213214空间直线与平面平面与平面的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为。

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是。

①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l //α；②若直线a 在平面α外，则a//α;③若直线a//b ，直线α⊂b ，则a//α;④若直线a//b ，直线α⊂b ，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线。

变式2、下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.答案：B变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a 平行(4)α内不存在与a 平行的直线A.0B.1C.2D.3分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a ∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

平面与空间直线的位置关系平面与空间直线的位置关系是几何学中的重要概念之一，它描述了平面与空间直线之间的相互位置关系及其特性。

在本文中，我们将探讨平面与空间直线的三种基本位置关系：平行、相交和重合。

一、平面与直线的平行关系平行是指两个直线或平面之间永远不会相交的关系。

当一条直线与一个平面平行时，我们可以通过以下两个条件来判断：1. 直线上的任意一点到平面上的任意一点的距离都相等。

2. 直线的法向量与平面的法向量垂直。

例如，在三维空间中，我们有一个平面P和一条直线L。

如果P的法向量n与L的方向向量d垂直，那么P和L就是平行的。

二、平面与直线的相交关系相交是指平面与直线之间存在交点的关系。

当平面与直线相交时，我们可以通过以下两个条件来判断：1. 直线上的一点在平面上。

2. 直线的方向向量与平面的法向量不垂直。

例如，在三维空间中，我们有一个平面P和一条直线L。

如果L的方向向量d不能与P的法向量n垂直，且L上的一点属于平面P，那么P和L就是相交的。

三、平面与直线的重合关系重合是指平面与直线完全重合的关系，它们所包含的点完全相同。

当一个平面与一条直线重合时，我们可以通过以下条件来判断：1. 直线上的每一个点都在平面上。

2. 直线的方向向量与平面的法向量平行。

例如，在三维空间中，我们有一个平面P和一条直线L。

如果L上的所有点都在平面P上，且L的方向向量d与P的法向量n平行，那么P和L就是重合的。

总结：平面与空间直线的位置关系可以通过判断其是否平行、相交或重合来确定。

平行是指永远不相交的关系，相交是指存在交点的关系，重合则是指完全重合的关系。

我们可以通过距离、法向量和方向向量的关系来判断平面与直线之间的位置关系。

以上就是关于平面与空间直线的位置关系的论述。

通过理解和应用这些基本概念，我们可以更好地解决相关几何问题，深化对空间几何的理解。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系一、教学目标：（1）了解空间中直线与平面的位置关系,能用语言、符号、图形表示三种位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系,能用语言、符号、图形表示三种位置关系；（3）能在几何体中找出并判断线面、面面的位置关系；（4）培养学生的空间想象能力。

二、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

难点：在几何体中找出，用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体、长方体模型四、教学思想（一）课题导入1、阅读教材第48页到第50页的内容，回答以下问题：1.一支笔所在的直线a与一个作业本所在平面，有几种位置关系？2.线段A1B所在的直线与长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面所在的平面的关系：（1）A1B在面ABB1A1（2）A1B与面ADD1A1A1B与面A1B1C1D1A1B与面ABCDA1B与面BCC1B1（3）A1B与面CDD1C13.教师结合以上生活中的实例以及课本P48的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点引导学生尝试用语言叙述：，数学符号：，图形进行表示：；（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点引导学生尝试用语言叙述：，数学符号：，图形进行表示：；（3）直线在平面平行——没有公共点引导学生尝试用语言叙述：，数学符号：，图形进行表示：；指出：1.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示a α a∩α=A a∥α直线在平面内：2.直线与平面直线与平面相交直线在平面外直线与平面平行例4：下列命题中正确的个数是（ B ）①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线没有公共点.A．0 B．1 C．2 D．3师生共同完成例 4例4教师通过示范传授学生一个通过模型来研究问题的方法，同时加深对概念及其对这几种位置关系的理解。

〖知识导学〗1、了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系；2、会用 符号和画图表达直线与平面、平面与平面的位置关系，培养空间想象能力． 一、基础知识：12直线和平面{⎧⎪⎨⎪⎩直线在平面内--有无数个公共点;直线与平面相交--有且只有一个公共点;直线在平面外直线与平面平行--没有公共点. 记法：a α⊂ a A α= //a α，a α⊄ 3、平面和平面的两种位置关系：平面和平面{两个平面平行--没有公共点;两个平面相交--有一条公共直线.记法：//αβ l αβ= 长方体ABCD —A ’B ’C ’D ’注意：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．二、例题解析：例1、若不共线的三点到平面a 的距离相等且不为0，则该三点确定的 平面b 与平面a 的关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．重合 例2、下列命题中正确的有_________________（填序号）① 若直线l 与平面a 平行，则l 与平面a 内的任意一条直线都平行；② 若直线l 与平面a 平行，则l 与平面a 内的任意一条直线都没有公共点； ③ 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④ 如果两条平行线中的一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交； ⑤ 两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； ⑥ 两条直线没有公共点，则这两条直线平行⑦ 两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；⑧ 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

例3、如图，△ABC 在平面a 外，AB a =P ，BC a =Q ，AC a =R ，求证：P ，Q ，R 三点共线。

二、达标训练：1、直线l 在平面β外，则下列结论正确的是（A ．直线l 一定与平面β平行B ．直线l 与C ．直线l 一定与平面β相交D ．直线l 与2、若平面α与平面β相交，直线a 在α ） A ．a 在β内 B ．a 在β外C ．a 与β平行或相交D ．a 与β平行或相交或a 在β内 3、已知平面α//平面β，若两条直线m 、n 分别在平面α、β内， 则m 、n 的位置关系不可能是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面4、三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．线在平面内 D ．平行或线在平面内5、若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交6、平行于同一平面的两条直线的位置关系（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面7、对于任意的直线l 和平面α，在平面α内必有直线m ，使m 和l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面8、正方体''''D C B A ABCD -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ， 异面直线M B '与CN 所成的角是（ ）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 9、平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线//a a ，//a b ，且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行10、直线//a 平面α，α∈P ，那么过点P 且平行于a 的直线（ ） A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在α内 11、过平面外一条直线作平面的平行平面（ ）A ．有且只有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．没有 12、下列命题正确的有（ ）A ．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内B ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αC ．若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线D ．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行， 则另一条直线一定与该平面相交。

空间几何中的平面与直线的位置关系知识点在空间几何中，平面与直线是两个基础的几何要素，它们的位置关系是研究空间几何的重要内容之一。

本文将介绍平面与直线的一些常见位置关系知识点。

一、平面与直线的相交关系1. 平面与直线相交于一点：当一个直线与一个平面有且只有一个交点时，我们称这条直线与该平面相交于一点。

例如，直线AB与平面P 相交于点C。

2. 平面与直线相交于多点：当一个直线与一个平面有多个交点时，我们称这条直线与该平面相交于多点。

例如，直线AB与平面P相交于点C、点D。

3. 平面与直线相交于无穷点：当一个直线与一个平面相交于无穷多个点时，我们称这条直线与该平面相交于无穷点。

例如，直线AB与平面P相交于无穷多个点。

二、平面与直线的平行关系1. 平面与直线平行：当一个直线与一个平面没有交点且在平面内的任意一点作该直线的垂线都在该平面上时，我们称这条直线与该平面平行。

例如，直线AB与平面P平行。

2. 平面与平面平行：当两个平面内分别取一条平行线，且这两条平行线在两个平面上的对应点连线都平行于这两个平面的交线时，我们称这两个平面平行。

例如，平面P与平面Q平行。

三、平面与直线的垂直关系1. 平面与直线垂直：当一个直线在一个平面内的任意一点作该平面的垂线时，该直线与该平面垂直。

例如，直线AB与平面P垂直。

2. 平面与平面垂直：当两个平面交于一条直线，且这条直线在两个平面内的任意一点作两个平面的垂线时，我们称这两个平面垂直。

例如，平面P与平面Q垂直。

四、平面与直线的倾斜关系1. 平面与直线倾斜：当一个直线与一个平面既不平行也不垂直时，我们称这条直线与该平面倾斜。

例如，直线AB与平面P倾斜。

总结：在空间几何中，平面与直线的位置关系可分为相交关系、平行关系、垂直关系和倾斜关系。

准确理解和掌握这些位置关系是解决空间几何问题的基础，通过合理运用这些知识点，我们能够更好地分析和计算平面与直线之间的关系，进而应用于实际问题的解决中。