考研数学满分学姐经验谈(一)：等价无穷小在求极限中的应用

无穷小等价代换公式无穷小等价代换公式是微积分中常用的一种工具，它在求极限的过程中起到了关键作用。

本文将介绍无穷小等价代换公式的概念、应用以及一些常见的例子。

一、无穷小等价代换公式的概念无穷小等价代换公式是指在求极限的过程中，将一个无穷小量用一个与之等价的无穷小量代替，从而简化问题的方法。

在数学中，我们常常遇到一些复杂的极限表达式，如果直接求解会非常繁琐。

而通过使用无穷小等价代换公式，我们可以将原极限转化为一个简单的形式，从而更容易求解。

二、无穷小等价代换的应用无穷小等价代换公式在微积分中有着广泛的应用。

它可以用于求解函数的极限、计算函数的导数、证明定积分等。

下面我们通过几个例子来说明无穷小等价代换的具体应用。

例1：求解函数极限设函数f(x) = sin(x) / x，当x趋向于0时，求f(x)的极限。

由于sin(x) / x的极限形式为0/0，无法直接求解。

这时，我们可以将sin(x) / x用一个等价的无穷小量代换，例如用x代替sin(x) / x。

这样，原极限可以转化为lim(x→0) x / x = 1。

因此，f(x)的极限为1。

例2：计算函数导数设函数f(x) = ln(1 + x)，求f'(x)。

直接对ln(1 + x)求导会比较复杂，我们可以利用无穷小等价代换公式来简化计算。

当x趋向于0时，ln(1 + x)可以等价代换为x。

因此，f'(x) = lim(x→0) (ln(1 + x) - x) / x = 0。

因此，f'(x)等于0。

例3：证明定积分设函数f(x) = x^2，求解∫[0,1] f(x) dx。

我们可以利用无穷小等价代换公式，将x^2替换为一个等价的无穷小量，例如x。

这样，原定积分可以转化为∫[0,1] x dx = x^2/2|_[0,1] = 1/2。

因此，∫[0,1] f(x) dx等于1/2。

在使用无穷小等价代换公式时，需要注意以下几点：1. 确保等价代换的无穷小量与原无穷小量具有相同的极限；2. 注意等价代换的范围，确保在该范围内等价成立；3. 需要注意等价代换后可能引入的误差，特别是在计算定积分等问题时。

考研数学利用等价无穷小量求函数极限的方
法探讨
等价无穷小量求函数极限是求取函数极限的一种重要方式，它通过无穷小量的折中把复杂的极限问题简化为可以用微积分的知识解决的问题，因此在考研数学中运用广泛。

首先，要理解“等价无穷小量求函数极限”，我们需要熟悉极限。

极限概念可以描述一个函数在某个点附近的变化情况，也可以用来描述函数在某个点处的行为。

它的定义是：当x趋近于某个值时，f(x)的值将趋近于某个值L。

极限的计算一般有两种方法：一种是直接法，即根据已知条件直接求得极限；另一种是间接法，即把极限间接表示成等价无穷小量，然后用微积分的知识求得极限。

其次，要正确使用等价无穷小量求函数极限，可以用一些例子来说明，例如求一元函数f(x)=3*x+2在x=1处的极限，我们可以用
δ/Δx=0的方法，即把它表示成Δx→0时f(x+Δx)-f(x)→0，就可以把极限问题简化为Delta x 是一个无穷小量，所以我们可以把它表示成δ/Δx=0，即Δx→0时δ→0，这时候我们就可以用微积分的知识求得极限，得出f(x)在x=1的极限为5。

此外，使用等价无穷小量求函数极限需要注意几点：
1、针对不同的函数和情况，需要使用不同的量来表示无穷小量；
2、极限的求解结果往往不能确定，因此我们需要考虑多种极限值；
3、在求解过程中，要熟练掌握高等代数、微积分等知识，以便更好地理解和使用等价无穷小量来求解极限问题;
4、熟悉一些典型的极限求解方法，以便在遇到极限问题时能够及时应用。

总之，等价无穷小量求函数极限在考研数学中有重要意义，使用这种方法可以更好地理解极限概念并正确求解极限问题，但也需要熟悉相关知识，并能够正确运用。

可编辑修改精选全文完整版考研数学满分学姐经验谈（一）——等价无穷小在求极限中的应用文都考研命题研究中心考研数学中求极限的题目是每年必考的，而利用等价无穷小求极限是最重要的方法，熟练使用等价无穷小替换对于快速正确求解极限题目必不可少。

使用等价无穷小首先必须注意所求极限是否为不定型，然后再确定求极限的函数分子分母是否在同一趋势下均为无穷小，是否可化为分子分母均为无穷小的形式。

例如求当x趋于无穷时函数sin x/x的极限。

sin x当x趋于0时为无穷小，但当x趋于无穷时极限不存在，前者是通常会遇到的情况，而后者较少出现（当然，近来出现频率渐有增加）。

对此题目，若不细心，根据习惯使用当x趋于0时sin x的等价无穷小x进行替换求极限便大错特错了！此题目中的函数极限并非不定型，而须根据无穷小量的性质求极限，即无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

其次，在计算极限时，若表达式中分子或分母是几项相乘或相除，其中某项极限存在且不为零，可以先将其计算出来。

但加减法不适用。

这是便于计算极限时随时简化函数形式，免得在一遍遍誊写过程中出错。

再者，计算不定型极限时，若函数表达式中分子或分母是几项相乘的形式，可以使用等价无穷小替换。

这就需要考生记住一些常用等价无穷小的形式。

一般情况下，加减法不能使用等价替换，但若达到精确度时，也可以使用等价无穷小替换（这一点在2013无师自通《考研数学复习大全》中有更清晰地描述）。

例如lim x→2)+1-cosx]/x2，因为分母是二阶无穷小，所以可以用ln(1+x2)～x2，1-cosx～x2/2，0[ln(1+x从而lim x→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2= lim x→0[x2+ x2/2]/x2=3/2。

又如lim x→0[x-sinx]/x3，因为分母为三阶无穷小，若用sinx～x，则会导致错误的结果，事实上lim x→0[x-sinx]/x3= lim x→0[1-cosx]/3x2=1/6。

等价无穷小求极限摘要：极限的计算方法多样灵活,计算巧妙.等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一.在求和、差形式的函数极限,1 型函数的极限,积分上限函数的极限等方面,等价无穷小的替换具有很好的作用,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,起到事半功倍的效果.关键词：等价无穷小;函数的极限;级数收敛Equivalent Infinitesimal in limit research Abstract: The limits of the calculation methods are various flexible, clever calculation. Equivalent infinitesimal replacement is one of the important methods for limit. In sum, poor function limit, type function limit, the limit of integral upper limit function and so on, the equivalent infinitesimal replacement with good properties, grasp and make full use of the good properties, tend to make some complex problem is simplified, have twice the result with half the effort.Keywords: Equivalent infinitesimal, The limit of the function, Replace, The series converges.目录引言 (1)1乘积因子等价无穷小的替换 (2)2变上限积分的极限 (3)3极限中含加减因子的等价无穷小替换 (4)41 型不定式极限的替换 (9)5级数敛散性的等价无穷小替换 (11)6用洛必达法则求极限 (12)6.1 对非不定式极限使用洛必达法则 (13)6.2 过分依赖洛必达法则的优越性 (15)6.3洛必达法则与等无穷小替换的结合............................. `16 6.4洛必达法则是充分条件而非必要条件. (15)7小结 (16)8参考文献 (17)9致谢 (18)引言等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一，由于其便利快捷，化繁为简,它现在已经成为很多行业进行研究分析的一种重要工具。

等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1limx x x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．2011.11(6):112~114。

等价无穷小求极限的原理设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限都存在，且有f(x)=g(x)，那么当x趋向于a时，f(x)和g(x)的无穷小量是等价的，即：lim (x→a) (f(x) - g(x)) = 0这个原理常用于简化对复杂函数的极限求解，将问题转化为只考虑函数的主要部分。

下面我们通过一些例子来进一步说明等价无穷小求极限的原理。

例1：求极限lim (x→0) sin(x) / x这个极限可以使用等价无穷小的方法来求解。

我们知道当 x 趋向于0 时，sin(x) 和 x 的无穷小量是等价的，即sin(x) / x ≈ 1、因此lim (x→0) sin(x) / x = lim (x→0) 1 = 1例2：求极限lim (x→0) (1 - cos(x)) / x²这个极限在直接代入 0 后存在 0/0 的形式，无法直接求解。

但我们可以使用等价无穷小的思想来处理。

我们知道当 x 趋向于 0 时，cos(x) - 1 的无穷小量是等价于x²。

因此lim (x→0) (1 - cos(x)) / x² ≈ lim (x→0) x² / x² = lim(x→0) 1 = 1通过以上两个例子，我们可以看到等价无穷小求极限的原理可以帮助我们简化复杂的极限问题，使得问题更易于处理和解决。

它在微积分中的应用非常广泛。

当然，等价无穷小求极限的原理是有前提条件的。

两个函数在极限点a处的极限存在且相等是必要条件。

如果两个函数在极限点a处的极限不存在或者不相等，那么它们的无穷小量并不一定等价。

因此，在使用等价无穷小求极限的时候，我们需要确保所使用的等价无穷小是满足条件的。

总结起来，等价无穷小求极限的原理是通过将复杂的函数简化为等价无穷小，从而使得求解极限问题更加方便和简明。

在实际的微积分运算中，我们需要灵活掌握并应用这一原理，以解决各种极限问题。

等价无穷小在求函数极限中的应用及推广蔡晓娟（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070）指导教师：巩增泰摘要：求解函数极限是高等数学中非常重要的内容之一。

在求函数极限的过程中恰当应用等价无穷小代换可以使复杂的问题简单化，本文通过具体实例详细说明了等价无穷小替换在求解函数极限中的重要性。

关键词：等价无穷小；函数极限；替换Equivalent infinitesimal in solving functionlimit of popularization and applicationCai xiaojuan（College of Mathematics and Statistics , Northwest Normal University,Lanzhou,Gansu,730070）Supervisor: Gong ZengtaiAbstract：To solve the function limit is one of the most important parts in higher mathematics. It is simple and easy rather than to use equivalent infinitesimal substitution in solving function limit. The paper discusses the importance of equivalent infinitesimal substitution in seeking functional limit with specific example. Key words：Equivalent infinitesimal；Functional limit;Substitution在高等数学的学习过程中，函数极限是最基本的概念。

我们学习的目的就是能够掌握快速准确的求解函数极限的基本方法和技能。