等价无穷小替换,极限的计算

无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。

下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。

显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。

小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

结合等价无穷小替代法、麦克劳林公式求极限
按照马克劳林公式的一般形式f(x)=n*f^(n) 连加(n从0到无穷)x^n*f^(n)(0)/n!展开（其中f^(n)(0)表示f的n阶导数在0点的值），只不过最后的每项的形式没什么规律（这也取决于f^(n)(0)的值）。

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。

1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。

2、那些特定初等函数的幂级数展开式就是泰勒级数的特定形式，没什么太小区别。

用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。

麦克劳林公式的意义就是在0点，对函数展开泰勒进行。

年maclaurin在访问伦敦时见到了newton，从此便成为了newton的门生。

年编写名著《流数论》，就是最早为newton流数方法作出了系统逻辑阐释的著作。

他以娴熟的几何方法和穷竭法论证了流数学说道，还把级数做为谋分数的方法，并单一制于cauchy以几何形式得出了无穷级数发散的分数辨别法。

他获得数学分析中知名的maclaurin级数展开式，用未定系数法给与证明。

等价无穷小替换公式所谓等价无穷小替换公式，是数学中一类常用的极限计算方法。

当在求极限过程中遇到无穷小量时，我们可以将它替换为一个与之等价但更易计算的无穷小量，从而简化求解过程。

以下是一些常用的等价无穷小替换公式：1. $\sin x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sinx$ 可以被替换为 $x$。

证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sin x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

2. $\tan x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tanx$ 可以被替换为 $x$。

证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。

因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tan x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。

3.$e^x-1$等价无穷小替换公式：当$x$趋近于$0$时，$e^x-1$可以被替换为$x$。

证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。

因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x - 1$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。

4. $\ln(1+x)$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$ 可以被替换为 $x$。

证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1$。

因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$等价于 $x$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$。

Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。

但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。

一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。

在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。

课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。

大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。

如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。

鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。

2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。

对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。

而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。

2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。

例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。

例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。

等价无穷小替换三个原则
等价无穷小替换三个原则是微积分中常用的一种计算方法，用于求解极限。

这三个原则分别是：
1. 等价无穷小替换原则：如果函数 f(x) 和 g(x) 在某点 x=a 处
的极限存在且相等，即 lim(x→a) f(x) = lim(x→a) g(x) = L，那么在该点附近，f(x) 和 g(x) 可以互相替换，即 f(x) ≈
g(x)。

2. 等价无穷小乘法原则：如果函数 f(x) 和 g(x) 在某点 x=a 处
的极限存在且为 0，即 lim(x→a) f(x) = 0，lim(x→a) g(x) = 0，那么在该点附近，f(x) 和 g(x) 的乘积可以近似为 0，即
f(x)g(x) ≈ 0。

3. 等价无穷小加法原则：如果函数 f(x) 和 g(x) 在某点 x=a 处
的极限存在，即 lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，那么在该点附近，f(x) 和 g(x) 的和可以近似为 L1 + L2，即f(x) + g(x) ≈ L1 + L2。

这些原则在求解极限时可以简化计算过程，将复杂的函数替换为等价的简单函数，从而更容易求得极限值。

但需要注意的是，这些原则只适用于满足条件的函数和极限情况，需要在具体问题中合理应用。

常用的等价无穷小替换公式一、什么是无穷小在微积分中，我们常常会遇到无穷小的概念。

无穷小是指当自变量趋于某个值时，相应的函数值趋近于零的量。

在数学中，无穷小通常用符号“ε”或“δ”表示。

二、常见的等价无穷小替换公式在处理极限问题时，我们常常会用到等价无穷小替换公式，这些公式能够将复杂的极限问题转化为简单的计算。

下面是一些常见的等价无穷小替换公式：1. 当x趋于零时，sin(x)与x等价。

这个公式可以简化一些含有三角函数的极限问题。

例如，当x趋于零时，lim(x→0) sin(x)/x = 1。

2. 当x趋于零时，tan(x)与x等价。

这个公式可以简化一些含有切线函数的极限问题。

例如，当x趋于零时，lim(x→0) tan(x)/x = 1。

3. 当x趋于零时，ln(1+x)与x等价。

这个公式可以简化一些含有对数函数的极限问题。

例如，当x趋于零时，lim(x→0) ln(1+x)/x = 1。

4. 当x趋于无穷大时，e^x与x^n等价。

这个公式可以简化一些指数函数和幂函数的极限问题。

例如，当x 趋于无穷大时，lim(x→∞) e^x/x^n = ∞，其中n为任意正整数。

5. 当x趋于无穷大时，sinh(x)与e^x等价。

这个公式可以简化一些双曲函数和指数函数的极限问题。

例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) sinh(x)/e^x = 1。

6. 当x趋于无穷大时，(1+1/x)^x与e等价。

这个公式可以简化一些含有指数函数的极限问题。

例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

以上只是一些常见的等价无穷小替换公式，它们在求极限的过程中起到了重要的作用。

通过使用这些公式，我们可以将复杂的极限问题简化为易于计算的形式。

三、等价无穷小替换公式的应用举例下面通过一些具体的例子来展示等价无穷小替换公式的应用。

例一：求极限lim(x→0) sin(3x)/x。

根据等价无穷小替换公式1，我们知道sin(3x)与3x等价，所以极限可以简化为lim(x→0) 3x/x = 3。

高等数学等价无穷小替换公式
在高等数学中，我们常常会遇到无穷小量。

无穷小量指的是在某个极限下，趋于零的量。

虽然无穷小量在数学中有很多应用，但是它在计算中也会带来一定的麻烦。

因此，我们需要一些替换公式来简化计算。

等价无穷小替换公式是指在某个极限下，用一个更简单的无穷小量来代替原来的无穷小量，从而简化计算。

以下是一些常见的等价无穷小替换公式：
1. 当 $xto 0$ 时，$sin(x)sim x$，$tan(x)sim x$，$arcsin(x)sim x$，$arctan(x)sim x$。

2. 当 $xtoinfty$ 时，$e^{-x}sim 0$，$ln(1+x)sim x$，$1-e^{-x}sim x$。

3. 当 $xto a$ 时，$e^x-1sim x$，
$ln(x+1)-ln(x)simfrac{1}{x}$。

使用等价无穷小替换公式可以简化复杂的计算，但是需要注意的是，这些公式只适用于特定的极限情况下。

在使用时需要结合具体的问题进行判断，避免出现错误。

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