高中数学：空间直线和平面的位置关系教案

《平面与直线的位置关系》教案平面与直线的位置关系教案一、知识目标1. 理解平面的概念和特点；2. 理解直线的概念和特点；3. 能够区分平面和直线的不同；4. 掌握平面与直线的位置关系，如平面内、平面外、平面上、平面下、平面与直线相交、平面与直线平行、平面包含直线等。

二、教学重点和难点1. 教学重点：掌握平面与直线的位置关系；2. 教学难点：平面与直线的包含关系和相交关系。

三、教学过程1. 导入新知识1. 老师可以利用课件、教具等展示平面和直线的图形，比较两者的不同，并引导学生探讨不同之处。

2. 理论研究1. 讲解平面和直线的定义和特点；2. 利用白板、草图等形式进行讲解，便于学生理解；3. 引导学生举例说明平面和直线之间的区别。

3. 拓展练1. 让学生进行练，例如：在平面内画直线；在平面外画直线；在平面上画直线等。

4. 归纳总结1. 教师总结平面与直线的位置关系；2. 利用案例进行演示，让学生更加直观地理解平面与直线的位置关系。

四、作业布置1. 练册上相关练。

五、板书设计- 平面与直线的定义；- 平面与直线的位置关系。

六、教学反思本节课主要介绍了平面与直线的位置关系，包括平面内、平面外、平面上、平面下、平面与直线相交、平面与直线平行、平面包含直线等。

对学生而言，理解这些概念需要看图说理和实践操作。

在教学时，我利用了课件、白板和草图等多种工具，使学生能够更好地理解概念，同时布置了相关的练习作业，加深学生的理解和记忆。

下一步需要通过案例来拓展学生的思维，让学生更加直观地感受平面与直线的位置关系。

高中数学备课教案空间几何中的平面与直线的位置关系高中数学备课教案空间几何中的平面与直线的位置关系1. 引言在空间几何中，平面与直线的位置关系是数学中的一个重要领域。

它不仅涉及到平面和直线的相互关系，也与解决实际问题有很大的联系。

本教案将围绕平面与直线的位置关系展开，通过讲解相关概念和性质，引导学生理解和应用这些知识。

2. 平面与直线的交点2.1 直线在平面内的情况当一条直线完全在平面内时，它与该平面有无数个交点。

这是因为直线上的任意一点都在平面内，因此可以选择直线上的任意一点作为交点。

2.2 直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一点时，该点既在直线上，又在平面上。

在这种情况下，我们可以通过求解直线与平面的交点来确定它们的位置关系。

3. 平面与直线的位置关系3.1 平行关系当一条直线和一个平面没有交点时，它们被称为平行关系。

在平面几何中，平行关系是非常重要的一种情况，也是我们平时最常见的情况之一。

3.2 直线在平面上的投影当直线在平面上的投影为一条线段时，该直线与平面的位置关系可以被描述为线段与平面的位置关系。

在这种情况下，我们可以通过求解线段与平面的交点来确定直线与平面的位置关系。

4. 平面与直线的重合当一条直线完全重合于一个平面时，我们称这条直线和平面重合。

在这种情况下，直线上的任意一点都在平面上，它们的位置关系是一致的。

5. 总结与应用通过学习和理解平面与直线的位置关系，我们可以应用这些知识解决各种实际问题。

例如，在建筑设计中，我们需要确定平面与直线的相交点来确定墙面的位置；在机械设计中，我们需要考虑平面与直线的平行关系来确定装配的准确性。

在考试中，我们也经常会遇到与平面与直线的位置关系相关的题目。

因此，学生们需要熟练掌握相关概念和性质，灵活运用这些知识解题。

6. 结束语通过本教案的学习，相信学生们对于空间几何中平面与直线的位置关系有了更深入的理解。

希望他们能够在实际问题中灵活运用这些知识，提高解决问题的能力。

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案教学目标：1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。

2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.教学重点：直线与平面的三种位置关系及其作用．教学难点：直线与平面的三种位置关系及其作用问题提出1. 空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？2. 空间两直线有哪几种位置关系？探究：直线与平面之间的位置关系思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？思考2:如图，线段A ′B 所在直线与长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的六个面所在的平面各是什么位置关系？思考3:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系有哪些？靠什么来划分呢？思考4:用图如何表示直线与平面的三种位置？如何用符号语言描述这三种位置关系？思考5:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l 平行于平面α，则直线l 与平面α内的直线的位置关系如何？B A DCA' B'D' C'理论迁移例1 给出下列四个命题：(1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α.(2)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.(3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l 在平面α内，且l 与平面β平行，则平面α与平面β平行.其中正确命题的个数共有 __个.随堂练习：判断正误1、若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α( )2、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行( )3、如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( )4、如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行（ ）5、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点( )巩固练习1．选择题（1）以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b其中正确命题的个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个（2）已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个（3）如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）（A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ⊂α（4）已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ）（A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交（C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交（5）已知直线a 在平面α外，则 （ ）（A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点（C ）a A α⋂= （D ）直线a 与平面α至多有一个公共点课本49页练习课堂小结课外作业一、选择题： 1．下列命题中正确的是（ ）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B．垂直于同一条直线的两条直线平行C．若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥αD．若一条直线平行于两个平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一个2．下列四个命题（1）存在与两条异面直线都平行的平面；（2）过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；（3）过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；（4）过直线外一点可作无数个平面与该直线平行．其中正确的命题是（）A．（1），（3）B．（2），（4）C．（1），（3），（4）D．（2），（3），（4）3．已知平面α∥平面β，直线a∥α，直线b∥β那么，a与b的关系必定是（）A．平行或相交B．相交或异面C．平行或异面D．平行、相交或异面二、填空题：4．已知直线a∥b，a、b 平面α，直线c与a异面，且b与c不相交，则c与α的位置关系是_______．5．给你四个命题：①过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行②过直线外一点，有且只有一个平面与该直线平行③过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行④过平面外一点，有无数多条直线与该平面平行其中真命题为_____________（写出序号即可）6．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为_____________．自我评价：_______________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________。

城东蜊市阳光实验学校1〔1〕空间直线和平面的位置关系一、教学内容分析空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言根底，也是进展空间几何研究的起点.1空间直线和平面的位置关系〔1〕是在学习了空间直线和直线的位置关系之后,进一步探究空间直线和平面的特殊位置关系之一——直线和平面垂直.课本通过观察旗杆是否直立在地面上的问题,要求学生能理解空间直线和平面垂直的含义及其表示法，归纳出空间直线和平面垂直的定理.通过图14-18，要求学生会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系.通过图14-1的长方体，要求能运用空间直线和平面垂直的定义及定理进展简单的推理，体会出几何推理证明的考虑方法，根本规那么和严谨性,通过例1，要求学生能理解异面直线间的间隔、点和平面的间隔的概念，知道直线和平面的间隔、平面和平面的间隔的含义及其与点和平面的间隔的转化关系，会在简单图形中进展有关间隔确实定与计算.空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的间隔以及直线和平面所成的角等内容的根底，因此它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.二、教学目的设计在通过观察和实验，探究直线和平面垂直的位置关系的过程中，理解空间直线和平面垂直的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，理解空间直线和平面垂直的定义及定理，体会几何推理证明的考虑方法，根本规那么和严谨性，开展空间想象力和逻辑思维才能，理解异面直线间的间隔、点和平面的间隔的概念，知道直线和平面的间隔、平面和平面的间隔的含义及其与点和平面的间隔的转化关系，体会化归和转化的数学思想方法.三、教学重点及难点空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法，几何推理证明的考虑方法，根本规那么和严谨性，空间间隔确实定与计算.四、教学用具准备投影仪，多媒体课件五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入引例:简述以下问题的结论，并画图说明：〔1〕直线a α≠⊂平面，直线ba A =，那么b 和α的位置关系如何？〔2〕直线a α≠⊂平面，直线//b a ，那么b 和α的位置关系如何？解：〔1〕,b bA αα≠⊂=平面或；〔2〕,//b b αα≠⊂平面或. [说明]〔1〕引导学生掌握空间直线与平面的各种位置关系，学会各种位置关系的画法与表示方法.注意立体几何中，文字、符号语言与图形直观的互相转化. 〔2〕小结空间直线和平面的位置关系[说明]同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系.今天我们来探究空间直线和平面相交中的一种特殊位置关系——直线和平面垂直二、学习新课问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是什么？请举例说明.引入 探究 稳固 应用 总结 作业AB B’C’[说明]引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，教室内直立的墙角线和地面的位置关系等.问题2：结合对以下问题的考虑，讨论能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线和这个平面垂直呢？〔1〕如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC系是什么？随着太阳的挪动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗〔2〕旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线是什么？根据是什么？由此得到什么结论？〔3〕如图2，当旗杆AB倾斜时，还能保证AB与地面上的任一直线都垂直吗？[说明]〔1〕引导学生用“平面化〞与“降维〞的思想来考虑问题，通过观察考虑，感知直线与平面垂直的内涵.〔2〕教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间是是的变化而挪动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直.〔3〕通过观察、考虑与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直〞是这条直线与平面垂直的本质内涵.还可引导学生观察实例〔如表示直线的笔与表示平面的桌面的位置关系〕和几何模型〔如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等〕，从中感知：只要平面外的直线不垂直于这个平面，平面内就有直线与平面外的这条直线不垂直，反之亦然.〔4〕让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义.教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法.定义：一般地，假设一条直线l与平面α上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l与平面α垂直〔line l perpendiculartoplaneα〕，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线〔perpendicularline〕，平面DCBA图4α叫做直线l 的垂面．l 与面α的交点叫做垂足.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图3.辨析1：以下命题是否正确？为什么？〔1〕假设一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直. 〔2〕假设一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线.[说明]通过问题辨析，加深概念的理解.由〔1〕使学生明确定义中的“任意一条直线〞是“所有直线〞的意思.而〔2〕给出了直线与直线垂直的一种断定方法.引导学生给出命题〔2〕的符号表示：a a b b αα≠⊥⎫⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎭问题3：通常定义可以作为断定的根据，那么用上述定义断定直线与平面垂直是否方便？为什么？如何改进？[说明]感受用定义作判断不方便，引发学生探究断定定理的需要，体会有限与无限的辨证关系. 引导学生考虑用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才适宜，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，可引导学生观察直立地面的棋杆与其在地面的影子，还可进展如下实验. 实验：如图4，请同学们拿出准备好的一块〔任意〕三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，〔BD 、DC 与桌面接触〕.问题4：如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么结论？[说明]通过折纸让学生发现当且仅当折痕娥AD 是BC 边上的高，即AD⊥BC 时翻折后的折痕AD 与桌面垂直.引导学生发现折痕AD 与桌面垂直的本质特征：AD 是BC 边上的高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，同时CD 、BD 是两相交直线不变，这就是说，当AD 垂直于桌面内的两条相交直线αlP图3图6CD 、BD 时，它就垂直于桌面所在的平面.定理2：假设直线l 与平面α上的两条相交直线a 、b 都垂直，那么直线l 与平面α垂直.用符号语言表示为：,,,a b a b O l l a l b ααα≠≠⊂⊂⋂=⎫⎪⇒⊥⎬⊥⊥⎪⎭辨析2：〔1〕以下命题是否正确？为什么？假设一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，那么这条直线垂直于平行四边形所在的平面.〔2〕如图5,假设α内两条相交直线m 、n 与l 无公一一共点且l⊥m、l⊥n，直线l 还垂直平面α吗？[说明]通过辨析，让学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,否找到两条相交直线和直线垂直，共点是无关紧要的.所谓：“线不在多，相交那么灵〞.三、稳固练习例1：如图,观察跨栏、跳高架，你认为跨栏的支架、跳高架的立竿能竖直立于地面的原因是什么[说明]用学习到的知识解释实际生活中的问题，增强学生运用数学的意识，深化对直线与平面垂直定理的理解.例2：如图6，a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.[说明]初步感受如何运用直线与平面垂直的定理与定义解决问题，明确运用线面垂直定理时的详细步骤，防止缺少条件，特别是“相交〞的条件.让学生用文字语言表达：假设两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.命题表达了平行关系与垂直关系的联络，其结果给出了直线和平面垂直的又一个断定方法. 例3：〔1〕如图7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别是AA1、CC1的中点，判断以下结论是否正确：①AC⊥面CDD1C1②AA1⊥面A1B1C1D1CA 1 EF③AC⊥面BDD1B1④EF⊥面BDD1B1 ⑤AC⊥BD1〔2〕将〔1〕中正方体改成长方体呢，以上结论是否正确？[说明]利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用.其中①是定义的应用，②是定理的应用，④是考虑题2结论的应用，③⑤是定理与定义的综合应用.四、应用应用之一是利用直线与平面垂直的定义、定理进展一些简单的推理，体会几何推理证明的考虑方法，根本规那么和严谨性. 我们继续研究图7例4:如图7,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别是AA1、CC1的中点，AC BD O =，连接11,,,A D A B DF BF ，求证:1BD A F ⊥[说明]要证线线垂直，可找线面垂直，反之亦然.即：这是立体几何证明垂直时常用的转化方法.除此之外，也要注意有时是从数量关系通过计算找线线垂直，如勾股定理等，有时会利用平面几何的性质，如等腰三角形底边上的三线合一等等.应用之二是利用直线与平面垂直的定义、定理解决一些度量问题，如角、间隔等，我们如今来探究间隔的度量问题.问题5：你能举例说明间隔在日常生活中的重要性吗？[说明]引导学生举出生活中常见的需要测量间隔的例子，如为了有适宜的照明，需要确定吊灯与桌面的间隔；为了保证平安，高压线离地面需要相当的间隔；为了购置家具，需要知道天花板与地面的间隔等等，体验探究间隔的必要性，间隔定义：〔1〕点M 和平面α的间隔：过点M 作平面α的垂线，垂足为N ，我们把点M 到垂足N 之间的间隔叫做点M 和平面α的间隔.〔2〕直线l 和平面α的间隔：设直线l 平行于平面α．在直线l 上任取一点M ，我们把点M 到平面α的间隔叫做直线l 和平面α的间隔.〔3〕设平面α平行平面β，在平面α上任取一点M ，我们把点M 到平面β的间隔叫做平面α和平面β的间隔.〔4〕异面直线a 和b 的间隔：设直线a 和b 是异面直线，当点M 、N 分别在a 和b 上，且直线MN 既垂直于直线a ，又垂直于直线b 时，我们把直线MN 叫做异面直线a 和b 公垂线，，垂足M 、N 之间的间隔叫做异面直线a 和b 的间隔.[说明]立体几何中，求间隔的关键是化归，即空间间隔向平面间隔的化归，表达了“降维〞的思想. 我们继续研究图7例5：如图7,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，1,AA AB 和AD 的长分别为3,4cm cm 和5cm .〔1〕求点A 和点1C 的间隔； 〔2〕求点A 到棱11BC 的间隔；〔3〕求棱AB 和平面1111D A B C 的间隔； 〔4〕求异面直线AD 和11A B 的间隔.[说明]求间隔的根本步骤是作、证、算，此外还要特别注意交融在运算中的推理过程，推理是运算的根底，运算只是推理过程的延续.因此求间隔的关键是直线与平面位置关系的论证.四、课堂小结〔1〕通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？CA 1 EF〔2〕上述判断直线与平面垂直的方法表达了什么数学思想？〔3〕你会利用直线与平面垂直的定义和定理找到点、线、面的间隔并计算吗？五、作业布置1、点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC 与BD 的交点，且PA=PC ，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCD.2、探究题：如图，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD 〔侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱〕中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？3、课本P14练习4．AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，AB ＝2，AC ＝1， P 为⊙O 所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB 与平面所成角为45 〔1〕证明：BC⊥平面PAC ； 〔2〕求点A 到平面PBC 的间隔．[说明]通过训练，稳固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的才能.其中第1题主要运用直线与平面垂直的断定定理，第2、是活用直线与平面垂直的定义与断定定理.第3、4题是利用直线与平面垂直的定义与断定定理找到点、线、面的间隔并计算.六、教学设计说明空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的间隔以及直线和平面所成的角等内容的根底，因此它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.在探究空间直线与平面垂直的定义及断定定理时，注意从详细实例出发，通过观察、考虑与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直〞是这条直线与平面垂直的本质内涵.引导学生考虑用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才适宜，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，通过折纸活动进展讨论，再通过辨析，让学生明白要判断一条直线与一个题 3 A DCBA’ B’C’D’平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和直线垂直，至于这两条相交直线是否和直线有公一一共点是无关紧要的.所谓：“线不在多，相交那么灵〞.在这个过程中，用问题驱动课堂教学，引导学生自主探究、归纳、总结出相关概念，充分发挥学生主体作用，在应用定义和定理证明空间直线与平面垂直的过程中，注意引导学生把在直线和平面关系转化为直线和直线的关系，浸透转化思想的应用.这种转化思想同样要浸透在求直线和平面、平面和平面之间的间隔中，它们都可转化成求点和平面的间隔.空间直线与平面垂直的问题是立体几何中一个根本的问题，在后面的多面体学习中会继续涉及，因此，教学中要注意把握好“度〞.所选例题和习题都不宜太难.同时，应注重思维过程的严谨性，无论是判断、证明，都要紧扣定义和定理.。

《直线、平面之间的位置关系》教学设计用符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关系；理解直线与平面垂直的含义、了解点面距、线面距、面面距的定义教学重点：直线与平面垂直的含义、点面距、线面距、面面距的定义． 教学难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系．PPT 课件．【新知探究】问题1：空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系有哪些位置关系？.师生活动：结合图11－1－17，总结空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系.预设的答案：直线与平面的位置关系：一般地，如果l 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则：lα≠∅与l α=∅有且仅有一种情况成立.（1）当l α≠∅时，要么l α⊂，要么l 与α只有一个公共点； （2）当lα=∅时，称直线l 与平面α平行，记作：//l α.平面与平面的位置关系：如果α与β是空间中的两个平面，则αβ≠∅ 与◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标αβ=∅有且仅有一种情况成立．（1）当αβ≠∅时，α与β的公共点组成一条直线；（2）当αβ=∅时，称平面α与平面β平行，记作：//αβ.文字语言表达图形语言表达符号语言表达A是直线l上的点，A1不是直线l上的点A∈l，A1∉l A是平面α内的点，A1不是平面α内的点A∈α，A1∉α直线l在平面α内(或平面α过直线l)l⊂α直线l在平面α外直线l与平面α相交l∩α＝Al⊄α直线l与平面α平行l∥α平面α与平面β相交于l α∩β＝l 平面α与平面β平行α∥β设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题2：观察图中的长方体(1) A1A与AB是否垂直，A1A与AD是否垂直并说明理由；(2) 判断A1A与AC是否垂直；(3) 若直线在平面ABCD 内，且过点A ，判断A 1A 与l 是否垂直.师生活动：引导学生阅读教材，给出结论 预设的答案：直线与平面垂直：由观察可知，图中，不管直线的具体位置如何，只要,A l l ∈⊂平面ABCD ，则一定有1A A l ⊥.追问：如何定义直线与平面垂直？空间距离有哪些？ 预设的答案：直线与平面垂直的定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直（或l 是平面α的一条垂线，α是直线l 的一个垂面），记作l α⊥），其中点A 称为垂足. 因此，图中长方体中，有1A A ⊥平面ABCD ，类似地，有1A A ⊥平面1111,A B C D 11A B ⊥平面11BCC B .点到平面的距离、直线到平面的距离：给定空间中一个平面α以及一个点A ，过A 可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B ，则称B 为A 在平面α内的射影（也称为投影），线段AB 为平面α的垂线段，AB 的长为点A 到平面α的距离.特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；平行平面间的距离：当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.因此，点1A 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，直线11A B 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，面1111A B C D 与面ABCD 之间的距离等于1A A 的长.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】 例1.思考辨析(1)直线l 在平面α内，记作l ∈α.( ) (2)若a ∩b ＝∅，则a 与b 平行．( )(3)若l ∩α≠∅，则直线l 与平面α有公共点．( ) (4)若直线l 在平面α外，则直线l 与平面α平行．( )(5)若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．( ) 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案： (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 设计意图：了解点、线、面位置关系的表示． 例2. 下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： B 当α内的无数条直线平行时，l 与α不一定垂直，故①不对； 当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l 与α垂直，故②不对； 当l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确． 设计意图：直线与平面垂直的概念辨析例3. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，AA 1＝3 cm ，则 (1)点A 到平面DCC 1D 1的距离为________； (2)直线AA 1到平面BCC 1B 1的距离为________； (3)平面ABCD 与平面A 1B 1C 1D 1之间的距离为________. 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：(1)4 cm (2)6 cm (3)3 cm 设计意图：进一步认识空间距离及求法 【课堂小结】问题：（1）直线与平面、平面与平面位置关系有哪些？ （2）直线与平面垂直是定义是什么？空间距离有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．直线a 与平面α的位置关系：⎩⎨⎧a ∩α＝∅⇒a ∥αa ∩α≠∅⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 与α相交a 在α内；平面α与平面β的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧α∩β＝∅⇒α与β平行α∩β≠∅⇒α与β相交2．直线与平面垂直：(1)定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直．(2)点面距：若点A 是平面α外一点，AB ⊥α，B 为垂足，则线段AB 的长 为点A 到平面α的距离．(3)线面距、面面距转化为点面距．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生想出几何体的基本元素、及点、线、面的位置关系，从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业： 【目标检测】1. 给出下列四个命题：①若直线l ∩m ＝∅，则l 与m 平行；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；④若m ⊂α，m ∩β＝M ． 那么平面α与平面β相交，其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 设计意图：考查空间两个平面的位置关系 2. 下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线l 是平面α的一条垂线，则直线l 垂直于 平面α内的所有直线；④若直线l 垂直于平面α，则称平面α是直线l 的一个垂面． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①A 1B 与D 1C ________；②A1B与B1C________；③D1D与平面BCC1B1________；④AB1与平面BCC1________；⑤平面ABB1与平面DCC1_________；⑥平面ABB1与平面DD1A1________.设计意图：考查空间两条直线、空间两个平面的位置关系4.线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________cm；(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.设计意图：考查空间距离的求法参考答案：1.A对于①，直线l∩m＝∅，即直线l与直线m没有公共点，l与m可能平行，也可能异面，∴l不一定与m平行．故①错．对于②，直线a在平面α外包括两种情形：a∥α，a与α相交，故②错．对于③，由直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故③错．对于④，∵m⊂α，m∩β＝M，∴点M∈α，M∈β，故平面α与平面β相交，故④正确．2.C①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知②③④正确．3.①平行②异面③平行④相交⑤平行⑥相交4．(1)3(2)4(3)5如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.。

1.2.3 直线与平面的位置关系（第一课时）学情目标：了解线面位置关系；理解并熟练掌握线面平行判定定理及应用. 教学过程：一．直线与平面的位置关系1．空间两条直线的位置关系：________ _______. 2．直线与平面可能有哪几种位置关系？二．直线与平面平行1.判定定理：（分别用文字语言、符号语言、图形语言表示）2.课堂例题与练习：练习1.判断下列命题是否正确，若不正确，请用图形语言或模型加以表达. （1）若,,αα⊂⊄b a 则α//a ；（2）,//,//a b a αα⊂若b 则；（3）,//,//a a b a αα⊄若则.练习2.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，①与AB 平行的平面是_______________.②与BC 1平行的平面是________________.例1.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为DD 1中点，求证：//1BD 平面AEC .【变式训练】2．如图，已知ABC C B A -111是三棱柱，D 是AC 的中点，求证：//1AB 平面1DBC .C1A 1CB 1B B 1D例2.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．【变式训练】如图，两个正方形ABCD 和ABEF 所在的平面相交于AB ，M,N 分别是对角线 AC,BF 上的点，AM=FN ,求证：MN//平面BCE .3.课堂小结：①本节课你有哪些收获?②对线面平行判定定理的运用你有哪些心得（三）课后作业：1．下列命题正确的有 .（1）如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； （2）过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； （3）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行．2．已知直线a ，b 与平面α，下列命题正确的是 . ①若a //α，b ⊂α，则a //b ；②若a //α，b //α，则a //b ；③若a //b ，b ⊂α，则a //α；④若a //b ，b ⊂α，则a //α或a ⊂α. 3.给出下列五个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行； ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；AD④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行； ⑤若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的无数多条直线平行. 其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)4．梯形ABCD 中， AB //CD ， AB ⊂α， CD ⊄α， 则CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 .5.直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是________.(填序号) ①α内的所有直线都与a 异面；②α内不存在与a 平行的直线； ③α内的直线都与a 相交；④直线a 与平面α有公共点.6.下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________(填序号).7．如图， E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 求证：（1）四点E 、F 、G 、H 共面；（2）BD //平面EFGH ，AC //平面EFGH ．8.如图，在四面体S —ABC 中，E 、F 、O 分别为SA 、SB 、AC 的中点，G 为OC 的中点，证明：FG ∥平面BEO .【思考题】如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．试问在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．A CFBEHDG。

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课程标准1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.考情分析考点考法:以空间几何体为载体,考查基本事实及其结论在判断位置关系、交线问题、求角中的应用.求异面直线所成的角是高考的热点,在各个题型中均有所体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.四个基本事实基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.符号:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.3.空间点、直线、平面之间的位置关系项目直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a ∥b a ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a ∩b =A a ∩α=A α∩β=l 其他关系图形语言-符号语言a ,b 是异面直线a ⊂α-【微点拨】(1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:,【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14231.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合B.经过两条相交直线,有且只有一个平面C.两两相交的三条直线共面D.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线【解析】选ACD.A中的两个平面可能相交;B正确;C中的三条直线相交于一点时可能不共面;D中的两条直线可能是平行直线.2.(易错题)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【解析】选ABD.如图,连接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因为AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1⊂平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,连接B1C,则B1C⊥BC1,因为CD∩B1C=C,CD,B1C⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确.连接A1C1,交B1D1于点O,则易得OC1⊥平面BB1D1D,连接OB,因为OB⊂平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则易得BC1=2a,OC1=22,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC1,所以∠OBC1=30°,故C错误.因为C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正确.4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为正方形.【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形,所以EF=EH,因为EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD.(2)因为四边形EFGH为正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因为EF∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD【核心考点·分类突破】考点一空间位置关系的判断[例1](1)(多选题)下列选项正确的是()A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l【解析】选AD.对于选项A,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α;若l3与l1相交于B,则交点B在平面α内,同理,l3与l2的交点A也在平面α内,所以AB⊂α,即l3⊂α,选项A正确.对于选项B,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,选项B错误.对于选项C,空间中两条直线可能相交、平行或异面,选项C错误.对于选项D,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内所有直线.因为直线l⊂平面α,所以直线m⊥直线l,选项D正确.(2)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.(填序号)【解析】题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以题图②④中GH 与MN异面.答案:②④【解题技法】1.点、线共面的判断方法(1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决. 2.两直线位置关系的判断【微提醒】平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线.【对点训练】1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【解析】选C.由题意易知,c与a,b都可相交,也可只与其中一条相交,故A,B均错误;若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据基本事实4,知a∥b,与a,b为异面直线矛盾,D错误.2.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中错误的是__________(写出所有错误命题的序号).【解析】由基本事实4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错误;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错误;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b不同在任何一个平面内,故④错误.答案:②③④考点二基本事实及其应用[例2]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)BE,DF,CC1三线共点.【证明】(1)如图,连接EF,BD,B1D1,因为EF是△B1C1D1的中位线,所以EF∥B1D1,因为BB1与DD1平行且相等,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD∥B1D1,所以EF∥BD,所以E,F,D,B四点共面;(2)因为EF∥BD,且EF≠BD,所以直线BE和DF相交,延长BE,DF,设它们相交于点P,因为P∈直线BE,直线BE⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C,因为P∈直线DF,直线DF⊂平面CDD1C1,所以P∈平面CDD1C1,因为平面BB1C1C∩平面CDD1C1=CC1,所以P∈CC1,所以BE,DF,CC1三线共点.【解题技法】1.证明空间点共线问题的方法(1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.2.共面、共点问题(1)先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)利用确定平面的定理,如由点构造平行直线、构造相交直线等.【对点训练】1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.2.已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD 上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG=13BC,CH=13DC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.考点三异面直线所成的角[例3](1)如图所示,圆柱O1O2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线,BD是圆O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.33535B.43535C.3714D.277【解析】选C.连接AO2,设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E,连接CE,易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,连接CD(图略),在Rt△BCD 中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=3,CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=B2+B2=7,CE=B2+B2=5,所以在△CAE中,cos∠CAE=B2+B2-B22B·B==3714,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为3714.(2)(2023·武汉模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为()A .33B .55C .1010D .3010【解析】选D .设AB =2,取A 1B 1的中点F ,连接C 1F ,DF ,DE ,则B 1F =12A 1B 1,因为D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DE ∥AB ,DE =12AB ,因为A 1B 1∥AB ,A 1B 1=AB ,所以DE ∥B 1F ,B 1F =DE ,所以四边形DEB 1F 为平行四边形,所以DF ∥B 1E ,所以∠C 1DF 为异面直线C 1D 与B 1E 所成的角或补角.因为AB ⊥BC ,AB =BC =AA 1=2,D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DF =B 1E =12+22=5,C 1F =12+22=5,C 1D =(2)2+22=6,所以cos ∠C 1DF =121D ==3010.【解题技法】求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.【对点训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】选D.如图,连接A1C1,BC1,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为2,则PB=6,PC1=2,BC1=22,则PB2+P12=B12,在Rt△PBC1中,因为sin∠PBC1=B1B1=2=12,所以直线PB与AD1所成的角为π6.2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD, SO=OB=3,SE=14SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A .222B .53C .1316D .113【解析】选D .如图,过点S 作SF ∥OE ,交AB 于点F ,连接CF ,则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角.因为SE =14SB ,所以SE =13BE.又OB =3,所以OF =13OB =1.因为SO ⊥OC ,SO =OC =3,所以SC =32.因为SO ⊥OF ,所以SF =B 2+D 2=10.因为OC ⊥OF ,所以CF =10.所以在等腰△SCF 中,tan ∠CSF =113.即异面直线SC 与OE 所成角的正切值为113.【加练备选】平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为()A .32B .22C .33D .13【解析】选A .如图所示,过点A 补作一个与正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF 1E ,则m ,n 所成的角为∠EAF 1.因为△AF 1E 为正三角形,所以sin ∠EAF 1=sin 60°=32.。

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。

§2.1.3 空间中直线与平面§2.1.4 平面与平面之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

二、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、导入课题教师以生活中的实例以及课本P53的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α例4: 加深了学生对这几种位置关系的理解。

2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

教材P55 探究让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解教材P55 练习学生独立完成后教师检查、指导（三）归纳整理、整体认识教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

（四）作业1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。