等价无穷小例题解析

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。

其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。

关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。

当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。

但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。

此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。

也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。

等价无穷小写法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等价无穷小是微积分中一个非常重要的概念，它在求解极限、导数、积分等方面都具有重要的意义。

在微积分的学习中，我们经常会碰到各种形式的无穷小，其实它们之间是可以相互等价的。

我们需要了解等价无穷小的概念，以及如何利用它们简化计算。

我们来看一下等价无穷小的定义。

在给定的函数序列{an} 和{bn} 中，如果极限lim(an/bn) = 1，那么我们就称an与bn是等价无穷小。

换句话说，当n趋向于无穷大时，an与bn的相对误差可以忽略不计，它们在计算中可以互相替换。

在求解极限的过程中，等价无穷小的概念可以帮助我们简化计算。

在求极限lim x->0 (sinx/x) 的时候，我们知道sinx/x 在x 趋近于0 时是一个无穷小量，但是它与x 之比确实趋于1，所以我们可以得出sinx/x 与x 之比是一个等价无穷小。

通过这个等价关系，我们可以方便地求出该极限的值为1。

在求导数的过程中，等价无穷小的概念也可以派上用场。

在求导数f'(x) = lim h->0 (f(x + h) - f(x))/h 的时候，我们如果遇到无法直接计算的函数，可以将其展开成等价无穷小的形式进行简化。

等价无穷小是微积分中一个非常实用的工具，它可以帮助我们简化计算、快速求解问题。

在实际应用中，我们需要灵活运用等价无穷小的概念，结合具体的情况进行推导和计算。

通过不断地练习和实践，我们可以更加熟练地运用等价无穷小，提高微积分的解题效率。

第二篇示例：等价无穷小是微积分中一个非常重要的概念，通过等价无穷小我们可以更好地理解微分和积分。

等价无穷小可以理解为在某一极限过程中和另一个无穷小具有相似性质的无穷小。

在数学上，当我们取极限的时候，可以用一个无穷小代替另一个无穷小，这种等价无穷小的思想为我们处理复杂的极限问题提供了便利。

等价无穷小写法是一种常见的抽象化处理方法，通过等价无穷小的替换，我们可以简化一些复杂的微积分运算。

无穷小就是以数零为极限的变量。

确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或
f(1/x)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。

特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(1/2)*（x^2）~ secx-1
(a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
(e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
(1+x)^a-1~ax(a≠0)
等价无穷小替换的替换条件:
两个因式一定要是相乘的关系，加减不可换，因为无穷小与无穷小之和不一定是无穷小.
用泰勒公式的好处是可以迅速的确定一个式子大概的阶数是多少，就是求出主项和高阶项，用这个方法可以迅速确定极限的值，比如:
e^x=1+x+O(x^2)
limx→0{(1-e^x-x)/((2+x)sinx)}
=limx→0{(1-[1+x+O(x^2)]-x)/(x+O(x^2))*limx→0[1/(2+x)]
=limx→0[-2+O(x^2)/x]/(1+O(x^2)/x]*limx→0[1/(2+x)]
limx→0O(x^2)/x=0
*左边极限为-2，右边极限为1/2
原式极限为-1.。

常用等价无穷小等价替换等价无穷小是微积分中一个重要的概念，它在求解极限、计算导数和积分等方面发挥着重要作用。

本文将介绍常见的等价无穷小以及等价替换的概念和应用。

一、等价无穷小的定义等价无穷小是指在某一极限下，和给定无穷小具有相同极限的无穷小。

即当x趋于某个值时，两个函数之差的极限趋于0。

常用的等价无穷小包括以下几种：1. 高次无穷小：比给定无穷小函数更高阶的无穷小函数。

例如，当x趋于0时，x的n次方函数（n>0）是比x更高阶的无穷小。

2. 非零常数倍的无穷小：对于给定的无穷小x，kx（k为非零常数）也是和x等价的无穷小。

3. 不同函数组成的无穷小：在求极限的过程中，如果两个函数的差值的极限为0，则称这两个函数是等价的无穷小。

例如，当x趋于无穷大时，x和x+sinx是等价无穷小。

4. 同阶但更快收敛的无穷小：对于给定无穷小x和y，在x趋于某个值时，如果y的极限比x更快接近0，则y是比x更高阶的等价无穷小。

二、等价无穷小的性质等价无穷小具有以下几个性质：1. 等价无穷小之间可以相互替换。

即在求极限的过程中，可以用一个等价无穷小来替代另一个等价无穷小，而不影响极限的值。

2. 等价无穷小的和也是等价无穷小。

即如果x和y是等价无穷小，那么x+y也是等价无穷小。

3. 等价无穷小的积也是等价无穷小。

即如果x和y是等价无穷小，那么xy也是等价无穷小。

4. 等价无穷小的倒数也是等价无穷小。

即如果x是等价无穷小，那么1/x也是等价无穷小。

三、等价无穷小的应用等价无穷小在求解极限、计算导数和积分等方面有着广泛的应用。

下面以求解极限为例来说明等价无穷小的应用：例题1：求极限lim(x->0) (sinx)/(x)解析：对于给定极限，可以观察到x趋于0时，sinx和x的差值趋于0，因此sinx可以等价替换为x。

则极限可以转化为lim(x->0) (x)/(x)，即1。

例题2：求极限lim(x->∞) (x^2 + 3x + 5)/(2x^2 + 4x - 1)解析：对于给定极限，可以观察到当x趋于无穷大时，其高次项对于极限的贡献最大。

谈谈应用等价无穷小巧解考研高等数学试题在数学分析，特别是求解考研高等数学试题的过程当中，等价无穷小是比较常用的概念与方法之一。

实践研究结果证实：借助于对等价无穷小相关方法的合理应用，能够在很大程度上实现对计算流程的简化。

特别是在高等数学考研试题当中，近年来，涉及到应用等价无穷小方法进行计算的题目越来越多，且所占分值也越来越多。

如何在遇到这部分题型的过程当中，合理应用等价无穷小方法进行作答，在确保计算精确性的同时，实现对解题时间的合理控制，这一问题备受考生、以及教师的特别关注与重视。

本文试针对以上相关问题做详细分析与说明。

1 等价无穷小基本概念分析[1]数学分析研究的最核心对象为函数，而在有关函数研究的过程当中，最主要的方法是极限。

通过对极限方法的应用，能够达到研究函数连续性、可微性、可积性的目的。

从而极限在分析数学试题中有着至关重要的地位。

在相关数学题，特别是极限问题的求解过程当中，借助于对等价无穷小方法的应用，能够通过代换方式使问题变得更加的简单化，从而使极限值更加容易求出。

常规意义上来说，在x→0的状态下，常见的等价无穷小定理包括以下几项内容：（1）sin x～x；（2）arc sin x～x（3）tan x～x（4）In（1+x）～x（5）（1+x）1/n-1～x/n（6）ex-1～x2 等价无穷小方法在考研高等数学试题中的应用分析（1）以2010年度，全国硕士研究生入学考试中“數学三”中的某选择题题目为例：若定义[1/x-（1/x-a）ex]=1。

则可以计算得出a取值为（）。

该选择题当中给出了如下四个基本选项：A选项为0；B选项为1；C选项为2；D选项为3。

考生在求解该题目的过程当中，就可以应用等价无穷小方法完成对该题目的解答。

具体的求解方式为：对于该等式：[1/x-（1/x-a）ex]=1而言，可以通过拆分“a”数值的方式，将整个等级进行拓展。

拓展后的等式为：[1/x（1-ex）+aex]=1。

利用等价无穷小求极限例题微积分中的极限问题，是学习微积分的一个重要概念，广泛应用于物理学、数学、化学和其他科学。

在研究复杂函数时，以及对各种物理现象进行分析，极限问题尤为重要。

许多极限问题可以用等价无穷小(epsilon-delta)方法来解决，下面通过一个例子讨论如何利用等价无穷小求极限的方法。

考虑函数f(x)=x2-2x+4在x=2处的极限，即求lim x→2 f(x)的值。

首先，我们需要定义为ε-δ范围:|f(x)-L|对于δ，我们有：|x-2|结合上述两式，就可以得到f(x)的范围：|x2-2x+4-L|为了求得f(x)的极限，需要求出L，而L就是f(x)在x=2处的值，即6.因此，可以得到f(x)等价无穷小范围是：|x2-2x+4-6|经过消除ε后，可以得到：|x2-2x-2|用δ替换ε，即得到：|x2-2x-2|即|x-2|可以看出，在x=2，δ取决于ε，当ε逐渐减小时，δ也跟着减小。

当δ变得足够小时，我们就可以忽略δ中大于ε的部分，即我们可以说：极限lim x→2 f(x) = 6.上面的例子展示了如何利用等价无穷小求极限的方法。

首先，定义等价无穷小范围，其次，消除ε，进而求出δ的取值，最后，利用δ的取值来求出极限值。

等价无穷小法是一种通用的方法，可用于解决许多极限的求解。

但要注意，在使用时要搞清楚数学定义上的细节，尤其是消除ε时，是把ε替换为δ还是直接消除ε。

另外，要注意确保在消除ε时，ε的取值不能过大，否则就会出现错误的结果。

通过本文，可以了解到，等价无穷小法是解决极限问题的一种典型方法，可以用来求出许多复杂函数的极限值，但要注意在使用过程中需要熟悉数学定义，确保ε不会取得过大，可以准确有效地求出极限值。

等价无穷小替换例题一、当x趋近于0时，下列哪个表达式与sin(x)/x是等价无穷小？A. cos(x) - 1B. 1 - cos(x)C. tan(x)D. x/sin(x)（答案）B二、在x趋近于0的情况下，下列哪一项与ex - 1是等价无穷小？A. x2B. xC. ln(1 + x)D. sqrt(1 + x) - 1（答案）B三、当x趋近于0时，下列哪个函数与arcsin(x)/x是等价无穷小？A. 1 - x2/2B. 1 + x2/2C. x/2D. 1（答案）D四、在x趋近于0的条件下，下列哪个表达式与(1 - cos(x))/x2是等价无穷小？A. 1/2B. x2/2C. 1/(1 + x2)D. sin(x)/x（答案）A五、当x趋近于0时，下列哪一项与tan(x) - x是等价无穷小？A. x3/3B. x2/2C. -x3/3D. x4/4（答案）C六、在x趋近于0的情况下，下列哪个函数与(ex - 1 - x)/x2是等价无穷小？A. 1/2B. 1C. x/2D. -1/2（答案）A七、当x趋近于0时，下列哪个表达式与(sqrt(1 + x) - 1 - x/2)/x2是等价无穷小？A. -1/8B. 1/8C. -1/4D. 1/4（答案）A八、在x趋近于0的条件下，下列哪个函数与(ln(1 + x) - x)/(x2)是等价无穷小？A. -1/2B. 1/2C. -1D. 1（答案）A。

等价无穷小在解题中的应用工程与设计学院 数学111本摘要:本文重点研究解决极限问题中的等价无穷小的应用，在高等数学学习中这对于学习和解决极限问题的能力有促进作用．关键字:等价无穷小;极限;替换;应用1 引言极限理论与计算是高等数学的重要内容之一，而等价无穷小在求极限的运算过程中具有极好的性质．因此，必须掌握等价无穷小的概念并充分利用好的它的性质，可以使一些复杂的极限计算问题简单化，达到简化目的.比如，求这样一个极限问题，20(1cos )lim (1)sin x x x x e x →--,它是一个0型的不定式极限，若用洛必达法则求极限则原式=22201cos lim2cos (sin 2cos )x x x xsinx x x e x x x →-+-+,在对分子分母求一阶导后仍然是一个0型的极限，再用洛必达法则，对分子分母进行第二次求导，则原式=22222202sin cos lim2cos 4sin [(14)sin (42)cos ]x x x x xx x x e x x x x →+---++，显然二 阶导后依然是型不定式极限，继续求，计算过程将会相当繁琐，并且很难求出结果。

但是，若果用等价无穷小替换求此极限，则原式=2202lim x x x x x →⋅⋅=12．由上面的解题过程可见，在用等价无穷小替换求解两步即可，明显优于洛必达法则求极限．所以在求解函数极限的过程中必须熟练并准确运用等价无穷小性质解题，便可达到事半功倍的效果。

本文就是通过对等价无穷小概念及其性质的理解，讨论等价无穷小在乘除运算、和差运算、幂指函数、变上限积分和级数敛散性中极限函数的应用及其相关注意点．2 等价无穷小在解题中的应用2.1 等价无穷小在乘除极限运算中的代换根据等价无穷小的定义,在求0型的乘除式极限里,其因子可用等价因子代替,极限不变.下面给出最常用的等价关系: 当0x →时()si n t an arct an arcsi n ln 1x x x x x x +()1111ln bxxx a e a b+--- （其中a >0,0b ≠）.还有()211cos 2x x - 定理[1]1 设函数(),(),()f x g x h x 在00()U x 上有定义，且有0()~()()f x g x x x →.（1）若0lim ()()x x f x h x A →=，则0lim ()()x x g x h x A →=；（2）若0()lim()x x h x B f x →=，则0()lim ()x x h x B g x →=.证 （i ）0()lim ()()limlim ()()1()x x x x x x g x g x h x f x h x A A f x →→→=⋅=⋅=. （ii ）000()()()limlim lim 1()()()x x x x x x h x h x f x B B g x f x g x →→→=⋅=⋅=. 例1 求0arctan limsin 4x xx→.解 由于()arctan 0x x x → ,sin 44x x ()0x →.故由定理1得0arctan 1limlim sin 444x x x x x x →→∞==.例2 利用等价无穷小代换求极限30tan sin limsin x x xx →-.解 由于()sin tan sin 1cos cos xx x x x-=- ,而()sin 0x x x → ()2,1cos 0,2x x x -→ ()33sin 0x x x → .故有30t a n s i n l i m sin x x x x →-23112cos 2x x x x ⋅=⋅= . 2.2等价无穷小在和差运算中的代换对型乘除运算求极限,利用等价无穷小代换简便而有效.而对加减运算则需格外谨慎. 如，在利用等价无穷小代换求极限时,应注意:只有对所求极限中相乘或相除的因子才能用等价无穷小替换,而对极限式中相加或想减的部分则不能随意替换.如在例4中,若因有()t a n 0,x x x → ()s i n 0x x x → ,而推出3tan sin limsin x x x x →-=30lim 0sin x x xx →-=,则得到的是错误的结果 下面定理给出了加减运算求极限是施行等价无穷小代换的条件. 定理[3]2设11,,,f f g g 均为0x x →时的无穷小函数,且11,f f g g ,0limx x fg→存在,但不等于-1,则11f g f g ++ ()0x x →.证 需证011lim 10x x f g f g →⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭或()011lim 0x x f g f g f g →+-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭.因为()11f g f g f g+-++=11f fg g f g f g --+++, 注意到0lim1x x fg→≠-,故有 00001111limlim lim 01lim 1x x x x x x xx f f f f f f g f g g f f f →→→→---===+⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭,00001111limlim lim 01lim 1x x x x x x xx g g g g g g f f g f g gg →→→→---===+⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭.注 显然条件0lim1x x fg →≠-可换为011lim 1x x f g →≠-.易知若无穷小f 与g (或1f 与1g )同时为正(负),且极限0limx x fg →或011lim x x f g →存在,则11f g f g ++ ()0x x →. 推论 1. 设11,,,f f g g 均为0x x →时的无穷小函数,且11,f f g g ,0lim x x fg→存在,但不等于1,则11f g f g -- ()0x x →.由定理1同理可证 推论2 设1111,,,,,,,f f g g h h k k 均为0x x →时的无穷小函数,且1111,,,f f g g h h k k ,0limx x fg →0,lim x x h k →存在,但不等于1,则0lim x x f g h k →--=01111lim x x f g h k →--.若不等于-1,则0limx x f g h k →++=01111lim x x f g h k →++. 推论2可有定理2和推论1直接证得 例3 求 ()0tan sin sin 2limtan 2arcsin 2x x xx x→+-.解 因为0x →是()tan sin x x ,tan x x ,2arcsin 24x x -- ,且()0tan sin 1lim1sin 22x x x →=≠-,01lim 144x x x →=-≠--, 所以 原式=02lim14x x xx x→+=--.例4求0x → 解 因为0x →时,1→1,由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换)e e αβαβαβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭可得原式=()01tan sin 2lim 2tan sin x x x x x→+- ()012lim 21.x x x x x →+=-=. 例5 求2320sin 1cos lim.1cos tan x x xx x→+--- 解 由等价关系可得()31cos 31cos x x -- ,且20s i n l i m 1.1c o s x x x →≠-- ()2031cos lim1.tan x x x →-≠ 所以 原式=()222012lim 31cos x x x x x →+--202232lim1323.x x x x →=⋅-=例6 求()()()01cos 2lim.tan 2sin sin 2xx x xx x x x →+---解 由于()()ln 11xx x x e++=,()()ln 11ln 1x xe x x +-+ ,()211cos 222x x -且 ()()0002ln 1tan 2sin 2lim1,lim 1,lim 1.1sin 22x x x x x x xx xx →→→+≠-≠≠ 所以 原式=()()()ln 1011cos 2lim .tan 2sin sin 2x xx e xx x x x +→-+---=()()221ln 122limx x x x x →++=22202lim3.x x x x →+=2.3等价无穷小在幂指函数极限中的代换定义[4]1设f ，g ：A R R ⊆→是两个函数，且x A ∀∈，()0f x >，则称形如()()g x f x 的函数为幂指函数.幂指函数与对数的转换公式()()g x f x =()()ln g x f x e.在求函数极限过程中，常常会碰到00、1∞和0∞三种不定式极限问题，若能在这些幂指函数求极限过程中，利用等价无穷小代换,可将复杂问题简单化。