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中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 3.2.1双曲线的标准方程教学目标知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养。
重点求双曲线的标准方程难点双曲线标准方程的推导与化简教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容情境导入广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？探究新知可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？我们可以通过一个实验来完成。
(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1出，短的一条的端点固定在点F2处；(2)将笔尖放在拉链锁扣M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；创设情景设置问题，帮助学生形成双曲线形状的直观感受。
通过实验展示画双曲线的过程，为建立双曲线的标准方程创造条件。
教学内容(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处.类似地，笔尖可面出另一条曲线。
(图中左边的曲线)拉链是不可伸缩的，笔尖(即点M)在移动过程中，与两个点F1、F2的距离之差的绝对值始终保特不变。
一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹称为双曲线。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距。
以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示。
设M(x,y)为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
双曲线的标准方程双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它具有许多独特的性质和特点。
在数学中，双曲线的标准方程是描述双曲线的重要工具之一。
本文将介绍双曲线的基本概念，并详细讨论双曲线的标准方程及其性质。
首先，让我们来了解一下双曲线的基本定义。
双曲线是平面上一类重要的曲线，它的定义是平面上满足特定几何性质的点的集合。
双曲线有两条渐近线，分别称为虚轴和实轴，这两条渐近线的交点称为双曲线的中心。
双曲线还具有两个焦点，这两个焦点到双曲线上任意一点的距离之差是一个常数。
双曲线可以分为两种类型，横向双曲线和纵向双曲线，具体形状取决于焦点和渐近线的位置关系。
接下来，让我们来讨论双曲线的标准方程。
对于横向双曲线，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长。
而对于纵向双曲线，其标准方程为：\[ \frac{y^2}{a^2} \frac{x^2}{b^2} = 1 \]同样地，a和b分别为纵轴和横轴的半轴长。
通过这两个标准方程，我们可以方便地确定双曲线的形状和位置。
双曲线的标准方程还可以通过参数方程得到。
对于横向双曲线，其参数方程为：\[ x = a \cosh t, y = b \sinh t \]而对于纵向双曲线，其参数方程为：\[ x = a \sinh t, y = b \cosh t \]通过参数方程，我们可以更直观地理解双曲线的形状和特点。
双曲线的标准方程是研究双曲线性质和应用的重要工具。
通过标准方程，我们可以方便地确定双曲线的形状、位置和性质。
双曲线在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用，例如在椭圆偏振光的描述、电磁场的分布等方面都有着重要的作用。
总之，双曲线的标准方程是解析几何中重要的内容，通过本文的介绍，相信读者对双曲线的标准方程有了更深入的了解。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
