2020-2021学年上海市杨浦高级中学2019级高二上学期周考数学试卷及答案

2019-2020上海杨浦高级中学中考数学第一次模拟试卷及答案一、选择题1．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ） A ．110B ．19C ．16 D ．15 3．函数21y x =-中的自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≠12B ．x ≥1C ．x >12D ．x ≥124．已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( ) A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣55．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2k y x=（0x >）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA=AD ，则以下结论： ①ΔADB ΔADC S S =； ②当0＜x ＜3时，12y y <； ③如图，当x=3时，EF=83；④当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（ ）.A ．B ．C ．D ．7．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折得到△ANM ，若AN 平分∠MAB ，则折痕AM 的长为（ ）A ．3B ．23C ．32D ．68．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤9．根据以下程序，当输入x ＝2时，输出结果为（ ）A ．﹣1B ．﹣4C ．1D ．1110．如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o11．下列计算错误的是（ ） A ．a 2÷a 0•a 2=a 4 B ．a 2÷（a 0•a 2）=1C ．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5D ．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.5 12．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根二、填空题13．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．14．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为_____．15．如图，直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，∠1=70°，则∠2= ．16．如图，在Rt △AOB 中，OA=OB=32O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ．17．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD＝60°；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；（3）量出测倾器的高度AB＝1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为_____米．（精确到0.1米，3≈1.73）．18．关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是_____. 19．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为_____．20．当m=____________时,解分式方程533x mx x-=--会出现增根．三、解答题21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．22．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M 的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）23．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．数学思考（1）设，点到的距离．①用含的代数式表示：的长是_________，的长是________；②与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格．654 3.53 2.5210.5000.55 1.2 1.58 1.0 2.473 4.29 5.08②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．24．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B 级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数______.（2）图1中，∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整.（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？a b c d e）中随机选取两户，调查他（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为,,,,们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率. 25．修建隧道可以方便出行.如图：A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要爬坡到山顶C地，再下坡到B地.若打通穿山隧道，建成直达A，B两地的公路，可以缩短从A地i=，从B到C坡面的坡角到B地的路程.已知：从A到C坡面的坡度1:3∠=︒，42CBA45BC=公里.（1）求隧道打通后从A到B的总路程是多少公里？（结果保留根号）（2）求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少公里？（结果精确到0.01 1.4141.732）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选B．2．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.3．D解析：D【解析】【分析】由被开方数为非负数可行关于x的不等式，解不等式即可求得答案.【详解】由题意得，2x-1≥0，解得：x≥12，故选D.【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．A解析：A 【解析】分析：根据点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，得到4＝|2a ＋2|，即可解答．详解：∵点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等， ∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3， 解得：a ＝−3， 故选A ．点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x 轴和y 轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．5．C解析：C 【解析】试题分析：对于直线122y x =-，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A （1，0），B （0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC ，OA=AD ，∴△OBA ≌△CDA （AAS ），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ΔADB ΔADC S S =（同底等高三角形面积相等），选项①正确；∴C （2，2），把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即24y x=，由函数图象得：当0＜x ＜2时，12y y <，选项②错误； 当x=3时，14y =，243y =，即EF=443-=83，选项③正确； 当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．6．C解析：C 【解析】从上面看，看到两个圆形， 故选C ．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得∠MAN=∠DAM ，再由AN 平分∠MAB ，得出∠DAM=∠MAN=∠NAB ，最后利用三角函数解答即可. 【详解】由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN=∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∠MAN=∠NAB ， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°，∴== 故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形 的性质及折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质求得∠MAN=∠DAM,8．A解析：A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞0． 【详解】①∵对称轴在y 轴右侧， ∴a 、b 异号， ∴ab ＜0，故正确；②∵对称轴1,2bx a=-= ∴2a+b=0；故正确； ③∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0， ∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ， 所以a+b ≥m （am+b ）（m 为实数）． 故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于0． 故错误． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定 抛物线的开口方向，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）．9．D解析：D 【解析】 【分析】根据流程图所示顺序，逐框分析代入求值即可． 【详解】当x ＝2时，x 2﹣5＝22﹣5＝﹣1，结果不大于1， 代入x 2﹣5＝（﹣1）2﹣5＝﹣4，结果不大于1， 代入x 2﹣5＝（﹣4）2﹣5＝11， 故选D ． 【点睛】本题考查了代数式求值，正确代入求值是解题的关键．10．B解析：B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出ADB BDF DBC ∠∠∠==，由三角形的外角性质求出1BDF DBC DFC 202∠∠∠===o ，再由三角形内角和定理求出A ∠，即可得到结果． 【详解】AD //BC Q ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=， DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=o Q ，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===o ，又ABD 48∠=o Q ，ABD ∴V 中，A 1802048112∠=--=o o o o ，E A 112∠∠∴==o ， 故选B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出ADB ∠的度数是解决问题的关键．11．D解析：D【解析】分析：根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．详解：∵a 2÷a 0•a 2=a 4， ∴选项A 不符合题意；∵a 2÷（a 0•a 2）=1，∴选项B 不符合题意；∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C 不符合题意；∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D 符合题意．故选D ．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．12．A解析：A【解析】【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．【详解】解：原方程可化为：2240x x --=，1a \=，2b =-，4c =-，2(2)41(4)200∴∆=--⨯⨯-=>，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．二、填空题13．7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出ab 的值再根据三角形的任意两边之和大于第三边两边之差小于第三边求出c 的取值范围再根据c 是奇数求出c 的值【详解】∵ab 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0∴a﹣7解析：7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值．【详解】∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 14．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C 时点A′恰好落在AB 上∴AC=A′C∴△A′AC 是等边三角形∴∠ACA解析：60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，∵△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C 时点A′恰好落在AB 上，∴AC=A′C ，∴△A′AC 是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故答案为60°. 15．110°【解析】∵a ∥b ∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°解析：110°【解析】∵a ∥b ，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°16．【解析】试题分析：连接OPOQ ∵PQ 是⊙O 的切线∴OQ ⊥PQ 根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2∴当PO ⊥AB 时线段PQ 最短此时∵在Rt △AOB 中OA=OB=∴AB=OA=6∴OP=AB=3∴解析：【解析】试题分析：连接OP、OQ，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6．∴OP=AB=3．∴．17．1【解析】试题分析：在Rt△CBD中知道了斜边求60°角的对边可以用正弦值进行解答试题解析：在Rt△CBD中DC=BC•sin60°=70×≈6055（米）∵AB=15∴CE=6055+15≈621解析：1．【解析】试题分析：在Rt△CBD中，知道了斜边，求60°角的对边，可以用正弦值进行解答．试题解析：在Rt△CBD中，DC=BC•sin60°=70×32≈60．55（米）．∵AB=1．5，∴CE=60．55+1．5≈62．1（米）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．18．－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根则根的判别式△=b2-4ac≥0建立关于a的不等式求出a的取值范围还要注意二次项系数不为0【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根解析：－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0，解得a≤-23，且a≠-1，则a的最大整数值是-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．19．【解析】【分析】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x-40）千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可【详解】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x﹣40解析：13201320304060x x-=-．【解析】【分析】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．【详解】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x﹣40）千米/时，根据题意得：13201320304060x x-=-．故答案为：13201320304060x x-=-．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．20．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根且使分式方程的分母为0的未知数的值详解：分式方程可化为：x-5=-m由分母可知分式方程的增根是3当x=3时3-5=-m解得m=2故答案为：2解析：2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．详解：分式方程可化为：x-5=-m，由分母可知，分式方程的增根是3，当x=3时，3-5=-m，解得m=2，故答案为：2．点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．三、解答题21．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===，∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 22．人民英雄纪念碑MN 的高度约为36.5米．【解析】【分析】 在Rt△MED 中，由∠MDE＝45°知ME ＝DE ，据此设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt△MEC 中，由ME ＝EC•tan∠MCE 知x≈0.7（x+15），解之求得x 的值，根据MN ＝ME+EN 可得答案．【详解】由题意得四边形ABDC 、ACEN 是矩形，∴EN＝AC ＝1.5，AB ＝CD ＝15，在Rt△MED 中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt△MEC 中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN 的高度约为36.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．23．(1) ），，;(2)见解析；（3）①随着的增大而减小；②图象关于直线对称；③函数的取值范围是．【解析】【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①利用函数关系式计算即可．②描出点，即可．③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）①如图3中，由题意，，，，故答案为：，．②作于．，，，，，，故答案为：，．（2）①当时，，当时，，故答案为2，6．②点，点如图所示．③函数图象如图所示．（3）性质1：函数值的取值范围为．性质2：函数图象在第一象限，随的增大而减小．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）60；（2）54°；（3）1500户；（4）见解析，2 5 .【解析】【分析】（1）用B级人数除以B级所占百分比即可得答案；（2）用A级人数除以总人数可求出A 级所占百分比，乘以360°即可得∠α的度数，总人数减去A级、B级、D级的人数即可得C级的人数，补全条形统计图即可；（3）用10000乘以A级人数所占百分比即可得答案；（4）画出树状图，得出所有可能出现的结果及选中e的结果，根据概率公式即可得答案.【详解】（1）21÷35%=60（户）故答案为60（2）9÷60×360°=54°，C级户数为：60-9-21-9=21（户），补全条形统计图如所示：故答案为：54°（3）910000150060⨯=（户） （4）由题可列如下树状图：由树状图可知，所有可能出现的结果共有20种，选中e 的结果有8种∴P （选中e ）=82205=. 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图及概率，概率=所求结果数与所有可能出现的结果数的比值，正确得出统计图中的信息，熟练掌握概率公式是解题关键. 25．（1）隧道打通后从A 到B 的总路程是(434)公里;（2）隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里.【解析】【分析】（1）过点C 作CD ⊥AB 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出CD 及AD 的长，进而可得出结论．（2）由坡度可以得出A ∠的度数，从而得出AC 的长，根据AC CB AB +-即可得出缩短的距离.【详解】（1）作CD AB ⊥于点D ，在Rt BCD ∆中，∵45CBA ∠=︒，42BC =，∴4CD BD ==.在Rt ACD ∆中，∵3CD i AD==， ∴343AD CD ==∴()434AB =公里.答：隧道打通后从A 到B 的总路程是()434公里.（2）在Rt ACD ∆中， ∵3CD i AD==， ∴30A ∠=︒，∴2248AC CD ==⨯=， ∴842AC CB +=+ ∵434AB =， ∴842434 2.73AC CB AB +-=+≈（公里）.答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记坡度和锐角三角函数的定义．。

2020-2021学年上海市上海中学高二上学期9月周练数学022020.09一. 填空题1. 直线43100x y -+=的单位方向向量是2. 线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是3. 向量(1,1)a =-在向量(3,4)b =方向上的投影为4. 已知(2,1)a =，(,2)b m m =-，且a 与b 的夹角为锐角，则m 的取值范围是5. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为6. 已知279315A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则AB AC +=7. 直线sec020x +=的倾斜角的范围是8. 直线1:(cos361)sin3610l x y ︒-+︒-=，2:sin144(1cos144)20l x y ︒-+︒+=，则1l 、2l 夹角平分线的斜率是9. 过点(3,4)-且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是10. 一9行9列的矩阵111219212229919299a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭中的元素是由互不相等的81个数组成，若每行 9个数与每列9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间一个数559a =，则矩阵中所有 元素之和为 11. 已知000ax y z x ay z x y az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，那么a =12. △ABC 中，若220AB BC AB ⋅+=，且2b =，一个内角为30°，则△ABC 的面积为13. △ABC 三个顶点的坐标(1,2)A 、(4,1)B 、(4,4)C ，D 是AB 边上一点，DE ∥BC ， 交AC 于点E ，若DE 把△ABC 分为面积相等的两部分，则点D 的坐标是14. 已知点P 在直线320x y +-=上，点Q 在直线360x y ++=上，线段PQ 的中点为 00(,)M x y ，且002y x <+，则00y x 的取值范围为 15. 定义域为[,]a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，(,)M x y 是图像上任意一点，其中(1)[,]x a b a b λλ=+-∈，已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式||MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”，若函数1y x x =-在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为二. 选择题16. 已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=和三个命题：① 1l ∥2l ⇔111222A B C A B C =≠；② 1212120l l A A B B ⊥⇔+=；③ 2222A B C l -=⇔过定点；其中正确的命题的个数是（ ）A . 0B . 1C . 2D . 317. 过点(1,3)作直线l ，若l 经过点(,0)a 和(0,)b 且*,a b ∈N ，则可作出这样直线l 的条数为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 多于318. 以下向量中，能成为直线方程10121011x y =的一个法向量的是（ ）A . (1,2)n =-B . (2,1)n =-C . (1,2)n =--D . (2,1)n =19. 行列式131()72456321xx -中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，1()f x +的零点属于区间（ ）A . 2(,1)3B . 12(,)23C . 11(,)32D . 1(0,)3三. 解答题20. 直线121:1010101x y l a -=-的方向向量与2213:0101301x y l a b -=+的法向量平行，,a b ∈R ，求||ab 的最小值.21. 用行列式解下列关于x 、y 、z 的三元一次方程组，并对解的情况进行讨论：21ax y z a x ay z a x y az ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩.参考答案一. 填空题 1. 34(,)55或34(,)55-- 2. 201112000112--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3. 15- 4. 2(,4)(4,)3+∞5. 8-6. 11110417⎛⎫⎪⎝⎭ 7. 5[,)(,]6226ππππ8. 19. 10x y ++=或430x y += 10. 72911. 1或2-12. 1 13. 1,2 14. 1(,)(0,)3-∞-+∞ 15. 3[)2-+∞二. 选择题16. B 17. B 18. A 19. B三. 解答题20. 2.21. 当2a =-时，原方程组无解；当1a =时，原方程组有无数解；当2a ≠-且1a ≠时， 2(1)2a x a +=+，12y a =+，12a z a +=-+。

2019-2020学年度上学期中期考试 数学试题考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第i 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分，每小题只有一个选项符合要 求）1.已知直线l 经过A （1,1 ）, B （2,3 ）两点，则l 的斜率为（ ）A. 2已知S n 是数列｛4｝的前n 项和，且S n 由=S n +烝+3,a 4 + a § = 23，则S 8 =（ ）3C. ——49 .某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（2.若直线l 的倾斜角&满足0 <a<y ,且1a#万，则其斜率k 满足（ ）A. B.C.D. k>0,或 kc3. 已知x 与y 之间的一组数据如表，若 y 与x 的线性回归方程为 y = bx - 2 ,则8的值A. B. 2 C.D. 44. A. 725. 若关于 x 的不等式（m+1 x 2— mx — 1 >0的解集为（ 1, 2),则 m=()6.若平面 a //平面P ,直线a //平面口 ,则直线a 与平面的关系为（）A. a // BB. a7.在 中，角、、的对边分别为、，已知，则一A. 1B.2C.3D.48.若 a| =1, b ,且a -L （a -b ）,则向重a,b 的夹角为A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°A. NC与DE相交B. CM与ED平行C. AF与CN平行D. AF与CM异面10.已知正四棱柱ABCD — AB1c l D1中，AB =2,CC i =2%巧，E为CC1的中点，则点C到平面BED的距离为（）A. 1 B . v2 C .黎 D , 211.如图，正方体ABCD- A1B1CD中，。

为底面ABCD勺中心，M为棱BB的中点，则下列结论中错误的是A. D。

上海市杨浦高级中学2019-2020学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( )A．p m B．p2m C．q m D．q2m参考答案：C2. 若圆与圆相切,则的值为( )A. B. C.D.参考答案：D3. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）A．B．C.D．参考答案：C分析：分别写出当和时的不等式，比较后可得结果．详解：当时，不等式为；当时，不等式为，即，比较可得增加的项为．故选C．4. “实数a、b、c不全为0“含义是（）A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c中至多有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为0参考答案：D【考点】21：四种命题．【分析】根据“实数a、b、c不全为0“含义，选出正确的答案即可．【解答】解：“实数a、b、c不全为0”的含义是“实数a、b、c中至少有一个不为0”．故选：D．【点评】本题考查了存在量词的应用问题，是基础题．5. 在区间上随机地取一个实数，使得函数在区间上存在零点的概率是（A）（B）（C）（D）参考答案：C6. 试在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D.参考答案：A略7. 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点个数为()A. (n＋1)(n＋2)B. (n＋2)(n＋3)C. n2D. n参考答案：B解：由已知中的图形我们可以得到：当n=1时，顶点共有12=3×4（个），n=2时，顶点共有20=4×5（个），n=3时，顶点共有30=5×6（个），n=4时，顶点共有42=6×7（个），…由此我们可以推断：第n个图形共有顶点（n+2）（n+3）个，故选B8. 确定结论“与有关系”的可信度为℅时，则随即变量的观测值必须（）A. 小于7.879B. 大于C.小于D.大于参考答案：A9. 一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积及体积为（）．A．，B．，C．，D．以上都不正确参考答案：A解：由三视图知，该几何体为圆锥，表面积．体积．故选．10. 设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于A．B．C．3 D．﹣3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若a10=，a m=，则m= ．参考答案：5【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数与对数的互化，直接求解m的值即可．【解答】解：a10=，a m==，可得=a2m．即2m=10，解得m=5．故答案为：5．12. 从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长 FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则的值为______.参考答案：213. 将二进制101 11（2）化为十进制为；再将该数化为八进制数为．参考答案：23（10），27（8）．【考点】进位制．【分析】利用二进制数化为“十进制”的方法可得10111（2）=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23，再利用“除8取余法”即可得出．【解答】解：二进制数10111（2）=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23．23÷8=2 (7)2÷8=0 (2)可得：23（10）=27（8）故答案为：23（10），27（8）．14. 已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是参考答案：15. 在中，若为直角，则有；类比到三棱锥中，若三个侧面两两垂直，且分别与底面所成的角为，则有．参考答案：16. 已知点A(1,0)，B(2,0)．若动点M满足，则点M的轨迹方程为________．参考答案：略17. 已知直线不通过第四象限，则的取值范围是______.参考答案：[, 1]三、解答题：本大题共5小题，共72分。

杨浦区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）2． 在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，点P 在线段AD ′上运动，则异面直线CP 与BA ′所成的角θ的取值范围是（ ）A ．0＜B ．0C ．0D ．03． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B 2=ACB ．A+C=2BC ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）4． 设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥5． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣36． 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．﹣6D ．67． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80 B ．40 C ．60 D ．209． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.11．如图，在正四棱锥S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ∥BD ；②EP ⊥AC ；③EP ⊥面SAC ；④EP ∥面SBD 中恒成立的为（ ）A ．②④B ．③④C ．①②D ．①③12．若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，0）∪（2，3） B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣3，0）∪（2，+∞）13．函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（） B ．（，]C ．（） D ．（]14．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]二、填空题16．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．17．当0,1x ∈（）时，函数()e 1xf x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．18．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则3s i n c o s ()4A B π-+的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，则△ABC 的面积是 ．三、解答题20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x y a b+=相切，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使 得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.21．已知f （α）=，（1）化简f （α）；（2）若f （α）=﹣2，求sin αcos α+cos 2α的值．22．已知定义域为R 的函数是奇函数．（1）求f （x ）；（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）； （3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．23．（本小题满分12分）1111]已知函数()()1ln 0f x a x a a x=+≠∈R ，．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．24．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围； （2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．25．已知cos（+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．杨浦区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．2．【答案】D【解析】解：∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴0＜θ≤．故选：D．3．【答案】C【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；故排除A，D；若公比q≠1，则A=S n =，B=S 2n =，C=S 3n =，B （B ﹣A ）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）A （C ﹣A ）=（﹣）=（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n）；故B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）；故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．4． 【答案】D 【解析】试题分析：∵A B ⊆，∴2a ≥．故选D ． 考点：集合的包含关系． 5． 【答案】B【解析】解：若f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数， 则f （0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，当m=1时，f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件， 当m=﹣1时，f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f （x ）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B ， 故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．6．【答案】B【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，由，解得y=0，x=，（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，故选B．【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．7．【答案】A【解析】解：几何体如图所示，则V=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．8． 【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B ．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．9． 【答案】B【解析】由||||a b a b +=-知，a b ⊥，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=，解得1t =-，故选B. 10．【答案】B11．【答案】 A【解析】解：如图所示，连接AC 、BD 相交于点O ，连接EM ，EN ． 在①中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP ∥BD ，因此不正确； 在②中：由正四棱锥S ﹣ABCD ，可得SO ⊥底面ABCD ，AC ⊥BD ， ∴SO ⊥AC ．∵SO ∩BD=O ，∴AC ⊥平面SBD ， ∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， ∴EM ∥BD ，MN ∥SD ，而EM ∩MN=M ，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC ⊥EP ．故正确．在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．【答案】A【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3）故选：A．13．【答案】A【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（，），则sinφ＞cosφ，则由f（sinφ）=f（cosφ），则=m，即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）当φ∈（，），则φ+∈（，），则＜sin（φ+）＜，则＜m＜，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．14．【答案】B【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；对C：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B15．【答案】B【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，∴f（x1）=f（f（x1））=0，∴f（0）=0，即f（0）=m=0，故m=0；故f（x）=x2+nx，f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，当n=0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，故△=n2﹣4n＜0，故0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选B．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．二、填空题16．【答案】【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．① 将①与拋物线x 2＝2py 联立得， x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2）， ∴k PQ ＝2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）＝－2t ，即直线PQ 的斜率为－2t .（2）由y ＝x 22p 得y ′＝xp，∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝2ptp ＝2t .其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ）， 又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0， －p2）． ∴－p2－2pt 2＝2t （－2pt ）．解得t ＝±12，即t 的值为±12.17．【答案】[2e,)-+∞【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2e 1xx ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e xx h x x+-=，()()()211e 'xx x h x x-+-=．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,xk x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()211e '0x x x h x x-+-=>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴()()12e h x h <=-，则2e a ≥-．18．【答案】(1,2【解析】19．【答案】 4 ．【解析】解：∵sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2=ac ，∵c=2a ，可得：b=a ，∴cosB===，可得：sinB==，∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，∴S△ABC =acsinB==4．故答案为：4．三、解答题20．【答案】（1）22143x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上. 【解析】试题解析：（1）由12e =，∴2214e a =，∴2234a b =7=，解得2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.设点R 的坐标为00(,)x y ，则由MR RN λ=-⋅，得0120()x x x x λ-=--，解得1121221212011224424()41()814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又2212122226412322424()24343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++，212223224()883434k x x k k -++=+=++，从而121201224()1()8x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21．【答案】【解析】解：（1）f （α）===﹣tan α；…5（分） （2）∵f （α）=﹣2， ∴tan α=2，…6（分）∴sin αcos α+cos 2α====．…10（分）22．【答案】【解析】解：（1）因为f （x ）是R 上的奇函数，所以f （0）=0，即=0，解得b=1；从而有；…经检验，符合题意；…（2）由（1）知，f （x ）==﹣+；由y=2x的单调性可推知f （x ）在R 上为减函数； … （3）因为f （x ）在R 上为减函数且是奇函数，从而不等式 f （1+|x|）+f （x ）＜0等价于f （1+|x|）＜﹣f （x ）， 即f （1+|x|）＜f （﹣x ）； … 又因f （x ）是R 上的减函数， 由上式推得1+|x|＞﹣x ，… 解得x ∈R ．…23．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；（2）()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，．【解析】试题分析：（1）由1a =⇒()22111'x f x x x x -=-+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当10x a=<，即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]①若1e a≤，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减， 则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立． ②若10e <<，即1a >时，则有所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，，综上，由①②可知，()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，符合题意．……………………………………12分考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 24．【答案】【解析】解：（1）当m=0时，f （x ）=﹣1＜0恒成立，当m ≠0时，若f （x ）＜0恒成立，则解得﹣4＜m ＜0综上所述m 的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）要x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当 m ＞0时，g （x ）是增函数， 所以g （x ）max =g （3）=7m ﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立． 当m ＜0时，g （x ）是减函数． 所以g （x ）max =g （1）=m ﹣6＜0，解得m ＜6． 所以m ＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．25．【答案】【解析】解：∵＜θ＜，∴+θ∈（，），∵cos（+θ）=﹣，∴sin（+θ）=﹣=﹣，∴sin（+θ）=sinθcos+cosθsin=（cosθ+sinθ）=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣，①cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，∴cosθ﹣sinθ=﹣，②联立①②，得cosθ=﹣，sinθ=﹣，∴====．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．。

上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．从甲、乙、丙、丁4位同学中，选出2位同学分别担任正、副班长的选法数可以用mP表示为____________.n2_________.3．在报名的3名男教师和3名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法数为__________. (结果用数值表示)4．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为30，则该圆锥的侧面积大小为____________.(结果保留π)5．已知(13)n x+的展开式中2x项的系数是54，则正整数n=______________.6．将某校全体高一年级学生期末数学成绩分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，现需要随机抽取60名学生进行问卷调查，采用按成绩分层随机抽样，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为_______________.7．用1,2,3,4,5组成所有没有重复数字的五位数中，满足2与4相邻并且1与5不相邻的五位数共有____________个. (结果用数值表示)8．射击队某选手命中环数的概率如下表所示：该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为_________________. (结果用小数表示)9．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D ，点P 沿正方形ABCD 按ABCDA 的方向作匀速运动，点Q 沿正方形11B C CB 按111B C CBB 的方向以同样的速度作匀速运动，且点,P Q 分别从点A 与点1B 同时出发，则PQ 的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.10．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为__________________. 二、单选题11．某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间.该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时.这里的总体是（ ） A ．杨高的全校学生；B ．杨高的全校学生的平均每天自习时间；C ．所调查的60名学生；D ．所调查的60名学生的平均每天自习时间.12．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3413．10(1)x -的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项. A ．6B ．5C ．4和6D ．5和714．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（ ） A ．155B ．255C ．355D ．655三、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，PA PB PC ==，且,M N 分别为线段,AB PC 的中点.(1)若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ； (2)求证：平面PCM ⊥平面ABC .16．已知n的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024，(1)求n 的值；(2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项． 17．已知甲组数据1215,,,a a a 的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一位小数)为叶，例如第一个数据为5.3(1)求：甲组数据的平均值1x 、方差21s 、中位数M ； (2)乙组数据为1215,,,b b b ，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值为9.2X =，方差为211.23S =，求：乙组数据的平均值2x 和方差22s ，写出必要的计算步骤.参考公式：平均值11n i i x x n ==∑，方差()22221111()n n i i i i s x x x x n n ===-=-∑∑18．如图，正四棱锥．．．．P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球．O 的同一个大圆上，点P 在球面上，且正四棱锥P ABCD -的体积为163.(1)该正四棱锥的表面积S 的大小；(2)二面角A PB C --的大小.(结果用反三角表示)19．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗公正六面骰子n 次，每次掷得的点数均相互独立，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关. (1)这个游戏最多过几关？ (2)某人连过前两关的概率是？ (3)某人连过前三关的概率是？参考答案：1．24P 【解析】 【分析】由题意知：从4为同学中选出2位进行排列，即可写出表示方式. 【详解】1、从4位同学选出2位同学，2、把所选出的2位同学任意安排为正、副班长， ∴选法数为24P . 故答案为：24P . 2．45##4π 【解析】 【分析】如图所示，其体对角线与底面所成角为DAC ∠，解三角形即得解. 【详解】解：如图所示，设,AB BC x CD ===，所以AC =. 由题得CD ⊥平面ABC ,则其体对角线与底面所成角为DAC ∠,因为AC CD ==,所以45DAC ∠=. 故答案为：453．18【解析】 【分析】由题设，选取方式有两男教师一女教师或两女教师一男教师，应用组合数求出选取方法数. 【详解】选取方式有：选两男教师一女教师或选两女教师一男教师，∴不同的选取方法有：2133218C C =种.故答案为：18. 4．2π 【解析】 【分析】由题设知：圆锥的轴截面为等边三角形，进而求圆锥的底面周长，由扇形面积公式求圆锥的侧面积大小. 【详解】由题设，圆锥的轴截面为等边三角形，又圆锥的母线长为2， ∴底面半径为1，则底面周长为2π，∴圆锥的侧面积大小为12222ππ⨯⨯=.故答案为：2π. 5．4 【解析】 【分析】由已知二项式可得展开式通项为13r r r r n T C x +=，根据已知条件有22354n C =，即可求出n 值.【详解】由题设，11(3)3r n r r r r rr n n T C x C x -+==，∴22354n C =，则2!62!(2)!n n C n ==-且n 为正整数，解得4n =.故答案为：4. 6．48 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，求出成绩不少于60分的频率，然后根据频数=频率⨯总数，即可求出结果． 【详解】根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为()1100.0050.0150.8-⨯+=， 由于需要随机抽取60名学生进行问卷调查，利用样本估计总体的思想，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为600.848⨯=人． 故答案为：48． 7．24 【解析】 【分析】由题意，先利用捆绑法排列24和3，再利用插空法排列1和5，即可得答案. 【详解】因为满足2与4相邻并且1与5不相邻，则将2,4捆绑，内部排序得222A =，再对24和3全排列得222A =，利用插空法将1和5插空得236A =，所以满足题意得五位数有22222322624A A A ⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：24 8．0.84 【解析】 【分析】先求出该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率，由对立事件的概率可得答案. 【详解】该选手射击一次，命中的环数低于9环 的概率为10.320.280.4--= 该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率为0.40.40.16⨯= 所以他至少命中一次9环或10环的概率为10.160.84-= 故答案为：0.849【解析】 【分析】画出符合要求的图形，观察得到轨迹是菱形，并进行充分性和必要性两方面的证明，并求解出轨迹图形的面积. 【详解】如图，,,E F G 分别是正方形ABCD ，11ABB A ，11BCC B 的中心，下面进行证明：菱形EFGC 的周界即为动线段PQ 的中点H 的轨迹，首先证明：如果点H 是动线段PQ 的中点，那么点H 必在菱形EFGC 的周界上，分两种情况证明：（1）P ，Q 分别在某一个定角的两边上，不失一般性，设P 从B 到C ，而Q 同时从1C 到C ，由于速度相同，所以PQ 必平行于1BC ，故PQ 的中点H 必在CG 上； （2）P ，Q 分别在两条异面直线上，不失一般性，设P 从A 到B ，同时Q 从1B 到1C ，由于速度相同，则1AP B Q =，由于H 为PQ 的中点，连接1B H 并延长，交底面ABCD 于点T ，连接PT ，则平面1PB QT 与平面ABCD 交线是PT ， ∴11B C ∴平面ABCD ， ∴11B C ∴PT ， ∴1HB Q HTP ≅，而1PT B Q AP ==，PT ∴BC ， ∴APT △是等腰直角三角形，π4TAP ∠=，从而T 在AC 上，可以证明FH ∴AC ，GH ∴AC ，DG ∴AC ，基于平行线的唯一性，显然H 在DG 上，综合（1）（2）可证明，线段PQ 的中点一定在菱形EFGC 的周界上；下面证明：如果点H 在菱形EFGC 的周界上，则点H 必定是符合条件的线段的中点. 也分两种情况进行证明：（1）H 在CG 或CE 上，过点H 作PQ ∴1BC （或BD ），而与BC 及1CC （或CD 及BC ）分别相交于P 和Q ，由相似的性质可得：PH =QH ，即H 是PQ 的中点，同时可证：BP =1C Q （或BQ =DP ），因此P 、Q 符合题设条件（2）H 在EF 或FG 上，不失一般性，设H 在FG 上，连接1B H 并延长，交平面AC 于点T ，显然T 在AC 上，过T 作TP ∴CB 于点P ，则TP ∴11C B ，在平面11PTC B 上，连接PH 并延长，交11B C 于点Q ，在三角形1ACB 中，G 是1B C 的中点，FG ∴AC ，则H 是1B T 的中点，于是1PTH QB H ≅，从而有1B Q PT =，又因为TP ∴CB ，4CAB ATP π∠=∠=，所以AP PT =，从而1B Q AP =，因此P ，Q 符合题设条件.由（1）（2），如果H 是菱形EFGC 周界上的任一点，则H 必是符合题设条件的动线段PQ 的中点，证毕.因为四边形EFGC 为菱形，其中1122CE AC ==11AC CB AB ==，1AB C 为等边三角形，π3GCE ∠=，所以面积πsin 3S ==.【点睛】对于立体几何轨迹问题，要画出图形，并要善于观察，利用所学的立体几何方面的知识，大胆猜测，小心验证，对于多种情况的，要画出相应的图形，注意分类讨论.10．7 27【解析】【分析】分两类：两次都互相交换白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【详解】分两类：∴两次都互相交换白球的概率为131139⨯=；∴第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率为2214 33327⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭147 92727 +=.故答案为：7 27.11．B【解析】【分析】由总体的概念可得答案.【详解】某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间，该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时，这里的总体是全校学生平均每天的自习时间.故选：B.12．C【解析】【分析】设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.【详解】设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ，高为2R 所以球的体积为343R π, 表面积为24R π. 圆柱的体积为：3222R R R ππ⨯=,所以其体积之比为：3342323R R ππ= 圆柱的侧面积为：2224R R R ππ⨯=, 圆柱的表面积为：222426R R R πππ+= 所以其表面积之比为：224263R R ππ= 故选：C13．A【解析】【分析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.【详解】因为二项式10(1)x -展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，易知当r ＝5时，10rC 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.故选：A14．B【解析】【分析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.【详解】如下图，正方体中如：111,,AD BB C D 中任意2条所在的直线都是异面直线，∴这样的3条直线共有8种情况，∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为3128255C =. 故选：B.15．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得//NK CM ，从而可证.(2) 由题意可得PC ⊥平面PAB ，从而可得PC AB ⊥，由根据条件可得AB PM ⊥，从而可得AB ⊥平面PCM ，从而可得证.(1)由,M N 分别为线段,AB PC 的中点.由中位线定理知//NK CM ，又CM ⊂平面ABC ，且NK ⊄平面ABC ，所以直线//NK 平面ABC(2) ,,PA PB PC 两两垂直，即,PC AP PC BP ⊥⊥,且BP AP P ⋂=所以PC ⊥平面PAB ，又AB平面PAB ，所以PC AB ⊥由PA PB =，且M 分别为线段AB 的中点，所以AB PM ⊥， PM PC P ⋂=因此根据线面垂直判定定理得AB ⊥平面PCM ，且AB平面ABC所以平面PCM ⊥平面ABC .16．(1)10n =(2)5417,210T x T x ==【解析】【分析】（1）由二项式系数和公式可得答案；（2）求出n的通项，利用x 的指数为整数可得答案. (1)n的二项展开式中所有项的二项式系数之和0121024+++==n n n n n C C C ， 所以10n =.(2)105611010,0,1,,10--+===r r r rrr T C C x r ，因此0,6r =时，有理项为0556********,210T C x x T C x x ====，有理项是第一项和第七项.17．(1)18.7x =，21 3.824s =，8.2M =； (2)29.7x =，2218.136s =. 【解析】【分析】（1）根据茎叶图求平均值1x ，再由方差与均值的关系求21s ，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M .（2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值2x ，再由方差与均值的关系列方程组求出1521i i b =∑，进而求方差22s .(1)15111 5.3 6.57.47.68.18.18.18.28.28.49.59.810.51113.88.71515i i x a =++++++++++++++===∑， ∴()152221111 3.82415i i s a x ==-=∑，由茎叶图知：数据从小到大排列为{5.3,6.5,7.4,7.6,8.1,8.1,8.1,8.2,8.2,8.4,9.5,9.8,10.5,11,13.8} ∴8.2M =.(2) 由题意，22158.7159.29.730x x ⨯+⨯=⇒=， 又151522211151515222211118.7 3.8241192.71151()9.211.231683.3930i i i i i i i i i i a a a b b =====⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+-==⎪⎪⎩⎩∑∑∑∑∑， 因此152222119.718.13615i i s b ==-=∑. 18．(1)8+(2)1arccos()3- 【解析】【分析】（1）首先求出球的半径，即可得到四棱锥P ABCD -的棱长，再根据锥体的表面积公式计算可得；（2）取PB 中点M ，联结,AM CM ，即可得到,AM PB CM PB ⊥⊥，从而得到AMC ∠为二面角A PB C --的平面角，再利用余弦定理计算可得.(1)解：设球的半径为R ，则2116233P ABCD V R R -=⨯⋅= 解得2R =，所以P ABCD -所有棱长均为因此22448PAB ABCD S SS =+=+=+(2)解：取PB 中点M ，联结,AM CM ，因为,APB CPB 均为正三角形，因此,AM PB CM PB ⊥⊥，即AMC ∠为二面角A PB C --的平面角.4,AC AM CM ===1cos 3AMC ∠==- 因此二面角的大小为1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭.19．(1)4关 (2)59(3)100243【解析】【分析】（1）由题意，可判断4n ≤时，62n n >，当5,62n n n ≥<，所以可判断出最多只能过4关；（2）记一次抛掷所出现的点数之和大于2为事件1A ，两次抛掷所出现的点数之和大于22为事件2A ，得基本事件的总数以及满足题意的基本事件的个数，计算出()146P A =，()2651366P A =-=，从而根据概率相乘求解得连过前两关的概率；（3）设前两次和为,212a a ≤≤，第三次点数为,16b b ≤≤，列出第三关过关的基本事件的个数，利用概率相乘即可得连过前三关的概率.(1)因为骰子出现的点数最大为6，当4n ≤时，62n n >，而5,62nn n ∀≥<，所以5n ≥时，这n 次抛掷所出现的点数之和均小于2n ，所以最多只能过4关.(2)记一次抛掷所出现的点数之和大于2为事件1A ，基本事件总数为6个，符合题意的点数为3,4,5,6，共4个，所以()146P A =；记两次抛掷所出现的点数之和大于22为事件2A ，基本事件总数为6636⨯=个，不符合题意的点数为()()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1，共6个，则由对立事件的概率得()2651366P A =-=，所以连过前两关的概率为()12455669P A A =⨯=; (3)前两次和为,212a a ≤≤，第三次点数为,16b b ≤≤则考虑8a b +> 36,45,46,54,55,56,63,64,65,66,72,73,74,75,76,81,82,83,84,85,86,91,92,93,94,95,96,101,102,103,104,105,106,111,112,113,114,115,116,121,122,123,124,125,12a b +=+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++6,再考虑a312,21=++ 2种413,31,22=+++ 3种514,41,23,32=++++ 4种615,51,24,42,33=+++++ 5种716,61,25,52,34,43=++++++ 6种826,62,35,53,44=+++++ 5种936,63,45,54=++++ 4种1046,64,55=+++ 3种1156,65=++ 2种1266=+ 1种所以满足8a b +>共有12233445566(54321)160⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++=. 因此某人连过前三关的概率是345160100666243⨯⨯=.。

上海市杨浦高级中学2021年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若直线与⊙O: x2+y2= 4没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（）A．至多为1 B．2 C．1 D．0参考答案：B2. 函数的单调递增区间是（▲）A.[0，＋∞）B.[1，＋∞）C.（－∞，0]D.（－∞，1]参考答案：A略3. 已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.参考答案：C4. 函数的图象在处的切线的倾斜角为（）A．B．C．D．参考答案：D略5. 如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．对于给定的常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：D略6. 若等比数列{a n}的各项均为正数，，，则（）A. B. C. 12 D. 24参考答案：D【分析】由，利用等比中项的性质，求出，利用等比数列的通项公式即可求出．【详解】解：数列是等比数列，各项均为正数，，所以，所以．所以，故选：D．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．7. 设，则的展开式中的常数项为A. 20B. -20C. 120D. -120参考答案：B【分析】先利用微积分基本定理求出的值，然后利用二项式定理展开式通项，令的指数为零，解出相应的参数值，代入通项可得出常数项的值。

【详解】，二项式的展开式通项为，令，得，因此，二项式的展开式中的常数项为，故选：B.【点睛】本题考查定积分的计算和二项式指定项的系数，解题的关键就是微积分定理的应用以及二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题。

2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数f（x）=lg（1-3x）的定义域为 ___ ．2.（填空题，5分）函数y=1的值域是___ ．x2+23.（填空题，5分）若函数f（x）=log a（x+b）的图象过点（1，2），则f-1（x）-1的图象经过点 ___ ．4.（填空题，5分）圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___ ．5.（填空题，5分）若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是___ ．6.（填空题，5分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ___ ．7.（填空题，5分）方程log5(4x−11)−1=log5(2x−3)的解为x=___ ．8.（填空题，5分）不等式（a-3）13＜（1+2a）13的解集为 ___ ．9.（填空题，5分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（2）=1，对于任意正数x、y满足等式f（xy）=f（x）+f（y），不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集为 ___ ．10.（填空题，5分）已知函数f（x）=lg（√x2+1 +ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是 ___ ．取最小值时，点P（a，b）的11.（填空题，5分）已知a＞b＞0，那么当代数式a2+4b(a−b)坐标为 ___ ．，给出以下四个命题：12.（填空题，5分）关于函数f(x)=|x|||x|−1|① 当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值：② 方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有实数解：③ 如果方程f（x）=m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④ y=f（x）是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ___ ．13.（单选题，5分）已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若a⊥α，a⊥β，则α || βB.若a || α，b || β，α || β，则a || bC.若a⊥b，b⊥α，a || β，则α || βD.若α || β，a与α所成角和b与β所成角相等，则a || b14.（单选题，5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4，则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集是（）A.[2，3]B.[2，4]C.[2，4）D.[3，4）15.（单选题，5分）设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，Q1={x|x2+x+b＞0}，Q2={x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集16.（单选题，5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：① 过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；② 过点P 有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A. ① 为真命题，② 为真命题B. ① 为真命题，② 为假命题C. ① 为假命题，② 为真命题D. ① 为假命题，② 为假命题17.（问答题，12分）已知全集U=R，A={m|关于x的方程有正负相异的实数根x2-2x+4-|m-1|=0}，非空集合B={x|（x-2a）（x-1）＜0}．（1）求集合B；（2）求集合∁U A；（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围；18.（问答题，13分）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．19.（问答题，15分）如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=2，AC⊥BC，D、E 分别为线段AB、BC上的点，且CD=DE=√2，CE=2EB=2．（1）证明：DE⊥平面PCD；，求锐二面角A-PD-C的余弦值．（2）已知AC=3220.（问答题，15分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C （x）= k20x+100（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？21.（问答题，15分）已知f(x)={2x，x≤0log2x，x＞0．（1）s＞0，t＞0，s≠t，比较f2（s）+f2（t）+1与f（s）+f（t）+f（s）f（t）的大小；（2）设k和m均为实数，满足以下两个条件：① 当x∈（-∞，m]时，f（x）的最大值为1，此时m的取值集合记为A；② 对任意m∈A且x∈（-∞，m]，不等式f（x）≤m2-（k-2）m+3k-10恒成立；求k的取值范围：（3）设t为实数，若关于x的方程f[f（x）]-log2（t-x）=0恰有两个不相等的实数根x1、x2且x1＜x2，试将2x1+log2x2+2−|x1−1|+|x2−1|表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数f（x）=lg（1-3x）的定义域为 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：1-3x＞0，解得：x＜0，故函数f（x）的定义域是（-∞，0），故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是基础题．2.（填空题，5分）函数y=1x2+2的值域是___ ．【正确答案】：[1]（0，12]【解析】：借助反函数的思想，用y表示x，注意到x2≥0，故可以先解出x2，再利用函数的有界性求出函数值域．【解答】：解：由y=1x2+2，得x2=1y−2，∵x∈R∴ 1y−2≥0，解之得0＜y ≤12；故答案为：（0，12]．【点评】：考查函数值域的求法，解决本题时易忽视函数的有界性，在数学中有很多问题看起来很相似，但解法有很大不同，要仔细区别，防止出错．3.（填空题，5分）若函数f（x）=log a（x+b）的图象过点（1，2），则f-1（x）-1的图象经过点 ___ ．【正确答案】：[1]（2，0）【解析】：根据题意知：f（1）=2⇔f-1（2）=1⇔f-1（2）-1=0．【解答】：解：因为函数f（x）的图象过点（1，2），所以f（1）=2，所以f-1（2）=1，所以f-1（2）-1=0，即函数f-1（x）-1经过点（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】：本题考查了反函数，属于基础题．4.（填空题，5分）圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：根据圆锥底面的半径求出侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长，再计算扇形的圆心角．【解答】：解：圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为2π×1=2π（cm）；=π．所以扇形的圆心角为θ= 2π2故答案为：π．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图是扇形的应用问题，是基础题．5.（填空题，5分）若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（2，+∞）【解析】：根据由x∈A是x∈B的充分非必要条件，得出A⫋B，列出不等式，解得a的取值范围即可．【解答】：解：∵“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，∴{x|x＜2}⫋{x|x＜a}∴a＞2；故实数a的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】：本题考查了充分必要条件的定义，属于基础题．6.（填空题，5分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] 43 【解析】：画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．【解答】：解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为： 13 ×1×2×2= 43 ．故答案为： 43 ．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．7.（填空题，5分）方程 log 5(4x −11)−1=log 5(2x −3) 的解为x=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】：解：∵ log 5(4x −11)−1=log 5(2x −3) ，∴ { 4x −11＞02x −3＞04x −115=2x −3，解得x=2．故答案为：2．【点评】：本题考查对数方程的求解，考查对数的性质、运算法则、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．8.（填空题，5分）不等式（a-3） 13 ＜（1+2a ） 13的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]（-4，+∞）【解析】：利用幂函数y= x 13 在（-∞，+∞）上单调递增即可求解．【解答】：解：∵幂函数y= x 13 在（-∞，+∞）上单调递增，（a-3） 13 ＜（1+2a ） 13 ， ∴a-3＜1+2a ，∴a ＞-4，∴不等式（a-3） 13 ＜（1+2a ） 13 的解集为 （-4，+∞）．故答案为：（-4，+∞）．【点评】：本题考查利用幂函数的单调性解不等式，属于中档题．9.（填空题，5分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f （2）=1，对于任意正数x 、y 满足等式f （xy ）=f （x ）+f （y ），不等式f （x ）+f （x-3）≤2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]{x|3＜x≤4}【解析】：令x=y=2，可求出f （4），将不等式f （x ）+f （x-3）≤2转化为f[x （x-3）]≤f（4），结合函数的单调性，即可求出解集．【解答】：解：由于f （2）=1，对于一切x ，y∈R +，都有f （xy ）=f （x ）+f （y ）， 令x=y=2，则f （4）=2f （2）=2，不等式f （x ）+f （x-3）≤2，∴f （x ）+f （x-3）≤f （4），∴f[x （x-3）]≤f （4），∵函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴ {x ＞0x −3＞0x (x −3)≤4 ，∴ {x ＞0x ＞3−1≤x ≤4 ，∴3＜x≤4， ∴不等式的解集为{x|3＜x≤4}．故答案为：{x|3＜x≤4}．【点评】：本题考查函数的单调性及运用，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f（x）=lg（√x2+1 +ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][-1，1]【解析】：根据对数函数的真数大于0，得出√x2+1 +ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围．【解答】：解：函数f（x）=lg（√x2+1 +ax）的定义域为R，∴ √x2+1 +ax＞0恒成立，∴ √x2+1＞-ax恒成立，设y= √x2+1，x∈R，y2-x2=1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近线方程为y=±x；令y=-ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y=-ax的图象应在y= √x2+1的下方，画出图形如图所示∴0≤-a≤1或-1≤-a≤0，解得-1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[-1，1]．故答案为：[-1，1]．【点评】：本题考查了不等式恒成立问题，是基础题．11.（填空题，5分）已知a＞b＞0，那么当代数式a2+4b(a−b)取最小值时，点P（a，b）的坐标为 ___ ．【正确答案】：[1]（2，1）【解析】：根据题意，有b（a-b）≤（b+a−b2）2= a24，当且仅当b=a-b，即a=2b时等号成立．所以a2+ 4b(a−b)≥a2+ 16a2≥16，结合a＞b＞0以及两个不等式等号成立的条件可求出a、b的值，从而可求出点P（a，b）的坐标．【解答】：解：由a ＞b ＞0，得a-b ＞0，所以b （a-b ）≤（b+a−b 2 ）2= a 24 ，当且仅当b=a-b ，即a=2b 时等号成立． 所以a 2+ 4b (a−b ) ≥a 2+ 16a 2 ≥16，其中第一个不等式的等号当且仅当a=2b 时成立，第二个不等式的等号当且仅当a 2= 16a 2 时成立．所以当a 2+ 4b (a−b ) 取最小值时，有 {a ＞b ＞0a =2b a 2=16a 2，即 {a =2b =1 ．所以点P （a ，b ）的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，解题的关键是需要多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号时的条件，本题属于中档题．12.（填空题，5分）关于函数 f (x )=|x|||x|−1| ，给出以下四个命题： ① 当x ＞0时，y=f （x ）单调递减且没有最值：② 方程f （x ）=kx+b （k≠0）一定有实数解：③ 如果方程f （x ）=m （m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④ y=f （x ）是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ___ ．【正确答案】：[1] ① ③【解析】： ① x ＞0时，由x ≠1知y=f （x ）不具有单调性，判定命题错误；② 函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，在x ＞0且k ＞0时，判定函数y=f （x ）与y=kx 在第一象限内有交点；由对称性知，x ＜0且k ＞0时，函数y=f （x ）与y=kx 在第二象限内有交点；得方程f （x ）=kx+b （k≠0）有解；③ 函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，且f （x ）=0，举例说明k=0时，方程f （x ）=k 有1个解；④ 函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，由 ① ，即可判断结论是否正确．【解答】：解： ① 当x ＞1时，y=f （x ）= x x−1 =1+ 1x−1 在区间（1，+∞）上是单调递减的函数，0＜x ＜1时，y=f （x ）=- x x−1 =-1- 1x−1 在区间（0，1）上是单调递增的函数且无最值；∴命题 ① 错误；② 函数f （x ）= f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，当x ＞0时，y=f （x ）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；当k ＞0时，函数y=f （x ）与y=kx 在第一象限内一定有交点；由对称性知，当x ＜0且k ＞0时，函数y=f （x ）与y=kx 在第二象限内一定有交点； ∴方程f （x ）=kx+b （k≠0）一定有解；∴命题 ② 正确；③ ∵函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，且f （x ）=0，当k=0时，函数y=f （x ）与y=k 的图象只有一个交点，∴方程f （x ）=k 的解的个数是奇数；∴命题 ③ 错误；④ ∵函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，x≠±1，当x=0时取得最小值，命题 ④ 正确．故答案为： ① ③ ．【点评】：本题考查了含有绝对值的分式函数的图象与性质的问题，解题时应先去掉绝对值，化为分段函数，把分式函数分离常数，属于中档题．13.（单选题，5分）已知直线a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A.若a⊥α，a⊥β，则α || βB.若a || α，b || β，α || β，则a || bC.若a⊥b ，b⊥α，a || β，则α || βD.若α || β，a 与α所成角和b 与β所成角相等，则a || b【正确答案】：A【解析】：由直线与平面垂直的性质判断A ；由直线与平面平行、平面与平面平行的关系判断B ；由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断C ；由直线与平面所成角判断D ．【解答】：解：若a⊥α，a⊥β，由直线与平面垂直的性质可得α || β，故A 正确；若a || α，b || β，α || β，则a || b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故B 错误；若a⊥b ，b⊥α，则a || α或a⊂α，又a || β，则α || β或α与β相交，故C 错误；若α || β，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，可得a 与α所成的角和b 与α所成的角相等，则a与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故D错误．故选：A．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.（单选题，5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4，则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集是（）A.[2，3]B.[2，4]C.[2，4）D.[3，4）【正确答案】：C【解析】：把不等式的左边因式分解，然后结合二次函数的图象得到关于[x]的解集，再由[x]表示不超过x的最大整数得到x的具体范围．【解答】：解：由[x]2-5[x]+6≤0，得（[x]-2）（[x]-3）≤0．解得2≤[x]≤3．因为[x]表示不超过x的最大整数，所以2≤x＜4．所以原不等式的解集为[2，4）．故选：C．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法，解答的关键是由[x]的解集得到x的解集，是基础题．15.（单选题，5分）设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，Q1={x|x2+x+b＞0}，Q2={x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【正确答案】：B【解析】：运用集合的子集的概念，令m∈P1，推得m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；再由b=1，b=5，求得Q1，Q2，即可判断B正确，A，C，D错误．【解答】：解：对于集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b=5时，Q1={x|x2+x+5＞0}=R，Q2={x|x2+2x+5＞0}=R，可得Q1是Q2的子集；当b=1时，Q1={x|x2+x+1＞0}=R，Q2={x|x2+2x+1＞0}={x|x≠-1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．【点评】：本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．16.（单选题，5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：① 过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；② 过点P 有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A. ① 为真命题，② 为真命题B. ① 为真命题，② 为假命题C. ① 为假命题，② 为真命题D. ① 为假命题，② 为假命题【正确答案】：B【解析】：作出过P与两直线相交的直线l判断① ；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断② ．【解答】：解：直线AB与A1D1是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ || A1D1，且 PQ=A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P 共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故① 为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故② 为假命题．∴ ① 为真命题，② 为假命题．故选：B．【点评】：本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．17.（问答题，12分）已知全集U=R，A={m|关于x的方程有正负相异的实数根x2-2x+4-|m-1|=0}，非空集合B={x|（x-2a）（x-1）＜0}．（1）求集合B；（2）求集合∁U A；（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围；【正确答案】：【解析】：（1）由B≠∅，可得a≠ 12，分a＞12和a＜12两种情况讨论求出集合B；（2）关于x的方程有正负相异的实数根x2-2x+4-|m-1|=0，结合韦达定理及二次函数图象性质，求出集合A，然后再求出A的补集；（3）x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，判断出两个集合的包含关系，从而求出实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由B≠∅，可得a≠ 12，分a＞12和a＜12两种情况，当a＜12，即2a＜1时，集合B={x|2a＜x＜1}．当a＞12，即2a＞1时，集合B={x|1＜x＜2a}．综上，当a＜12时，集合B={x|2a＜x＜1}．当a＞12时，集合B={x|1＜x＜2a}．（2）因关于x的方程有正负相异的实数根x2-2x+4-|m-1|=0，∴x1•x2=4-|m-1|＜0，且Δ=4-4（4-|m-1|）＞0，∴|m-1|＞4，∴m＜-3或m＞5，∴A={m|m＜-3或m＞5}；故集合∁U A={m|-3≤m≤5}．（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，则B⫋∁U A，由（1）、（2）可得：当a＜12时，集合B={x|2a＜x＜1}，则2a≥-3，∴ −32≤a＜12；当a＞12时，集合B={x|1＜x＜2a}，则2a≤5，∴ 12＜a≤ 52．综上，实数a的取值范围为[ −32，12）∪（12，52]．【点评】：本题考查了集合间的关系，一元二次不等式的解法，一元二次方程根的情况，充分、必要条件，分类讨论的数学思想方法，属于中档题．18.（问答题，13分）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．【正确答案】：【解析】：设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为2πr=25π•10，所以r=2．则ℎ=√102−22=4√6．则圆锥的表面积S= π•1025+2π•22=28π≈87.96(cm2)．体积V= 13π•22×4√6+23π•23=163(√6+1)π≈57.80(cm2)．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．【点评】：本题考查了圆锥的表面积和体积，解答的关键是明确圆锥的底面周长是展开后的扇形的弧长，同时熟记有关公式，是基础题．19.（问答题，15分）如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=2，AC⊥BC，D、E 分别为线段AB、BC上的点，且CD=DE=√2，CE=2EB=2．（1）证明：DE⊥平面PCD；（2）已知AC=32，求锐二面角A-PD-C的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明PC⊥DE，DE⊥CD，即可证明DE⊥平面PCD，（2）CA、CB、CP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PDA的法向量，平面PCD 的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】：（1）证明：因为PC⊥平面ABC ，DE⊂平面ABC ，所以PC⊥DE ，因为 CD =DE =√2 ，CE=2，所以DE 2+CD 2=CE 2，所以DE⊥CD ，又因为PC∩CD=C ，所以D E⊥平面PCD ，（2）解：因为PC⊥平面ABC ，所以PC⊥CA 、PC⊥AB ，又因为 ∠ACB π2 ，所以CA 、CB 、CP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得 A (32，0，0) ，B （0，3，0），P （0，0，2），D （1，1，0），E （0，2，0）， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，0，2) ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，1，0) ， 设平面PDA 的法向量为 π⃗ =(x ，y ，z) {AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =−32x +2z =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =−12x +y =0 ，令x=4， π⃗ =(4，2，3) ， 平面PCD 的一个法向量为 n ⃗ =DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0) ，． 所以锐二面角A-PD-C 的余弦值为 |m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2√29⋅√2=√5829 ．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.（问答题，15分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x （单位：平方米）之间的函数关系是C （x ）= k 20x+100 （x≥0，k 为常数）．记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C （0）的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式；（2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？【正确答案】：【解析】：（1）C （0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C （0）= k 100 =24，可求得k ，从而得到F 关于x 的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得F 取得的最小值及F 取得最小值时x 的值．【解答】：解：（1）C （0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用， 即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C （0）= k 100 =24，得k=2400 …（3分）所以F=15× 240020x+100 +0.5x= 1800x+5 +0.5x ，x≥0…（7分）（2）因为 1800x+5 +0.5（x+5）-2.5≥2 √1800×0.5 -2.5=57.5，…（10分）当且仅当 1800x+5 =0.5（x+5），即x=55时取等号 …（13分）所以当x 为55平方米时，F 取得最小值为57.5万元…（14分）【点评】：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．21.（问答题，15分）已知 f (x )={2x ，x ≤0log 2x ，x ＞0． （1）s ＞0，t ＞0，s≠t ，比较f 2（s ）+f 2（t ）+1与f （s ）+f （t ）+f （s ）f （t ）的大小；（2）设k 和m 均为实数，满足以下两个条件：① 当x∈（-∞，m]时，f （x ）的最大值为1，此时m 的取值集合记为A ；② 对任意m∈A 且x∈（-∞，m]，不等式f （x ）≤m 2-（k-2）m+3k-10恒成立；求k 的取值范围：（3）设t 为实数，若关于x 的方程f[f （x ）]-log 2（t-x ）=0恰有两个不相等的实数根x 1、x 2且x 1＜x 2，试将 2x 1+log 2x 2+2−|x 1−1|+|x 2−1| 表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．【正确答案】：【解析】：（1）设f（s）=x，f（t）=y，x≠y，将原式变换成x2+y2+1-（x+y+xy），再结合配方的知识，即可求解．（2）① 由于f（x）的最大值为1，分x≤0、x＞0两种情况讨论，② 结合含参方程得求法、以及均值不等式，即可求解．（3）当x≤1时，2x=t-x，1＜t≤3，当x＞1时，log2x=t-x，t＞1，再结合对数函数和指数函数得知识，即可求解．【解答】：解：（1）设f（s）=x，f（t）=y，x≠y，由题意可得，x2+y2+1-（x+y+xy）= 12(x2−2x+1)+12(y2−2y+1) + 12(x2−2xy+y2)= 12(x−1)2+12(y−1)2+12(x−y)2≥0，∴f2（s）+f2（t）+1＞f（s）+f（t）+f（s）f（t）．（2）① 令log2x=1，得x=2，令2x=1 得x=1，∴0≤m≤2，即m={m|0≤m≤2}．② ∵不等式f（x）≤m2-（k-2）m+3k-10恒成立，∴m2-（k-2）m+3k-10≥f（x）max=1，∴m2-（k-2）m+3k-11≥0对任意m∈[0，2]都成立，∵1≤3-m≤3，∴ k≥(m−3)+4m−3+8，∵ 3−m＞0，43−m＞0，∴ (m−3)+4m−3+8≤−4+8=4，当且仅当m-3= 4m−3，即m=1时等号成立，∴k≥4，∴k得取值范围为[4，+∞）．（3）∵ f(x)={2x，x≤0log2x，x＞0，∴ ff(x)={x，x≤1log2(log2x)，x＞1，① 当x≤1时，方程f[f（x）]-log2（t-x）=0 变为x=log2（t-x），即2x=t-x，1＜t≤3，② 当x＞1时，方程f[f（x）]-log2（t-x）=0 变为log2（log2x）=log2（t-x），即log2x=t-x，t＞1，∴x1，x2分别是方程2x=t-x，log2x=t-x 的两个根且x1≤1＜x2＜t，∴ t=2x1+x1=log2x2+x2，得x2=2x1，将其代入t= 2x1+x1，可得x1+x2=t，∵ 2x1+log2x2+ 2-|x1-1|+|x2-1|=（t-x1）+（t-x2）+2-（1-x1）+（x2-1）=2t，∴函数得定义域为（1，3]．【点评】：本题考查一元二次函数的配方、以及不等式恒成立问题，以及对数函数和指数函数的知识，综合性强，属于难题．。

杨浦区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）2． 在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，点P 在线段AD ′上运动，则异面直线CP 与BA ′所成的角θ的取值范围是（ ）A ．0＜B ．0C ．0D ．03． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B 2=AC B ．A+C=2B C ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）4． 设集合，，若，则的取值范围是（）{|12}A x x =<<{|}B x x a =<A B ⊆A ．B ．C ．D ．{|2}a a ≤{|1}a a ≤{|1}a a ≥{|2}a a ≥5． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣36． 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（）A ．B ．C ．﹣6D ．67． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）A ．80B ．40C ．60D ．20　9． 已知向量，，若，则实数（ ）(,1)a t = (2,1)b t =+ ||||a b a b +=-t =A.B. C. D. 2-1-12【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ． 2B ．4C ．D ．3438【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.11．如图，在正四棱锥S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ∥BD ；②EP ⊥AC ；③EP ⊥面SAC ；④EP ∥面SBD 中恒成立的为（）A ．②④B ．③④C ．①②D ．①③12．若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ）A ．（﹣3，0）∪（2，3）B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D ．（﹣3，0）∪（2，+∞）　13．函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（）B ．（，]C ．（）D ．（]14．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ）A ．（0，4）B ．[0，4）C ．（0，5]D ．[0，5]二、填空题16．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．17．当时，函数的图象不在函数的下方，则实数的取值范围是0,1x ∈（）()e 1xf x =-2()g x x ax =-a ___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．18．已知、、分别是三内角的对应的三边，若，则a b c ABC ∆A B C 、、C a A c cos sin -=的取值范围是___________．3cos(4A B π-+【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，则△ABC 的面积是 ．三、解答题20．（本小题满分12分）设椭圆的离心率，圆与直线相切，为坐标原2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =22127x y +=1x y a b+=O 点.（1）求椭圆的方程；C （2）过点任作一直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点,使(4,0)Q -C ,M N MQ QN λ=MN R 得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方MR RN λ=-R 程；若不是，请说明理由.21．已知f （α）=，（1）化简f （α）；（2）若f （α）=﹣2，求sin αcos α+cos 2α的值．22．已知定义域为R 的函数是奇函数．（1）求f （x ）；（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．23．（本小题满分12分）1111]已知函数()()1ln 0f x a x a a x =+≠∈R ，．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．24．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围；（2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．　25．已知cos（+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．杨浦区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．2．【答案】D【解析】解：∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴0＜θ≤．故选：D．3．【答案】C【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；故排除A，D；若公比q≠1，则A=S n =，B=S 2n =，C=S 3n =，B （B ﹣A ）=（﹣）=（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n ）A （C ﹣A ）=（﹣）=（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n ）；故B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）；故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．4． 【答案】D 【解析】试题分析：∵，∴．故选D ．A B ⊆2a ≥考点：集合的包含关系．5． 【答案】B【解析】解：若f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，则f （0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，当m=1时，f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，当m=﹣1时，f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，此时为奇函数，满足条件，作出函数f （x ）的图象如图：则函数在上为增函数，最小值为﹣2，故正确的是B ，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m 的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．6．【答案】B【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，由，解得y=0，x=，（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，故选B．【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．7．【答案】A【解析】解：几何体如图所示，则V=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．8．【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B ．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．　9． 【答案】B 【解析】由知，，∴，解得，故选B.||||a b a b +=- a b ⊥ (2)110a b t t ⋅=++⨯=1t =-10．【答案】B11．【答案】 A【解析】解：如图所示，连接AC 、BD 相交于点O ，连接EM ，EN ．在①中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP ∥BD ，因此不正确；在②中：由正四棱锥S ﹣ABCD ，可得SO ⊥底面ABCD ，AC ⊥BD ，∴SO ⊥AC ．∵SO ∩BD=O ，∴AC ⊥平面SBD ，∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM ∥BD ，MN ∥SD ，而EM ∩MN=M ，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC ⊥EP ．故正确．在③中：由①同理可得：EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则EP ∥EM ，与EP ∩EM=E 相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　12．【答案】A【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3）故选：A．13．【答案】A【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（，），则sinφ＞cosφ，则由f（sinφ）=f（cosφ），则=m，即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）当φ∈（，），则φ+∈（，），则＜sin（φ+）＜，则＜m＜，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．14．【答案】B【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；对C：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B15．【答案】B【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，∴f（x1）=f（f（x1））=0，∴f（0）=0，即f（0）=m=0，故m=0；故f（x）=x2+nx，f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，当n=0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，故△=n2﹣4n＜0，故0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选B．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．二、填空题16．【答案】【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．①将①与拋物线x2＝2py联立得，x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），∴k PQ ＝＝－2t ，2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p（－k －t ）－2p （k －t ）即直线PQ 的斜率为－2t .（2）由y ＝得y ′＝，x 22p x p∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝＝2t .2pt p其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，－）．p 2∴－－2pt 2＝2t （－2pt ）．p 2解得t ＝±，即t 的值为±.121217．【答案】[2e,)-+∞【解析】由题意，知当时，不等式，即恒成立．令0,1x ∈（）2e 1xx ax -≥-21e xx a x+-≥，．令，．∵，∴()21e x x h x x +-=()()()211e 'x x x h x x-+-=()1e x k x x =+-()'1e xk x =-()0,1x ∈∴在为递减，∴，∴，∴()'1e 0,xk x =-<()k x ()0,1x ∈()()00k x k <=()()()211e '0x x x h x x -+-=>()h x 在为递增，∴，则．()0,1x ∈()()12e h x h <=-2e a ≥-18．【答案】 【解析】19．【答案】　4　．【解析】解：∵sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2=ac ，∵c=2a ，可得：b=a ，∴cosB===，可得：sinB==，∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，∴S △ABC =acsinB==4．故答案为：4．三、解答题20．【答案】（1）；（2）点在定直线上.22143x y +=R 1x =-【解析】试题解析：（1）由，∴，∴，12e =2214e a =2234a b ==解得，所以椭圆的方程为.2,a b ==C 22143x y +=设点的坐标为，则由，得，R 00(,)x y MR RN λ=-⋅0120()x x x x λ-=--解得1121221212011224424()41()814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又，2212122226412322424()24343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++，从而，212223224()883434k x x k k -++=+=++121201224()1()8x x x x x x x ++==-++故点在定直线上.R 1x =-考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.21．【答案】【解析】解：（1）f（α）===﹣tan α；…5（分）（2）∵f （α）=﹣2，∴tan α=2，…6（分）∴sin αcos α+cos 2α====．…10（分）22．【答案】【解析】解：（1）因为f （x ）是R 上的奇函数，所以f （0）=0，即=0，解得b=1；从而有；…经检验，符合题意；…（2）由（1）知，f （x ）==﹣+；由y=2x 的单调性可推知f （x ）在R 上为减函数； …（3）因为f （x ）在R 上为减函数且是奇函数，从而不等式f （1+|x|）+f （x ）＜0等价于f （1+|x|）＜﹣f （x ），即f （1+|x|）＜f （﹣x ）； …又因f （x ）是R 上的减函数，由上式推得1+|x|＞﹣x ，…解得x ∈R ．…　23．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；（2）()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，，．【解析】试题分析：（1）由1a =⇒()22111'x f x x x x-=-+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当10x a=<，即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]①若1e a≤，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减，则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11ln 0f e a e a e e =+=+>，显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立．②若10e a <<，即1a e>时，则有10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a 1e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()'f x -0+()f x ↘极小值↗所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，，综上，由①②可知，()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，，符合题意．……………………………………12分考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.24．【答案】【解析】解：（1）当m=0时，f （x ）=﹣1＜0恒成立，当m ≠0时，若f （x ）＜0恒成立，则解得﹣4＜m ＜0综上所述m 的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）要x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当 m ＞0时，g （x ）是增函数，所以g （x ）max =g （3）=7m ﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m ＜0时，g （x ）是减函数．所以g （x ）max =g （1）=m ﹣6＜0，解得m ＜6．所以m ＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．25．【答案】【解析】解：∵＜θ＜，∴+θ∈（，），∵cos（+θ）=﹣，∴sin（+θ）=﹣=﹣，∴sin（+θ）=sinθcos+cosθsin=（cosθ+sinθ）=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣，①cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，∴cosθ﹣sinθ=﹣，②联立①②，得cosθ=﹣，sinθ=﹣，∴====．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．。