高中数学热点难点突破-不拉分系列之(二)多法并举 求函数值域不犯难

高中数学求函数值域最值的10种经典例题和方法
函数的值域在函数的应用中占有非常重要的地位.因此,准确选择恰当的方法显得十分重要.本文结合具体的经典例题说明了求函数值域和最值方法.
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高中数学求函数值域最值的几种经典例题和方法
方法一观察法
方法二分离常数法
方法三配方法
方法四反函数法
方法五换元法
方法六判别式法
方法七基本不等式法
方法八单调性法
方法九数形结合法
方法十导数法。

重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。

数学渣必看：超详细复习攻略+提分方法用过来人的经验，来告诉大家究竟应该怎么面对高考数学，高考数学究竟应该怎么学才能提高!一、与其害怕恐惧，不如消灭恐惧其实我觉得我应该起一个标题，例如从44分到130分之路，或者不及格到年级第一等等的。

今天主要是更新差生如何提高的，针对就是那种跟我一样考了40多或者在及格线边缘挣扎的人。

我是那种从小数学不好的人，然后就天真以为自己真的没办法学好，然后呢～也渐渐放弃学好数学的欲望～高中考了一个不是很好的重点中学，我很深刻记得，有一回的数学考试，我考了44分，满分150。

说多都是泪～天啊，那时候满脑子都是我怎么办，一个快要高考的人了。

然后，哭了之后发现日子还是那样地过～数学还是不会～也不知道后天真的是怎么了，我突然有种想要学好数学的欲望。

我是个蠢人，在悠久的探索历史中，找到了适合自己的方法。

接下来我说明一下～麻烦，特别是高三党，把你们所有的高中课本拿出来～从头开始看。

不要跟我说你都会了，你说出每个定理是怎么来的吗??每条公式怎么推导的吗??试卷上那些题，都是在母题的基础上变更的。

基础打不好，怎么继续～虽然高考各种辅导书出的很好，最好的那本还是你自己整理的那本。

说到这里，推荐一下，买一个活页本，做什么呢??很笨的方法，做错题集!!!没错，每一道题，写下解题方法，然后在下面用不同颜色的笔，写下你的心得体会，这点很重要。

然后回到课本，找到这个知识点，看看课本是怎么样论述的!!!当你把这个过程全部完整过了，相信我，你已经在125以上的分数了。

虽然这对大神来说不算什么。

我也只是一个当年数学考了44分的菜鸟呀。

最后，说一下我的成绩。

我在一模如果没记错，数学应该是年级第一，然后总的排名是市300名左右吧～高考，说多都是泪～数学考的不是很好，应该是130。

我的水平应该可以上140的～现在来了一所不是很好的大学，多少很难过。

不过数学还是不错，微积分，概率论那些都是90多～我们来说说我为什么转变的原因，我觉得人真的是一种很神奇的动物，正是因为人类这样神奇的存在，我们的社会才得以不断得进步，历史才是往前走的。

难点6函数值域及求法函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题•难点磁场2 2 1 (★★★★★)设m 是实数，记M={ m|m>1}, f(x)=log3(x —4mx+4m+m+ ).m _1(1) 证明：当m€ M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m€M.(2) 当m€ M时，求函数f(x)的最小值.(3) 求证：对每个m € M,函数f(x)的最小值都不小于1.•案例探究［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为入(入<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面2 3积最小？如果要求入€［2,3］，那么入为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？3 4命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识2 3错解分析：证明S(入)在区间［2,-］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数3 4的最值问题来解决•技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决•解：设画面高为x cm,宽为入x cm,则入x2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(入x+10)=入x2+(16S=5000+44 \'10 (8 “区+ {——)，当8勺人=—,即入=—(—<1)8 8'4840 5时S取得最小值•此时高：乂=#〒=88 cm,宽：入x=8 x88=55 cm.2 3W入1<入2三，则由S的表达式得:3 4S(s —S(為)=44怖(8扬十寻V，z i= 44,10(、1 - .. 2)(8-一5—)2 3••• S入1)-S入2)<0,••• S(x)在区间［-,-］内单调递增22』10入+10)x+160,将x=一4°代入上式得:2 3如果入€［2,-］可设3 4又| 5故8 — U 5 >0,-8 2 -从而对于入€［2,3］，当入=1时，S(入)取得最小值.3 4 32 3 2答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小•如果要求入€［2,_ ］，当入=-时，所3 4 3用纸张面积最小•2［例2］已知函数f(x)=x 2^-^ ,x€：1,+ m )x1(1) 当a= 时，求函数f(x)的最小值.2(2) 若对任意x€［1,+m ) ,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目•知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想•错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得•1 1(1) 解：当a= 时，f(x)=x+ +22 2xI f(x)在区间［1, +m )上为增函数，• •• f(x)在区间［1, +m )上的最小值为f(1)= 7 .2、x2+2x +a 2(2) 解法一：在区间］1, +m )上，f(x)= >0恒成立：=x +2x+a>0恒成立.x设y=x2+2x+a,x€［1,+ m )•/ y=x2+2x+a=(x+1)2+a- 1 递增，•••当x=1时，y min=3+a,当且仅当y min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a> — 3.解法二：f(x)=x+a+2,x€［1,+ m )x当a > 0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>— 3.•锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：(1) 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2) 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3) 运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.•歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数y=x2+^ (x w—-)的值域是()x 27、A.( —a，——]4C「332 、C. [ ，+ a )7 、B. [― 一，+ a )4D.( —a , — 2^2 :22.(★★★★)函数y=x+ -2x 的值域是()B.( ，—1 ]D. [ 1,+8 )A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长V 2(―)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需20要_________ 小时(不计货车的车身长).4. __________________________________________________________________ ( ★★★★★)设x2为方程4x2—4mx+m+2=0的两个实根，当m= __________________________________ 时，x12+x22有最小值_________ .三、解答题5. ( ★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗1成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x—— x2(万元)(0 w2x w 5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)(1) 把利润表示为年产量的函数；(2) 年产量多少时，企业所得的利润最大？(3) 年产量多少时，企业才不亏本？2 26. (★★★★)已知函数f(x)=lg [(a —1)x +(a+1)x+1 ](1) 若f(x)的定义域为(一^，+ a)，求实数a的取值范围；(2) 若f(x)的值域为(—^，+ a),求实数a的取值范围.7. ( ★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8.(★★★★)在Rt△ ABC 中，/ / C-90°,以斜边AB所在直线为轴将厶ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为BC +CA &,△ ABC的内切圆面积为◎，记----------- -x.ABA.( ,1 ]C. R二、填空题3.( ★★★★★) 一批货物随17列货车从400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(1)求函数f(x)= 的解析式并求f(x)的定义域.S24难点磁场(1)证明：先将 f(x)变形：f(x)=log 3 [ (x — 2m)2+m+^^ m _12 1当m € M 时，m>1, • (x — m) +m+>0恒成立，故f(x)的定义域为 R .m —11反之，若f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须 x 2 — 4mx+4m 2+m+>0,令△< 0,即16m 2 —m —12 14(4m +m+) v 0,解得 m>1,故 m € M.m —12 21u=x — 4mx+4m +m+, v y=log 3u 是增函数，•当 u 最小时，f(x)最小. u=(xm —11 1，显然，当x=m 时，u 取最小值为 m+，此时f(2m)=log 3(m+ )为最小值.m —1 m —11 1⑶证明：当 m € M 时，m+ =(m — 1)+ +1 >3,当且仅当 m=2时等号成立.m-1m-1, 1--log 3(m+) > log 33=1.m —1歼灭难点训练1 1 1 、1.解析：T m 1=x 在(— a ,——)上是减函数，m 2= 在(— a ,——)上是减函数,2x22 11 • y=x+ 在x € (—a ，—一)上为减函数，x-• y=x + — x答案：B1 2+ t=— (t — 1)2+1 < 1 2•••值域为( — a ,1 ]. 答案：A二、3.解析：七=型+16 X (V )2/v=^+便 > 2.16=8.V 20 V 400答案：8⑵求函数f(X)的最小值•参考答案(2)解析：设—2m)2+m+^^m —1 21 7 (X W ——)的值域为[—一，+a ).242.解析：令 1 -2x =t(t > 0),则 x=^^ 一， ，，.、一，m 十24.解析：由韦达定理知： x 计x 2=m,X 1X 2=• X 12+X 22=(X 1+X 2)2 — 2x 1X 2=m 2—心=(m —」)2 —2 441 2 17y=(m — - )— 在区间(一a ,1)上是减函数，在4 16 1[2, + a )上是增函数又抛物线 y 开口向上且以 m=—为对称轴.故m=1时，17荷又心为实根“m <- 1或m >2,_ 1 y mi n =21 答案：一1丄2三、5.解：(1)利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之芒・世意，当x w 5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以f 1 25x x 2 _(0.5+0.25x)(0 兰x 兰5) 2 1 2i(5 汉5 _3 x52) _(0.5 +0.25x)(x >5)(12 —0.25xy=4亦冷宀爾*5) (x 1)1 2 (2 )在 0 w x w 5 时，y=——x +4.75x — 0.5,当 2x>5(百台)时，y < 12— 0.25X 5=10.75(万元)， 所以当生产475台时，利润最大.x=——=4.75(百台)时，y max =10.78125(万元)，当 2a0 _x _5(3 )要使企业不亏本，即要求1 2 x 2 4.75X-0.5_0 12或』x 512 —0.25x_0 解得 5>x >4.75 — , 21.5625沁0.1(百台)或5< x v 48(百台)时，即企业年产量在 10台到4800台之间时, 6.解:企业不亏本 .(1)依题意(a 2 — 1) x 2+(a+1)x+1>0对一切x € R 恒成立，当a 2— 1工0时，其充要条件是 'j ：2，即A =(a +1)2 -4(a 2 -1) c0a 1 或a ：：： -1a 5或 a "、 5 5 .• a <— 1或a> .又a=— 1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a w — 1或a>为 所求. 332 2t=(a — 1)x +(a+1)x+1能取到(0, + R )上的任何值，贝Uf(x)的值域为 R ，故有(2)依题意只要 厂2a 2 一1 =0 …，解得5 21 < a w -,又当a —仁0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=— 1时不合题意，•• 1 w a35w 一为所求.37.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台，由题意得:x+y+z=3601 1 1 x y z =12023 4② x>O,y>O,z 》60.假定每周总产值为 S 千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数 由①②消去 乙得y=360 — 3x.④将④代入①得： x+(360 — 3x)+z=360, ••• z=2x •/ z > 60, • x > 30.再将④⑤代入 S 中，得S=4x+3(360 — 3x)+2 • 2x,即 S= — x+1080.由条件⑥及上式知，S 的最大值, ⑤ ⑥x=30时，产值S 最大，最大值为 S=-30+1080=1050(千元)•得x=30分别代入④和⑤得 y=360 — 90=270,z=2 X 30=60.... f (x )=S !二 4ab(a b )2S 2 c(a+b —c)a b = ex\ . c 2 2ab (x -1) 22代入①消c ,得f(x)=4^ 勺X —1在 Rt △ ABC 中，有 a=csinA,b=ccosA(0 v A v 》)则2 ，x= =sinA+cosA= . 2 sin(A+ ). • • 1 v x <2.c 4 2&2 亠 x)22(2)f(x)=2[(x-1)] +6,设 t=x — 1,则 t € (0, 2 — 1),y=2(t+—)+6 在(0,. 2 — 1] x —1x —1 t上是减函数，.••当 x=( . 2 — 1)+1= .2时，f(x)的最小值为6 -. 2 +8.•••每周应生产空调器 30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大, 最大产值为1050千元.8.解：⑴如图所示：设abBC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h= , c •• 0= n ah+ n bh=二 ab(a b), S 2 ca b 「c 2「二)ca 2b 2 =c 2。

【三维设计】202X届高考数学一轮复习热点难点突破不拉分系列（二）多法并举求函数值域不犯难新人教版函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法以上例2都已讲解、判别式法、数形结合法等．1．数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．[典例1] 对a，b∈R，记ma|a，b|＝错误!函数f＝ma||＋1|，|－2||∈R的值域是________．[解析] f＝错误!由图象知函数的值域为错误![答案] 错误![题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域最值，通常转化为以下两种类型：1直线的斜率：错误!可看作点，与0,0连线的斜率；错误!可看作点，与点a，b连线的斜率．2两点间的距离：错误!可看作点，与点1，1之间的距离．针对训练1．函数＝错误!＋错误!的值域为________．解析：函数＝f的几何意义为：平面内一点的最大值为7，最小值为－1，则m＋n的值为A．－1 B．4C．6 D．7解析：选C 函数式可变形为－m2－4错误!＋－n＝0，∈R，由已知得－m≠0，所以Δ＝－4错误!2－4－m·－n≥0，即2－m＋n＋mn－12≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程2－m＋n＋mn－12＝0的两根，代入得错误!，解得错误!或错误!所以m＋n＝6求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法以后还要讲解．。

耗时5天，我总结了高中数学求函数值域的20种方法，建议
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高中数学中有很多的题型，其实本身的解题思路并不复杂，但是解题时，由于自己的不仔细审题，或者是对涉及到相关的知识点理解的不透彻，或这是因为在运算的过程中出现了计算错误。

等等原因，都会导致答题错误的出现。

所以想要提高成绩还多的时候都是在于能不能提高数学成绩。

在学习数学的过程中我们首先要知道懂得概念，公式和定理的由来，尤其也要懂得学习方法的重要性，学会思考，那么学习起来也就会轻松很多。

很多家长向我反映孩子的数学成绩比较差，提分困难，所以今天我特意将高中数学求函数值域的方法分享给大家，希望能够帮助各位同学尽快的去掌握。

完整文档，拉到文末。

解题宝典求函数值域是高考数学试卷中的基础问题，常以选择题、填空题的形式出现.解答此类问题的常用方法有配方法、反函数法、换元法、判别式法、单调性法等，依据不同的问题选择合适的方法是解题的关键.本文重点介绍四种破解函数值域问题的方法.一、配方法对于形如y =ax 2+bx +c (c ≠0)或者H (x )=a []f (x )2+b []f (x )+c (a ≠0)的函数最值问题，可以运用配方法来求解.首先运用完全平方公式将目标函数式配凑成y =a (x ±m )2+n 的形式，然后结合函数的定义域，利用二次函数的图象和性质求得函数的值域.例1.已知14≤x ≤4，试求函数f (x )=x 2+2x +4x值域.解：f (x )=x 2+2x +4x =x +4x +2=æèçx -2+6，又14≤x ≤4，所以f (x )在éëùû14，2上单调递减，f (x )在[]2,4上单调递增，则y max =f (14)=334,y min =f (2)=6，所以函数的值域为6≤y ≤334.解答本题主要运用了配方法，首先将函数式配方，然后讨论函数在定义域内的单调性，进而求得函数的值域.二、反函数法对于形如y =cx +d ax +b(a ≠0)的函数值域问题，一般先求出该函数的反函数y =d -bxax -c，然后利用函数与反函数的定义域与值域互逆的关系得出原函数的值域.值得注意的是，在运用该方法解题时需要先判断函数是否有反函数，可依据“严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同”的性质进行判断.例2.试求函数f (x )=e x -1e x +1的值域.解：设x 1<x 2,x 1,x 2∈R ，则y 1-y 2=e x 1-1e x 1+1-e x 2-1e x 2+1=2e x 1-e x 2(e x 1+1)(e x 2+1)<0，则f (x )为减函数，且存在反函数，所以f (x )-1=ln 1+x 1-x，由1+x 1-x>0可得x ∈()-1,1，故函数f (x )值域为()-1,1.这里首先证明函数的单调性且具有反函数，然后求出函数的反函数，结合反函数的定义域求得原函数的值域.运用反函数法求函数的值域较为便捷，只需要探讨反函数的定义域即可.三、分离常数法对于上述y =cx +d ax +b(a ≠0)类型的值域问题，除了反函数法还可以利用分离常数法求解，首先将函数式转化成y =c a -d -cb a ax +b ，然后讨论d -cba ax +b的取值即可求得函数的值域.运用分离常数法解题的难点在于，依据分母的结构对分子利用待定系数法进行配凑.例3.试求y =1-x 2x +5的值域.解：y =1-x 2x +5=-12+722x +5，∵722x +5≠0，即y ≠-12，∴函数f (x )值域为{y |y ≠-}12.我们通过分离常数将函数式简化，讨论含有变量式子的值域即可解题.四、换元法对于形如y =ax ±bx +c 或者H (x )=af (x )含有根式的值域问题，可以令bx +c =t 或f (x )=t ，通过换元将函数式转化为关于t 的函数式，然后结合函数的定义域和性质进行求解即可.例4.求函数f (x )=2x +1-2x 值域.解：设t =1-2x ()t ≥0，∴x =1-t 22，∴f （t ）=-t 2+t -1=-(t -12)2+54，∴f (t )min =f (12)=54，∴函数f (x )值域为{y |y ≤}54.这里通过换元，将函数式转化为一元二次函数，借助一元二次函数的性质求得最值.通过上述分析，同学们可以发现，有些问题有多种不同的解法，例如求函数y =cx +d ax +b(a ≠0)的最值可以运用反函数法和分离常数法.因此同学们在解题时要对各种解题技巧了然于胸，才能快速找到解题的突破口，提升解题的效率.（作者单位：南京师范大学第二附属高级中学）“刘武39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。

在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。

在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。

所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。

本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。

具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。

方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。

一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。

对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。

需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。

另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。

总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。

高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数的值域。

【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时， 故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。

（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

图1图2图3①如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

当时，函数取得最小值。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。

高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。

例1：求函数y=x+1的值域。

解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。

例2：求函数y=1/x的值域。

解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。

解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。

解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。

变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。

解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。

例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。