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无穷小等价代换公式无穷小等价代换公式是微积分中常用的一种工具，它在求极限的过程中起到了关键作用。
本文将介绍无穷小等价代换公式的概念、应用以及一些常见的例子。
一、无穷小等价代换公式的概念无穷小等价代换公式是指在求极限的过程中，将一个无穷小量用一个与之等价的无穷小量代替，从而简化问题的方法。
在数学中，我们常常遇到一些复杂的极限表达式，如果直接求解会非常繁琐。
而通过使用无穷小等价代换公式，我们可以将原极限转化为一个简单的形式，从而更容易求解。
二、无穷小等价代换的应用无穷小等价代换公式在微积分中有着广泛的应用。
它可以用于求解函数的极限、计算函数的导数、证明定积分等。
下面我们通过几个例子来说明无穷小等价代换的具体应用。
例1：求解函数极限设函数f(x) = sin(x) / x，当x趋向于0时，求f(x)的极限。
由于sin(x) / x的极限形式为0/0，无法直接求解。
这时，我们可以将sin(x) / x用一个等价的无穷小量代换，例如用x代替sin(x) / x。
这样，原极限可以转化为lim(x→0) x / x = 1。
因此，f(x)的极限为1。
例2：计算函数导数设函数f(x) = ln(1 + x)，求f'(x)。
直接对ln(1 + x)求导会比较复杂，我们可以利用无穷小等价代换公式来简化计算。
当x趋向于0时，ln(1 + x)可以等价代换为x。
因此，f'(x) = lim(x→0) (ln(1 + x) - x) / x = 0。
因此，f'(x)等于0。
例3：证明定积分设函数f(x) = x^2，求解∫[0,1] f(x) dx。
我们可以利用无穷小等价代换公式，将x^2替换为一个等价的无穷小量，例如x。
这样，原定积分可以转化为∫[0,1] x dx = x^2/2|_[0,1] = 1/2。
因此，∫[0,1] f(x) dx等于1/2。
在使用无穷小等价代换公式时，需要注意以下几点：1. 确保等价代换的无穷小量与原无穷小量具有相同的极限；2. 注意等价代换的范围，确保在该范围内等价成立；3. 需要注意等价代换后可能引入的误差，特别是在计算定积分等问题时。
考研数学利用等价无穷小量求函数极限的方
法探讨
等价无穷小量求函数极限是求取函数极限的一种重要方式，它通过无穷小量的折中把复杂的极限问题简化为可以用微积分的知识解决的问题，因此在考研数学中运用广泛。
首先，要理解“等价无穷小量求函数极限”，我们需要熟悉极限。
极限概念可以描述一个函数在某个点附近的变化情况，也可以用来描述函数在某个点处的行为。
它的定义是：当x趋近于某个值时，f(x)的值将趋近于某个值L。
极限的计算一般有两种方法：一种是直接法，即根据已知条件直接求得极限；另一种是间接法，即把极限间接表示成等价无穷小量，然后用微积分的知识求得极限。
其次，要正确使用等价无穷小量求函数极限，可以用一些例子来说明，例如求一元函数f(x)=3*x+2在x=1处的极限，我们可以用
δ/Δx=0的方法，即把它表示成Δx→0时f(x+Δx)-f(x)→0，就可以把极限问题简化为Delta x 是一个无穷小量，所以我们可以把它表示成δ/Δx=0，即Δx→0时δ→0，这时候我们就可以用微积分的知识求得极限，得出f(x)在x=1的极限为5。
此外，使用等价无穷小量求函数极限需要注意几点：
1、针对不同的函数和情况，需要使用不同的量来表示无穷小量；
2、极限的求解结果往往不能确定，因此我们需要考虑多种极限值；
3、在求解过程中，要熟练掌握高等代数、微积分等知识，以便更好地理解和使用等价无穷小量来求解极限问题;
4、熟悉一些典型的极限求解方法，以便在遇到极限问题时能够及时应用。
总之，等价无穷小量求函数极限在考研数学中有重要意义，使用这种方法可以更好地理解极限概念并正确求解极限问题，但也需要熟悉相关知识，并能够正确运用。
可编辑修改精选全文完整版考研数学满分学姐经验谈（一）——等价无穷小在求极限中的应用文都考研命题研究中心考研数学中求极限的题目是每年必考的，而利用等价无穷小求极限是最重要的方法，熟练使用等价无穷小替换对于快速正确求解极限题目必不可少。
使用等价无穷小首先必须注意所求极限是否为不定型，然后再确定求极限的函数分子分母是否在同一趋势下均为无穷小，是否可化为分子分母均为无穷小的形式。
例如求当x趋于无穷时函数sin x/x的极限。
sin x当x趋于0时为无穷小，但当x趋于无穷时极限不存在，前者是通常会遇到的情况，而后者较少出现（当然，近来出现频率渐有增加）。
对此题目，若不细心，根据习惯使用当x趋于0时sin x的等价无穷小x进行替换求极限便大错特错了！此题目中的函数极限并非不定型，而须根据无穷小量的性质求极限，即无穷小量与有界变量之积为无穷小量。
其次，在计算极限时，若表达式中分子或分母是几项相乘或相除，其中某项极限存在且不为零，可以先将其计算出来。
但加减法不适用。
这是便于计算极限时随时简化函数形式，免得在一遍遍誊写过程中出错。
再者，计算不定型极限时，若函数表达式中分子或分母是几项相乘的形式，可以使用等价无穷小替换。
这就需要考生记住一些常用等价无穷小的形式。
一般情况下，加减法不能使用等价替换，但若达到精确度时，也可以使用等价无穷小替换（这一点在2013无师自通《考研数学复习大全》中有更清晰地描述）。
例如lim x→2)+1-cosx]/x2，因为分母是二阶无穷小，所以可以用ln(1+x2)～x2，1-cosx～x2/2，0[ln(1+x从而lim x→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2= lim x→0[x2+ x2/2]/x2=3/2。
又如lim x→0[x-sinx]/x3，因为分母为三阶无穷小，若用sinx～x，则会导致错误的结果，事实上lim x→0[x-sinx]/x3= lim x→0[1-cosx]/3x2=1/6。
等价无穷小求极限摘要：极限的计算方法多样灵活,计算巧妙.等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一.在求和、差形式的函数极限,1 型函数的极限,积分上限函数的极限等方面,等价无穷小的替换具有很好的作用,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,起到事半功倍的效果.关键词：等价无穷小;函数的极限;级数收敛Equivalent Infinitesimal in limit research Abstract: The limits of the calculation methods are various flexible, clever calculation. Equivalent infinitesimal replacement is one of the important methods for limit. In sum, poor function limit, type function limit, the limit of integral upper limit function and so on, the equivalent infinitesimal replacement with good properties, grasp and make full use of the good properties, tend to make some complex problem is simplified, have twice the result with half the effort.Keywords: Equivalent infinitesimal, The limit of the function, Replace, The series converges.目录引言 (1)1乘积因子等价无穷小的替换 (2)2变上限积分的极限 (3)3极限中含加减因子的等价无穷小替换 (4)41 型不定式极限的替换 (9)5级数敛散性的等价无穷小替换 (11)6用洛必达法则求极限 (12)6.1 对非不定式极限使用洛必达法则 (13)6.2 过分依赖洛必达法则的优越性 (15)6.3洛必达法则与等无穷小替换的结合............................. `16 6.4洛必达法则是充分条件而非必要条件. (15)7小结 (16)8参考文献 (17)9致谢 (18)引言等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一，由于其便利快捷，化繁为简,它现在已经成为很多行业进行研究分析的一种重要工具。
等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1limx x x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．2011.11(6):112~114。
等价无穷小求极限的原理设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限都存在，且有f(x)=g(x)，那么当x趋向于a时，f(x)和g(x)的无穷小量是等价的，即：lim (x→a) (f(x) - g(x)) = 0这个原理常用于简化对复杂函数的极限求解，将问题转化为只考虑函数的主要部分。
下面我们通过一些例子来进一步说明等价无穷小求极限的原理。
例1：求极限lim (x→0) sin(x) / x这个极限可以使用等价无穷小的方法来求解。
我们知道当 x 趋向于0 时，sin(x) 和 x 的无穷小量是等价的，即sin(x) / x ≈ 1、因此lim (x→0) sin(x) / x = lim (x→0) 1 = 1例2：求极限lim (x→0) (1 - cos(x)) / x²这个极限在直接代入 0 后存在 0/0 的形式，无法直接求解。
但我们可以使用等价无穷小的思想来处理。
我们知道当 x 趋向于 0 时，cos(x) - 1 的无穷小量是等价于x²。
因此lim (x→0) (1 - cos(x)) / x² ≈ lim (x→0) x² / x² = lim(x→0) 1 = 1通过以上两个例子，我们可以看到等价无穷小求极限的原理可以帮助我们简化复杂的极限问题，使得问题更易于处理和解决。
它在微积分中的应用非常广泛。
当然，等价无穷小求极限的原理是有前提条件的。
两个函数在极限点a处的极限存在且相等是必要条件。
如果两个函数在极限点a处的极限不存在或者不相等，那么它们的无穷小量并不一定等价。
因此，在使用等价无穷小求极限的时候，我们需要确保所使用的等价无穷小是满足条件的。
总结起来，等价无穷小求极限的原理是通过将复杂的函数简化为等价无穷小，从而使得求解极限问题更加方便和简明。
在实际的微积分运算中，我们需要灵活掌握并应用这一原理，以解决各种极限问题。
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广蔡晓娟（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070）指导教师：巩增泰摘要：求解函数极限是高等数学中非常重要的内容之一。
在求函数极限的过程中恰当应用等价无穷小代换可以使复杂的问题简单化，本文通过具体实例详细说明了等价无穷小替换在求解函数极限中的重要性。
关键词：等价无穷小；函数极限；替换Equivalent infinitesimal in solving functionlimit of popularization and applicationCai xiaojuan（College of Mathematics and Statistics , Northwest Normal University,Lanzhou,Gansu,730070）Supervisor: Gong ZengtaiAbstract：To solve the function limit is one of the most important parts in higher mathematics. It is simple and easy rather than to use equivalent infinitesimal substitution in solving function limit. The paper discusses the importance of equivalent infinitesimal substitution in seeking functional limit with specific example. Key words：Equivalent infinitesimal；Functional limit;Substitution在高等数学的学习过程中，函数极限是最基本的概念。
我们学习的目的就是能够掌握快速准确的求解函数极限的基本方法和技能。
等价无穷小代换在求极限过程中的应用极限计算是数学研究和计算中的重要方法，用于研究函数的变化趋势以及解决科学问题，可以在很多方面得到广泛的应用，包括物理学，化学，生物学，工程学，航空航天学等。
极限的求取是一个关键实践，等价无穷小是求取极限的一种重要方法。
等价无穷小是指在一定条件下，用更小而等价的量来取代原有无穷量，以不断增大拐点位置范围中的拐点个数，用极限函数表示终极趋势。
可以理解为，等价无穷小就是在一定条件下使用更小而相当于无穷大的量来求解极限。
极限的应用广泛，等价无穷小在求极限中常常用到。
比如，计算函数f(x)在某一点处的极限值，把x的值改变的量记作dx，可以利用等价无穷小来求解，即，假定dx是一种等价无穷小，把f(x)的值变成f(x+dx)，那么对x的极限为：lim f(x)=f(x)+f`(x)dx，其中f`(x)是函数f(x)的导函数。
等价无穷小可以明确极限在某点存在的条件，以上例子即表明函数f(x)趋于f(x)在x处的极限值需要满足：f(x+dx)=f(x)+f`(x)dx，即f成线性函数关系，而且系数f`(x)当dx趋于0时不断减少到0，从而极限趋近某值。
从上面的例子可以看出，等价无穷小是一个相对有用的概念，它可以用来近似表达无穷大，在求解极限过程中，等价无穷小可以提供重要线索，让求极限更加容易，比如可以来分析函数的变化趋势，比如函数正常变化，函数趋于某一常数，函数趋于正无穷大或负无穷大等。
由此可见，等价无穷小在求取极限中是非常有用的。
总之，等价无穷小是一种实用的方法，可以用来求取极限。
它能够模仿无穷大，有助于我们更好的理解函数的变化趋势，更容易求取极限，从而让数学计算更加方便。
等价无穷小求函数极限1绪论1.1研究背景和意义极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。
现有的极限问题的求解方法主要有以下几种: 定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。
函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。
其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。
虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。
等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。
研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。
等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。
生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。
等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。
用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。
因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。
等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。
利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。
等价无穷小在考研数学中的应用极限问题是整个微积分学的基础，是高等数学基础概念与核心内容之一。
在考研数学中，极限问题的分值大约是4～10分，而高数在考研数学的分值大约是84分，因此极限问题是不容忽视的一部分。
通常，大家是利用一阶等价无穷小解极限问题，然而，等价无穷小并不只有一阶无穷小，如何获取更多的等价无穷小并应用到实例中是大家更想知道的。
本文在第二部分给出了由泰勒公式得到的常见的高阶无穷小及实例，并对此问题作了进一步说明，希望对大家有所帮助。
一、常见的等价无穷小当x→0时，有灵活地使用这些等价无穷小，我们可以快速地求解极限问题。
例1 (2016)已知函数f(x)满足则解：因为所以利用以上等价无穷小，可以处理一些相对简单的极限问题，就而言，直接做就会出错。
一些书说加减不能用等价无穷小，只有乘除可以使用等价无穷小，这句话是正确的。
若可以找到分子部分整体的等价无穷小，则这个问题就会转变为乘除问题，就可以直接计算。
下面本文将在第二部分给出高阶等价无穷小，可以运用它使一些加减式的问题转化为乘除式的。
二、泰勒公式及高阶等价无穷小(一) 泰勒公式在各种试题中常用到以下泰勒公式。
(二) 高阶等价无穷小通过移项可以把泰勒公式转化为任意阶的等价无穷小。
如下：当x→0时，有下面我们将运用这些高阶等价无穷小解历年真题。
例2设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sin x，g(x)=c=kx3。
若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
解：(法一)因为则由得所以有(法二)由已知可得：由可得所以代入a，b，得通过上面的例题及解法我们可以看出，高阶等价无穷小运算量较小，且计算方便；而其他的方法较为复杂，计算量较大。
三、总结等价无穷小在求解极限问题时有着广泛的应用，但要选择恰当的方法进行求解。
本文着重介绍了由泰勒公式获取的高阶等价无穷小并运用它解决了一些相对复杂的极限问题。
那么，如何获取并使用高阶等价无穷小是值得我们去研究，思索的问题。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题极限是数学中非常重要的概念，在求解数学问题时经常被使用。
它的性质之一就是求解极限的过程中，有时数值会改变，但最终答案却不会改变。
为了更好地求取极限，我们常常会将极限中有无穷小的量用一个相同或相近的数值来替换。
这就是所谓的“等价无穷小替换”。
等价无穷小替换是一种常见的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
下面就来详细讨论这一技巧。
首先，要理解等价无穷小替换，首先要明白极限的概念。
极限是数学中一个指的是一个数列中元素取值的极限的概念，它表示的就是某一数列的取值将要趋向于某一值，但又不会实际到达这一值，这一值称为极限。
因此，求取极限并不是实际到达极限值，而是求取在某种条件下，数列元素将趋于某个值，虽然不能够实际取到这个值，但是可以通过极限的性质来近似的求取这个值。
而在求取极限的过程中，有时数值会发生改变，但最终答案却不会改变，此时，就可以用等价无穷小替换的方式来帮助我们求取极限值。
所谓等价无穷小替换，就是将无穷小的或接近无穷小的量用一个等价的数值来代替，而这个等价的数值往往要比无穷小要大得多，这样就可以再计算中省去大量的计算量，从而达到求取极限的目的。
例如，求取极限∫ x*dx当x=1时，积分项为1/2如果我们使用等价无穷小替换的思想，就可以将x替换成接近1的数值。
比如x=1.001，这时积分项为1.0005，可以看出，即使把x 取值替换成1.001，最终积分结果也快准确，而且这种操作大大缩减了计算量。
上述就是等价无穷小替换的一般思想，即求取极限时，如果遇到无穷小或接近无穷小的量，就可以使用等价无穷小替换的思想，用一个小的数字来替代，从而达到节省计算量和提高精度的效果。
等价无穷小替换也有一定的局限性，它并不是永远可靠的。
在某些情况下，它会导致计算结果的误差变大。
因此，当使用等价无穷小替换时，需要谨慎细致，以免造成计算错误。
综上所述，等价无穷小替换是一种非常有用的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。
下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。
例1：求极限30tan sin limx x x x →- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，lim lim lim αβααβαβββαββαα''''-⋅-''-==，当lim 1α≠时,这个命题是真命题；当lim 1α=时,命题是假命000x x x →→→错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x均为0， 所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x ≠时， 22211sin(sin sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sin x x x x x x x≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例3：求极限sin limx x xπ→ 解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1．应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==.注意：①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．巩固相应知识点①无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim 0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量.,记为()()x x αβ~. )x k 的阶无穷小量。
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广作者：马志 指导老师：张海摘要 利用等价无穷小作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法，围绕无穷小之比、变上限积分的极限、幂指函数和Taylor 公式，利用等价无穷小代换思想进行分析应用，以此达到极限求解中化繁为简、化难为易得目的。
在求极限过称中，用等价无穷小代替，起到了一种化繁为间的作用，在函数中也能使用等价无穷小 前言 设f 在某()0x 内有定义，若lim ()0x x f x →= 则称f 为当0x x →时的无穷小量设当0x x →时，f 于g 均为无穷小量 若0()lim1()x x f x g x →= 则称f 于g 是当0x x →时的等价无穷小量。
记作 0()~()()f x g x x x →一 、等价无穷小在求函数极限中的应用1求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些0∞ 1∞型的极限的计算引理 设函数f （x ），f（x ）满足下列条件：在a 的某个去心邻域内均有非零导数（1） L imf （x ）=0，lim ()0x af x →=；（2） ()lim 1()x a f x f x →'=' 则()lim1()x af x f x →=，ln(1())lim 1ln (1())x a f x f x →+=+（3）当f （x ），()f x >0时, ln ()lim ln ()x af x f x →=1证明 由洛比塔法则;()lim ()x a f x f x →=()lim 1()x a f x f x →'='; ln(1())lim ln (1())x a f x f x →+=+1()()lim .11()()x a f x f x f x f x →⎧⎫'+=⎨⎬'+⎩⎭ln ()limln ()x a f x f x →=()()lim .1()()x a f x f x f x f x →'=',证毕定理1 设函数f(x),g(x)及()f x ,()g x 满足下列条件: （1）在a 的某去心邻域内均有导数 （2）在x →a 时,均为无穷小量,()lim 1()x a f x f x →'=',()lim 1()x a g x g x →'=',于是; (1) 若1()lim 1(),f x x ag x l →⎡⎤+=⎣⎦[]1()lim 1()f x x ag x l →+=(2)若f(x), ()f x >0，且()lim ()g x x af x t →=,则()lim ()g x x af x t →=证明 由引理 (1)[][]ln 1()ln 1()ln 1()ln 1()()limlim **lim ()()()()ln 1()x ax a x a g x g x g x g x f x f x f x f x f x g x →→→⎧⎫⎡⎤⎡⎤++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦==⎨⎬⎡⎤+⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 故[]11()()lim 1()lim 1()f x f x x ax ag x g x l →→⎡⎤+=+=⎣⎦(2) ()ln ()lim ()ln ()lim ()ln ()**lim ()ln ()()ln ()x a x a x a g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x →→→⎧⎫==⎨⎬⎩⎭故()()lim ()lim ()g x g x x ax af x f x t →→==如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些0∞1∞型的极限时将很方便. 如0x →时, ,sin ,tan ,1,ln(1)x x x x e x -+等,均为无穷小量,且()()0200sin lim limcos 1tan 1lim lim1cos x x x x x x x x x x→→→→'==''=='()[]00001limlim 1ln(1)1lim lim 11xx x x x x e e x x x x →→→→'-==''+=='+例1 求下列函数的极限 (1) ()()32cot 00lim(1),(2)lim 1tan ,(3)lim 1sin xx xx x x x x x →→→++-()41sin 00(4)lim(),(5)lim 1ln 1x xxx x x e x →→+++⎡⎤⎣⎦解 (1)原式=()()11tan 0lim 1lim 1xxx x x x e →→+=+=(2)原式=33lim(1)xx x e →+=(3)原式=()()22120lim 1lim 1xx x x x x e ---→→⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦（4）原式=()()4100lim 11lim 21xx xxx x x e x e →→⎡⎤+-+=+=⎣⎦ （5）原式=()10lim 1xx x e →+=例2 求下列函数的极限()()()()sin sin 2002tan 12tan 002(1)lim cos ,(2)lim ,(3)lim tan 1(4)lim cot ,(5)lim ,(6)lim tan x xxx x x xx xx x x x x x x x x ππππ-++++--→→→-→→→⎛⎫⎪⎝⎭解 （1） 原式=()202lim sin lim sin lim 12xyy y oy x x y y πππ-++-→→→⎡⎤⎛⎫-=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（其中，2y x π=-）（2）原式=sin 0lim lim 1x x x x x x ++→→==（3）原式=0lim 1xx x +→=（4）原式=()111ln 1ln ln ln 0lim tan lim lim xxx xx x x x x e e +++----→→→===（5）原式=tan 00lim lim 1x x x x x x ++--→→==（6）原式=()()2220lim cot lim tan lim 1yyy x x x y y y +++-→→→===（其中2y xπ=-）所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，α和 β都是无穷小，且α≠0，如果lim1βα=，那么α和β是等价无穷小，记~αβ。
等价无穷小在解题中的应用工程与设计学院 数学111本摘要:本文重点研究解决极限问题中的等价无穷小的应用，在高等数学学习中这对于学习和解决极限问题的能力有促进作用．关键字:等价无穷小;极限;替换;应用1 引言极限理论与计算是高等数学的重要内容之一，而等价无穷小在求极限的运算过程中具有极好的性质．因此，必须掌握等价无穷小的概念并充分利用好的它的性质，可以使一些复杂的极限计算问题简单化，达到简化目的.比如，求这样一个极限问题，20(1cos )lim (1)sin x x x x e x →--,它是一个0型的不定式极限，若用洛必达法则求极限则原式=22201cos lim2cos (sin 2cos )x x x xsinx x x e x x x →-+-+,在对分子分母求一阶导后仍然是一个0型的极限，再用洛必达法则，对分子分母进行第二次求导，则原式=22222202sin cos lim2cos 4sin [(14)sin (42)cos ]x x x x xx x x e x x x x →+---++，显然二 阶导后依然是型不定式极限，继续求，计算过程将会相当繁琐，并且很难求出结果。
但是，若果用等价无穷小替换求此极限，则原式=2202lim x x x x x →⋅⋅=12．由上面的解题过程可见，在用等价无穷小替换求解两步即可，明显优于洛必达法则求极限．所以在求解函数极限的过程中必须熟练并准确运用等价无穷小性质解题，便可达到事半功倍的效果。
本文就是通过对等价无穷小概念及其性质的理解，讨论等价无穷小在乘除运算、和差运算、幂指函数、变上限积分和级数敛散性中极限函数的应用及其相关注意点．2 等价无穷小在解题中的应用2.1 等价无穷小在乘除极限运算中的代换根据等价无穷小的定义,在求0型的乘除式极限里,其因子可用等价因子代替,极限不变.下面给出最常用的等价关系: 当0x →时()si n t an arct an arcsi n ln 1x x x x x x +()1111ln bxxx a e a b+--- （其中a >0,0b ≠）.还有()211cos 2x x - 定理[1]1 设函数(),(),()f x g x h x 在00()U x 上有定义，且有0()~()()f x g x x x →.（1）若0lim ()()x x f x h x A →=，则0lim ()()x x g x h x A →=；（2）若0()lim()x x h x B f x →=，则0()lim ()x x h x B g x →=.证 （i ）0()lim ()()limlim ()()1()x x x x x x g x g x h x f x h x A A f x →→→=⋅=⋅=. （ii ）000()()()limlim lim 1()()()x x x x x x h x h x f x B B g x f x g x →→→=⋅=⋅=. 例1 求0arctan limsin 4x xx→.解 由于()arctan 0x x x → ,sin 44x x ()0x →.故由定理1得0arctan 1limlim sin 444x x x x x x →→∞==.例2 利用等价无穷小代换求极限30tan sin limsin x x xx →-.解 由于()sin tan sin 1cos cos xx x x x-=- ,而()sin 0x x x → ()2,1cos 0,2x x x -→ ()33sin 0x x x → .故有30t a n s i n l i m sin x x x x →-23112cos 2x x x x ⋅=⋅= . 2.2等价无穷小在和差运算中的代换对型乘除运算求极限,利用等价无穷小代换简便而有效.而对加减运算则需格外谨慎. 如，在利用等价无穷小代换求极限时,应注意:只有对所求极限中相乘或相除的因子才能用等价无穷小替换,而对极限式中相加或想减的部分则不能随意替换.如在例4中,若因有()t a n 0,x x x → ()s i n 0x x x → ,而推出3tan sin limsin x x x x →-=30lim 0sin x x xx →-=,则得到的是错误的结果 下面定理给出了加减运算求极限是施行等价无穷小代换的条件. 定理[3]2设11,,,f f g g 均为0x x →时的无穷小函数,且11,f f g g ,0limx x fg→存在,但不等于-1,则11f g f g ++ ()0x x →.证 需证011lim 10x x f g f g →⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭或()011lim 0x x f g f g f g →+-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭.因为()11f g f g f g+-++=11f fg g f g f g --+++, 注意到0lim1x x fg→≠-,故有 00001111limlim lim 01lim 1x x x x x x xx f f f f f f g f g g f f f →→→→---===+⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭,00001111limlim lim 01lim 1x x x x x x xx g g g g g g f f g f g gg →→→→---===+⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭.注 显然条件0lim1x x fg →≠-可换为011lim 1x x f g →≠-.易知若无穷小f 与g (或1f 与1g )同时为正(负),且极限0limx x fg →或011lim x x f g →存在,则11f g f g ++ ()0x x →. 推论 1. 设11,,,f f g g 均为0x x →时的无穷小函数,且11,f f g g ,0lim x x fg→存在,但不等于1,则11f g f g -- ()0x x →.由定理1同理可证 推论2 设1111,,,,,,,f f g g h h k k 均为0x x →时的无穷小函数,且1111,,,f f g g h h k k ,0limx x fg →0,lim x x h k →存在,但不等于1,则0lim x x f g h k →--=01111lim x x f g h k →--.若不等于-1,则0limx x f g h k →++=01111lim x x f g h k →++. 推论2可有定理2和推论1直接证得 例3 求 ()0tan sin sin 2limtan 2arcsin 2x x xx x→+-.解 因为0x →是()tan sin x x ,tan x x ,2arcsin 24x x -- ,且()0tan sin 1lim1sin 22x x x →=≠-,01lim 144x x x →=-≠--, 所以 原式=02lim14x x xx x→+=--.例4求0x → 解 因为0x →时,1→1,由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换)e e αβαβαβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭可得原式=()01tan sin 2lim 2tan sin x x x x x→+- ()012lim 21.x x x x x →+=-=. 例5 求2320sin 1cos lim.1cos tan x x xx x→+--- 解 由等价关系可得()31cos 31cos x x -- ,且20s i n l i m 1.1c o s x x x →≠-- ()2031cos lim1.tan x x x →-≠ 所以 原式=()222012lim 31cos x x x x x →+--202232lim1323.x x x x →=⋅-=例6 求()()()01cos 2lim.tan 2sin sin 2xx x xx x x x →+---解 由于()()ln 11xx x x e++=,()()ln 11ln 1x xe x x +-+ ,()211cos 222x x -且 ()()0002ln 1tan 2sin 2lim1,lim 1,lim 1.1sin 22x x x x x x xx xx →→→+≠-≠≠ 所以 原式=()()()ln 1011cos 2lim .tan 2sin sin 2x xx e xx x x x +→-+---=()()221ln 122limx x x x x →++=22202lim3.x x x x →+=2.3等价无穷小在幂指函数极限中的代换定义[4]1设f ，g ：A R R ⊆→是两个函数，且x A ∀∈，()0f x >，则称形如()()g x f x 的函数为幂指函数.幂指函数与对数的转换公式()()g x f x =()()ln g x f x e.在求函数极限过程中，常常会碰到00、1∞和0∞三种不定式极限问题，若能在这些幂指函数求极限过程中，利用等价无穷小代换,可将复杂问题简单化。
考研数学满分学姐经验谈（一）
——等价无穷小在求极限中的应用
文都考研命题研究中心
考研数学中求极限的题目是每年必考的，而利用等价无穷小求极限是最重要的方法，熟练使用等价无穷小替换对于快速正确求解极限题目必不可少。
使用等价无穷小首先必须注意所求极限是否为不定型，然后再确定求极限的函数分子分母是否在同一趋势下均为无穷小，是否可化为分子分母均为无穷小的形式。
例如求当x趋于无穷时函数sin x/x的极限。
sin x当x趋于0时为无穷小，但当x趋于无穷时极限不存在，前者是通常会遇到的情况，而后者较少出现（当然，近来出现频率渐有增加）。
对此题目，若不细心，根据习惯使用当x趋于0时sin x的等价无穷小x进行替换求极限便大错特错了！此题目中的函数极限并非不定型，而须根据无穷小量的性质求极限，即无穷小量与有界变量之积为无穷小量。
其次，在计算极限时，若表达式中分子或分母是几项相乘或相除，其中某项极限存在且不为零，可以先将其计算出来。
但加减法不适用。
这是便于计算极限时随时简化函数形式，免得在一遍遍誊写过程中出错。
再者，计算不定型极限时，若函数表达式中分子或分母是几项相乘的形式，可以使用等价无穷小替换。
这就需要考生记住一些常用等价无穷小的形式。
一般情况下，加减法不能使用等价替换，但若达到精确度时，也可以使用等价无穷小替换（这一点在2013无师自通《考研数学复习大全》中有更清晰地描述）。
例如lim x→
2)+1-cosx]/x2，因为分母是二阶无穷小，所以可以用ln(1+x2)～x2，1-cosx～x2/2，0[ln(1+x
从而lim x→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2= lim x→0[x2+ x2/2]/x2=3/2。
又如lim x→0[x-sinx]/x3，因为分母为三阶无穷小，若用sinx～x，则会导致错误的结果，事实上lim x→0[x-sinx]/x3= lim x→0[1-cosx]/3x2=1/6。
等价无穷小替换在求函数极限中有重要作用，在使用任何方法的过程中都可使用等价无穷小替换将形式繁琐的函数简化，再进一步计算。
特别是利用洛比达法则求极限时，有的函数若不进行化简，求导后形式繁杂，会增加计算难度。
