空间直线与平面的位置关系(夹角)

两条空间直线夹角计算公式一、引言在三维空间中，直线是常见的几何形状之一。

当我们研究两条直线之间的关系时，一个重要的概念就是夹角。

本文将介绍两条空间直线夹角的计算公式，并讨论其应用。

二、夹角的定义在平面几何中，夹角是由两条直线在同一平面内的交点和两条直线上的一对相对的射线所围成的角度。

而在三维空间中，夹角的定义相似，但需要考虑两条直线所在的不同平面。

三、两条空间直线夹角的计算公式1. 同向直线的夹角当两条直线的方向向量平行时，它们被认为是同向直线。

此时，可以通过计算两个方向向量的夹角来求得两条直线之间的夹角。

假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。

则两条直线夹角θ的计算公式为：cosθ = |a·b| / (|a|·|b|)其中，·表示向量的点积，|a|表示向量a的模长。

2. 反向直线的夹角反向直线是指两条直线的方向向量相反，即平行但方向相反的直线。

在计算反向直线的夹角时，我们可以使用同向直线夹角的计算公式，然后取其补角。

假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。

则两条直线夹角θ的计算公式为：θ = π - arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，arccos表示反余弦函数，π表示圆周率。

3. 任意两条直线的夹角当两条直线既不是同向直线也不是反向直线时，我们需要进一步考虑两条直线所在的平面。

首先，我们可以通过计算两个方向向量的夹角来确定两条直线在其所在平面内的夹角。

然后，我们可以利用这个夹角和两个方向向量与其所在平面的夹角来计算最终的夹角。

具体计算步骤如下：1) 计算两个方向向量a和b的夹角α：cosα = |a·b| / (|a|·|b|)2) 计算两个方向向量a和b与其所在平面的夹角β和γ：cosβ = |a·n| / (|a|·|n|)cosγ = |b·n| / (|b|·|n|)其中，n为平面的法向量。

空间几何直线与平面的位置关系与夹角空间几何中，直线和平面是两种常见的几何图形。

它们在空间中的位置关系以及它们之间的夹角是几何学中的重要概念。

本文将探讨直线与平面的位置关系以及它们之间的夹角。

一、直线与平面的位置关系在空间几何中，直线与平面有以下三种位置关系：平行、相交、重合。

1. 平行：当直线与平面没有交点时，它们被认为是平行的。

平行的直线与平面永远不会相交。

2. 相交：当直线与平面有一个交点时，它们被认为是相交的。

相交的直线与平面在该交点处有唯一的交点。

3. 重合：当直线完全位于平面上时，它们被认为是重合的。

重合的直线与平面完全重合，无法区分。

二、直线与平面的夹角夹角是两条直线或两个平面之间的角度。

在空间几何中，夹角可分为以下三种情况：直线与直线的夹角、平面与平面的夹角、直线与平面的夹角。

1. 直线与直线的夹角：直线与直线之间的夹角可以通过它们的方向余弦来计算。

夹角的大小介于0度和180度之间，可以是锐角、直角或钝角。

2. 平面与平面的夹角：平面与平面之间的夹角可以通过它们的法线向量来计算。

夹角的大小介于0度和90度之间，可以是锐角或直角。

3. 直线与平面的夹角：直线与平面之间的夹角可以通过直线在平面上的投影长度和直线与平面法线的夹角来计算。

直线与平面的夹角大小介于0度和90度之间。

三、应用案例直线与平面的位置关系以及夹角在实际应用中有广泛的应用。

以下为两个具体案例：1. 建筑设计：在建筑设计中，直线与平面的位置关系与夹角的概念被广泛应用。

例如，建筑师需要考虑墙体与地板的夹角以及天花板与墙体的夹角等，以确保建筑物的结构和外观符合设计要求。

2. 机械工程：在机械工程中，直线与平面的位置关系与夹角的概念被用于设计机器零件的装配。

例如，螺栓与螺母之间的夹角需要合适，以确保机器零件的连接牢固。

总结：直线与平面的位置关系与夹角是空间几何中重要的概念。

通过理解它们的定义和计算方法，我们可以更好地理解和应用几何学原理。

直线与平面的位置关系与夹角求解直线与平面的位置关系和夹角求解是空间几何中经常涉及的问题。

本文将详细探讨直线与平面的几种位置关系，并介绍求解夹角的方法。

一、直线和平面的位置关系1. 直线在平面内部：当一条直线完全位于一个平面内时，我们称该直线在平面内部。

直线可以与平面有无穷多个交点，也可以没有交点。

2. 直线与平面相交于一点：当一条直线与一个平面有且仅有一个交点时，我们称该直线与平面相交于一点。

该交点既是直线上的一点，又是平面上的一点。

3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面没有交点时，我们称该直线与平面平行。

平行的直线与平面之间的距离相等。

4. 直线与平面垂直：当一条直线与一个平面相交，并且与该平面上的任意一条直线都垂直时，我们称该直线与平面垂直。

二、夹角的求解方法夹角是空间几何中常用的概念，用于描述两个直线或两个平面之间的角度关系。

求解夹角的主要方法有以下几种：1. 使用向量求解夹角：对于两条直线的夹角，可以利用它们的方向向量来求解。

假设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b，则两条直线的夹角θ可以通过向量的夹角公式求得：cosθ = (a·b) /(|a|·|b|)，其中·表示向量的数量积。

2. 使用法线向量求解夹角：对于一条直线和一个平面的夹角，可以利用直线的方向向量和平面的法线向量来求解。

假设直线L的方向向量为a，平面P的法线向量为n，则直线与平面的夹角θ可以通过向量的夹角公式求得：cosθ = |(a·n) / (|a|·|n|)|。

3. 使用平面方程求解夹角：对于两个平面的夹角，可以利用它们的法线向量来求解。

假设平面P1的法线向量为n1，平面P2的法线向量为n2，则两个平面的夹角θ可以通过向量的夹角公式求得：cosθ =|(n1·n2) / (|n1|·|n2|)|。

三、实例分析为了更好地理解直线与平面的位置关系和夹角求解，我们来看一个具体的实例。

高中数学空间点直线和平面的位置关系公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020空间点，直线和平面的位置关系一，线在面内的性质：定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

二，平面确定的判定定理：定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。

定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。

定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。

定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。

三，两面相交的性质：定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。

四，直线平行的判定定理：定里7. 平行于同一直线的两直线平行。

五，等角定理：定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。

六，异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。

（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角）七，直线和平面平行的判定定理：定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα 八，平面与平面平行判定定理：定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

符号表示：βαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a M b a b a推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

九，平面与平面平行的性质：定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示：d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα十，线与面垂直的判定定理：定理1. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线垂直这个平面。

一、求直线和平面的夹角方法1.在直线上取一点,过该点作平面的垂线,与平面交于另一点,直线斜足与这一点连接起来,形成的角就是所求的直线和平面的夹角。

2.向量方法。

表示出平面的一个向量,与该直线的的方向向量点乘,数量积除以两个向量模的数量积,为夹角的正弦植。

二、空间中直线与平面的位置关系有且只有三种：1、直线在平面内——有无数个公共点；2、直线与平面相交——有且只有一个公共点；3、直线与平面平行——没有公共点。

直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。

三、怎么求直线与平面的夹角1.求直线与平面的夹角可以用向量的方法，表示出平面的一个向量，与该直线的的方向向量点乘，数量积除以两个向量模的数量积，为夹角的正弦植。

2.线面夹角是指过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条直线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的锐角或直角。

斜线与它在平面上的射影所成的角为线面夹角。

过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条直线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的锐角或直角（这条线与原直线的夹角的余角线面）即为夹角。

夹角范围：(0,90]或(0,π/2]三、直线和平面的位置关系符号表示及相应的图形见下表：四、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.符号语言：公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

直线与平面的位置关系有哪些情况直线与平面是几何学中的两个基本概念，它们之间的位置关系有以下几种情况：一、直线与平面相交：当一条直线与一个平面相交时，有如下两种情况：1. 直线与平面相交于一点：这是最简单的情况，直线通过平面上的一点。

2. 直线与平面相交于一条直线：这种情况下，直线与平面有公共的部分，这个公共的部分也是直线。

二、直线与平面平行：直线与平面平行，意味着直线与平面没有任何交点，它们永远保持平行的状态。

这种情况下，直线与平面的位置关系可以通过以下特点来判断：1. 直线与平面的方向向量平行：直线与平面的平行性可以通过直线的方向向量与平面的法向量平行来判断。

如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面平行。

2. 直线与平面的点法向量相等：可以通过直线上的某个点和平面上的某个点分别计算它们的点法向量，如果这两个点法向量相等，则说明直线与平面平行。

三、直线在平面上：直线在平面上的情况可以细分为以下两种：1. 直线全在平面上：这种情况下，直线的所有点都在平面上。

2. 直线部分在平面上：这种情况下，直线与平面相交于一点，然后在该点处与平面垂直。

四、直线垂直于平面：直线垂直于平面意味着直线与平面的夹角为90度。

可以通过以下特点来判断：1. 直线的方向向量与平面的法向量垂直：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线垂直于平面。

2. 直线上的某个向量与平面上的某个向量的点积为零：可以选择直线和平面上的一点，然后计算这两个向量的点积，如果点积为零，则说明直线垂直于平面。

以上就是直线与平面的位置关系的几种情况。

在几何学和物理学中，这些情况是非常重要的，对于解决形状、位置和运动相关的问题有着重要的应用价值。

了解直线与平面的位置关系可以帮助我们更好地理解和应用这些概念。

直线与面的夹角取值范围
直线与平面的夹角取值范围是0到90度之间。

当直线与平面相
交时，它们的夹角范围是0到90度。

当直线与平面平行时，它们的
夹角为0度，而当直线与平面垂直时，它们的夹角为90度。

这是因
为夹角的定义是两个非平行且非垂直的线或面之间的角度，因此夹
角的取值范围是0到90度之间。

在几何学和工程学中，理解直线与
平面的夹角取值范围对于解决问题和进行计算非常重要。

这个概念
在三维空间中的几何关系和物体的相互位置中起着至关重要的作用。

因此，了解直线与平面夹角的取值范围可以帮助我们更好地理解空
间中的几何关系，并在实际问题中应用相关知识。

《直线与平面的夹角》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，直线与平面的夹角是一个常见且重要的概念。

比如，我们看到建筑物中的梁柱与地面形成的角度，书本打开时页面与桌面的夹角等等。

理解直线与平面的夹角，对于解决几何问题、理解空间关系以及在实际应用中都有着重要的意义。

二、直线与平面夹角的定义直线与平面的夹角，简单来说，就是指直线与它在平面上的投影所形成的锐角。

这里要注意的是，我们规定这个夹角的范围是在 0 度到90 度之间。

为了更清晰地理解这个定义，我们可以想象这样一个场景：有一条笔直的路灯杆竖立在水平的地面上，此时灯光照射下来，路灯杆在地面上会有一个影子。

那么路灯杆和它的影子所形成的锐角，就是路灯杆（直线）与地面（平面）的夹角。

三、直线与平面夹角的求法1、向量法向量是解决直线与平面夹角问题的有力工具。

首先，我们需要找到直线的方向向量和平面的法向量。

直线的方向向量可以通过直线上两个点的坐标差来计算。

假设直线上有两个点 A(x1, y1, z1)和 B(x2, y2, z2)，那么直线的方向向量就可以表示为 AB ＝（x2 x1, y2 y1, z2 z1)。

平面的法向量则可以通过平面的方程来确定。

一般来说，平面的方程可以表示为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ 0，其中（A, B, C) 就是平面的法向量。

有了直线的方向向量和平面的法向量后，我们就可以利用向量的点积公式来计算夹角。

假设直线的方向向量为 m，平面的法向量为 n，直线与平面的夹角为θ，则有sinθ ＝｜m·n| ／（｜m|·｜n|），然后通过反三角函数就可以求出θ。

2、几何法在一些比较特殊的几何图形中，我们可以直接通过几何关系来求出直线与平面的夹角。

例如，在一个正方体中，如果已知正方体的棱长和直线与平面的相关位置关系，我们可以通过构建直角三角形，利用勾股定理等知识来求出夹角。

四、直线与平面夹角的性质1、唯一性直线与平面的夹角是唯一确定的。

直线与平面的位置关系直线与平面是几何学中常见的两类图形，它们之间的位置关系至关重要。

本文将探讨直线与平面的位置关系，并通过几几种经典的例子来说明。

一、直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，它们被称为共面关系。

具体来说，如果直线的所有点都位于平面上，那么我们可以说这条直线在平面内。

例如，在平面上绘制一条线段AB，我们可以断定线段AB是共面的。

另一种情况是，直线与平面相交于一点，并且直线上的其他点均位于平面之外。

在这种情况下，我们可以认为直线在平面内。

例如，假设给定一个平面P和一条直线l，当直线l与平面P相交于点A且直线上的其他点均在平面P之外时，我们可以说直线l在平面P内。

二、直线与平面相交直线与平面的相交关系是几何学中最常见的情况之一。

当一条直线与平面相交于一点时，我们可以说这条直线与平面相交。

例如，给定一个平面P和一条直线l，当直线l与平面P相交于点A，我们可以断言直线l与平面P相交。

三、直线与平面平行直线与平面平行是指直线与平面之间没有交点，且直线上的所有点与平面都保持着固定的距离。

当一条直线与平面平行时，我们可以说直线与平面平行。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l与平面P之间没有交点，且直线上的所有点与平面P保持着固定的距离时，我们可以说直线l与平面P平行。

四、直线与平面垂直直线与平面垂直是指直线与平面之间存在一个直角，即直线与平面的夹角为90度。

当一条直线与平面垂直时，我们可以说直线与平面垂直。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l与平面P之间的夹角为90度时，我们可以说直线l与平面P垂直。

五、直线包含于平面直线包含于平面是指直线上的所有点都位于平面上。

当一条直线的所有点都在一个平面上时，我们可以说直线包含于平面。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l上的所有点都在平面P上，我们可以说直线l包含于平面P。

在几何学中，直线与平面的位置关系是一门深入研究的领域。

通过了解直线与平面在空间中的相互作用，我们可以更好地理解几何学的基本原理和定理。

专题10空间中的位置关系与夹角问题知识点一 直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点异面直线的公垂线定义:同时和两条异面直线垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线. 知识点二 平行与垂直的判定及性质 1．平行的判定文字语言图形语言符号语言判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行．性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．文字语言图形语言 符号语言判定定理 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行2．垂直的判定（一）直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直文字语言图形语言符号语言判 定 定 理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行文字语言图形语言符号语言判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【例 1】已知a ，b 为异面直线.对空间中任意一点P ,存在过点P 的直线 （ ）. A. 与a ，b 都相交 B. 与a ，b 都垂直 C. 与a 平行, 与b 垂直 D. 与a ，b 都平行【例 2】(青羊区校级模拟)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则（ ） A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面D ．1DE AF =，且直线1D E ，AF 相交【例3】(翠屏区校级月考)已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β∥，:q αβ∥，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例4】(2018•浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】(2021•浙江卷)如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ） A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线MN ∥平面ABCDB ．直线【解析】由αβ∥，直线a α⊂，可得a β∥，反之不成立，α与β可能相交．p ∴是q 的必要不充分条件．故选：B ．1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线MN ∥平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B【例6】(2021•新高考Ⅱ卷)如图，下列正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例7】(青岛二模)已知正方体1111ABCD A B C D -，动点P 在线段BD 上，则下述正确的是（ ） A ．11PC AD ∥ B ．11PC AC ⊥ C ．1PC ⊥平面1A BDD ．1PC ∥平面11AB D【解题总结】几个常用的结论：（1）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（2）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）垂直于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一直线的两个平面互相平行．（5）此类判断题要警惕“线在面内”的特殊情况．【例8】(金东区校级期中)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，122AB BC BB ===，90ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．求证：1A B ∥平面1ADC ；【例9】(沙坪坝区校级模拟)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，123C D =．（1）求证：1A B ∥平面1AC D ；【例10】在正方体1111ABCD A B C D -中, E 是AB 的中点,点F 在1CC 上, 且12CF FC =. 若点P 是侧面11AA D D 上一动点,且1PB ∥平面DEF , 则tan ABP ∠的取值范围是 ．【例11】(日照一模)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AD DC ⊥，PA AB ⊥，12BC CD AD ==，E 是边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成角为2π． （1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；【例12】(鹤壁模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形．AD ⊥底面ABC ，AD BE CF ∥∥，4AD =，3CF =，45DAE ∠=︒． （1）证明：AE DF ⊥；【例13】(2022•全国甲卷)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，1AD DC CB ===，2AB =，3DP（1）证明：BD PA ⊥； 【解题总结】线面与面面垂直的题型最终都归结在线线垂直的证明，而显现垂直的思路可总结为： 证明12l l ⊥，先看两直线的位置关系，如果：⎧⎪⇒⎨⎪⎩三线合一（有等腰三角形就必用）共面勾股定理（题目中线段数据多）其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）⇒⇒⇒异面考虑用线面垂直推导异面垂直找重垂线在重垂线对应平面内找垂直知识点三 投影与三垂线定理 1.投影的概念光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫 做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.2.投影的分类:(1)中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影.(2)平行投影:把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.在平行投影中，投影线正对着(即垂直)投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影. 高中阶段我们只考虑正投影. 3.正投影的性质:(1)直线或线段的平行投影仍然是直线或线段. (2)平行直线的平行投影是平行或是重合的.(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长. (4)与投射面平行的图形，它的投影与这个图形全等.(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.注：在立体几何中，通常会运用到直线或线段的投影，只需找直线或线段中两个不重合的点，分别向平面做垂线，垂足间的连线即为投影直线.4.三垂线定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（射影即投影）证明:①三垂线定理:已知直线1l x A =，过直线上任意点P 作PO x ⊥连接OA ，则OA 为直线1l 的投影为2l x ⊂，所以2PO l ⊥，若2OA l ⊥，OA PO O =，故2l ⊥平面OAP ， 又因为1l ⊂平面OAP ，所以12l l ⊥. 记为投影垂直于平面上的线，则斜线垂直平面上的线. ②三垂线定理的逆定理:已知直线1l x A =,过直线上任意点P 作PO x ⊥，连接OA ，则OA 为直线1l 的投影，因为2l x ⊂，所以2PO l ⊥，若2PA l ⊥，POPA P =，故2l ⊥平面OAP ，又因为OA ⊂平面OAP ，所以2OA l ⊥. 记为斜率垂直于平面上的直线，则斜线在平面的投影垂直该直线.注：此定理用在大题中，需要注明.由于三垂线定理的本质就是异面直线垂直与线面垂直，所以我们可以运用逆向思维，利用三垂线定理解决线线垂直与线面垂直问题.【例14】(2017•新课标Ⅲ)在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ） A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【例15】(2022秋•甘井子区校级月考)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD （含端点）上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．存在点E ，使1B E AC ⊥B ．异面直线1B E 与AD 所成的角最小值为4π C ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有11AC B E ⊥D ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有1B E ∥平面1A BD【例16】(浦东新区校级开学)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为（ ）A ．(12)，B ．11[)52，C ．12(5，D ．1[1)5，知识点四夹角问题1.几何法求线面角与二面角：对于线面角，一般指斜线与斜线在平面的投影所成的夹角；只需在斜线上找一点向平面做垂线，构造直角三角形求夹角，或构造垂直平面且过直线的平面，利用余弦定理求夹角. 对于二面角，一般指两个相交半平面形成的夹角，常用在平面上且垂直两平面交线的两条射线的夹角来表示二面角的平面角；只需在两个平面上分别找到垂直交线的直线，构造三角形，利用余弦定理求夹角.2.空间向量求夹角：空间向量是求夹角最常用的方式，此类问题将在本书专题14详细叙述.3.投影面积法求二面角:二面角:cos S Sθθ'=，其中S 为斜面面积，S '为投影面积在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB a ==，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小(投影面积法)如图，AD PA AD AB AD PA AB A ⎫⎪⇒⎬⎪=⎭⊥⊥⊥平面PBA 于A ，同时，BC ⊥平面BPA 于B ，故PBA △是PCD △在平面PBA 上的射影，设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ，则2cos 45PAB PCD S S θθ==⇒=△△. 4.已知异面直线段AB a =，CD b =，异面直线夹角θ，且异面直线距离为d 则四面体ABCD 体积为:1sin 6ABCD V abd θ=.5.空间余弦定理:空间四边形ABCD 的两条异面直线AC 与BD 夹角为θ，则满足:2222||||||||cos 2|||||AB CD AD BC AC BD θ+--=⋅【证明】如图所示，四边形ABCD 中，2222|()()()|||||||AD BC AB CD AD AB AD AB BC CD +--+⋅-+=+.()()()()2BC CD AD AB BD BD BC CD AD AB BC CD BD AC BD -=+⋅+⋅-=++-⋅=⋅，则有2222||||||||2||co ||||s A B C BD AB CD AD BC AC D ++-=⋅⋅，于是2222|||||||cos 2|||||AB CD AD BC AC BD θ--=+⋅.特别地当AC BD ⊥时，有2222||||||||AB CD AD BC +=+.6.设二面角C OB A --大小为α，1COB θ∠=，2AOB θ∠=，AOC θ∠=，如图所示，此时三余弦定理可推广为:1212cos cos cos sin sin cos θθθθθα=+，特别地，当2πα=时，有12cos cos cos θθθ=.【证明】设1OB =，则有11||cos CO θ=，21||cos AO θ=，1||tan CB θ=，2||tan AB θ=，于是2211||()cos AC θ=+2221212212111()2cos (tan (tan 2tan tan cos cos cos cos ))θθθθθαθθθ-⋅⋅=+-，化简得到12cos cos cos θθθ=+12sin sin cos θθα.特别地，当2πα=时，有12cos cos cos θθθ=.7.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内任一直线所成角中的最小者，即线面角是最小的线线角.(由三余弦定理cos cos cos PAB OAB θ∠=⋅∠可得)8.最大角定理:对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的线面角.(由三正弦定理sin sin sin PAB θα=⋅∠可得)【例17】如图所示为一个半圆柱，E 为半圆弧CD 上一点，5CD .（1）若25AD =，求四棱锥E ABCD -的体积的最大值；（2）有三个条件：①4DE DC EC DC ⋅=⋅；②直线AD 与BE 所成角的正弦值为23；③sin 6sin EAB EBA ∠∠.请你从中选择两个作为条件，求直线AD 与平面EAB 所成角的余弦值.【例18】如图，几何体的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PCD △和PAD △均为正三角形，M ，N 分别为CD ，PB 的中点.（1）求证：PA MN ⊥；（2）求二面角P CM N --的余弦值.【例19】如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） 3 15 10 3【例20】如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC △和VAC △均是等腰直角三角形，AB =BC ，2AC CV ==，M ，N 分别为VA ，VB 的中点.(1)求证:AB ∥平面CMN ; (2)求证:AB VC ⊥;(3)求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.【例21】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC △为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且12AB AA ==，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点. (1)求证:EF ⊥平面1AB F ;(2)求锐二面角1B AE F --的平面角的余弦值.【例22】(2022·浙江卷)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11A C 上的点.记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（ ）A.αβγ≤≤B.βαγ≤≤C.βγα≤≤D.αγβ≤≤同步训练1.(2016•新课标Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题: ①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ①如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ①如果αβ∥，m α⊂，那么m β∥．①如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题是 ．(填序号)2.(焦作月考)在三棱锥P ABC -中，PB PC =，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，G 为PD 的中点，若EG AC ⊥且EG PD ⊥，则下列结论中不一定正确的是( ) A ．BC ∥平面EFG B ．PA ∥平面EFGC ．AC ⊥平面EFGD ．PD ⊥平面EFG3.(山东模拟)已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为2，E 为线段1B C 上的动点，O 为AC 的中点，P 为棱1CC上的动点，Q 为棱1AA 的中点，则以下选项中正确的有( ) A ．1AE B C ⊥B ．直线1B D ⊥平面11A BCC ．异面直线1AD 与1OC 所成角为3π D ．若直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，则m ∥平面11B D Q4.如图， 在正方体 1111ABCD A B C D - 中， O ，E 分别为1B D ，AB 的中点.求证: OE ∥ 平面11BCC B .5.(天河区三模)一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线EF ∥平面PAD D ．直线EF ∥平面ABCD 6.(徐州期中)在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是PB ，BC 中点，若F 在线段AC 上，且满足AD ∥平面PEF ，则AFFC的值为 ． 7.(邢台月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是线段AC ，PD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PAB B ．EF ∥平面PBC C ．CF ∥平面PABD ．AF ∥平面PBC8.如图，平面EFGH 分别与空间四边形ABCD 中的BD 、AD 、AC 、BC 交于E 、F 、G 、H ，且AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ，CD a =，AB b =，CD AB ⊥．(1)求证EFGH 为矩形；(2)点G 在什么位置时，EFGH S 最大？9.(2022•新高考2卷) 如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点． (1)求证:OE ∥平面PAC ；10.(烟台三模)如图，在平面五边形PABCD 中，PAD △为正三角形，AD BC ∥，90DAB ∠=︒且22AD AB BC ===．将PAD △沿AD 翻折成如图所示的四棱锥P ABCD -，使得7PC ．F ，Q 分别为AB ，CE 的中点．(1)求证:FQ ∥平面PAD ；11.如图， 在正四棱锥 P ABCD - 中， E 是 PC 中点，PB 与底面所成角的正切值为 6， 请在平面 PAB 中找一点 F ，使 得 FE ⊥ 平面 PCD .12.(2018•全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明:PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．13.(2020•全国I 卷)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明:平面PAB ⊥平面PAC ；14.(江都区校级月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA AB =，E 为PB 的中点． (1)若过C ，D ，E 的平面交PA 于点F ，求证:F 为PA 的中点； (2)若平面PAB ⊥平面PBC ，求证:BC PA ⊥．15.(2021•乙卷)如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥． （1）证明:平面PAM ⊥平面PBD ；16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，12AE CD =. (1)证明: PC AD ⊥；17．(北京期末)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 且与直线1BD 垂直的所有面对角线的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．(金台区期末)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，PQ 与直线1A D 和AC 都垂直，则直线PQ 与1BD 的关系是（ ）A ．异面B ．平行C ．垂直不相交D ．垂直且相交19．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，沿直线MD ，DN ，NM 分别将AMD △，CDN △，BMM △折起，点A ，B ，C 重合于一点P .(1)证明:平面PM D ⊥平面PND ； (2)若3cos 5DPN ∠=，5DP =，求直线DP 与平面DNM 所成角的正弦值. 20．如图所示，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，1BC CD ==，(1)AB AD t t ==>，将其沿对角线AC 翻折(如图)，使得60BCD ∠=︒.(1)求证:AC BD ⊥；(2)设AC 与平面BCD 所成角为1θ，二面角B AC D --的平面角为2θ，若12θθ=，求t 的值.21.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是?22.在三棱柱ABC A B C '-''中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB C C ''的中心，则AD 与平面BB C C ''所成角的大小是（ ）A.30B.45C.60D.9023.(2019·浙江卷)设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A.βγ<，αγ< B.βα<，βγ< C.βα<，γα< D.αβ<，γβ<。

空间直线与平面的方程与位置关系空间直线是指在三维空间中没有转折或拐角的线段。

而平面则是指在三维空间中没有厚度的二维几何形状。

本文将详细讨论空间直线与平面之间的方程以及它们的位置关系。

一、空间直线的方程在三维空间中，空间直线可以用参数方程或者一般方程来表示。

1. 参数方程参数方程给出了直线上所有点的坐标与一个或多个参数之间的关系。

对于一条通过点P₀(x₀, y₀, z₀)的直线，我们可以使用参数t来表示该直线上的任意一点P(x, y, z)的坐标，参数方程可以表示为：x = x₀ + aty = y₀ + btz = z₀ + ct其中a、b、c是直线的方向向量分量。

2. 一般方程一般方程是直线的另一种表示形式，它可以用线性等式的形式表示。

对于直线的一般方程，可以写成以下形式：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C为方向向量的分量，而D则是与直线所通过的一点有关的常量。

二、平面的方程在三维空间中，平面可以用点法式方程或者一般方程来表示。

1. 点法式方程点法式方程利用平面上某一点和法向量来表示平面。

对于一个平面P，通过平面上的点P₀(x₀, y₀, z₀)且具有法向量N(a, b, c)时，点法式方程可以表示为：a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 02. 一般方程平面的一般方程使用线性等式的形式来表示。

对于平面的一般方程，可以写成以下形式：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C为平面法向量的分量，D则是与平面所通过的一点有关的常量。

三、空间直线与平面的位置关系空间直线与平面之间存在不同的位置关系，包括平行、相交和重合。

1. 平行如果直线的方向向量与平面的法向量平行（即两个向量之间的夹角为0°或180°），则直线与平面平行。

在参数方程中，可以通过检查方向向量的分量之间的比例来确定直线是否平行于平面。

在一般方程中，可以通过检查方程中的系数来确定直线是否平行于平面。