【人教A版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义

2019-2020学年高中数学高一升高二复习讲义 第13讲 简单的三角恒等变换 新人教A 版一、复习旧知1、知识点 1、升降幂公式2、同角正余弦化积公式 2、作业评讲 二、新课讲解重点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。

难点：确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.考点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。

确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。

易混点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。

分类教学知 识 梳理 1． 升降幂公式:1cos α+=22cos 2α;1cos α-=22sin2α2． 同角正余弦化积公式sin cos )a x b x x φ+=+，其中sin φ=；cos φ重 难 点 突 破（1）三角变换的基本思路是“变角、变名、变式” 问题1: （07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=_____． 点拨：已知条件中的角是,αβαβ+-，待求式中的角是,αβ，故只需将条件展开，再由同角关系式来处理。

由 51sin sin cos cos )cos(=-=+βαβαβα53sin sin cos cos )cos(=+=-βαβαβα求出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51sin sin 52cos cos βαβα 21cos cos sin sin tan tan ==∴βαβαβα(2) 处理三角式的化简、求值和证明问题的基本原则是“见平方就降次，见切割就化弦，充分利用同角关系式，关注符号定象限，象限定符号的特征”。

问题2：已知5tan cot 2αα+=，ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．求cos 2α和πsin(2)4α+的值． 点拨：本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。

§3.2 简单的三角恒等变换（二）学习目标：⒈了解三角恒等变换在数学中的一些应用．⒉体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学重点：三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学难点：形如sin cos y a x b x =+的函数的变换．教学方法：讲练结合．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：上节课，我们通过两个具体的实例，了解了三角恒等变换的特点和变换方法．本节课我们通过两个具体的例子来了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题：例3求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值以及它的单调递增区间．分析：这个函数我们并没有专门进行过研究，但是我们可以通过三角恒等变换先把函数式化简，然后再对它的性质进行研究．解：略．师：这个例子先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后再讨论有关性质的问题．例4如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大，可分二步进行：⑴找出S 与α之间的函数关系；⑵有的处的函数关系，求出S 的最大值．解：略．师：由例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如sin cos y a x b x=+转化为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归的思想．（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习 ⒋ （Ⅳ）课时小结:通过三角恒等变换将形如sin cos y a x b x =+的函数转换为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，这是求三角函数式最值及周期的常用方法．（Ⅴ）课后作业：课本156P 习题3.2 A 组 ⒌ B 组 ⒍ 板书设计：教学后记:。

人教版必修四 简单三角恒等变换专题讲义一、引言（一）本节的地位：三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求．（二）考纲要求：通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等证明．重点是应用公式进行三角函数式的化简、求值和恒等证明．（三）考情分析：一般考查对公式理解与熟练运用，以及考查运算能力、逻辑推理能力，在历年的高考中，常常要考查，考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．二、考点梳理1．两角和与两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； 余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；正切公式：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=．2．二倍角的正弦公式：sin 22sin cos ααα=； 二倍角的余弦公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；二倍角的正切公式：22tan tan 21tan ααα=-． 3．降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=．4．解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．三、典型问题选讲（一）化简（求值）问题例1 求下列各式的值： ⑴︒︒︒80cos 40cos 20cos ；⑵︒⋅︒-︒+︒70tan 50tan 350tan 70tan ； ⑶︒+︒10tan 31(50sin ）.分析：本题考查三角公式的应用，会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．解析：⑴[法一]原式=8120sin 8160sin 80cos 40cos 20cos 20sin 220sin 2133=︒︒=︒︒︒⋅︒⋅︒．2[法二]原式=8180sin 2160sin 40sin 280sin 20sin 240sin =︒︒⋅︒︒⋅︒︒．⑵原式=tan(7050)(1tan 70tan 50)50tan 70︒+︒-︒⋅︒︒⋅︒70tan 50=︒︒-370tan 50tan 3-=︒︒．⑶原式=︒︒+︒︒=︒︒+︒10cos )10sin 310(cos 50sin )10cos 10sin 31(50sin2sin 50(cos60cos10sin 60sin10)2sin 50cos50cos10cos10︒︒︒+︒︒︒⋅︒==︒︒sin100cos101cos10cos10︒︒===︒︒． 归纳小结：在已知角求值的式子变形中，常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程．一般情况下，当βα±是特殊角时，使用tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±化简式子．例2 化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222．分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2αααα以及取值范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角244παπαπ=-++，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点．解：（1）因为αααπαπcos cos 2cos 2121223==+<<，所以， 又因2sin 2sin cos 2121243αααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2sin α．（2）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπααπαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2=12cos 2cos 22sin 2cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααπα．归纳小结：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换．（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧．（3）公式变形，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=． 例3 已知正实数a ，b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+． 分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于的方a b程，从而可求出ab，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解．解法一：由题设得8sincos sin 55158cos sin cos 5515b a b a ππππππ+=-，则 .33tan 5158cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin158cos 5cos 158sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅+⋅⋅-⋅=πππππππππππππa b解法二：sincos555a b πππϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为，cossintan 5558tan tan .51585153tan tan tan 33b a b a k k b k a πππϕϕππϕππϕππϕπππϕπ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=+=+⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，其中，由题设得所以，即，故4解法三：tan 85tan 151tan 5b a b a πππ+=-原式可变形为：，()()tantan 85tan tan tan 5151tantan 58,5153tan tan tan 3333b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故，即()()tan tan 85tan tan tan 5151tan tan58,5153tan tan tan 33b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故 归纳小结：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，且辅助角公式()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ，tan b a ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中，或sin cos a b αα+()tan a b αϕϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳．例4 已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根，求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值．分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+⋅及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值．解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()()()()()()22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式 ()()()()222tan 3tan 1213113tan 111αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++．解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，，所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()34k k Z αβππ+=+∈于是有，223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式．归纳小结：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”．（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等．抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如()()()()()()()()。

第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

三角恒等变换的方法与技巧一、三角变换的基本题型：化简、求值、证明二、常用的三角变换方法：变换角度、变换名称、变换结构三、三角函数式的变换遵循“三看”原则：一看“角”，即异角化同角；二看“函数名称”，即异名化同名；三看“结构特征”，即寻求化简方向和目标.题型一公式的“正用”1、已知cos α－π6＋sin α＝435，则sin α＋7π6的值是2、设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为3、已知21sin(),sin()33，则tantan4、[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin x ＋π4，x ∈R ，且f 5π12＝32，若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2. 则f 3π4－θ=题型二公式的“逆用”〖方法点拨〗按公式的形式从左往右用从而使问题得以解决如cos cos sin sin cos()；2sin 21cos sin ，221cos21cos2cos ,sin 221、已知11sin sin ,cos cos 22，求cos()的值2、在ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B ，则C3、sin 6sin 42sin 66sin 78o o o o .=4、33tan1533tan15oo =5、函数y ＝sin(π2＋x)cos(π6－x)的最大值为________．题型三公式的“变形用”〖方法点拨〗常用的变形公式有：tan tan tan()(1tan tan)m 1、计算：tan10tan 20o o 3(tan10tan 20)o o =2、已知tan tan 4、（-）是方程02q px x 的两根，求p q 的值. 题型四角的变换注意观察未知角与已知角的关系，常通过角度变换. 如：1()()()()2、()()244.1、已知35cos(),sin 513，且(0,),(,0)22，则sin2、已知5cos(),04134x x ，则cos2sin()4x x 的值为3、已知,0cos 5)2cos(8则tan )tan(4、sin 40sin 80cos40cos80o oo o = .5、5sin 30sin 25cos 5sin 30cos 25sin .6、已知3sin()65，则2cos()3.题型五结构的变换1、已知0cos 2sin ，则2sin 42cos 3=2、已知tan α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4等于3、求值：2sin 50sin10(13tan10)sin80o o o o4、求值：tan20+4cos70.5、已知函数f(x)＝tan(2x ＋π4)，设α∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos 2α，求α的大小．。

简单的三角恒等变换（2）一、教学目标重点: 运用三角恒等变换化简函数sin cos y a x b x =+表达式，分析其有关性质，以及解数学应用问题的思路、步骤和方法.难点：利用三角恒等变换化简函数sin cos y a x b x =+表达式，以及如何科学的把实际问题转化成数学问题，如何选择自变量建立数学关系式．知识点：利用三角公式进行三角恒等变换化简三角函数式并利用三角函数的相关性质求值. 能力点：由特殊到一般,由具体到抽象,不断提升学生的探究能力和数学思维能力. 自主探究点：如何选择三角公式进行三角恒等变换化简三角函数式.考试点：利用三角公式进行三角恒等变换化简三角函数式,并求解化简后的三角函数的相关性质. 易错易混点：对于求解化简后的三角函数的相关性质时,学生易出现计算上的错误. 拓展点：从具体问题中抽象出解决三角恒等变换和求解最值的一般性方法.二、引入新课同学们，在第一章我们学习了正弦函数sin y x =的图像、诱导公式及周期性、单调性、奇偶性、最值等一系列性质.这部分知识学习的时间较长了,可能有些同学已经忘了,那么我们一起复习一下.【设计意图】通过复习加深对正弦函数sin y x =相关性质的理解,为更好的解决课本例3打下知识的基础.对于sin y x =相关性质通过复习我们已经熟悉了,那么对于sin cos y a x b x =+的周期性、单调性、奇偶性、最值等一系列性质,我们怎样求解呢?这就是我们这节课的主要任务. 【设计意图】开篇点题，明确本节课的教学重点.三、探究新知例1已知sin y x x =,求该函数的周期，最大值和最小值.分析：sin y x x =不是正弦函数sin y x =的标准式，那么第一步我们应先把其化为标准式,才能利用正弦函数的相关性质去求解.如何进行恒等变形这是关键.通过配凑系数我们可以利用两角和与差的正余弦公式去化简.即:1sin 2(sin )22(sin cos cos sin)2sin()333y x x x x x x x πππ=+=+=+=+或1sin 2(sin )222(sin sincos cos)2cos()66y x x x x x x x ππ=+=+=+=-所以,所求函数的周期是2π,最大值是2,最小值是2-.【设计意图】本题是三角变换的重要问题，先对三角函数式进行三角恒等变换，化简成sin()y A x ωϕ=+的形式.主要培养学生灵活运用公式，熟练进行三角恒等变换的能力. 思考：如果上述题目中的自变量x 的范围变为[0,]2x π∈，如何求函数sin y x x =的最大值和最小值？分析：结合三角函数的图像与性质，要求2sin()3y x π=+在[0,]2π上的最值,关键求sin(),[0,]32x x ππ+∈的范围.具体求解如下: 由[0,]2x π∈,得5[,]336x πππ+∈. 又由正弦函数的图像与性质可得:1sin()[,1]32x π+∈, 所以,2sin()3y x π=+,[0,]2x π∈,最大值为2,最小值为1.【设计意图】主要是使学生掌握求有定义域限制的三角函数式最值的方法,明白求最值时,必须先考虑自变量的取值范围,这一过程也可以用换元法. 师生共同探究:对于22sin cos (,,0)y a x b x a b R a b =+∈+≠且怎么进行三角恒等变换呢，是否有一般性的方法呢? 分析:结合所学我们要想解决好此类问题,关键要充分利用同角三角函数的基本关系22sin cos 1αα+=进行解决,这里要引入一个辅助角,这个辅助角在(0,2)π内是唯一确定的,必须写出辅助角的正弦值和余弦值.即:))y x x x ϕ=+=+.其中cos ϕϕ==.注：上述变形方法是解决合角问题的一般性方法.这里辅助角的引入既是重点又是难点,教师在具体的教学过程中要根据学生的情况进行引入、解释.【设计意图】总结解决合角问题的一般性方法,便于学生更好的解决问题. 例2如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记α=∠COP , 求角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求这个最大面积. 分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可以这样去解决： 第一:首先根据已知条件找出S 与α的函数关系; 第二:有函数关系及角α取值范围,求S 的最大值.我们一起先完成第一步:在OBC Rt ∆中,αcos =OB ,αsin =BC . 在OAD Rt ∆中,360tan ==︒OADA, 所以, αsin 333333===BC DA OA , 所以, ααsin 33cos -=-=OA OB AB . 设矩形ABCD 的面积为S ,则ODQ ABPCααααsin )sin 33(cos -=⨯=BC AB S )2cos 1(632sin 21sin 33cos sin 2ααααα--=-= 63)2cos 212sin 23(31632cos 632sin 21-+=-+=αααα63)62sin(31-+=πα. 对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围: 由 03πα<<, 得52666πππα<+<.所以当 262ππα+=, 即6πα=时,max S ==因此,当6πα=时, 矩形ABCD 的面积最大,. 注：（1）在求解最大值时，要特别注意 “03πα<<”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.【设计意图】让学生了解三角函数在实际问题中的应用,培养学生自主探究,独立思考的数学品质,掌握解决实际问题的思路和方法,学会思考问题、分析问题和解决问题. 思考：若上述条件去掉记 “COP α∠=”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，还有其它解决方法吗？分析:我们可设AD x =,根据已知条件可得3AB x =,则).(032S x x x =<<转换成函数在某区间求最值问题,但目前此函数还解决不了. 【设计意图】尽管对所得函数还暂时无法求最大值,但能促进学生对函数模型多样性的理解,并能在对比中使学生感受到以角为自变量的优点.师生共同总结解决问题的一般性方法:(1)根据已知条件,选择变量并确定变量的取值范围; (2)建立所求值与变量的函数关系;(3)在变量所取值的范围内(体现实际问题的实际意义)求解函数的最值; (4)把计算结果回归到实际问题.【设计意图】总结用三角函数解决实际问题的一般步骤,便于学生更好的解决问题.四、理解新知：1、对于sin cos )y a x b x x ϕ=+=+变形应注意的问题:(1)常数,a b 应为不同时为零的实数,即220a b +≠.(2)辅助角ϕ满足cos ϕϕ==,ϕ在(0,2)π唯一确定的,若把ϕ满足的条件只写成tan baϕ=,这导致ϕ在(0,2)π内可能有两个值,其中一个值是增根,应根据,a b 的符号进行取舍. 2、对于sin cos y a x b x =+合角后,求三角函数)y x ϕ=+在某一区间上的最值应先清楚x ϕ+的取值范围,下一步可以利用换元法,也可以直接求解.3、三角变换的基本思想：⑴降幂(化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数，一般运用公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=，这必然会引起角的倍数的增大(单角化为倍角)； ⑵统一函数名称(化多种三角函数为单一的三角函数)； ⑶统一角(化多角为单一角，减少角的种类)．五、运用新知1、求函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++的周期、最大值和最小值.分析：根据已知条件要想求相关性质应先把上式进行合角,因此应先借助于平方关系与二倍角公式对22sin ,cos x x 降幂,然后引入辅助角.解：由题意可得2221cos 2sin cos 2sin cos 2cos 1sin 222sin 2cos 2222(22)2)224xy x x x x x x x x x x x π+=+++=++⨯=++=+=++所以,所求函数的周期为π,最大值为2+2注:引入辅助角“4π”是进行三角变换的关键.另外,降幂化简也是常用的一种变换. 【设计意图】引用此例题是让学生进一步巩固三角函数的恒等变换的思路和方法,提高学生的逻辑推理和应变能力.变式训练1:已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 1,.33f x x x x x R ππ=++-+-∈ (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.分析:观察sin(2),sin(2)33x x ππ+-的形式,各自展开为sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ+=+ sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ-=-相加后可以进一步化简,而22cos 1-是标准的二倍角余弦公式.解:2()sin(2)sin(2)2cos 133(sin 2coscos 2sin )(sin 2cos cos 2sin )cos 233332sin 2coscos 2sin 2cos 2)34f x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ=++-+-=++-+=+=+=+(1)所以()f x 的最小正周期为22T ππ==； (2)由[,],44x ππ∈-则32[,],2[,]22444x x πππππ∈-+∈-所以sin(2)[42x π+∈-)[4x π+∈-即:函数()f x 在区间[,]44ππ-1-. 【设计意图】引入此例题一是让学生进一步熟练恒等变换;二是明确合角情况的多变性.2、如图,四边形ABCD 是一个边长为100米的正方形地皮,其中ATPS 是一半径为90米的扇形小山,其余部分都是平地,P 是弧TS 上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR .求长方形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.分析:要想求停车场PQCR 面积的最值,首先应建立长方形PQCR 面积的函数关系式,而建立关系式的关键是选取自变量.结合本题具体情况可设PR x =,则100PQ =,这时[100S x =此法易列式但不好求.因此不妨设(090)PAB αα∠=<<作为自变量,然后延长RP 交AB 与M ,则90cos ,90sin ,AM MP αα==10090cos PQ MB AB AM α==-=-10090sin PR MR MP α=-=-,则(10090cos )(10090sin )100009000(sin cos )8100sin cos S PQ PR αααααα=⨯=--=-++.解：设(090)PAB αα∠=<<延长RP 交AB 与M ,则90cos ,90sin ,AM MP αα==10090cos PQ MB AB AM α==-=-10090sin PR MR MP α=-=-,则(10090cos )(10090sin )100009000(sin cos )8100sin cos S PQ PR αααααα=⨯=--=-++A M T BCQ设sin cos ,t αα+= 090,2sin(45),(1,2],t t αα<<∴=+∈ 21sin cos .2t αα-⨯= 2218100101000090008100()950,229t S t t -=-+⨯=-+所以，当109t =时,S 有最小值950. 当2t =时,S 有最大值1405090002-.即.长方形停车场PQCR 面积的最大值为1405090002-,最小值为950.【设计意图】本变式训练是进一步巩固三角函数的性质在实际生活中的应用,在讲解时应注重自然语言与数学语言的结合.解决此类问题的关键是构建函数模型,首先应选准角作为自变量,其次要明确角的范围,利用三角函数恒等变换求解.六、课堂小结1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现. 如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式sin cos y a x b x =+化成sin()y A x ωϕ=+的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力. 通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识．【师生活动】在总结中引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师最后总结、板书.【设计意图】让学生自己小结，不仅能总结知识更重要地是总结数学思想方法.这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程,这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.七、布置作业必做题：1.设a R ∈,2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-,满足()(0),3f f π-=求函数()f x 在11[,]424ππ的最大值和最小值.2.如图，在一块半径为R 的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD ，使其一边CD 落在圆的直径上，问应该怎样截取，能使矩形ABCD 的面积最大？并求出这个矩形的最大面积。

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sinαβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。

5．5.2 简单的三角恒等变换 第1课时 简单的三角恒等变换1．了解半角公式及推导过程．2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明． 3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．1．半角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)．(其中tan θ＝ba )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin15°＝± 1－cos30°2.( ) (2)cos15°＝1－cos30°2.( )(3)tan α2＝1＋cos αsin α.( )(4)倍、半是相对而言的，α可以看成2α的半角，2α可以看成4α的半角．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√题型一 求值问题 【典例1】 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值． [思路导引] 由α是α2的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意α2的范围．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45， ∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4， ∴sin α2＝ 1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cos α2＝－2.解决给值求值问题的思路方法(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[针对训练]1．已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．[解] 由题意得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45. ∵450°<α<540°，∴cos α＝－35， ∴tan α2＝sin α2cos α2＝sin 2α2sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.题型二 三角函数式的化简【典例2】 化简：(1＋sin α＋cos α)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[思路导引] 利用二倍角公式将α角转化为α2角，注意被开方式子的正负．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0， ∴原式＝cos α2·(－cos α)－cos α2＝cos α.[变式] 若本例中式子变为： (1－sin α－cos α)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)，求化简后的式子．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22·2sin 2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sin α2＝cos α.化简问题中的“3变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[针对训练]2．已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2， ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4.∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.题型三 三角恒等式的证明【典例3】 求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. [思路导引] 注意到2tan θ1－tan 2θ＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于tan2θ.[证明] 要证原式，可以证明 1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin4θ＋(1－cos4θ)sin4θ＋(1＋cos4θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ2sin2θcos2θ＋2cos 22θ＝2sin2θ(cos2θ＋sin2θ)2cos2θ(sin2θ＋cos2θ)＝tan2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan2θ， ∴左边＝右边，∴原式得证．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[针对训练]3．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. [证明] 因为sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.课堂归纳小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．对半角公式的三点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2求解．开方时需要注意角所在象限.1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12[详细分析] ∵cos θ＝－35，且180°<θ<270° ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－45∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋35－45＝－2.[答案] B2．下列各式中，值为12的是( ) A ．sin15°cos15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan30°1－tan 230°D.1＋cos60°2[详细分析] 选项A 中，sin15°cos15°＝12sin30°＝14；选项B 中，cos 2π6－sin 2π6＝cos π3＝12；选项C 中，原式＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32；选项D 中，原式＝cos30°＝32.故选B.[答案] B3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则1－sin α化简的结果为( )A ．sin α2＋cos α2 B ．sin α2－cos α2 C ．－sin α2＋cos α2 D ．－sin α2－cos α2 [详细分析]1－sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，34π，∴sin α2>cos α2∴原式＝sin α2－cos α2.故选B. [答案] B4．已知tan θ2＝3，则cos θ等于( ) A.45 B ．－45 C.415 D ．－35 [详细分析] cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝cos 2θ2－sin 2θ2cos 2θ2＋sin 2θ2＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝1－321＋32＝－45.故选B. [答案] B5．化简：sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x1＋cos x .[解] 原式＝2sin2x cos2x 2cos 22x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x1＋cos x＝sin2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x＝tan x2.课后作业(五十二)复习巩固一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( ) A ．－1＋a2 B ．－1－a2 C ．－1＋a 2D ．－1－a 2[详细分析] ∵5π4<θ4<32π，∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2，故选D.[答案] D2．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π，则 1＋cos2α2－ 1－cos2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α[详细分析] 原式＝ 1＋2cos 2α－12－1－(1－2sin 2α)2＝|cos α|－|sin α|∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π，∴cos α>0，sin α<0， ∴原式＝cos α＋sin α. [答案] B3．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝( )A ．－79B ．－13 C.13 D.79[详细分析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.[答案] A 4．化简sin4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A ．sin2αB ．cos2αC ．sin αD ．cos α[详细分析] ∵4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos2α，∴原式＝sin4α2cos2α＝2sin2αcos2α2cos2α＝sin2α. [答案] A5．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2的值为( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2[详细分析] 由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12. [答案] A 二、填空题6．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.[详细分析] 原式＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x 1＋tan x ＝1－21＋2＝(1－2)2－1＝22－3.[答案] 22－37.3tan12°－3sin12°(4cos 212°－2)＝__________. [详细分析] 原式＝3sin12°－3cos12°cos12°sin12°·2cos24° ＝3sin12°－3cos12°sin24°cos24°＝43(sin12°cos60°－cos12°sin60°)2sin24°cos24° ＝43sin (－48°)sin48°＝－4 3. [答案] －438．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________. [详细分析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5 ＝2·sin π5cos π5cos π5＋sin π52·sin π5cos π5cos π5－sin π5＝3sin π5sin π5＝3. [答案] 3 三、解答题9．求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .[证明] 左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2 ＝2sin x cos x4sin 2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2 ＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2 ＝1＋cos xsin x ＝右边． ∴原等式成立．10．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，0<α<β<π，求α－β的值．[解] 因为(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1， 所以cos(α－β)＝－12，又因为0<α<β<π，－π<α－β<0， 所以α－β＝－2π3.综合运用11．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝( )A.89B.1718 C ．－89 D ．－23[详细分析] sin α＋cos α＝13，两边平方可得 1＋sin2α＝19，可得sin2α＝－89，2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin2α＝－89. [答案] C12．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34[详细分析] 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又cos2θ＝1－2sin 2θ， 所以sin 2θ＝1－cos2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝916.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以sin θ＝34，故选D. [答案] D13．设α为第四象限角，且sin3αsin α＝135，则tan2α＝________. [详细分析] ∵α为第四象限的角，∴sin α<0，cos α>0 ∵sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos2α＝4cos 2α－1＝135∴cos α＝31010，sin α＝－1010，tan α＝－13， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. [答案] －3414．化简tan70°cos10°(3tan20°－1)＝__________. [详细分析] 原式＝sin70°cos70°cos10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin20°cos20°－1 ＝2sin70°cos70°cos10°⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin20°－12cos20°·1cos20°＝2cos20°sin20°·cos10°sin(20°－30°)·1cos20° ＝2cos10°sin20°·sin(－10°)＝－2sin10°cos10°sin20°＝－1 [答案] －115．已知cos2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值． (2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值． [解] (1)∵cos2θ＝725，∴cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725， ∴1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34， ∵π2<θ<π，∴tan θ＝－34.(2)2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ， ∴π2<θ<π，tan θ＝－34， ∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ＝1－45＋35－45＋35＝－4.。