双曲线定义及标准方程推导

双曲线及其标准方程(一)
一、知识学习
二、例题分析
引入 双曲线定义及 标准方程推导 本课小结
例1
三、课堂练习
作业:课本 P 习题 2.3 A1、A2⑴⑵
66
1
前面我们研究了
椭圆
定义： | MF1 | | MF2 | 2a(2a F1F2 ) 图形：
x2 y2 1( a b 0) 2 2 标准方程： a b x2 y2 2 1(a b 0) 2 b a
2
2
令b c a
2 2
2
7
双曲线及其标准方程(一)
双曲线的标准方程
y
M
F
O
y
1
F2
x
O
x
方案一
方案二
x y 1 2 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b (a 0，b 0)
8
2
2
双曲线及其标准方程(一)
y y
x2 y2 2 1 2 a b
M F O
1
F ( ±c, 0)
得方程
4
如何建立适当的直角坐标系？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 y y y y
M
y
F O1
O
O
F2x xx
O
x
O
方案一
x
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段 所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
5
双曲线及其标准方程(一)
双曲线方程的推导
2 2
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, ) 思考： 2 2 方程 x y 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2 m m 1
m 2 则m的取值范围_____________.
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学习小结:
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
性质：
从图形来看…… 从方程来推……
2
§ 2.3.1 双曲线及其标准方程(一)
探求轨迹:
平面内到两个定点F1、F2的距离 的差的绝对值等于常数2a的动点的轨 迹是怎样的图形？ M
⑴当 0< 2a F1F2 时,轨迹是
F1
F2
⑵当 2a F1F2 时,轨迹是 ⑶当 2a F1F2 时,轨迹是
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 -2<<-1 是 .
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练习巩固:
下列方程各表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 4
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线
(2)
(3)
( x 3) y ( x 3) y 5
··
x
y
F2
F1
· ·
o
y
x
方程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
焦点
a.b.c的关 系
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a2=b2+c2
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练习巩固:
双曲线及其标准方程(一)
2 2
x y 1 1. 过双曲线 的焦点且垂直x轴的弦的长度 3 4 8 3 为 . 3 6 (0, ) 2 2 2. y -2x =1的焦点为 .6 2 、焦距是

( x c )2 y 2
2

2
2a ( x c )2 y 2
2 2

2
cx a a ( x c ) y
2 2 2 2 2 2
( c a ) x a y a (c a )
2 2
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y
M
M F2
y
双曲线图象
F1 o F2
x
F1
x
标准方程 焦点
a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2 2 2
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
11
2
2
c a b 谁正谁对应a
定义
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
图象
F1 o F2
1. 建系：如图wenku.baidu.com立直角坐标系 F2 ， xOy，使x轴经过点F1 ， 并且点O与线段F1 F2中点重 合.
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
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y
M
F
1
O
F
2
x
双曲线及其标准方程(一)
3.列式: MF1 MF2 2a 即 ( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a 4.化简.
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线的右支
( x 3) y ( x 3) y
2 2 2
2
6
作业:课本 P 习题 2.3 A1、A2⑴⑵
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
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F2
x
O
y2 x2 2 1 2 b x a F(0, ± c)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
x y 1 16 9
2
2
F1 (0, 5), F2 (0, 5)
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双曲线及其标准方程(一)
x y 例1:如果方程 1 表示双曲 2 m m 1 线，求m的取值范围.
几何画板探究
两条射线 不存在
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双曲线及其标准方程(一)
1. 双曲线的定义 : 平面内与两个定点 F1 , F2 的距 离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨 迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点.
两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 2.怎样建立双曲线的方程呢?
F1
M
F2
求曲线的方程一般步骤: 建系 设点 列式 化简