2018高一数学三角函数难题突破训练(含解析)

三角函数与解三角形热点一 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝Asin (ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f(x)＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解 因为f(x)＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f(x)的最小正周期为2π.(2)解 因为0≤x≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝Asin (ωx＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝Asin (ωx＋φ)＋h 或y ＝Acos (ωx＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期； 第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】 设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx (ω＞0)，且y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3. 因为y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 设t ＝2x －π3，则函数f(x)可转化为y ＝－sin t. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3， 如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象，由图象可知，当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.(1)证明在△ABC中，根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0).则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos Aksin A＋cos Bksin B＝sin Cksin C，变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cos A＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sin A＝1－cos2A＝45 .由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，故tan B＝sin Bcos B＝4.【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积.解(1)设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝1＋4－x2 2×2×1，在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝9＋4－x2 2×2×3，∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.联立上式，解得x＝7，cos C＝1 2 .由于C∈(0，π).∴C＝π3，BD＝7.(2)∵A＋C＝π，C＝π3，∴sin A＝sin C＝32.又四边形ABCD的面积SABCD ＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·ADsin A＋12CB·CDsin C＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD的面积为2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围.解(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a ＋c)cos B ＋bcos C ＝0，∴cos B(2sin A ＋sin C)＋sin Bcos C ＝0，∴2cos Bsin A ＋cos Bsin C ＋sin Bcos C ＝0.即2cos Bsin A ＝－sin(B ＋C)＝－sin A.∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a＋c)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c)2≤4，故a ＋c≤2.又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b，且y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g(x)得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6， 因此g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z. 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.。

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形、选择题B • 305)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数3 5A 在区间［-，—］上单调递增4 4 3B 在区间［―,］上单调递减45 3C 在区间［予‘专］上单调递增3D 在区间［厅,2 ］上单调递减7.【2018浙江卷5］函数y= 2|x|sin2x 的图象可能是1.【2018全国二卷 6】在厶ABC 中,C cos— 2，BC 1，AC 5，则 AB52.【2018全国二卷 10]若 f(x) cosxsinx 在［a, a ］是减函数，贝U a 的最大值是3.【2018全国三卷 4] 若sin1 … 3，则cos24. 5. 0, C . 【2018全国三卷9］ △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 2 2 2a ，b ，c ,若△ ABC 的面积为-— -，4【2018北京卷7］在平面直角坐标系中，记m 变化时，d 的最大值为d 为点P A. 1(COS 0 sin 0到直线x my 2 0的距离，当B. 2C. 3D.4C . . 296.【2018天津卷6］将函数y sin(2x1. 【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ，则f x 的最小值是 _______________ .2.【2018 全国二卷 15】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a ® __________________ .3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x n在0, n 的零点个数为6 ---------------------------------------------------4. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x n ( 0),若f(x) f (n)对任意的实数x 都成立，则co的最小值为 _________ . 5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x _______________________ )(--)的图象关于直线x -对称，则 的值是 ____________________ .2236. 【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC 的平分线 交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为 _________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c •若a= 7，b=2, A=60°，贝U sin B= _________ , c= _________.、填空题B .三.解答题1. [2018 全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45°, AB 2 , BD 5.12. 【2018 北京卷15】在厶ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.(△)求/ A ；(△)求AC边上的高.3. 【2018天津卷15】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos(B ). 6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b和sin(2A B)的值.4. 【2018江苏卷16】已知，为锐角‘tan 3 ,迹()舟.(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.5. 【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚U内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚U内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6. 【2018浙江卷18】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P345'(I)求sin (a + n 的值; (U)若角B满足sin (a+B=13，求cos B的值・7.【2018上海卷18】设常数a R，函数f(x) a sin 2x c 22cos x(1)若f(x)为偶函数，求a的值; (2) 若〔匸〕1，求方程f(x) 1 .2在区间［，的解.参考答案、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D、填空题 1. 3.3223. 34.235. 7.3 ；37三•解答题 1.解: (1)在厶ABD中，由正弦定理得一BLsin AABsin ADB由题设知,5sin 452 sinADB，所以sin ADB -5由题设知, ADB 90，所以cos ADB 1225 5(2)由题设及(1) 知, cos BDC sin ADB 辽在△ BCD 中,5 由余弦定理得2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 25. 所以BC 5.32.解：(1)在厶ABC 中,1 n _________________________________ 2—T cosB= —7 ,二 B €( — , n ，二 sinB= 1 cos B<3 7由正弦定理得—sin A bsin B8 -二=<3，二 sinA= £ . T B €( f ,sin A227•- A €( 0,亍)，(n )在厶ABC 中,■/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—3 21 (-)71 4.3_ 3.3 2714女口图所示，在△ ABC 中sinC=g ,二 h=BC sinC = 7 3 弓BC14••• AC 边上的高为子.3.解：在厶ABC 中，由正弦定理— sin A—，可得 bsinA asinB sin B又由 bsinA acos(B n ),6得 as in B acos(B n ),6即sinB cos(B ，可得tanB 3 .又因为 B (0 ,可得(n)解：在△ ABC 中,由余弦定理及a =2, c=3, B =^,有 b 2 a 2 c 2 2accosB 7，故 b= J7 .由 bsin A acos(B —), 6可得sin A因为 a<c , 故cosA因此 sin 2 A 2sin AcosA2,cos2 A 2cos A所以，si n(2A B)sin 2Acos Bcos2 A sinB ^^3 73 3 3 2144.解：(1)因为tan4, tan 3汇，所以sin4c o s cos因为sin 22cos1，所以 2cos25，因此,cos222cos7 25(2)因为，为锐角，所以(0, n .又因为cos()寻，所以sin()厂曲( )害，因此tan( ) 2.因为tan -，所以tan232ta n 242 , 1 tan 7因此，tan( ) tan[2 ( )]；+；爲；：；(—5 2115•解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN , 所以OH=10.过O作OE丄BC于E,贝U OE// MN，所以/ COE书故OE=4Ocos0, EC=40sin B,则矩形ABCD 的面积为2X40cos((40sin 0 +10=800(4sin 0 cos 0 +cOs B △ CDP的面积为 1 x 2X 40co(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0)cos 0过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .令/GOK=0,则sin0=4 2(0, n)・当濮[0, n)时，才能作出满足条件的矩形所以sin(的取值范围是[〔，1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin 0 cos 0 +cQs平方米，△ CDP的面积为1600 (cos 0 - sin 0)cos0n 的取值范围是[1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0).则年总产值为4k X 800(4sin 0 cos 0 +cbs+Bk x 1600( cos 0 - sin 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +)s [ 0, n)2设 f ( 0) =sin 0 cos 0 +cos 0€ [ 0, n),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f'( )=0，得 B =,6当9€( (0, n 时，f '( )>0，所以f (0)为增函数;6当0€(J ,匸)时，f '( )<0 ,所以f (0)为减函数,6 2因此，当0=时，f ((取到最大值.6答：当吧时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大•［来源:学§科§网］,］时，即2x(U)由角的终边过点 P( 3,得cos35 55由 sin() —得 cos( )121313由( )得coscos()cossin( )s in,5616所以cos或cos6565 .解：(1) f(x ； )asin 2x2 cos 2 x 1 1 =asi n2x cos2x 1 ,6. ( I)由角的终边过点P(4)得 sin 5所以sin( 冗)sin -5f ( x) a sin(当f (x)为偶函数时：f (x)f( x)，则 a a，解得a 0 o2(2) f ( ) a sin 2 cos —,424由题意f (一)a 13 1 ,4、.3sin 2x 2cos 2 xa .3 , f (x) 3sin2x cos2x1 2sin(2x6)1,令 f (x) 1血，则2sin 2x1151319解得：x ,2424，24或x248. 解: (1) f(x)asin 2x c 22cos x 1 1 = asin2x cos2x 1 , f( x) a sin( 2x)cos(2x)1asin2x cos2x 1当f(x)为偶函数时:f(x)f( x)，则a a，解得a 0。

2018年高考理科数学三角函数100题（含答案解析）1.己知x 0=﹣是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极小值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，π）D ．（，π）2.已知△ABC 是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC 的面积为，则AB=（ ）A ．B ．C ．D ．33.已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是 （A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0 4.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当2π3x =时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）． A ．(2)(2)(0)f f f <-< B ．(0)(2)(2)f f f <<- C ．(2)(0)(2)f f f -<<D ．(2)(0)(2)f f f <<-5.设函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数6.已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期为π，刚该函数的图象（ ）．A ．关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线π8x =对称 C ．关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于直线π4x =对称 7.为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度 8.已知(0,π)α∈，3cos 5α=-，则tan α=（ ）．A ．34B ．34-C ．43D ．43-9.已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭图象如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）．A ．对称轴方程是ππ()6x k k =+∈Z B ．对称中心坐标是ππ,0()3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．在区间2ππ,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增10.设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定11.要得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）．A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位 12.将函数cos y x =的图像上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）． A ．1πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1πcos 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13.函数y=cos 2(x ﹣6π)的一条对称轴为（ ） A ．x=﹣6π B ．x=125π C ． x=3π D ．x=﹣3π 14.在锐角△ABC 中，∠A=，∠BAC 的平分线交边BC 于点D ，|AD|=1，则△ABC 面积的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，] C ．[，）D ．[，）15.已知函数，则f （x ）的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．C ．D ．16.已知，且，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．17.函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．18.已知函数f （x ）=Acos （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f （1）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，B=45°，面积S=3，则b 的值为（ ）A ．6B ．26C ．D ．20.已知角α的终边过点P （﹣8m ，﹣6sin30°），且cos α=﹣，则m 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．21.已知实数a=cos 224°﹣sin 224°，b=1﹣2sin 225°，c= ︒-︒23tan 123tan 22，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a22.要得到y=sinx•cosx ﹣cos 2x+21的图象，只需将函数y=22sin2x 的图象（ ）A ．左移4πB ．右移4π C ．左移8π D ．右移8π 23.已知θ∈（，π），sin θ=，则sin （θ+）等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣24.若函数f （x ）=sin ωx+cos （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在[0，]上的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．25.已知cos （+α）=，则α∈（，），则sin2α=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．26.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数f（x ）的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．27.设a=（sin17°+cos17°），b=2cos 213°﹣1，c=，则（ ）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c28.已知 f（sinx）=x，且，则的值等于（）A．B．C．D．29.已知tanα=，α∈（π，π），则cosα的值是（）A．±B．C．﹣D．30.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x﹣1）=0，且在[﹣5，﹣4]上是增函数，A，B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（cosA）＞f（cosB）31.cos（﹣585°）的值为（）A．B．C．D．32.已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数33.已知θ是第四象限角，且，则cos θ= ．34.已知x 1，x 2是函数f （x ）=2sin2x+cos2x ﹣m 在[0，]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）= ． 35.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点1(2，则πcos()3θ+=________. 36.复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，则12z z 实部的最大值__________，虚部的最大值__________． 37.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =4c =，60A =︒，则b =__________． 38.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若4c =，sin 2sin C A =，sin B ，则a =__________，ABC S =△__________． 39.已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．C BAOP（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________． 40.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．41.点P 从(0,1) 出发，沿单位圆逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 . 42.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 43.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角B 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则sin B =__________，cos()αβ-=__________．44.在ABC △中，cos c a B =，①A =__________；②若1sin 3C =，则cos(π)B +=__________．45.已知α∈（，π），sin α=，则tan= ．46.在△ABC 中，，AB=2，且△ABC 的面积为，则边BC 的长为 ．47.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若==，则sinB= ． 48.若sin(α﹣3π)=51，α∈(0，2π)，则cosα= ． 49.已知△ABC 中，AB=3，BC=1，sinC=3cosC ，则△ABC 的面积为 ． 50.已知函数的图象为C ，关于函数f （x ）及其图象的判断如下：①图象C 关于直线x=对称；②图象C 关于点对称；③由y=3sin2x 得图象向左平移个单位长度可以得到图象C ；④函数f （x ）在区间（﹣）内是增函数；⑤函数|f （x ）+1|的最小正周期为π．其中正确的结论序号是 ．（把你认为正确的结论序号都填上） 51.将函数的图象上所有点的横坐标向 平移 个单位，可得函数y=sin2x 的图象． 52.已知sin α=，α∈（0，），则cos （π﹣α）= ，cos2α= ．53.已知函数y=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜2π）． ①若f （0）=1，则φ= ；②若∃x ∈R ，使f （x+2）﹣f （x ）=4成立，则ω的最小值是 ． 54.设f(x)=sin 2x ﹣3cosxcos(x+2π)，则f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间为 ． 55.若函数f(x)=sin(ωπx －6π)(ω＞0)的最小正周期为51，则f(31)的值为 ．56.已知△ABC 中，角C 为直角，D 是BC 边上一点，M 是AD 上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB ，则|MA|= ． 57.已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴；（2）将函数f （x ）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数g （x ）的图象．若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a+c=6，且g （B ）=0，求b 的取值范围． 58.已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）当时，f （x ）的最小值为2，求a 的值．59.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知acosAcosB ﹣bsin 2A ﹣ccosA=2bcosB ． （1）求B ；（2）若，求a ．60.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知()sin sin sin a b A c C b B -=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积的最大值． 61.在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．角π6A =，(12c b +=． （1）求角C 的值．（2）若1CA CB ⋅=a 、b 、c 的值． 62.已知向量(sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值． 63.函数π()cos(π)02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出ϕ及图中0x 的值．（Ⅱ）设1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．64.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan 21tan A cB b+=． Ⅰ求角A 的大小．Ⅱ若函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，在x B =处取到最大值a ，求ABC △的面积．65.在ABC△1cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值． （Ⅱ）若2BC =，π4A =，求ABC △的面积． 66.在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B，C 2sin 0b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小．（Ⅱ）若5a c +=，且ac >，b =AB AC ⋅的值． 67.己知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值． （Ⅱ）若5()16f α=，求cos2α的值． 68.如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠=CB AD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积． 69.已知函数2()sin(π2)f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．（Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．70.如图，在△ABC 中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB 和BC 的长．（结果用θ表示）； （2）当AB+BC=6时，试判断△ABC 的形状．71.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设π3A =，sin 3sinBC =．（Ⅰ）若a ，求b 的值． （Ⅱ）求tan C 的值． 72.已知函数2π()2sin cos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间． 73.已知函数2()cos 2cos 222x x xf x =-．（I ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（II ）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程． 74.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a =sin C A ． （1）求边c 的值．（2）若cos C ABC △的面积． 75.已知函数π()sin 2cos 26f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． （3）求()f x 在区间7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．76.已知在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，60A =︒，32b c =，ABC S =△． （Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求sin B 的值． 77.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始作边两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B ． （Ⅰ）求tan()αβ+的值． （Ⅱ）求2+αβ的值．78.已知函数π()sin sin3f x x x⎛⎫=--⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π6f⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）求()f x的单调增区间．79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c(3sinB+cosB)=a+b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为53，求sinB的值．80.B试题分析：发菜属于蓝藻，虽然没有叶绿体但含有藻蓝素和叶绿素，能进行光合作用；A 错误。

一、选择题1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－433.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π64．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5二、填空题6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2.7．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则β＝________. 9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217 s ．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)三、解答题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A －sin C (cos B ＋33sin B )＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值．答案精析1．C cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]2．C ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.]3．A 因为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12， 所以T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2. 因为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ， 所以－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A.]4．B 由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得sin A cos B ＝cos A sin B ， ∴tan A ＝tan B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B . ∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，∴sin A sin B ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2＝12⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12.∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝22. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π4.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2，∴△ABC 是等腰直角三角形．]5．B 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ， 即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]6．1 2 1解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2，∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.7.782 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x － 2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8.π3解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝437.又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴β∈(0，π)，∴β＝π3.9．140 3解析 由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m. 10．解 (1)由题意得，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin C cos B －33sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －33sin C )＝0， ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴tan C ＝3， 又0<C <π，故C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ab ×32＝3，∴ab ＝4，又c ＝2，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab ×(12)＝4，∴a 2＋b 2＝8.则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，a 2＋b 2＝8， 解得a ＝2，b ＝2.。

突破5.2 三角函数的概念一、考情分析二、考点梳理考点1 三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy =αtan 2.三角函数的定义域：三角函数 定义域=)(x f sin x R =)(x f cos x R=)(x f tan x⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且考点2 三角函数值的符号第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.考点3 诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Z k ∈ 考点4 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.三、题型突破重难点题型突破01 判断三角函数符号的正负例1．（1）、（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】首先判断305位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【详解】解：因为270305360<<，所以305为第四象限角， 所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限； 故选：D（2）、（2021·全国·高一课时练习）给出下列各三角函数值： ①sin 1()00-︒；②cos 2()20-︒；③()tan 10-；④cos π． 其中符号为负的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】确定各角所在象限，然后由象限角的三角函数值符号判断． 【详解】因为－100°角是第三象限角，所以sin 10()00-︒<；因为－220°角是第二象限角，所以cos 22()00-︒<；因为710,32⎛⎫-∈-π-π ⎪⎝⎭，所以角－10是第二象限角，所以()tan 100-<；cos 10π=-<．所以符号为负的有4个， 故选：D ．【变式训练1-1】、（2021·北京·潞河中学高三月考）若2α=，则（ ） A ．sin 0α>且cos 0α> B ．sin 0α>且cos 0α< C ．sin 0α<且cos 0α< D ．sin 0α<且cos 0α>【答案】B 【分析】确定α所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答. 【详解】 因22ππ<<，则2α=是第二象限象限角，所以sin 0,cos 0αα><. 故选：B【变式训练1-2】、（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】根据α为第二象限角可求得2α为第一或第三象限角，由cos 02α<可得结果.【详解】α为第二象限角，()90360180360k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ，()45180901802k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ；当()2k n n =∈Z 时，2α为第一象限角；当()21k n n =+∈Z 时，2α为第三象限角； 2α∴为第一或第三象限角；coscos22αα=-，cos02α∴<，2α∴为第三象限角.故选：C.重难点题型突破02 三角函数的概念例2．（1）、（2021·辽宁·高三月考）已知角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，则sin cos αα⋅=（ ）A ．3B ．23- C 3D 2【答案】B 【分析】根据角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭， 所以1r OP ==， 所以36sin αα==， 所以362sin cos αα⋅==． 故选：B（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知角α的终边经过点()3,P m ，且2sin mα=，求cos α，tan α的值．【答案】答案见解析 【分析】根据正弦函数的定义求出m 值，然后再由余弦函数、正切函数的定义计算． 【详解】由题意，可知3x =-y m =，所以2223r x y m ++ 所以22sin 3y m r mα==+解得0m =或5± 当0m =时，3r =cos 1x r α==-，tan 0yxα==； 当5m =22r =6cos x r α==15tan y x α== 当5m =22r =6cos x r α==15tan y x α== （3）、（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知角α的终边经过点()1,1P -，则sin α= （ ） A ．12B ．12-C 2D ．2【答案】C 【分析】首先根据题意求出2r =sin α的值. 【详解】22(1)12r -+=2sin 2α=故选：C【变式训练2-1】、若角终边经过点,则（ ） A.B. C. D. 【答案】D【解析】, ,选D. 【变式训练2-2】、（2020·永州市第四中学高一月考）若一个α角的终边上有一点()4,P a -且3sin cos 4αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3B ．43±C ．－3433D 3【答案】C 【解析】由已知，得()()()22222243sin 4444aa a a αα-==∴=-+-+-+，解得43a =-433α()()3,40P a a a ≠sin α=354535±45±229165r a a a =+=44sin 55a a α==±故选C ．【变式训练2-3】、（2021·天津·大钟庄高中高三月考）已知角α的终边经过点P （-4，m ），且3sin 5α=-，则m =___________. 【答案】3- 【分析】利用任意角的三角函数的定义求解. 【详解】解：∵已知角α的终边经过点P （-4，m ），且3sin 5α=-，∴223sin 5(4)m α=--+，显然0m <，解得3m =-，3m =（舍去）， 故答案为：3-例3．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m -，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值． 【答案】5m =±；当5m =时，6cos 4α=-，15tan 3α=-；当5m =-时，6cos 4α=-，15tan 3α= 【分析】根据三角函数定义可由()22sin 043m m m m α==≠+求得m 的值；结合m 的值，由三角函数定义可求得cos ,tan αα. 【详解】()22sin 043m m m m α==≠+，5m ∴=±； 当5m =时，236cos 43m α=-=-+，15tan 33m α=-=-； 当5m =-时，236cos 43m α=-=-+，15tan 33m α=-=. 【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m -，且满足2sin 4m α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．【答案】(1)10sin 4=a ； (2)1-或61543--或61543-+. 【分析】（1）根据三角函数的定义得到2243m m m =+，通过解方程即可求出m 的值，从而可求出sin α值；（2）根据（1）中求出的m 值，通过分类讨论，利用三角函数的定义即可求出答案. (1)由三角函数的定义，可知2243m m m =+，解得0m =或5m =±， ∵α为第二象限角，∴m ＞0，所以m ＝5， ∴10sin 4α=； (2)由（1）知0m =或5m =±，当0m =时，cos 1,tan 0αα=-=，所以cos tan 1αα+=-； 当5m =时，6cos 4α=-，15tan 3α=-，所以cos ta 43n 615αα=--+； 当5m =-时，6cos 4α=-，15tan 3α=，所以cos ta 43n 615αα=-++. 综上所述，cos tan αα+的取值为1-或61543--或61543-+．重难点题型突破03 同角三角函数的公式例4、（1）、（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知角α的终边经过点()1,2P ，sin 2cos sin cos αααα--+的值是____________． 【答案】43-【分析】先利用三角函数的定义求出tan 2α=，再进行弦化切，代入求解. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2P ，所以12cos 0,tan 215αα.所以sin 2sin 2cos tan 2224cos sin sin cos tan 12131cos αααααααααα--------====-++++. 故答案为：43-（2）、（2022·贵州·高二开学考试）若tan 2α=，则225sin 3cos 1αα-+的值为（ ） A ．175B ．4C ．225D ．285【答案】C【分析】根据22sin cos 1αα+=，将原式齐次化后再弦化切即可得答案. 【详解】解：原式222222225sin 3cos sin cos 6tan 222sin cos tan 15αααααααα-++-===++． 故选：C ．（3）、（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则222sin sin cos 3cos αααα+-的值为（ ） A ．95B ．18C ．1710D ．15【答案】A【分析】原式可除以22sin cos αα+化简成222tan tan 3tan 1ααα+-+，代入tan 3α=求值即可【详解】222sin sin cos 3cos αααα+- 22222sin sin cos 3cos sin cos αααααα+-+=222tan tan 3tan 1ααα+-=+， 代入tan 3α=可算得原式的值为95.故选：A【变式训练4-1】、（2021·江苏·扬州中学高三月考）若sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-，则tan α=（ ）A ．13B ．12C ．13-D ．12-【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解. 【详解】 由sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-可得tan 255tan 16αα+=-，解得：1tan 3α=-，故选：C.【变式训练4-2】．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知tan 4θ=，则2cos sin cos 2sin θθθθ-=+_____________ 【答案】29-【分析】分子，分母同除以cos θ，再把tan θ的值代入即可求解 【详解】2cos sin 2tan 242cos 2sin 12tan 1249θθθθθθ---===-+++⨯故答案为：29-【变式训练4-3】.已知点(1,2)P -是角α终边上的一点，则tan α=______，sin 2cos 2sin 3cos αααα-+=_______.【答案】2- 4 【解析】根据题意知：2tan 21α-==-，sin 2cos tan 242sin 3cos 2tan 3αααααα--==++. 故答案为：-2；4.例5．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））（1）已知tan 3α=，计算3sin αcos αsin α2cos α；（2）已知1sin cos (0)2αααπ+=<<，求sin cos αα．【答案】（1）10；（2）38-【分析】（1）利用商数关系化弦为切，即可得解;（2）将1sin cos 2αα+=进行平方即可求得答案 【详解】（1）因为tan 3α=，所以3sin cos 3tan 110sin 2cos tan 2αααααα++==--；(2)由1sin cos (0)2αααπ+=<<，平方可得221sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααα++=+=，所以3sin cos 8αα=-【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）已知23sin 4sin cos 10ααα-+=． (1)求tan α的值； (2)求2sin cos 1cos ααα+的值．【答案】(1)1tan 2α=(2)29 【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求1tan 2α=. （2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值. （1）解法一：∵22sin cos 1αα+=，23sin α-4sin cos 10αα+=， ∴2223sin 4sin cos 10sin cos ααααα-+=+， 分子分母同时除以2cos α，得223tan 4tan 10tan 1ααα-+=+，即()22tan 10α-=，解得1tan 2α=．解法二：∵23sin 4sin cos 10ααα-+=，∴224sin 4sin cos cos 0αααα-+=， 即2(2sin cos )0αα-=，∴2sin cos 0αα-= ∴1tan 2α=． （2） ∵1tan 2α=，∴2222sin cos sin cos tan 21cos sin 2cos tan 29ααααααααα===+++．重难点题型突破4 综合应用例6．（2022·全国·高一课时练习）求证：()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++ 【答案】详见解析【证明】方法一左边()()()()cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos αααααα+-+=++ 22cos sin cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+-=+++ ()()()2cos sin cos sin 111cos sin sin cos 22αααααααα-++=++++ ()()()22cos sin cos sin 1sin cos 1αααααα-++=++ ()2cos sin 1sin cos αααα-=++ =右边，∴原式成立．方法二∵cos 1sin cos 1sin 1sin cos 1sin cos αααααααα-+-==+++， sin 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos sin αααααααα-+-==+++， ∴()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1cos sin αααααααα--=++++， ∴原式成立．【分析】方法一：从等式左边推出右边,通分化简,再有()2sin cos 1sin cos 2αααα+-=，整理化简即可得到等式右边,得证.方法二：由恒等式2222cos 1sin ,sin 1cos αααα=-=-，得cos 1sin sin 1cos ,1+sin cos 1cos sin αααααααα--==+ ，然后运用等比定理即可证明. 【详解】证明：方法一左边()()()()cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos αααααα+-+=++ 22cos sin cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+-=+++()()()2cos sin cos sin 111cos sin sin cos 22αααααααα-++=++++ ()()()22cos sin cos sin 1sin cos 1αααααα-++=++ ()2cos sin 1sin cos αααα-=++ =右边， ∴原式成立.方法二∵cos 1sin cos 1sin 1sin cos 1sin cos αααααααα-+-==+++， sin 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos sin αααααααα-+-==+++， ∴()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1cos sin αααααααα--=++++， ∴原式成立.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系进行恒等式的证明;其中法一()2sin cos 1sin cos 2αααα+-=是证明的关键,法二恒等式cos 1sin sin 1cos ,1+sin cos 1cos sin αααααααα--==+的合理利用是证明的关键;本题属于难题. 【变式训练6-1】、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是A ．(,)42ππ B ．3(,)24ππ C ．(,)24ππ-- D ．5(,)4ππ 【答案】C 【详解】令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得12a =-，舍去()12+，则sin cos 120θθ=-<，θ在第二或第四象限，排除A 和D ，又sin cos 120θθ+=-<而sin cos 2sin 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 2sin 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C. 点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a 的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得12a =-，即sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 2sin 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B.【变式训练6-2】、（2021·上海·高一期末）若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]1,3-【分析】原不等式可化为2cos 2cos 20x a x a +++≥，令cos ,[1,1]t x t =∈-，转化为二次不等式 2220t at a +++≥当[1,1]t ∈-时恒成立，利用二次函数求最小值即可解决.【详解】由原不等式可化简为2cos 2cos 20x a x a +++≥对任意x R ∈恒成立，令cos ,[1,1]t x t =∈-得：2220t at a +++≥当[1,1]t ∈-时恒成立，令2()22h t t at a =+++，[1,1]t ∈-，函数对称轴方程为t a =-，当1t a =-<-，即1a >时，min ()(1)30h t h a =-=-≥，解得13a ，当11t a -≤=-≤，即11a -≤≤时，2min ()()20h t h a a a =-=-++≥，解得12a -≤≤， 所以11a -≤≤，当1t a =->，即1a <-时，min ()(1)330h t h a ==+≥，解得1a ≥-，所以a ∈∅，综上实数a 的取值范围是13a -≤≤，故答案为[]1,3-【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论的思想，换元法，属于难题.四、课堂训练1．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（ ）A 2B ．2C ．2D ．1 【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】角α的终边上点(2,2)P -，则||22r OP ==，所以22sin 2r α==. 故选：A2．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）已知tan 2θ=,则cos sin sin cos θθθθ-+的值为（ ） A ．13- B ．13 C ．3- D ．3 【答案】A 【分析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以cos θ,将弦化切,代入求解即可.【详解】tan 2θ=, ∴cos sin 1tan 121sin cos tan 1123θθθθθθ---===-+++. 故选:A.3．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）A ．经过30分钟，钟表的分针转过2π-弧度B ．若sin 0,cos 0θθ><，则θ为第二象限角C ．若sin cos 1θθ+>，则θ为第一象限角D ．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限 【答案】BC【分析】根据任意角的概念可判断A ；由正弦值余弦值的正负可判断角的范围，判断B;将sin cos 1θθ+>平方推出sin 0,cos 0θθ，判断θ为第一象限角，判断C;举反例可判断D.【详解】对于A, 经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，A 错误；对于B ，若sin 0,cos 0θθ><，则θ为第二象限角，正确；对于C ，因为sin cos 1θθ+>，故2(sin cos )1,12sin cos 1θθθθ+>∴+>，即sin cos 0>θθ，结合sin cos 1θθ+>可知sin 0,cos 0θθ，故θ为第一象限角，C 正确；对于D ，第一象限角不都是锐角，比如390是第一象限角，但不是锐角， 故D 错误；故选：BC4．（2021·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值. 【答案】25或25-． 【分析】先求点P 到原点的距离，再利用定义求sin α，cos α，应注意分类讨论．【详解】225r x y a =+=，∴当0a >时，5r a =，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5α=，22sin cos 5αα∴+=-； 当0a <时，5r a =-，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5=-α，22sin cos 5αα∴+=． 综上可知，2sin cos αα+的值为25或25-.16。

高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案)三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ） A ．1-BC．12-D．12+分析：三角形的最小内角是不大于3π的，而()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．解析：由03x π<≤，令sin cos sin(),4t x x x π=++而74412x πππ<+≤，得1t <≤又212sin cos t x x =+，得21sin cos 2t x x -=，得2211(1)122t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，max 12y =+，选D 。

例2．已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126f f π==．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3()12622f a b π=+= ，所以4b =，a =（2）()24cos 248sin(2)46f x x x x π=++=++，故当2262x k πππ+=+即()6x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值为12．点评：结论()sin cos a b θθθϕ+=+是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故要将函数sin 2y x =的图象向左平移5π12个长度单位，选择答案A ．。

2018 高一数学必修一（难）一．选择题（共12 小题）1．已知定义在R 上的偶函数f（x）满足 f （x+1）=﹣f（x），且当 x∈[ ﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）A．（﹣ 2，﹣ 1）∪（﹣ 1，0） B．C．D．．已知定义在R 上的奇函数（）满足：当3，若不等式 f（﹣2 f x x≥ 0 时，f（ x）=x4t）＞ f（ 2m+mt 2）对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0） C．（﹣∞， 0）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）3．定义域为R 的函数 f（ x）满足： f（ x+2） =2f（ x），当 x∈ [ 0， 2）时，，若 x∈[ ﹣4，﹣2）时，恒成立，则实数 t 的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．（0，2]4．对于函数f（x），若 ? a，b，c∈R，f（ a），f （b）， f（c）为某一三角形的三边长，则称（fx）为”可构造三角形函数“，已知函数（fx）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数 t 的取值范围是（）A．[ 1，4] B．[ 1，2] C．[，2] D．[ 0，+∞）5．已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时， f（x）=x（ 1﹣ x），若数列 { a n} 满足 a1，且 n+1=2015）+f（a2016）=（）=a，则 f（ a A．﹣ 8 B．8C．﹣ 4 D．46．函数 f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A．[ 4，+∞）B． [ 3，+∞）C．[ 2，+∞）D． [，+∞）7．已知 x＞ 0，y＞0，若不等式 a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B．C．+2 D．+8．已知函数 f（ x）=若函数g（x）=f[ f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3B．4C．5D．69．已知定义在 R 上的偶函数 g（ x）满足 g（ x）+g（ 2﹣ x）=0，函数 f（x）=的图象是 g（x）的图象的一部分．若关于x 的方程 g2（x）=a（ x+1）2有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）10．已知函数 f（x）定义域为 [ 0，+∞），当 x∈[ 0，1] 时， f（ x）=sin πx，当 x∈[ n，n+1] 时， f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b 有且仅有 2016 个交点，则 b 的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（，）D．（，）11．已知函数：，，设函数 F（x）=f（x+3） ?g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间 [ a，b] （ a＜ b，a，b∈Z）内，则 b﹣a 的最小值为（）A．8B．9C．10D．1112．已知函数，其中 m ＞0，且函数 f （x ）=f （x+4），若方程 3f （x ）﹣ x=0 恰有 5 个根，则实数 m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共 7 小题）13．设函数 f （x ）=2ax 2 +2bx ，若存在实数 x 0∈（ 0，t ），使得对任意不为零的实数 a ，b 均有 f （ x 0）=a+b 成立，则 t 的取值范围是．14．若正数 x ，y 满足 =1，则 的最小值为．15．已知集合 { φ| f （x ）=sin[ （ x ﹣2φ）π]+ cos[ （ x ﹣ 2φ）π] 为奇函数，且 | log a φ|＜ 1} 的子集个数为 4，则 a 的取值范围为．16．已知函数y=f （ x ）是定义在 R 上的奇函数，对 ? x ∈ R 都有 f （x ﹣ 3） =f （x﹣ 1）成立，当，x ∈（0，1] 且 x 1 ≠x 2 时，有 ＜ 0，给出下列命题：（ 1） f （x ）在 [ ﹣2，2] 上有 5 个零点（ 2）点（ 2016，0）是函数 y=f （x ）的一个对称中心 （ 3）直线 x=2016 是函数 y=f （x ）图象的一条对称轴（ 4） f （9.2）＜ f （π）则正确的是．17．已知函数 f （ x ）=e x ，对于实数 m 、n 、p 有 f （m+n ）=f （ m ）+f （n ），f （ m+n+p ）=f （ m ）+f （n ）+f （ p ），则 p 的最大值等于．18．定义在 R 上的单调函数 f （ x ）满足：f （x+y ）=f （x ）+f （ y ），若 F （x ）=f （ asinx ） +f （ sinx+cos 2 ﹣ ）在（ 0 ，π）上有零点，则 a 的取值范围是 ．x 3 19．已知函数 f （x ）=，g （x ）=（k ＞0），对任意 p ∈（1，+∞），总存在实数 m ， n 满足 m ＜0＜n ＜p ，使得 f （ p ） =f （m ） =g （n ），则整数k 的最大值为．三．解答题（共11 小题）20．已知 f（ x） =log a是奇函数（其中a＞1）（1）求 m 的值；（2）判断 f（x）在（ 2， +∞）上的单调性并证明；（3）当 x∈（ r，a﹣2）时， f（x）的取值范围恰为（ 1， +∞），求 a 与 r 的值．21．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）= ?﹣m| + |+ 1，x∈ [ ﹣，] ，m∈R．（ 1）当 m=0 时，求 f（）的值；（ 2）若 f （x）的最小值为﹣ 1，求实数 m 的值；（ 3）是否存在实数m，使函数 g（x）=f（ x） + m2，x∈[ ﹣，] 有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知二次函数 f （x） =ax2+bx+c．（1）若 a=c＞0，f （1）=1，对任意 x∈|[ ﹣ 2， 2] ，f （x）的最大值与最小值之和为 g（a），求 g（a）的表达式；（2）若 a，b，c 为正整数，函数 f（ x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c 的最小值．23．已知函数 f （x）=．（1）求 f （f（））；（2）若 x0满足 f（f（ x0））=x0，且 f（ x0）≠x0，则称 x0为 f（ x）的二阶不动点，求函数 f（x）的二阶不动点的个数．24．已知 a∈R，函数．（1）当 a=0 时，解不等式 f（x）＞ 1；（2）当 a＞0 时，求函数 y=2f（ x）﹣ f（ 2x）的零点个数；（3）设 a＜0，若对于 t ∈R，函数在区间 [ t ，t+1] 上的最大值与最小值之差都不超过 1，求实数 a 的取值范围．25．已知 a∈R，函数 f（ x）=．（1）若 f （2）=﹣3，求实数 a 的值；（2）若关于 x 的方程 f（ x）﹣ log2[ （a﹣ 4） x+2a﹣ 5] =0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围．（3）设 a＞0，若对任意 t∈ [ ，1] ，函数 f （x）在区间 [ t，t +1] 上的最大值与最小值的差不超过1，求 a 的取值范围．26．设 a∈ R，函数 f （x）=x| x﹣a|+ 2x．（1）若 a=3，求函数 f（x）在区间 [ 0，4] 上的最大值；（2）若存在 a∈（ 2，4] ，使得关于 x 的方程 f（x）=t?f（a）有三个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围．27．如图，在半径为，圆心角为 60°的扇形的弧上任取一点 P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点 Q 在 OA 上，点 N，M 在 OB 上，设矩形 PNMQ 的面积为 y，∠POB=θ．（Ⅰ）将 y 表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形 PNMQ 的面积取得最大值时?的值；（Ⅲ）求矩形 PNMQ 的面积 y≥的概率．28．已知函数 f （x）=x| x﹣a| ，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当 a=1 时，解不等式 f（x）≥ g（ x）；（2）记函数 f（ x）在区间 [ 0，2] 上的最大值为 F（a），求 F（ a）的表达式．29．已知函数 g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．（1）写出 f（x）在（ a， +∞）上的单调性（不必证明）；（2）当 x∈（ r，a﹣3）时， f（x）的取值范围恰为（ 1， +∞），求 a 与 r 的值；（ 3）设 h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．30．已知函数 f （x）=1+log2x，g（x） =2x．（1）若 F（x）=f（g（x））?g（f （x）），求函数 F（x）在 x∈[ 1， 4] 的值域；（2）令 G（x）=f（ 8x2） f（）﹣ kf（x），已知函数 G（x）在区间 [ 1， 4] 有零点，求实数 k 的取值范围；（ 3）若 H（ x）=，求H（）+H（）+H（）+ +H（）的值．2018 高一数学必修一（难）参考答案与试题解析一．选择题（共12 小题）1．（2016 秋?渝中区校级期末）已知定义在 R 上的偶函数 f （x）满足 f （x+1）=﹣ f（x），且当 x∈[ ﹣1，0] 时，，函数，则关于 x 的不等式 f（x）＜ g（x）的解集为（）A．（﹣ 2，﹣ 1）∪（﹣ 1，0）B．C．D．【解答】解：由题意知， f（x+1） =﹣ f（x），∴f（x+2） =﹣f （x+1）=f（ x），即函数 f（x）是周期为 2 的周期函数．若 x∈[ 0，1] 时，﹣ x∈ [ ﹣ 1，0] ，∵当 x∈[ ﹣1，0] 时，，∴当 x∈[ 0， 1] 时，，∵ f（x）是偶函数，∴ f（ x） =，即 f（ x）=．∵函数，∴ g（ x）=，作出函数 f（ x）和 g（x）的图象如图：第 8 页（共 38 页）则，由选项验证解得 x=，即此时不等式式 f（ x）＜ g（ | x+1| ）的解为﹣ 1＜x＜，∵函数 g（x）关于 x=﹣1 对称，∴不等式式 f （x）＜ g（x）的解为﹣ 1＜x＜或＜x＜﹣ 1，即不等式的解集为（，﹣ 1）∪（﹣ 1，），故选： D．2．（2016 秋?通渭县期末）已知定义在R 上的奇函数 f（x）满足：当 x≥ 0 时， f （x）=x3，若不等式 f（﹣ 4t）＞ f（2m+mt2）对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：∵当 x≥0 时， f（x）=x3，①f（﹣ x）=（﹣ x）3=﹣ x3，又f（x）为定义在R 上的奇函数，∴﹣ f（ x） =﹣x3，∴ f（x）=x3（x＜0），②综合①②知， f（x） =x3， x∈ R．又f ′（x） =3x2≥0，∴ f（x）=x3为 R 上的增函数，∴不等式 f（﹣ 4t ）＞f（2m+mt 2）对任意实数 t 恒成立 ? ﹣ 4t＞2m+mt 2对任意实数 t 恒成立，即mt2+4t +2m＜0 对任意实数 t 恒成立，∴，解得： m＜﹣．故选： A．3．（2016 秋?宜春期末）定义域为R 的函数 f（x）满足： f（ x+2）=2f（x），当 x ∈ [ 0，2）时，，若x∈ [﹣4，﹣2）时，恒成立，则实数t 的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．（0，2]【解答】解：当 x∈ [ 0，2）时，∈[﹣，0]∪[ ﹣1，﹣] ，∴当 x∈[ 0， 2）时， f （x）的最小值为 f（）=﹣1，又∵函数 f（ x）满足 f（x+2）=2f（x），∴f（x）= f（x+2），当 x∈[ ﹣ 2， 0）时， f （x）的最小值为 f（﹣）= f （）=﹣，当 x∈[ ﹣ 4，﹣ 2）时， f（x）的最小值为 f （﹣）=f（﹣）=﹣若 x∈[ ﹣ 4，﹣ 2] 时，恒成立，∴﹣≥恒成立．即≤ 0，则 0＜t ≤1，故选： C．4．（ 2016 春?琅琊区校级期末）对于函数f（x），若? a，b，c∈ R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f （ x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[ 1，4] B．[ 1，2] C．[，2] D．[ 0，+∞）【解答】解： f（x） ===2+，①若 t=2，则 f（ x） =2，此时 f（x）构成边长为 2 的等边三角形，满足条件，设m=tanx，则 m=tanx＞0，则函数 f（x）等价为 g（m） =2+，②若 t ﹣2＞0 即 t＞2，此时函数 g（ m）在（ 0， +∞）上是减函数，则2＜f（ a）＜ 2+t ﹣2=t，同理 2＜f （b）＜ t ，2＜f（ c）＜ t ，则4＜f（ a） +f （b）＜ 2t ， 2＜ f（c）＜ t，由f（ a） +f （b）＞ f （c），可得 4≥ t，解得 2＜t≤4．③当 t ﹣2＜0，f（ x）在 R 上是增函数， t ＜f（ a）＜ 2，同理 t ＜f（ b）＜ 2，t＜ f（c）＜ 2，则 2t＜f （a）+f（b）＜ 4， t＜f（c）＜ 2，由f（ a） +f （b）＞ f （c），可得 2t≥2，解得 1≤t ＜2．综上可得， 1≤t≤ 4，故实数 t 的取值范围是 [ 1，4] ；故选： A5．（2015 秋?菏泽期末）已知函数f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当x≤ 0 时， f （ x）=x（1﹣x），若数列 { a n} 满足 a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）A．﹣ 8 B．8C．﹣ 4 D．4【解答】解：设 x＞ 0，则﹣ x＜0；∵ f（x）是定义在 R 上的奇函数；∴f（x）=﹣f（﹣ x）=﹣[ ﹣x（1+x）] =x（1+x）；由，且得：，，，；∴数列 { a n} 是以 3 为周期的周期数列；∴a2015=a671×3+2=a2=2，a2016=a671×3+3 =a3=﹣1；∴f（a2015）+f（a2016）=f（2）+f （﹣ 1）=2（ 1+2）+（﹣ 1）（1+1）=4．故选： D．6．（2015 秋?吉安期末）函数f（x）=，若x＞0时，不等式 f（x）≤恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．[ 4，+∞）B． [ 3，+∞）C．[ 2，+∞）D． [，+∞）【解答】解：当 0≤ x≤4 时，函数 f（ x）在 [ 0，2] 上为增函数，则 [ 2，4] 上为减函数，则当 x=2 时，函数 f（ x）取得最大值f（2）=，当 4≤x≤ 8 时， 0≤x﹣4≤4，即 f（ x）= f （x﹣4）=，此时的最大值为f（6）=，当8≤x≤ 12 时， 4≤x﹣4≤8，即 f（ x）= f （x﹣4）=，此时的最大值为f（10） =，作出函数 f（ x）的图象如图，要使当x＞0 时，不等式 f（x）≤恒成立，则 m＞0，设g（x） = ，则满足，即，即，即m≥ 3，故选： B．7．（2015 秋?杭州校级期末）已知 x＞ 0， y＞ 0，若不等式 a（x+y）≥x+恒成立，则 a 的最小值为（）A．B．C． +2 D． +【解答】解：∵ x＞0，y＞0，∴不等式 a（x+y）≥ x+等价为 a≥=，令，∴ a≥，令 u=，∴ u′=令 u′=0，∴ t=﹣（负值舍去）∴函数在（ 0，）上单调增，在（，+∞）上单调减∴ t=时，函数 u=取得最大值为∴a≥∴实数 a 的最小值为故选： A8．（2016 秋?沙市区校级期末）已知函数f（x）=若函数g（x）=f[ f（ x） ] ﹣ 2 的零点个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵函数 f （x）=，∴ f（x）=．∴ x∈（﹣∞， log ）时，（（））=∈，，令（（）），23f f x[ 0 3]f f x=2解得 x=log2（1+log23）．同理可得： x∈ [ log23，2）时，=2，解得 x=．x∈时，=2，解得 x=．时，=2，解得 x=1+．综上可得：函数g（ x） =f[ f（x）] ﹣2 的 x 零点个数为 4．故选： B．9．（2016 春?重庆校级期末）已知定义在R 上的偶函数 g（ x）满足 g（ x）+g（2﹣ x）=0，函数 f （x） =的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x 的方程 g2（x）=a（ x+1）2有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）【解答】解：∵定义在 R 上的偶函数 g（ x）满足 g（x）+g（ 2﹣ x） =0，∴ g（ x）=﹣g（2﹣x）=﹣g（x﹣2），则g（x+2）=﹣g（x），即 g（x+4）=﹣g（x+2）=﹣（﹣ g（x））=g（x），则函数 g（x）是周期为 4 的周期函数，函数 f （x） =的定义域为[﹣1，1]，若1≤x≤2，则﹣ 2≤﹣ x≤﹣ 1，则 0≤2﹣x≤1，此时 g（x）=﹣g（2﹣x） =﹣，当﹣ 2≤x≤﹣ 1，则 1≤﹣ x≤2，则 g（x）=g（﹣ x）=﹣则由 g2（ x）=a（x+1）2得，当﹣ 2≤x≤﹣ 1 时， 1﹣（ x+2）2=a（x+1）2，若方程 g2（x） =a（x+1）2有 3 个不同的实数根，则当 a≤0 时，不满足条件．则当 a＞0 时，方程等价为 g（x）=±=| x+1| ，则当 x=﹣ 1 时，方程 g（x）=| x+1| 恒成立，此时恒有一解，当直线 y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）相切时，此时方程g（x）=| x+1| 有 6 个交点，不满足条件．当 y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）不相切时，满足方程g（x）=| x+1|有三个交点，此时直线方程为x+y+ =0，满足圆心（﹣ 4，0）到直线x+y+=0，的距离 d=＞1，即＞1，即 3＞，平方得9a＞a+1，得8a＞1，则a＞，故选： A10．（ 2016 秋?荆门期末）已知函数f（x）定义域为 [ 0，+∞），当 x∈ [ 0，1] 时，f（x）=sin πx，当 x∈[ n，n+1] 时， f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线 y=b 有且仅有 2016 个交点，则 b 的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：根据题意， x∈ [ 0，1] 时， f（x） =sin πx，x∈[ n，n+1] 时， f（x） =，其中n∈N，∴f（n）=sinn π=0，f（）=sin=1，f（）===，f（）===，；画出图形如图所示；当 b∈（，1）时，函数f（x）的图象与直线y=b 有 2 个交点；当 b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b 有 4 个交点；当 b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b 有 6 个交点；；当 b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b 有 2016 个交点．故选： D．11．（ 2015 秋?汕头校级期末）已知函数：，，设函数 F（x）=f（x+3） ?g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间 [ a，b] （ a＜ b，a，b∈Z）内，则 b﹣a 的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：∵ f（0）=1＞ 0， f（﹣ 1） =1﹣1﹣ +﹣+＜0，∴函数 f（x）在区间（﹣ 1， 0）内有零点；当 x∈（﹣ 1，0）时， f ′（x）=＞0，∴函数 f（x）在区间（﹣ 1， 0）上单调递增，故函数 f（x）有唯一零点 x∈（﹣ 1， 0）；∵ g（1）=1﹣ 1+﹣+﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+ +﹣＜ 0．当 x∈（ 1，2）时， g′（x） =﹣ 1+x﹣x2+x3﹣+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵ F（x）=f（ x+3）?g（x﹣4），且函数 F（ x）的零点均在区间 [ a，b] （a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此 F（x）=f（x+3） ?g（x﹣3）的零点均在区间 [ ﹣4，6] 内，∴b﹣ a 的最小值为 10．故选： C．12．（ 2015 秋?衡水校级期末）已知函数，其中m＞ 0，且函数 f（ x）=f（ x+4），若方程 3f（x）﹣ x=0 恰有 5 个根，则实数 m 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵当 x∈（﹣ 1， 1] 时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，∵函数 f（x）=f（ x+4），∴函数的周期是4，同时在坐标系中作出当 x∈（ 1，3] 得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，若方程 3f（x）﹣ x=0 恰有 5 个根，则等价为f（x）=恰有5个根，由图易知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（ x﹣ 8）2 + =1 （y≥0）无公共点时，方程恰有 5 个实数解，将 y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥ 0）得，（9m2+1）x2﹣72m2 2 ，令t=9m 2x+135m =0（ t＞0），则（ t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△ =（ 8t）2﹣ 4× 15t （ t+1）＞ 0，得 t＞ 15，由 9m2＞15，且 m＞0 得 m，同样由y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （ y≥ 0）由△＜ 0 可计算得m＜，综上可知 m∈（，），故选： A．二．填空题（共7 小题）13．（ 2017 春?杭州期末）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数 x0∈（ 0，t），使得对任意不为零的实数a，b 均有 f（x0）=a+b 成立，则 t 的取值范围是（1，+∞）．【解答】解： f（x） =a+b 成立等价于（ 2x﹣ 1）b=（ 1﹣ 2x2）a，当 x= 时，左边 =0，右边≠ 0，不成立，当 x≠时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=，设 k=2x﹣ 1，则 x=，则===（﹣k﹣2），∵ x∈（ 0， t ），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），∴ k∈（﹣ 1，2t﹣1），（t ＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵? a，b∈R，∴= （﹣k﹣ 2），在（ * ）上有解，∴（﹣k﹣ 2），在（ * ）上的值域为 R，设 g（k） =（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，解得 t ＞1，故答案为：（ 1， +∞）14．（ 2016 春?沙坪坝区校级期末）若正数x， y 满足=1，则的最小值为2．【解答】解：∵正数 x，y 满足 +=1，∴=1﹣=，∴（y＞1），∴ x﹣ 1=（x＞1）．则+=（ y﹣1）+≥2=2，当且仅当y﹣1=，即y ﹣ 1=时取等号．∴的最小值为 2．故答案为： 215．（ 2016 秋?武昌区校级期末）已知集合 { φ| f（ x）=sin[ （ x﹣ 2φ）π]+ cos[ （x﹣ 2φ）π] 为奇函数，且| log aφ＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为（）|∪（）．【解答】解：∵集合 { φ| f （x）=sin[ （x﹣2φ）π]+ cos[ （x﹣2φ）π] 为奇函数，∴f（0）=sin（﹣ 2φπ） +cos（﹣ 2φπ）=cos2φπ﹣sin2 φπ，=0∴ cos2φπ =sin2 ，φπ即 tan2 φπ =1，∴ 2φπ =k+π，则φ= +，k∈ Z．验证φ= +，k∈Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+ cos[（x﹣2φ）π]=sin[（x﹣ k﹣）π]+ cos[（x﹣k﹣）π] =sin（πx﹣）+cos（）=为奇函数．∴φ= +，k∈ Z．∵集合 { φ| f （x）=sin[ （x﹣2φ）π]+ cos[ （ x﹣ 2φ）π] 为奇函数，且 |log aφ| ＜ 1} 的子集个数为 4，∴满足 | log aφ＜1的φ有2个，即满足﹣1＜logaφ＜1的φ有2个．|分别取 k=0， 1， 2， 3，得到φ=，，，，若 0＜a＜1，可得 a∈（）时，满足﹣ 1＜log aφ＜1 的φ有 2 个；若 a＞1，可得 a∈（）时，满足﹣ 1＜log aφ＜ 1 的φ有 2 个．则 a 的取值范围为（）∪（）．第 20 页（共 38 页）故答案为：（）∪（）．16．（ 2016 秋?清城区期末）已知函数y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，对 ? x∈R 都有 f（x﹣ 3）=f（ x﹣ 1）成立，当， x∈（ 0，1] 且 x1≠x2时，有＜ 0，给出下列命题：（1） f（x）在 [ ﹣2，2] 上有 5 个零点（2）点（ 2016，0）是函数 y=f（x）的一个对称中心（3）直线 x=2016 是函数 y=f（x）图象的一条对称轴（4） f（9.2）＜ f（π）则正确的是（ 1）（2）（ 4）．【解答】解：对于（ 1），∵函数 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，∴f（0）=0，又 f（ x﹣3） =f（x﹣ 1），∴函数 y=f（ x）是以 2 为周期的函数，且 f（ 1﹣ 3） =f（1﹣1），即 f（﹣ 2）=f（ 0） =0，又 f（ 2） =﹣ f（﹣ 2），∴ f（2）=0；同理可得， f（ 1） =f（﹣ 1）=0，又当 x∈（0，1] 且 x1≠x2时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1] 上单调递减，故函数y=f（ x）在区间 [ ﹣1，0）上也单调递减，由函数 y=f（x）是以 2 为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣ 2，﹣1] 、[ 1，2）上单调递减，∴f（x）在区间 [ ﹣2，2] 上有± 1、0、± 2 共 5 个零点，故（ 1）正确；对于（ 2），∵函数 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，∴（ 0，0）为其对称中心，又函数 y=f（ x）的是以 2 为周期的函数，∴点（ 2016，0）是函数 y=f（x）的一个对称中心，故（ 2）正确；对于（ 3），作出函数 y=f（x）的图象如下：（3）直线 x=2016 不是函数 y=f（x）图象的一条对称轴，故（ 3）错误；对于（4），∵函数y=f（ x）的是以 2 为周期的函数且在区间 [ 1，2）上为减函数，∴ f（9.2）=f（ 1.2）＜ f（π﹣ 2） =f（π），故（ 4）正确．综上所述，正确的是：（1）（2）（4），故答案为：（ 1）（2）（ 4）．17．（ 2016 春?扬州期末）已知函数f（ x）=e x，对于实数 m、n、p 有 f （m+n）=f（ m）+f（n），f（ m+n+p） =f（m） +f （n）+f（p），则 p 的最大值等于2ln2﹣ln3 ．【解答】解：由 f（ x）=e x得： f（ m+n）=f（ m）f（ n），∵f（m+n）=f（m） +f（n），∴f（m） f（n）=f（ m）+f（n），设f（ m）f（ n） =f（m）+f（ n）=t，则f（ m）、 f（n）是 x2﹣tx+t=0 的解，∵△ =t2﹣ 4t≥0，∴ t≥4 或 t≤ 0（舍去）．又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），∴ tf（ p） =t+f（p），∴ f（p）==1+（t≥4），显然 t 越大， f（ p）越小，∴当 t=4 时， f（ p）取最大值，又f（p）=e p，∴f（p）取到最大值时， p 也取到最大值，即 p max=ln =2ln2﹣ ln3．故答案为： 2ln2﹣ ln3．18．（ 2016 秋?江岸区校级期末）定义在R 上的单调函数 f（x）满足： f（ x+y）=f （x）+f（ y），若 F（x） =f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（ 0，π）上有零点，则a 的取值范围是[ 2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f （0）=0；再令 y=﹣ x，则 f （x﹣x）=f（x）+f（﹣ x） =0，且f（ x）定义域为 R，关于原点对称．∴ f（x）是奇函数．② F（ x）=f（ asinx） +f（sinx+cos2x﹣3）在（ 0，π）上有零点．∴ f（asinx）+f（ sinx+cos2x﹣3）=0 在（ 0，π）上有解；∴ f（asinx）=﹣f （sinx+cos2x﹣ 3） =f（﹣ sinx﹣cos2x+3）在（ 0，π）上有解；又∵函数 f（ x）是 R 上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣ cos2x+3 在（ 0，π）上有解．∵ x∈（ 0，π），∴sinx≠0；∴ a==sinx+﹣1；令t=sinx，t ∈（0，1] ；则 a=t+ ﹣1；∵ y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥ 2．故答案为： [ 2， +∞）．19．（2016 春 ?盐城期末）已知函数 f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n 满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数 k 的最大值为 7 ．【解答】解：显然 g（x）=（k＞0），在区间（1，+∞）上为减函数，于是 g（n）＞ g（p），若 f（p）=g（n），则对任意 p＞1，有 f（p）＞ g（ p）．当 x＞1 时，＞，∴ k＜，设 t=x﹣1（t＞ 0），则==2（t++2）≥ 8，∴k＜ 8∴k≤ 7．下面证明：当 k=7 时，对 0＜x＜1，有 f （x）＜ g（x）．当0＜x＜ 1 时， f（x）＜ g（x）?﹣ln（1﹣x）＞0．令ψ（x）= ﹣ln（1﹣x）（ 0＜ x＜ 1），则ψ′（x）=﹣+＜0，故ψ（x）在（0，1）上为减函数，于是ψ（x）＞ 0．同时，当 x∈（ 0，+∞）时， g（x） =∈（0，+∞）．当x∈（ 0，1）时， f（x）∈ R；当 x∈（ 1，+∞）时， f（x）∈（ 0，+∞）．结合函数的图象可知，对任意的正数 p，存在实数 m、 n 满足 0＜m＜n＜p，使得 f （ p） =f（m）=g（n）．综上所述，正整数 k 的最大值为7．故答案为： 7．三．解答题（共11 小题）20．（ 2016 秋?惠来县校级期末）已知 f（ x） =log a是奇函数（其中a＞1）（1）求 m 的值；（2）判断 f（x）在（ 2， +∞）上的单调性并证明；（3）当 x∈（ r，a﹣2）时， f（x）的取值范围恰为（ 1， +∞），求 a 与 r 的值．【解答】解：（ 1）由题意： f（x）是奇函数，则 f（﹣ x）+f（x）=0，即 log a+=0∴，解得： m=±1，当 m=﹣1 时， f（x）无意义，所以，故得 m 的值为 1．（ 2）由（ 1）得，设2＜x1＜x2，则 f（ x2）﹣ f （x1）=﹣=∴2＜ x1＜x2，∴ 0＜ 2x1x2+2（x1﹣x2）﹣ 4＜ x1x2﹣（ x1﹣ x2）﹣ 4，∵ a＞ 1，∴ f（ x2）＜ f（x1）所以：函数 f （x）在（ 2，+∞）上的单调减函数．（ 3）由（ 1）得，∴得，函数 f（ x）的定义域为（﹣∞，﹣ 2）∪（ 2，+∞）又∵，得 f（x）∈（﹣∞， 0）∪（ 0，+∞）令 f（ x）=1，则=，解得：．所以： f（） =1当 a＞1 时，＞2，此时 f（ x）在在（ 2，+∞）上的单调减函数．所以：当 x∈（ 2，）时，得 f（ x）∈ 1， +∞）；由题意： r=2，那么 a﹣ 2=，解得： a=5．所以：当 x∈（ r， a﹣ 2），f （x）的取值范围恰为（ 1，+∞）时， a 和 r 的值分别为5 和 2．21．（2016 秋 ?无锡期末）已知向量=（ cos，sin），=（cos，﹣sin），函数 f （x） = ?﹣m|+ |+ 1，x∈[ ﹣，] ，m∈R．（ 1）当 m=0 时，求 f（）的值；（ 2）若 f （x）的最小值为﹣ 1，求实数 m 的值；（ 3）是否存在实数m，使函数 g（x）=f（ x） + m2，x∈[ ﹣，] 有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）? =（cos，sin）?（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin =cos（+）=cos2x，当m=0 时， f （x）= ? +1=cos2x+1，则 f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（ 2）∵ x∈ [ ﹣，] ，∴ | + | ===2cosx，则f（ x）= ? ﹣m| + |+ 1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，令t=cosx，则≤ t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴 t= ，①当＜，即m＜1时，当t= 时，函数取得最小值此时最小值 y= ﹣m=﹣1，得 m= （舍），②当≤ ≤1，即 m＜1 时，当t= 时，函数取得最小值此时最小值 y=﹣ =﹣ 1，得 m= ，③当＞ 1，即 m＞ 2 时，当t=1 时，函数取得最小值此时最小值 y=2﹣ 2m=﹣ 1，得 m= （舍），综上若 f（x）的最小值为﹣ 1，则实数 m=．（3）令 g（x）=2cos2x﹣2mcosx+ m2=0，得 cosx= 或，∴方程 cosx=或在x∈[﹣，] 上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数 m 的取值范围是≤m＜．22．（ 2016 秋?义乌市期末）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若 a=c＞0，f （1）=1，对任意 x∈|[ ﹣ 2， 2] ，f （x）的最大值与最小值之和为 g（a），求 g（a）的表达式；（2）若 a，b，c 为正整数，函数 f（ x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c 的最小值．【解答】解：（1）a=c＞0，f（ 1） =1，则 a+b+a=1， b=1﹣2a，∴ f（x））=ax2+（1﹣2a） x+a=a+，当 1﹣≤﹣2，即0＜a≤时，g（a）=f（﹣2）+f（2）=10a；当﹣ 2＜1﹣≤0，即＜a≤时，g（a）=f（1﹣）+f（2）=a﹣+3，当 a＞时，g（a）=f（1﹣）+f（﹣2）=9a﹣﹣1，综上所述， g（ a） =；（ 2）函数 f（x）在（﹣，）上有两个不同零点x1，x2，则 x1 +x2=﹣＜0，＞x1x2= ＞0∴a＞ 16c，由根的分布可知f（﹣）=a﹣b+c＞0，即 a+16c＞ 4b，∵a， b， c 为正整数，∴ a+16c≥ 4b+1f（0）=c＞ 0，△＞ 0，b，∴ a+16c＞8+1，可得（）2＞1，∵ a＞ 16c，∴＞1，∴，∴ a＞ 25，∴ a≥ 26，∴ b≥，∴ b≥11，c≥ 1．f（x）=26x2+11x+1，经检验符合题意，故a+b+c 的最小值为 38．23．（ 2016 秋?佛山期末）已知函数 f（x）=．（1）求 f （f（））；（2）若 x0满足 f（f（ x0））=x0，且 f（ x0）≠x0，则称 x0为 f（ x）的二阶不动点，求函数 f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵ f（ x） =．∴ f（））=ln=，∴f（f （）） =f（） =2﹣2× =1；（ 2）函数 f（x）=．x∈ [ 0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[ 1， e] ，f （x）=lnx∈（ 0， 1），∴ f（f （x）） =，若x0满足 f （f（ x0）） =x0，且 f（x0）≠ x0，则称 x0为 f（x）的二阶不动点，所以： x0∈ [ 0，），ln（ 2﹣ 2x0） =x0，由 y=ln（2﹣x0）， y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈ [，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足题意．x0∈ [ 1，e] ，2﹣2lnx0=x0，即 2﹣x0=2lnx0，由 y=2﹣ x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数 f （x）的二阶不动点的个数为： 3 个．24．（ 2016 秋?海安县校级期末）已知 a∈R，函数．（1）当 a=0 时，解不等式 f（x）＞ 1；（2）当 a＞0 时，求函数 y=2f（ x）﹣ f（ 2x）的零点个数；（3）设 a＜0，若对于 t ∈R，函数在区间 [ t ，t+1] 上的最大值与最小值之差都不超过 1，求实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）a=0 时， f（x）= ，∵ f（x）＞ 1，即＞1，∴ 0＜2x＜1，解得 x＜0．（2） y=2f（x）﹣ f （2x） =，∴函数 y=2f（x）﹣ f（2x）的定义域为 { x| x≠ log2a，且 x≠log2a} ．令y=0 得 22x+1﹣2x﹣ a=0，令t=2x（t ＞0，且 t≠a，t），方程为2t2﹣t﹣a=0，△ =1+8a＞0，若 a=1，t=1 或﹣，方程无解，即函数y=2f（x）﹣ f （2x）的零点个数为0若 0＜a＜1 或 a＞1，方程有两个不相等的解，即函数y=2f（x）﹣ f（2x）的零点个数为 2；（ 3）函数 f（x）在区间 [ t，t+1] 上单调递减，由题意得 f（ t）﹣ f（t+1）≤ 1，即﹣≤ 1，∴22t+1﹣（ 3a+1）?2t+a2≥0，设x=2t（x＞0），则 2x2﹣（ 3a+1） x+a2≥0，∴△≤ 0 或，∴ a≤﹣．25．（ 2016 秋?西陵区校级期末）已知 a∈R，函数 f（ x） =．（1）若 f （2）=﹣3，求实数 a 的值；（2）若关于 x 的方程 f（ x）﹣ log2[ （a﹣ 4） x+2a﹣ 5] =0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围．（3）设 a＞0，若对任意 t∈ [ ，1] ，函数 f （x）在区间 [ t，t +1] 上的最大值与最小值的差不超过1，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）f（2）=﹣3，∴log2（ +a）=﹣3=log2，∴+a= ，解得 a=﹣（ 2）由 f （x）﹣ log2[ （a﹣4）x+2a﹣5] =0 得 log2（+a）﹣ log2[ （a﹣4）x+2a ﹣5] =0．即log2（ +a）=log2[ （a﹣4） x+2a﹣ 5] ，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①2则（ a﹣4） x +（ a﹣ 5） x﹣ 1=0，当a=4 时，方程②的解为 x=﹣ 1，代入①，成立当a=3 时，方程②的解为 x=﹣ 1，代入①，成立当 a≠4 且 a≠3 时，方程②的解为x=﹣ 1 或 x=，若 x=﹣1 是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即 a＞ 1，若 x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即 a＞ 2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程 f（x）﹣log2[ （a﹣4）x+2a﹣ 5] =0 的解集中恰好有一个元素，则 a 的取值范围是 1＜a≤2，或 a=3 或 a=4．（3）函数 f（x）在区间 [ t，t+1] 上单调递减，由题意得 f（ t）﹣ f（t+1）≤ 1，即 log2（+a）﹣ log2（+a）≤ 1，即+a≤2（+a），即 a≥﹣=设 1﹣t=r，则 0≤r≤，==，当 r=0 时，=0，当 0＜r≤时，=，∵y=r+ 在（ 0，）上递减，∴r+ ≥ +4= ，∴=≤=，∴实数 a 的取值范围是a≥26．（ 2016 秋?徐汇区期末）设 a∈R，函数 f（ x） =x| x﹣a|+ 2x．（1）若 a=3，求函数 f（x）在区间 [ 0，4] 上的最大值；（2）若存在 a∈（ 2，4] ，使得关于 x 的方程 f（x）=t?f（a）有三个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围．【解答】解：（1）当 a=3，x∈ [ 0，4] 时，f（x）=x| x﹣ 3|+ 2x=，可知函数 f（ x）在区间 [ 0，] 递增，在（，3]上是减函数，在[ 3，4]递增，则 f（）=，f（4）=12，所以 f （x）在区间 [ 0，4] 上的最大值为 f（ 4） =12．（ 2） f（x）=，①当 x≥a 时，因为 a＞ 2，所以＜a．所以 f （x）在 [ a， +∞）上单调递增．②当 x＜a 时，因为 a＞ 2，所以＜a．所以 f （x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a]上单调递减．当 2＜a≤4 时，知 f （x）在（﹣∞，] 和 [ a，+∞）上分别是增函数，在 [，a]上是减函数，当且仅当 2a＜t?f （a）＜时，方程 f （x） =t?f（a）有三个不相等的实数解．即1＜t＜= （ a+ +4）．令g（a） =a+ ，g（a）在 a∈（ 2，4] 时是增函数，故 g（a）max=5．∴实数 t 的取值范围是（ 1，）．27．（ 2016 春?信阳期末）如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点 P，作扇形的内接矩形P NMQ，使点 Q 在 OA 上，点 N，M 在 OB 上，设矩形PNMQ 的面积为 y，∠ POB=θ．（Ⅰ）将 y 表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形 PNMQ 的面积取得最大值时?的值；（Ⅲ）求矩形 PNMQ 的面积 y≥的概率．【解答】解：（Ⅰ）在 Rt△ PON中，∠ PNO=90°，∠ POB=θ，，所以，，在Rt△QMO 中，∠ QMO=90°，∠ QON=60°， QM=PN=所以 OM=所以： MN=ON﹣OM=所以 y=即： y=3sin θcos﹣θ sin2θ，（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得 y=3sinθcos﹣θsin2θ=﹣=）﹣=∵θ∈（ 0，）∴∴ sin（）∈∴，即时， y 的最大值为．此时 ON=cos ==，则 ? =|| ?| | cos = ×=．（Ⅲ）若矩形 PNMQ 的面积 y≥，则≥，即sin（）≥，则 sin（）≥，∵∴≤≤，即≤θ≤，则对应的概率 P==28．（ 2016 春?苏州期末）已知函数f（x）=x| x﹣a| ， a∈ R， g（ x） =x2﹣1．（1）当 a=1 时，解不等式 f（x）≥ g（ x）；（2）记函数 f（ x）在区间 [ 0，2] 上的最大值为 F（a），求 F（ a）的表达式．【解答】解： f（x）≥ g（x）， a=1 时，即解不等式x| x﹣1| ≥x2﹣1，（ 1 分）当 x≥1时，不等式为 x2﹣x≥x2﹣1，解得 x≤1，所以 x=1；（ 3 分）当 x＜1时，不等式为 x﹣x2≥x2﹣1，解得，所以；（ 5 分）综上， x∈．（6 分）（ 2）因为 x∈[ 0，2] ，当 a≤0 时， f（ x）=x2﹣ax，则 f（x）在区间 [ 0， 2] 上是增函数，所以 F（a）=f（ 2）=4﹣2a；（7 分）当 0＜a＜2 时，，则 f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[ a，2] 上是增函数，所以 F（a）=max{ f（），f（2）}，（9分）而，f（ 2） =4﹣2a，令即，解得，所以当时， F（ a） =4﹣2a；（11 分）令即，解得或，所以当时，；（12分）当a≥2 时， f （x）=﹣x2+ax，当即 2≤a＜ 4 时， f （x）在间上是增函数，在上是减函数，则；（13 分）当，即 a≥ 4 时，f（ x）在间 [ 0，2] 上是增函数，则 F（a）=f（2）=2a﹣4；（14 分）所以，，（16 分）29．（2015 秋 ?黄浦区校级期末）已知函数 g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞ 0，a≠1）奇函数而非偶函数．（1）写出 f（x）在（ a， +∞）上的单调性（不必证明）；（ 2）当 x∈（ r，a﹣3）时， f（x）的取值范围恰为（ 1， +∞），求 a 与 r 的值；（ 3）设 h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）函数 g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数，可得 f （﹣ x）=﹣f （x），即 log a=﹣log a，可得?=1，即p2﹣x2=4﹣x2，即p2=4，解得 p=2（﹣ 2 舍去），即有 f （x） =log a，当a＞1 时， f （x）在（ 2， +∞），（﹣∞，﹣ 2）递减；当0＜a＜1 时， f（x）在（ 2， +∞），（﹣∞，﹣ 2）递增．（ 2）由（ 1）得 f（ x）=log a，函数 f （x）的定义域为（﹣∞，﹣ 2）∪（ 2， +∞）又≠ 1，得 f （x）∈（﹣∞， 0）∪（ 0，+∞），令 f（ x）=1，则 log a=1，解得 x=．所以： f（） =1，当 a＞1 时，＞2，此时 f（ x）在（ 2，+∞）上的单调减函数．所以：当 x∈（ 2，）时，得 f（ x）∈ 1， +∞）；由题意： r=2，那么 a﹣ 3=，解得： a=3+2 ．所以：当 x∈（ r， a﹣ 3），f （x）的取值范围恰为（ 1，+∞）时， a 和 r 的值分别为 3+2和2；（ 3）假设 h（ x）=﹣m（x+2）﹣2即h（x）=﹣m（x+2）﹣2，存在实数m使得函数y=h（x）有零点．由题意可知，方程=m（x+2）+2 在{ x| x≥﹣ 2 且 x≠ 2} 中有实数解，令=t，则 t≥ 0 且 t ≠2，问题转化为关于 t 的方程 mt 2﹣t+2=0①，有非负且不等于 2 的实数根．若 t=0，则①为 2=0，显然不成立，故 t≠ 0，方程①可变形为 m=﹣2（）2+ ，问题进一步转化为求关于t 的函数（ t ≥0 且 t ≠2）的值域，因为 t ≥0 且 t≠2，所以＞0且≠，所以 m=﹣2（）2+∈（﹣∞，0）∪（0，] ，所以实数 m 的取值范围是（﹣∞， 0）∪（ 0，] ．30．（ 2015 秋?无锡校级期末）已知函数f （x）=1+log2x， g（ x） =2x．（1）若 F（x）=f（g（x））?g（f （x）），求函数 F（x）在 x∈[ 1， 4] 的值域；（2）令 G（x）=f（ 8x2） f（）﹣ kf（x），已知函数 G（x）在区间 [ 1， 4] 有零点，求实数 k 的取值范围；（ 3）若 H（ x）=，求H（）+H（）+H（）+ +H（）的值．【解答】解：（1）若 F（x）=f（ g（x））?g（ f（x））=（1+log22x） ?=（1+x）?2×=2x（ 1+x） =2x2+2x=2（ x+）2﹣当 x∈[ 1，4] 上函数 F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为 [ 4，40] ．（ 2）令 G（x）=f（ 8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log22）（1+log2）﹣ k（1+log2）8x x 2））（1+log）﹣（ 2 ）2=（1+og28+log2x x k1+log x=（4+2log2x））（ 1+log2x）﹣ k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（ 4﹣ k） log2x+4﹣ k，设 t=log2x，当 x∈[ 1，4] ，则 t ∈[ 0， 2] ，则函数等价为 y=h（ t） =t2+（4﹣k）t+4﹣k则等价为 y=h（t ）=t2+（4﹣k）t+4﹣k 在 t ∈ [ 0，2] 上有零点，即h（t） =t2+（4﹣k）t+4﹣k=0 在 t ∈ [ 0，2] 上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t ）=0 在 t ∈[ 0，2] 上有解，即 k===t+1++2，设m=t+1，则m∈[ 1，3] ，则 k=m+ +2，则 k=m+ +2 在 m∈[ 1，3] 上递增，则当 m=1 时， k=1+1+2=4，当 m=3 时， k=3+ +2=，∴ 4≤ m+ +2≤，即 4≤k≤，即实数 k 的取值范围是 4≤ k≤；（ 3）若 H（x）=，则 H（x）==，则 H（x）+H（ 1﹣ x） =+=+=+=1，设 H（）+H（）+H（）+ +H（）=S，H（）+H（）+ H（）+H（）=S，两式相加得 2015[ H（）+H（）] =2S，即2S=2015，则 S=．。

2018高一数学三角函数难题练习一．选择题（共19小题）1．若log a x1=log（a+1）x2=log（a+2）x3＞0，则x1，x2，x3之间的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x12．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π3．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．55．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜），若f（x）＜1，对x∈（﹣，﹣）恒成立，则f（）的最小值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣+16．已知△ABC，若对任意k∈R，有||≥，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能7．已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能8．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．49．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．f（x）10．已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k（k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124C．232﹣94 D．232﹣12411．已知数列{a n}满足：a1=，a n+2﹣a n≤3n，a n+6﹣a n≥91•3n，则a2015=（）A．+B．C．+D．12．正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（）A．20112B．20122C．2011+2012 D．2011×201213．对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．2214．有限数列A={a1，a2，…，a n}的前k项和为S k（k=1，2，…，n），定义为A的“凯森和”，如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}，此数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为（）A．1001 B．999 C．991 D．99015．若关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，2）B．（﹣，）C．（﹣2，）D．（﹣2，2）16．在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，]B．[，] C．[，）D．[，）17．已知△ABC中，BC=1，AB=，AC=，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A．2 B．C．D．18．设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则△ABC的形状为（）A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形19．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）二．解答题（共11小题）20．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+，记b n=（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记c n=nb n，S n=c1+c2+…+c n，对任意正整数n，不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0恒成立，求最小正整数m．21．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．23．设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．24．已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n＜x n；+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．25．已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）26．已知数列{a n}和{b n}满足（n∈N*）．若{a n}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=，记数列{c n}的前n项和为S n．①求S n；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有S k≥S n．27．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．28．已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n （a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．29．已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．30．数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016春•宁夏校级月考）若log a x1=log（a+1）x2=log（a+2）x3＞0，则x1，x2，x3之间的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x1【解答】解：①当a＞1时，如图所示，分别作出函数y1=log a x，y2=log（a+1）x，y3=log（a+2）x，并且作出直线y=1，可得x1＜x2＜x3．②当0＜a＜1时，可得0＜x1＜1＜x2＜x3．综上可得：x1＜x2＜x3．故选：C．2．（2017•泉州模拟）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π【解答】解：由f（）=f（）得函数关于x==对称，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故选：D．3．（2017•许昌三模）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f （x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．【解答】解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（ωx﹣）；又f（x）的图象向左平移π个单位之后为g（x）=2sin[ω（x+π）﹣]=2sin（ωx+ωπ﹣），由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；又﹣≤=，∴ω≤，∴ω=2；∴f（x）=2sin（2x﹣），其图象的对称轴为x=+，k∈Z；当x1，x2∈（﹣，﹣），其对称轴为x=﹣3×+=﹣，∴x1+x2=2×（﹣）=﹣，∴f（x1+x2）=f（﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1．应选：B．4．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B5．（2016•郴州四模）已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜），若f（x）＜1，对x∈（﹣，﹣）恒成立，则f（）的最小值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣+1【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）+1＜1，∴sin（2x+φ）＜0，∴﹣π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；又x∈（﹣，﹣），∴﹣＜2x＜﹣，∴﹣+φ＜2x+φ＜﹣+φ；又∵|φ|＜，∴，∴﹣≤φ≤，∴≤2×+φ≤，∴≤sin（2×+φ）≤1，∴2≤2sin（2×+φ）+1≤3，∴f（）的最小值是2．故选：B．6．（2011•滨江区校级模拟）已知△ABC，若对任意k∈R，有||≥，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【解答】解：当k为任意实数时，那么k的方向有可能向左，也可能向右．长度也是不确定的，图中BC′的长度就是||，可以看出，当BC′垂直CB时，||有最小值，要使不等式成立，则|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角，故选A．7．（2011•杭州校级模拟）已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A8．（2016•新乡模拟）已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．4【解答】解：依题意，设CA=b，则BC=b，又AB=4，由余弦定理得：cosA===﹣，∴cos2A=（﹣）2=+﹣1，∴sin2A=1﹣cos2A=2﹣﹣．=AB•ACsinA=×4bsinA=2bsinA，∵S△ABC=4b2sin2A=4b2（2﹣﹣）=48﹣（b2﹣16）2，∴S2△ABC当b2=16，即b=4时，4、4、4能组成三角形，∴S2max=48，∴S max=4．故选：D．9．（2017春•陆川县校级期中）设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．f（x）【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C10．（2016春•衡水校级月考）已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k （k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124C．232﹣94 D．232﹣124=a2k+2k=a2k﹣1+（﹣1）k+2k，【解答】解：a2k+1﹣a2k﹣1=2k+（﹣1）k，所以a2k+1﹣a2k﹣3=2k﹣1+（﹣1）k﹣1，同理a2k﹣1…a3﹣a1=2+（﹣1），所以（a2k﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+…+（a3﹣a1）+1=（2k+2k﹣1+…+2）+[（﹣1）k+（﹣1）k﹣1+…+（﹣1）]，﹣a1=2（2k﹣1）+[（﹣1）k﹣1]，由此得a2k+1=2k+1+（﹣1）k﹣，于是a2k+1a2k=a2k﹣1+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣1﹣+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣，{a n}的通项公式为：当n为奇数时，a n=2+（﹣1）﹣；当n为偶数时，a n=2+（﹣1）﹣；则S60=（a1+a3+a5+…+a59）+（a2+a4+a6+..+a60）=[（2+22+23+…+230）+（﹣++…﹣）﹣×30]+[（2+22+23+…+230）+（﹣+﹣+…+）﹣×30]=2×+0﹣90=232﹣94．故选：C．11．（2015秋•石家庄校级期末）已知数列{a n}满足：a1=，a n+2﹣a n≤3n，a n+6﹣a n≥91•3n，则a2015=（）A．+B．C．+D．﹣a n≤3n，∴，a n+6﹣a n+4≤3n+4，【解答】解：∵a n+2﹣a n≤91•3n，∴a n+6﹣a n≥91•3n，又a n+6∴a n﹣a n=91•3n，+6﹣a n=3n，∴a n+4﹣a n+2=3n+2，a n+6﹣a n+4=3n+4，由题意可得a n+2﹣a n=3n，∵a n+2∴a2n﹣a1=31+33+35+…+32n﹣1，+1=+33+35+…+32n﹣1，∴a2n+1a2015=+31+33+35+…+32013=+=，故选：B．12．（2012•岳麓区校级模拟）正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（）A．20112B．20122C．2011+2012 D．2011×2012【解答】解：这些数字排成的是一个正方形上起2011，左起2012列的数是一个2012乘以2012的正方形的倒数第二行的最后一个数字所以这个数是2012×（2012﹣1）=2011×2012．故选D．13．（2012•浙江模拟）对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i 项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．22【解答】解：根据题意可知，将数字1，2，3，4，5，6，7的排列为7，6，5，4，3，2，1时，，所对应数列的“平均和”最大此时====20故答案为：2014．（2011•下陆区校级模拟）有限数列A={a1，a2，…，a n}的前k项和为S k（k=1，2，…，n），定义为A的“凯森和”，如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}，此数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为（）A．1001 B．999 C．991 D．990【解答】解：A={a1，a2，…，a n}的凯森和由T n来表示，由题意知，，所以S1+S2+…+S99=1000×99，数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为：=，故选C．15．（2011•临海市校级模拟）若关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，2）B．（﹣，）C．（﹣2，）D．（﹣2，2）【解答】解：原不等式变形为：|x﹣a|＜2﹣x2且0＜2﹣x2在同一坐标系画出y=2﹣x2（Y＞0，X＞0）和y=|x|两个图象将绝对值函数y=|x|向左移动当右支经过（0，2）点，a=﹣2将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线相切（1/2，7/4）点，a=故实数a的取值范围是（﹣2，）故选C16．（2016秋•武侯区校级期中）在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，]B．[，] C．[，）D．[，）【解答】解：如图所示，锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，根据余弦定理，BD2=c2+1﹣2c•cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b•cos=b2﹣b+1；根据角平分线定理，=，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，则S=bcsin=；△ABC当b≠c时，bc=b+c≥2，当且仅当b=c时“=”成立，取得最小值为；所以bc≥，即b=c=时S△ABC又当AB⊥BC时，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=为最大值，△ABC面积的取值范围是[，]．故选：D．17．（2016秋•南岸区校级月考）已知△ABC中，BC=1，AB=，AC=，点P 是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A．2 B．C．D．【解答】解：如图所示，•=||•||cos∠PBC=||cos∠PBC．设OP为⊙O的半径，则当OP∥BC且同向时，向量在方向上的投影最大，则•取得最大值．由余弦定理可得：cosA==，∴sinA=．∴2R==3．∴||cos∠PBC=|BD|=|BC|+R=2．∴•取得最大值为2．故选：A18．（2012•重庆模拟）设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则△ABC的形状为（）A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵≤sin（C+）≤1，∴a2+b2=abcosC+absinC=2ab（cosC+sinC）=2absin（C+）≤2ab，当且仅当C+=，即C=时取等号，又a2+b2≥2ab，且当且仅当a=b时取等号，则a=b且C=，即△ABC为等边三角形．故选D19．（2010•云南模拟）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）【解答】解：由正弦定理可知，求得x=2sinAA+C=180°﹣45°=135°有两解，即A有两个值这两个值互补若A≤45°则由正弦定理得A只有一解，舍去．∴45°＜A＜135°又若A=90°，这样补角也是90度，一解，A不为90°所以＜sinA＜1∵x=2sinA∴2＜x＜2故选C二．解答题（共11小题）20．（2017•吉州区校级一模）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+，记b n=（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记c n=nb n，S n=c1+c2+…+c n，对任意正整数n，不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0恒成立，求最小正整数m．【解答】（1）证明：∵b n=，a n+1=1+，===﹣=﹣．∴b n+1∴数列{b n}是等比数列，公比为﹣，且首项为﹣．∴b n=．（2）由b n==，得a n=．（3）c n=nb n=n，∴S n=﹣+2×+3×+…+n，=+…++n，两式相减得S n=﹣﹣n，∴不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0，即＞0，解得m，因此m≥11．因此最小的正整数m=11．21．（2017•浙江模拟）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．【解答】解：（1）a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣），可得a n+12+a n2﹣2a n+1a n﹣2a n+1+2a n+1=0，即有（a n+1﹣a n）2﹣2（a n+1﹣a n）+1=0，即为（a n+1﹣a n﹣1）2=0，可得a n+1﹣a n=1，则a n=a1+n﹣1=n，n∈N*；（2）证明：由=＜=﹣，n≥2．则++…+=1+++…+＜1++﹣+﹣+…+﹣=﹣＜，故原不等式成立；（3）证明：S n=++…+=1++…+，当n=2时，S22=（1+）2=＞2•=成立；假设n=k≥2，都有S k2＞2（++…+）．则n=k+1时，S k+12=（S k+）2，S k+12﹣2（++…++）=（S k+）2﹣2（++…+）﹣2•=S k2﹣2（++…+）++2•﹣2•=S k2﹣2（++…+）+，由k＞1可得＞0，且S k2＞2（++…+）．可得S k2﹣2（++…+）＞0，2＞2（++…++）恒成立．则S k+1综上可得，对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．（2017•宁波模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．【解答】证明：（1）用数学归纳法证明：①当n=1时，=，成立；②假设当n=k时，有成立，则当n=k+1时，≤≤1，≥=，∴当n=k+1时，，命题也成立．由①②得≤a n≤1．（2）当n=1时，|a2﹣a1|=，当n≥2时，∵（）（）=（）=1+=，﹣a n|=||=≤|a n﹣a n﹣1|＜…＜（）∴|a n+1n﹣1|a2﹣a1|=，∴|a2n﹣a2n﹣1|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|a n+1﹣a n|≤==（）n﹣1﹣（）2n﹣1≤，综上：|a2n﹣a n|≤．23．（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．24．（2017•浙江）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，＜x n；（Ⅰ）0＜x n+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，那么n=k+1时，若x k+1故x n＞0，+1因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，＜x n（n∈N*），因此0＜x n+1（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤，综上所述≤x n≤．25．（2017•淮安四模）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）【解答】解：（1）∵a1+b2=a2+b3=a3+b1，∴a1+b1q==a1+2d+b1，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠±1．解得q=﹣．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，∴（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r﹣m﹣1）．∵m，p，r成等差数列，∴p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，则2t2﹣t﹣1=0，∵q≠±1，t≠±1，解得t=．即q p﹣m=，∴﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3．∴|q|=≥，即q，当α=3时，q取得最大值为﹣．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．例如E=（1，3，4），a n=．26．（2017•淄博模拟）已知数列{a n}和{b n}满足（n∈N*）．若{a n}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=，记数列{c n}的前n项和为S n．①求S n；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有S k≥S n．【解答】解：（Ⅰ）由题意（n∈N*）．b3=b2+6．知，又由a1=4，得公比q=4（q=﹣4，舍去），所以数列{a n}的通项为…（3分）所以．故数列{b n}的通项为…（5分）（Ⅱ）①由（Ⅰ）知…（7分）所以…（9分）②因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，而得所以，当n≥5时，c n＜0；综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4…（12分）27．（2017•天津一模）已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．+1由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．28．（2017•普陀区一模）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2﹣1=4a n（a n+1），【解答】（1）证明：∵对任意的n∈N*，均有a n+12=，又数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），∴a n+1∴{1+a n}是等比数列，公比为2，首项为2，∴1+a n=2n，即a n=2n﹣1．（2）解：b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．∵n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．∴c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）=﹣+7=11449﹣256+9=11202．（3）解：d n===，∴数列{d n}的前n项和为T n=+…+==．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，即2m2﹣4m﹣1＜0，解得1﹣＜m＜1+．∵m是正整数且m＞1，∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、T m、T n成等比数列．29．（2017•宁波模拟）已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．﹣a n=﹣=【解答】证明：（I）n≥2时，作差：a n+1，﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，∴a n+1由a1=4，可得a2==，可得a2﹣a1＜0，∴n∈N*时，a n＞a n+1．（II）∵2=6+a n，∴=a n﹣2，即2（a n+1﹣2）（a n+1+2）=a n﹣2，①∴a n﹣2与a n﹣2同号，+1又∵a1﹣2=2＞0，∴a n＞2．∴S n=a1+a2+…+a n≥4+2（n﹣1）=2n+2．∴S n﹣2n≥2．由①可得：=，因此a n﹣2≤（a1﹣2），即a n≤2+2×．∴S n=a1+a2+…+a n≤2n+2×＜2n+．综上可得：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．30．（2017•温州模拟）数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0⇔﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，⇔＞a2，⇔0＜a2＜2⇔﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，∀n∈N*，1＜a n＜2成立．（1）当n=1时，1＜a1＜2成立．（2）假设当n=k∈N*时，1＜a n＜2成立．则当n=k+1时，a k=a k+﹣1∈⊊（1，2），+1即n=k+1时，不等式成立．综上（1）（2）可得：∀n∈N*，1＜a n＜2成立．于是a n﹣a n=﹣1＞0，即a n+1＞a n，+1∴{a n}是递增数列，a1的取值范围是（1，2）．（II）证明：∵a1＞2，可用数学归纳法证明：a n＞2对∀n∈N*都成立．﹣a n=﹣1＜2，即数列{a n}是递减数列．于是：a n+1在S n≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由a n=a1+（a n﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是S n=a1+a2+…+a n≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设a n=b n+2，可得≤1．由a n=a n+﹣1（n∈N*），可得：b n+1=b n+﹣1，可得=≤≤+1．于是数列{b n}的前n和T n≤＜3b1≤3．故S n=2n+T n＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：S n＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：S n＜na1﹣．这与S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴时不合题意．综上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故数列{b n}的前n项和T n≤＜b1＜1，∴S n=2n+T n＜2n+1．。

2018年高考数学——三角函数解答1.(18北京理（15）（本小题13分）)在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．2.（18江苏16．（本小题满分14分））已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（18全国一理17．（12分））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4.（18天津理（15）（本小题满分13分））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；学科*网（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.5.（18浙江18．（本题满分14分））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．6.（18北京文（16）（本小题13分））已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=． 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A =43，∴sin A =3． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =31143()72⨯-+⨯=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．2.解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．3.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=.（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.4.（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A ．因此sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=5.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.6.【解析】（Ⅰ）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62f x x =-+. 因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3.。

（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。

解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。

解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。

2018届高考数学大题狂练第二篇三角函数与三角形 专题02 解三角形与三角函数的结合1．已知函数()2sin 22cos 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1c f C ==-，若2s i n A sin B =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2试题解析：(1) ()sin2coscos2sin66f x x x ππ=- 1cos22sin 216x x π⎛⎫++-=+- ⎪⎝⎭由 222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得(),36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)由()21f C =-，得1262sin C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 0C π<<132666C πππ∴<+<， 52,66C ππ+=3C π=. 又2sinB sinA =,由正弦定理得2b a =①; 由余弦定理得22223c a b abcos π=+-，即223a b ab +-=，②∴由①②解得1,2a b ==.1sin 2ABC S ab C ∆∴==. 2．在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin cos cos a B b C c B -=.（1）判断ABC 的形状; （2）若()121cos2cos 232f x x x =-+,求()f A 的取值范围. 【答案】（I ）见解析. ()II 11,93⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.试题解析：（1）因为sin cos cos a B b C c B -=, 则sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=,所以()sin sin sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=, 所以sin 1B =,因为B ∠为ABC ∆内角,所以2B π∠=,则ABC ∆为直角三角形.()()2212122322=cos 311=(cosA-)392f A cos A cosA A cosA=-+--因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()cos 0,1A ∈, 则当1cos 3A =时, ()f A 取得最小值19-;当cos 1A =时, ()f A 取得最大值13,但cos 1A <, 所以()f A 的取值范围为11,93⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.3．已知函数()()()21cos cos 2f x x x x ππ=+-+-， x R ∈ . （1）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()1,3f A a =-=， sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）最小正周期,π对称轴方程为(),23k x k Z ππ=+∈ （2故其最小正周期,令，解得， 即函数图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.由正弦定理及，得.故.4．已知函数()3cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 3x π++. （1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若c =， ()32f C =，且s i n 2s i n B A =，求a ， b 的值.【答案】(1) T π,=对称中心π1k Z 2122k π⎛⎫+∈⎪⎝⎭，， (2) a 1b 2==， 【解析】试题分析：（1）化简函数得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最小正周期πT =，由π2π6x k k Z -=∈，可得对称中心；（2）由()32f C =，得π3C =， sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，进而由余弦定理求解即可. 试题解析：（1）()()223ππcos sin 3πcos sin 22f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11π1cos2sin 22262x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以最小正周期πT =；由π2π6x k k Z -=∈，， 得对称轴中心为ππ1.2122k k Z ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，，5．已知函数的图像经过点．（）求．（）在中，、、的对边为、、，，，角为锐角且，求边长．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再代入点坐标求，即得（2）先根据条件求出C ，再根据三角形面积公式求，最后根据余弦定理求c.试题解析：解：（）∵，∵图象经过点，∴，即，即，∵，∴，∴．（）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．6．如图,在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=2，AD=(1)求的值;(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2,求的最大值,【答案】（1）；(2).试题解析：（1）在∆ABD中：在∆BCD中：所以，整理得：；由题意所以：，，解之得：所以当时，.。

高一数学必修1三角函数练习题及答案详解考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高一数学必修1三角函数练习题，希望对大家有所帮助!高一数学必修1三角函数练习题及答案1.下列命题中正确的是( )A.终边在x轴负半轴上的角是零角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k•360°(k∈Z)，则α与β终边相同解析易知A、B、C均错，D正确.答案 D2.若α为第一象限角，则k•180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第一、二象限C.第一、三象限D.第一、四象限解析取特殊值验证.当k=0时，知终边在第一象限;当k=1，α=30°时，知终边在第三象限.答案 C3.下列各角中，与角330°的终边相同的是( )A.150°B.-390°C.510°D.-150°解析330°=360°-30°，而-390°=-360°-30°，∴330°与-390°终边相同.答案 B4.若α是第四象限角，则180°-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析方法一由270°+k•360°<α<360°+k•360°，k∈Z得：-90°-k•360°>180°-α>-180°-k•360°，终边在(-180°，-90°)之间，即180°-α角的终边在第三象限，故选C.方法二数形结合，先画出α角的终边，由对称得-α角的终边，再把-α角的终边关于原点对称得180°-α角的终边，如图知180°-α角的终边在第三象限，故选C.答案 C5.把-1125°化成k•360°+α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )A.-3×360°+45°B.-3×360°-315°C.-9×180°-45°D.-4×360°+315°解析-1125°=-4×360°+315°.答案 D6.设集合A={x|x=k•180°+(-1)k•90°，k∈Z}，B={x|x=k•360°+90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是( )A.A?BB.A?BC.A=BD.A∩B=∅解析集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y轴非负半轴上的角.∴A=B.答案 C7.如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC的度数为________.解析解法一根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC=-75°.解法二由角的定义知，∠AOB=45°，∠BOC=-120°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°-120°=-75°.答案-75°8.在(-720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________.解析与100°终边相同的角的集合为{α|α=k•360°+100°，k∈Z}令k=-2，-1,0,1，得α=-620°，-260°，100°，460°.答案{-620°，-260°，100°，460°}9.若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.解析∵2小时40分=223小时，∴-360°×223=-960°.答案-960°10.若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________.解析2α=k•360°+20°，所以α=k•180°+10°，k∈Z.答案{α|k•180°+10°，k∈Z}11.角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.解由题意得5α=k•360°+α(k∈Z)，∴α=k•90°(k∈Z).∵180°<α<360°，∴180°<k•90°<360°.∴2<k<4，又k∈Z，∴k=3.∴α=3×90°=270°.12.如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围.解∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β=30°+k•180°，k∈Z}.与180°-65°=115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β=115°+k•180°，k∈Z}.因此，图中阴影部分的角α的范围为：{α|30°+k•180°≤α<115°+k•180°，k∈Z}.13.在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角?(2)写出区间(-180°，180°)内的角?(3)写出第二象限的角的一般表示法.解(1)在α=k•90°+45°中，令k=0,1,2,3知，α=45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种.(2)由-180°<k•90°+45°<180°，得-52<k<32.又k∈Z，故k=-2，-1,0,1.∴在区间(-180°，180°)内的角有-135°，-45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k•360°+135°，k∈Z.高一数学必修1三角函数练习题及答案详解考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

2018年高考数学分类汇编三角函数1、（2018年高考全国卷1理科）16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f （x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．2、（2018年高考全国卷1理科）17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．3、（2018年高考全国卷1文科）8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．4、（2018年高考全国卷1文科）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．5、（2018年高考全国卷1文科）16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于sinBsinC≠0，所以sinA=，则A=由于b2+c2﹣a2=8，则：，①当A=时，，解得：bc=，所以：．②当A=时，，解得：bc=﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．6、（2018年高考全国卷2理科）6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．7、（2018年高考全国卷2理科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．8、（2018年高考全国卷2理科）15．（5分）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．9、（2018年高考全国卷2文科）7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．10、（2018年高考全国卷2文科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C11、（2018年高考全国卷2文科）15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴tan（α）=，则tanα=tan（α+）=====，故答案为：．12、（2018年高考全国卷3理科）4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．13、（2018年高考全国卷3理科）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．14、（2018年高考全国卷3理科）15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为3．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：315、（2018年高考全国卷3文科）4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．16、（2018年高考全国卷3文科）6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．17、（2018年高考全国卷3文科）11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S==，△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．18、（2018年高考北京卷理科）15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．19、（2018年高考北京卷理科）7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．20、（2018年高考北京卷理科）11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．21、（2018年高考北京卷文科）7．（5分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP 为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．22、（2018年高考北京卷文科）14．（5分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）=acsinB，，可得：tanB=，所以B=，∠C为钝角，A∈（0，），cotA∈（，+∞）．===cosB+cotAsinB=cotA∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．23、（2018年高考北京卷文科）16．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．24、（2018年高考天津卷理科）6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．25、（2018年高考天津卷理科）15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．26、（2018年高考天津卷文科）6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．27、（2018年高考天津卷文科）16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．24、（2018年高考浙江卷）18．（14分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。

专题二 三角函数与解三角形2018年高考数学备考关键问题对策及新题好题训练含答案【高考考场实情】三角函数是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一．三角函数在高考考查中一般有两种情形：其一，三道选择、填空题，共15分；其二，一道选择、填空题和一道解答题，共2道题，分值为17分．高考对这一部分的考查难度相对稳定，只考选择、填空题时, 常有一道稍难题；解答题必在第17题位置，难度适中． 【考查重点难点】高考对三角函数的考查重点是基本概念、基本公式的理解和应用以及运算求解能力，侧重考查任意角三角函数概念和正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，突出考查形如sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，考查两角和与差的三角函数公式及简单的三角恒等变换，重点考查正弦定理和余弦定理及其应用．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策． 【存在问题分析】 （一）概念理解不透彻【指点迷津】本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等。

【例1】（2016年课标卷Ⅱ理7）若将函数2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ．ππ()26k x k =-∈Z B ．ππ()26k x k =+∈Z C ．ππ()212k x k =-∈Z D ．ππ()212k x k =+∈Z【名师点睛】本题有两个考查重点，即三角函数的复合变换和三角函数的性质．三角函数的复合变换和三角函数的几何性质（对称轴方程，对称点坐标等）是考生的易错点，比如，考生比较容易将平移以后的解析式写为π2sin(2)12y x =+，或者将对称轴方程写为π2π()2x k k =+∈Z 等．在解决问题时，只有深刻地理解三角函数图象的平移变换和三角函数图象的性质，提高应用所学三角函数知识进行运算的能力，才能正确地判断三角函数图象经平移以后的图象的对称轴方程． （二）整体意识较薄弱【指点迷津】在三角函数专题中，常常出现三角求值问题．在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；②对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等． 【例2】（2016年课标卷Ⅱ理9）若π3cos()45α-=，则sin 2α= A ．725 B ．15 C ．15- D ．725-【名师点睛】面对这样的给值求值问题，学生整体的意识不强，没有发现已知式的角π4α-与待求式的角2α的联系；利用两角差的公式，将πcos()4α-展开得到sin cos αα+导致问题复杂化．其实“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径． （三）恒等变形欠灵活【指点迷津】化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想．在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误。