双曲线的定义及其标准方程解答

双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质。

1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。

（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2。

双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;22a y -22bx =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上。

4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。

（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ）A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝错误! D ．x 2－y 2＝错误!解析：由题意，设双曲线方程为x 2a2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，∴错误!＝错误!，∴a 2＝2。

2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．②①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c =3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||s i n s i n ||||222||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。

双曲线的定义及标准方程双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

双曲线的定义及标准方程是我们学习和理解双曲线的基础，下面我们将对双曲线的定义及标准方程进行详细的介绍。

首先，让我们来了解一下双曲线的定义。

双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的形状类似于两条相交的直线。

双曲线有两个分支，分别向无穷远处延伸，因此双曲线是无界曲线。

双曲线的两个分支在无穷远处趋近于两条平行的渐近线，这也是双曲线与其他曲线的明显区别之一。

接下来，我们来看一下双曲线的标准方程。

双曲线有两种标准方程，分别是横轴为对称轴和纵轴为对称轴的情况。

当双曲线的横轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为横轴上的半轴长和纵轴上的半轴长。

这种双曲线的图像是沿着$x$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$x$轴的两侧。

当双曲线的纵轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，同样，$a$和$b$分别为纵轴上的半轴长和横轴上的半轴长。

这种双曲线的图像是沿着$y$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$y$轴的两侧。

双曲线的标准方程可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和特点。

通过标准方程，我们可以确定双曲线的几何特征，如焦点、渐近线等重要信息。

总之，双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学、物理学等领域有着广泛的应用。

双曲线的定义及标准方程是我们理解和研究双曲线的基础，通过学习双曲线的定义及标准方程，我们可以更好地掌握双曲线的性质和特点，为进一步深入学习和应用双曲线打下坚实的基础。

高三数学双曲线的定义、性质及标准方程知识精讲【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

说明：（1）在双曲线有关计算和证明中首先分清双曲线焦点在x 轴上，还是在y 轴上，中心是否在原点。

（2）在解与双曲线有关的问题时，注意利用定义及各元素之间的相互依赖关系（如：222,ca cb e a=-=等）。

（3）使用韦达定理求某些参数时，要注意利用判别式△≥0或（△>0）来限制参数的取值范围，否则，会出现错误。

（4）依题意判断曲线是双曲线的一个分支，还是整个双曲线。

（5）双曲线是具有渐近线的曲线。

双曲线其标准方程学科:数学教学内容:双曲线及其标准方程【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F1.F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1.F2是焦点,两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距,用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时,曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时,曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时,动点的轨迹不再是双曲线,而是以F1.F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时,动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程-=1(a＞0,b＞0)焦点在_轴上的双曲线;-=1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较_2.y2的分母的大小,而是_2.y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上.本节学习方法:本节主要数学思想和方法:方程思想,利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法.定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样,都是解析几何的重要部分,双曲线的学习可通过与椭圆对比去掌握.它与直线.圆联系密切,涉及到距离公式.弦长问题,面积公式及方程中的韦达定理等知识,也是高考的重点内容.【重点难点解析】1.双曲线的定义,标准方程与椭圆类似,本小节在数学思想和方法上没有新内容,学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点,特别是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样,建立双曲线的标准方程是,从〝平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同,这个常数要大于0且小于｜F1F2｜)的点M的轨迹〞这个双曲线的定义出发,推导出它的标准方程.推导过程说明,双曲线上任意一点的坐标都适合方程-=1;但关于坐标适合方程-=1的点都在双曲线上,即完备性未加以证明.例1 若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线,则_2与y2项的系数的符号相反,即(2-m)(｜m｜-3)＜0,将问题转化为不等式的求解.答:A例2 求与椭圆+=1共焦点,且过点(3,)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在_轴上,且焦距为8,∴c=4,设所求双曲线方程为-=1代入点(3,),得λ2=7,故所求双曲线方程为-=1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+=1,代入点(3,),得λ=16或λ=-7(舍),故所求双曲线方程为-=1.例3 课本第108页习题8.3第一题:△ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是,求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得:-=1(_≠0).若将问题一般化:B(0,a).C(0,-a) kAB·kAC=,则顶点A的轨迹方程为:-=1(_≠0).若B(bcotφ,acosφ).C(-cotφ,-acscφ).kAB·kAC=,则顶点A的轨迹会是怎样?反之,双曲线-=1(_≠0)上任一点到B(0,a),C(0,-a)两点的连线的斜率之和,等于;若改变B.C的位置保持B.C两点关于原点对称于双曲线上,kA B·kAC=是否成立.总之,同学们在学习过程中要多动手.多思考,举一反三,做到〝以点代面,以少胜多〞.【难题巧解点拨】例1 一动圆与圆(_+3)2+y2＝1外切又与圆(_-3)2+y2＝9内切,求动圆圆心轨迹方程.分析如图,设动圆M与⊙O1外切于A,与⊙O2内切于B,由位置关系可得数量关系:｜MO1｜＝｜MA｜+1｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解:如图,设动圆圆心M坐标为M(_,y),圆M与圆O1外切于A,与圆O2内切于B,则,MO1＝｜MA｜+1①,｜MO2｜＝｜MB｜-3②,①-②:｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知,M点轨迹是以O1(-3,0)O2(3,0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为:-＝1(_≥2)说明:在求轨迹方程时,要注意使用曲线的定义,此时的思路:位置关系(内切,外切)数量关系(｜MO1｜＝r+r1,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径)曲线形状(写出标准方程),可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值,此时不含绝对值,要求｜MO1｜_gt;｜MO2｜,所以是双曲线的右支,而不是整个双曲线.例2 过双曲线-＝1的右焦点作倾角为45°的弦,求弦AB的中点C到右焦点F的距离,并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立,求出A.B两点的坐标,再求其中点,由两点的距离公式求出｜CF｜.解:∵双曲线的右焦点为F(5,0),直线AB的方程为y＝_-5,故消去y,并整理得7_2+90_-369＝0 ③此方程的两个根_1._2是A.B两点的横坐标,设AB的中心点C的坐标为(_,y),则_＝＝＝-.C点的坐标满足方程②,故y＝--5＝-∴｜CF｜＝＝(5+)＝又设A点坐标为(_1,y1),B点坐标为(_2,y2),则y1＝_1-5,y2＝_2-5.∴y1-y2＝_1-_2,｜AB｜＝＝＝＝由方程③知_1+_2＝-,_1·_2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评:利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.【命题趋势分析】双曲线与直线.圆和椭圆联系密切,涉及到距离公式.弦长及面积公式.方程中的韦达定理和判别式的运用;还涉及到弦的中点轨迹问题.中点弦问题,对称问题与最值问题等都是高考的重要内容.如〝能力演练〞中有许多曾是高考题或样题,同学们在学习中应该重基础知识和基本的数学思想数学方法的运用.训练能力,创新思维,做到举一反三.触类旁通.【典型热点考题】例1 设F1和F2为曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则求△F1PF2的面积.分析一依题意求出P点的纵坐标,据面积公式计算△F1PF2的面积.设P(_1,y1),由PF1⊥PF2得·=-1即y21=5-_21又_21-4y21=4联立解得y1=±∴=｜F1F2｜·｜y1｜=·2c· =1分析二运用双曲线定义解题由点P在双曲线上,知｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=4且｜PF1｜2+｜PF2｜2=20联立解得｜PF1｜·｜PF2｜=2∴=｜PF1｜·｜PF2｜=1例2 已知l1.l2是过点P(-,0)的两条互相垂直的直线,且l1.l2与双曲线y2-_2=1各有两个交点,分别为A1.B1和A2.B2.(1)求l1的斜率k1的取值范围.(2)若｜A1B1｜=｜A2B2｜;求l1.l2的方程.分析设直线斜率为k,联立方程组求解.(1)因为若l1.l2中有一条斜率不存在,就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交,所以l1.l2的斜率k1.k2均不为零.设l1:y=k1(_+),l2:y=-(_+)把它们代入双曲线方程分别得(k21-1)_2+2k21_+2k21-1=0 ①(k21-1)_2-2_+k21-2=0 ②当k1=±1时,方程①.②均为一次方程不符合题意,所以,当k1≠±1时由①.②的判别式都大于零得k1∈(-,-)∪(,)且k1≠±1(2)由①.②可知｜A1B1｜=·=·｜A2B2｜=·∵｜A1B1｜=｜A2B2｜∴解得k1=±,k2=±∴所求直线方程为l1:y=(_+),l2:y=- (_+)或l1:y=- (_+),l2:y=(_+).例3 如图,给出定点A(a,0),(a＞0)和直线l:_=-1.B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.分析设B(-1,y0),C(_,y),由角平分线的性质有=,当y0≠0时,又由平行线性质有===∴==即有==(易知y与y0-y同号,0＜_＜a)由=得a2(_+1)2=(a-_)2(1+y20) ①又由=得y0=·y②由①.②消去y0并整理得(1-a)_2-2a_+(1+a)y2=0 ③当y0=0时易知点C即为原点,此时_=0,y=0,亦满足③,故所求点C的轨迹方程是: (1+a)_2-2a_+(1+a)y2=0(0≤_＜a)④(1)当a=1时,方程为y2=_(0≤_＜1)表示抛物线弧段.(2)当a≠1时,④变形为+＝1(0≤_＜a)当0＜a＜1时,方程④表示椭圆弧段;当a＞1时,方程④表示双曲线一支的弧段.【同步达纲检测】A级一.选择题1.设θ∈(,π)则方程_2·cosθ-y2secθ=1所表示的曲线是( )A.焦点在_轴上的双曲线B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在_轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线2.如果双曲线-y2=1的两个焦点为F1.F2,A是双曲线上一点,且｜AF1｜=5,那么｜AF2｜等于( )A.5+B.5+2C.8D.113.与两圆_2+y2=1和_2+y2-8_+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( )A.两个椭圆B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆+=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.-y2=1B.y2- =1C.-=1D.-=15.设动点P到定点F1(-5,0)的距离与它到定点F2(5,0)的距离的差等于6,则P点轨迹方程是( )A. -=1B.-=1C. -=1(_≥3)D.-=1(_≤-3)二.填空题6.若椭圆m_2+ny2=1(0＜m＜n)和双曲线a_2-by2=1(a＞0,b＞0)有相同的焦点F1.F2,P是两曲线的一个交点,则｜PF1｜·｜PF2｜=.7.过点A(-2,4).B(3,-2)的双曲线的标准方程为.8.与双曲线16_2-9y2=-144有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程为.三.解答题9.已知点A(3,0),圆C:(_+3)2+y2=16,动圆P与圆C相外切并过点A,求动圆圆心P 的轨迹方程.10.在双曲线_2-y2=1上求一点P,使它到直线y=_的距离为.AA级一.选择题1.直线l过双曲线-=1的下方焦点F1且与双曲线的下支交于A.B两点,F2是双曲线的另一个焦点,且｜AB｜=m,则△ABF2的周长为( )A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线_2-y2=a2与曲线(_-1)2+y2=1恰好有三个不同的公共点,则实数a的值只能是( )A.a=0B.a=±1C.0＜｜a｜＜1D.｜a｜＞13.若+=1表示双曲线,a为负常数,则m的取值范围是( )A.(,-)B.(,-)C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-,)4.依次连接双曲线_2-y2=12与圆_2+y2=25的交点,则所成的图形是( )A.三角形B.菱形C.矩形D.正方形5.斜率为2的直线与双曲线2_2-y2=2交于P.Q两点,则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )A.y=_B.y=_(｜_｜＞)C.y=_(｜_｜＞2)D.y=_(｜_｜≥ )二.填空题6.已知B(-5,0),C(5,0)是△ABC的两个顶点,且sinB-sinC=sinA,则顶点A的轨迹方程是.7.已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的弦AB的中点为M,O为坐标原点,则直线OM和直线AB的斜率的乘积为.8.关于_的方程=_+b没有实数根,则实数b的取值范围是.三.解答题9.已知不论b取何实数,直线y=k_+b与双曲线_2-2y=1总有公共点,试求实数k的取值范围.10.双曲线3_2-y2=1上是否存在关于直线=2_对称的两点A.B?若存在,试求出A.B 两点的坐标;若不存在,说明理由.【素质优化训练】1.平面内有一条定线段AB,其长度为4,动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3,O为线段AB 的中点,则｜OP｜的最小值是( )A.1B.C.2D.42.P为双曲线C上的一点,F1.F2是双曲线C的两个焦点,过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线,设垂足为Q,则Q点的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线3.给出下列曲线:①4_+2y-1=0;②_2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1,其中与直线y=-2_-3有交点的所有曲线是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④4.若动圆P与两定圆(_+5)2+y2=1及(_-5)2+y2=49都相内切或都相外切,则动圆圆心轨迹方程是( )A. -=1B.-=1(_＞0)C.-=1D.-=1(_＞0)5.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程m_-y+n=0与n_2+my2=mn所表示的示意曲线是( )二.填空题6.已知双曲线_2-=1,过点P(2,1)作直线交双曲线于A.B两点,并使P为AB的中点,则｜AB｜=.7.若圆C过双曲线-=1的两焦点,且截直线y=-1所得弦长为8,则圆C的方程为.8.过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线-y2=1的弦所在直线方程为.三.解答题9.若双曲线y2-_2=1上的点P与其焦点F1.F2的连线互相垂直,求P点的坐标.10.设k和r是实数,且r＞0,使得:直线y=k_+1既与圆_2+y2=r2相切,又与双曲线_2-y2=r2有两个交点.(1)求证:-k2=1,且｜k｜≠1;(2)试问:直线y=k_+1能否经过双曲线_2-y2=42的焦点?为什么?【生活实际运用】活动1:求证直线y=k_+m与双曲线+=1相切的充要条件是:m2=a2·k-b2若过双曲线上一点P(_0,y0)斜率为k的切线为y=k_+y0-k_0,其中m=y0-k_.且b2_20-a2b2,联立可解得斜率k= (y≠0),代入切线方程可得过点P(_0,y0)双曲线的切线方程为-=1特别地,当y0=0时亦合上面的方程.活动2:运用上面结论可求过双曲线-=1上一点(_0,y0)的切线方程与法线方程,若双曲线方程为-=1时,过曲线上点(_0,y0)的切线和法线方程又是怎样?【知识验证实验】1.运用双曲线定义解方程｜｜_-3｜-｜_+3｜｜=2.解:该方程的解是以(-3,0),(3,0)为焦点,2为实轴长的双轴线与_轴交点的横坐标,其方程为_2-=1,令y=0得_=±1,即原方程的解为_=±1.2.运用双曲线图形解无理不等式2＞_+1解:令y1=2,y2=_+1,即_2-=1(y1≥0),在同一坐标系中画出两图形,使得双曲线的部分在直线部分上方的_的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞,-1).【知识探究学习】1.设声速为a米/秒,在相距10a米的A.B两监听室中,听到一爆炸声的时间差为6秒,且纪录到B处的声强是A处的4倍,若已知声速a=340米/秒,声强与距离的平方成反比,试确定爆炸点P到AB的中点M的距离.解:以AB所在直线为_轴,以线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则A(-5a,0),B(5a,0),P(_,y),｜PA｜-｜PB｜=6a,到A.B两点距离差为6a的点在双曲线, -=1(_≥3a)上①,又B处的声强是A处声强的4倍,∴｜PA｜2=4｜PB｜2,即(_+5a)2+y2=4［(_-5a)2+y2］,3_2+3y2-50a_+75a2=0 ②,由①.②消去y,得25_2-150a_+81a2=0,_=a或_=a(舍去),y=a,∴｜PM｜==a=340(米),答:P点到AB中点M的距离为340米.2.如图所示,某农场在P处有一肥堆,今要把这堆肥沿道路PA或PB送到大田ABCD 中去,已知AP=100m,PB=150m,∠APB=60°,能否在大田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿PA送肥较近,而另一侧的点沿PB送肥较近?如能,请确定这条界线.解题思路:大田ABCD中的点分成三类:第一类设PA送肥较近,第二类沿PB送肥较近,第三类沿PA和PB送肥一样远近,第三类构成第一类.第二类点的界线,即我们所要求的轨迹,设以AB所在直线为_轴,AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设M 为界线所在曲线上的一点,则满足｜PA｜+｜AM｜=｜PB｜+｜BM｜,于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50.可知M点的轨迹是以A.B为焦点的双曲线一支其方程可求得为-=1.(0≤y≤60,25≤_≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.参考答案:【同步达纲检测】A级1.D2.D3.C4.B5.C6. -7.-=18. -=19.解:设P(_,y),依题意有｜PC｜=｜PA｜+4,∴P点的轨迹是以C(-3,0),A(3,0)为焦点,且实轴长为4的双曲线的右支.其方程为-=1(_≥2)10.解:设P(cscθ,cotθ),则=∴, =±2,∴tan=±2,由万能公式求得P(±,±)AA级1.B2.A3.B4.C5.B6. -=1(_＜-3)7.8.(-∞,-1)∪［9,1］9.解:联立方程组消去y得(2k2-1)_2+4kb_+2b2+1=0,依题意有△=(4kb)2-4(2k2-1)(2b2+1)=-4(2k2-2b2-1)＞0,对所有实数b恒成立,∴2k2-1＜0,得-＜k＜10.解:设AB:y=-_+m,代入双曲线方程得11_2+4m_-4(m2+1)=0,这里△=(4m)2-4_11［-4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0 恒成立,设A(_1,y1),B(_2,y2),AB的中点为M(_0,y0,)则_1+_2=-,∴_0=-,y0=-_0+m=,若A.B关于直线y=2_对称,则M必在直线y=2_上,∴=-得m=1,由双曲线的对称性知,直线y=-_与双曲线的交点的A.B必关于直线y=2_对称.∴存在A.B且求得A(,-),B(-,)【素质优化训练】1.B2.B3.D4.C5.C6.47._2+(y-4)2=418.3_+4y-5=09.解:设P(_,y),∵F1(0,-),F2(0, ),∴=,=,∵·=-1,即_2+y2=1,又y2-_2=1,∴_=±,y=±,∴P的坐标为(,),(,-),(-,)和(-,-)10.解(1)因为直线y=k_+1与圆_2+y2=r2相切,所以有=r,∴=r2,∵r2≠0,∴-k2=1,又由于直线y=k_+1与双曲线_2-y2=r2相交,故交点坐标(_,y)满足方程组,将①代入②得(1-k2)_2-2k_-(1+r2)=0③,因直线与双曲线有两个交点,且对任意实数k,直线不平行y轴,故③有两个不同的实数根,因此1-k2≠1,∴｜k｜≠1(2)双曲线_2-y2=r2的过点是F1(-r,0),F2(r,0),若直线y=k_+1过点F1,则 -rk+1=0,即k=,又由(1)结论-k2=1得k2=1与｜k｜≠1矛质.故直线y=k_+1不可能过双曲线_2-y2=r2的左焦点,同理可得,直线y=k_+1也不可能过双曲线_2-y2=r2的右焦点.。

2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。

双曲线的定义及其标准方程
双曲线是一个平面曲线，其形状类似于两个向外开口的抛物线。

它的定义是：点F（称为焦点）到平面上任意一点P的距离与点P到一条直线L（称为准线）的距离之差为定值e（称为离心率）的点P的轨迹。

双曲线的离心率e大于1。

双曲线的标准方程是：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a是双曲线的横轴长度的一半，b是双曲线的纵轴长度的一半。

焦点到准线的距离为c，有以下关系式：$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
双曲线有两条渐近线，分别是直线y=±b/a×x。

双曲线的形状和位置可以通过a、b和c的值来确定。

当a>b时，双曲线开口方向沿着横轴；当b>a时，双曲线开口方向沿着纵轴。

双曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。

在数学中，双曲线是一种基本的曲线形式，被广泛用于微积分、代数和几何学中；在物理学中，双曲线的形状出现在许多问题中，如天体力学和电磁学中的场线。

双曲线及其标准方程【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的集合叫作双曲线． 1F 2F 12F F 定点、叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 1F 2F 要点诠释：1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=，这可以借助于三角形中边的相1212PF PF F F -<关性质“两边之差小于第三边”来理解；2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：若 常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 1212PF PF F F -<0>2F 若 常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支． 2112PF PF F F -<0>1F 若 常数=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 1212PF PF F F -=若 常数=，则动点轨迹不存在；1212PF PF F F ->若 常数=，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．12=0PF PF -要点二：双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程2． 标准方程的推导如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)． （3）列式设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|M F 2|=±2a }．∵ 12||||MF MF ==2a =±(4)化简将这个方程移项，得2a =±两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：①()()22222222ca x a y a c a --=-（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义， 即，所以． 22c a ，c a ，220c a -，令，222(0)c a b b -=，代入上式得：， 222222b x a y a b -=两边同除以，得：22a b 即，其中． 22221x y a b -=(0,0)a b >>222c a b =+这就是焦点在轴的双曲线的标准方程．x 要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：，其中．22221y x a b -=(0,0)a b >>222c a b =+3． 两种不同双曲线的相同点与不同点定义平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零1F 2F 且小于）的点的集合12F F 图形标准方程 22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >>不 同 点焦点坐标， ()10F c ，()20F c ，，()10F c ，()20F c ，a 、b 、c 的关系222c a b =+相 同 点 焦点位置的判断哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式． 此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1． 椭圆、双曲线的标准方程对照表：椭圆双曲线图象定义 根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据||MF 1|－|MF 2||=2a a 、b 、c 关系a 2－c 2=b 2（a 最大） （a ＞c ＞0，b ＞0）c 2－a 2=b 2（c 最大） （0＜a ＜c ，b ＞0）标准方程，（焦点在x 轴） 22221x y a b +=，（焦点在y 轴） 22221y x a b +=其中a ＞b ＞0，（焦点在x 轴） 22221x y a b -=，（焦点在y 轴） 22221y x a b -=其中a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）标准方程的 统一形式 221x y m n+=（当时，表示椭圆；当时，表示双曲线）0,0,m n m n >>≠0mn <2． 方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C可化为，即，221Ax By C C+=221x y C C A B+=所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x 轴上； 0,0C CA B ><当时，双曲线的焦点在y 轴上． 0,0C CA B<>要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值． 其主要步骤是“先定型，再定量”；a b c ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量． 若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1．已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y +=B ．＝1(y >0)22197x y -=C ． 或22197x y -=22179x y -=D ． (x >0)22197x y -=【答案】　D【解析】　由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：(x >0)22197x y -=【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不12||F F 存在．举一反三：【变式1】已知定点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．|PF 1|－|PF 2|=±3B ．|PF 1|－|PF 2|=±4C ．|PF 1|－|PF 2|=±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4【答案】A【变式2】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对【答案】C【变式3】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 【答案】A例2． 已知P 是双曲线上一点，双曲线的两个焦点，且求值2216436x y -=12,F F 1||17,PF =2||PF 【解析】利用双曲线的定义求解．【答案】在双曲线中，故．221164x y -=8,6,a b ==10c =由P 是双曲线上一点，得． 12||||||16PF PF -=∴或 2||1,PF =2||33,PF =又得2||2,PF c a ≥-=2||33,PF =【总结升华】本题容易忽略这一条件，而得出错误的结论或 2||2,PF c a ≥-=2||1,PF =2||33PF =举一反三：【变式1】双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求的面221916x y -=12,F F P 12PF PF ⊥1 2 PF F ∆积．S 【答案】16【解析】中，a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25，所以a =3，b =4，c =5．221916x y -=设，，由题意可知，11PF r =22PF r = 112212-6100.r r r r ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以，()2221112111--=322r r r r r r ⎡⎤=+⎣⎦因为是直角三角形，所以．1 2 PF F ∆111==162S r r 【变式2】过双曲线的左焦点与左支相交的弦的长为，另一焦点22221(0,0)x y a b a b-=>>1F AB m 2F ，求的周长．2ABF ∆【解析】∵，且，2121||||2,||||2AF AF a BF BF a -=-=11||||AF BF m +=∴ 2211||||2||2||4AF BF a AF a BF a m +=+++=+∴的周长为：．2ABF ∆22||||||42AF BFAB a m ++=+【变式3】已知点P (x ，y )，则动点P 的轨迹4=是（）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．； ； ； 22(1)142x y -=22(2)4936y x -=22(3)638x y -=； ； ．822(5)134x y +=22(6)1515x y +=-【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值． 【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，=4，=2，=6，所以a =2，b，c． 2a 2b 222=c a b +（2）能．双曲线可化为：，它的焦点在x 轴上，=9，=4，=13． 所以a =3，b =2，c．22194x y -=2a 2b 222=c a b +（3）能．双曲线可化为：，它的焦点在x 轴上，=，=，=4，所以a，b2214833x y -=2a 432b 83222=c a b +c =2．（4）能． 该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则=9，所以b =3．． 222=b c a （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程． （7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线为标准方程的步骤为： 22Ax By C +=（1）常数化为1：两边同除以，将双曲线化为 ； C 221Ax By C C +=（2）分子上的系数化为1：22x y ，利用，将双曲线化为 ；1b a b a ⨯=221x y C C A B +=（3）注意符号：若双曲线的焦点在x 轴，则将双曲线化为； 221x y C C A B =若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为． 221y x C C BA=【变式1】双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．，0) B ．，0)C ．0) D ．0)【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准方程为，22=11y x ，∴a 2＝1，b 2＝，∴12c =故右焦点的坐标为0)．【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______．【答案】 1±【解析】当k >0时，双曲线的标准方程为，此时，解得k =1； 22118x y k k =22183a b c k k =====，当k <0时，双曲线的标准方程为，此时，解得k ＝－22181x y k k=22813a b c k k =====，1．所以k 的值为．1±例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为；22114425x y -=当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为．22114425y x -=【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256 例1】 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．12(5,0),(5,0)F F -（2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点．(0,6)-(5,6)A -【答案】（1）；（2）．221169x y -=2211620y x -=【变式2】求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程．221164x y -=2)【答案】221128x y -=【解析】解法一：依题意设双曲线方程为－=122a x 22by 由已知得，22220a b c +==又双曲线过点2)241b-=∴ 222222012481a b a b b ⎧+=⎧=⎪⇒⎨=-=⎪⎩故所求双曲线的方程为．221128x y -=解法二：依题意设双曲线方程为，221164x yk k-=-+将点代入，解得，2)221164x y k k -=-+4k =所以双曲线方程为．221128x y -=类型三：双曲线与椭圆例5．讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 221259x y k k+=--【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于：221x y m n+=当时，方程表示椭圆；当时，方程表示双曲线． 0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩0mn <【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为． 221259x y k k -=--此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)． (3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A2212736x y +=的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线(M >0，n>0)和椭圆(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两221x y m n -=221x y a b+=曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】　a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝①±|MF 1|＋|MF 2|＝ ②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7． 已知A ，B 两地相距2000 M ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 M /s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足， ||||330413202000PA PB -=⨯=<又所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． ||||,PA PB >以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，得21320,22000a c ==660,1000,a c ==∴222564400b c a =-=∴点P 所在曲线的方程是 221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为 米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记a 录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸340a =点P 到AB 中点M 的距离．【答案】米。