大量的内存和计算资源。

2. 追赶法步骤（1）将原方程组化为追赶法所需的形式；（2）利用追赶法求解三对角线性方程组。

二、追赶法求解101阶三对角方程组的实现过程1. 将原方程组化为追赶法所需的形式对于101阶三对角方程组，我们首先需要将其化为追赶法所需的形式。

这个过程涉及到选取合适的追赶元和追赶子以及对原方程组的变形，将其化为追赶法能够直接处理的形式。

2. 利用追赶法求解线性方程组一旦将原方程组化为追赶法所需的形式，我们就可以利用追赶法对其进行求解。

追赶法的核心是通过追赶子的迭代计算，逐步求得线性方程组的解。

在MATLAB中，可以使用内置的追赶法求解函数，也可以编写自定义的追赶法算法来实现对101阶三对角方程组的求解。

三、个人观点和理解在实际工程和科学计算中，追赶法是一种非常有效的求解带状矩阵线性方程组的方法。

对于大规模的三对角方程组，特别是高阶的情况，传统的直接求解方法往往会遇到内存和计算资源的限制，而追赶法能够通过精巧的迭代计算，在保证解的精度的显著提高计算效率。

在MATLAB中，通过调用内置的追赶法函数，可以快速地求解大规模的三对角方程组，极大地方便了工程实践中的数值计算工作。