2020高考数学一轮复习几何证明选讲课时训练选修4_1

选修4－1 几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识(理科专用)1. 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，求AB 的长．解：根据题意可以判断Rt △ABE ∽Rt △ECD ，则有AB BE ＝ECCD，可得AB ＝2.2. 如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝52，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长．解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC 的周长为25 cm.3. 在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE∥BC，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，求DE∶BC 的值．解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE ∶BC ＝1∶2. 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6 cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，求BC 的长．解：∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ ∠GDB ＝∠FEC＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm.∵ ∠B＋∠C＝90°，∠B ＋∠BGD＝90°，∴ ∠C ＝∠BGD，∴ △BGD ∽△FCE ，∴ BD EF ＝GDEC，即BD＝EF·GD EC＝12 cm ，∴ BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21 cm.5. 如图，在ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9 cm 2，求S △AOB .解：∵ 在ABCD 中 ，AB ∥DE ，∴ △AOB ∽△EOD ，∴ S △AOB S △DOE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DE 2.∵ E 是CD 的中点，∴ DE ＝12CD ＝12AB ，则AB DE ＝2，∴ S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴ S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.6. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上中点，延长BA 到E ，使AE ＝13EB ，连结DE ，交AC于F.求AF∶FC 的值．解：过D 点作DP∥AC(如图)，因为D 是BC 的中点，所以P 为AB 的中点，且DP ＝12AC.又AE ＝13EB ，所以AE ＝AP ，所以AF ＝12DP ＝14AC ，所以AF∶FC＝1∶3.7. 将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长．解：设BF ＝x.若△CFB′∽△CBA， 则CF CB ＝B′F AB ，即4－x 4＝x 3.∴ 12－3x ＝4x ，∴ x ＝127. 若△CFB′∽△CAB，则CF CA ＝B′F AB ，即4－x 3＝x3，得x ＝2.即BF ＝2或127.8. 如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交BC 于F.求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM∥AF 交BC 于M.因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13.因为EF∥DM，所以S △BEFS △BDM＝19，即S △BDM ＝9S △BEF .又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.9. 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE ·AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴ DN ＝12BF.∵ DN ∥AF ，∴ △AFE ∽△DNE. ∴ AE AF ＝DE DN. ∵ DN ＝12BF ，∴ AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，CE ⊥BD ，交AD 于E ，连结BE ，交AC 于点F.求证：AF ＝FC.证明：取BC 的中点H ，连结AH. ∵ AB ＝AC ，∴ AH ⊥BC. ∵ CE ⊥BD ，∴ AH ∥EC. ∵ CD ＝BC ，∴ CD ＝2CH.则DE ＝2AE.取ED 的中点M ，连结CM.则ME ＝AE. ∵ C 为BD 的中点，∴ CM ∥BE. 则F 为AC 的中点，即AF ＝FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA ，交BA 的延长线于点F.(1) 求证：∠DEA＝∠DFA；(2) 若∠EBA＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．(1) 证明：连结AD 、BC. 因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝∠EFA＝90°， 故A 、D 、E 、F 四点共圆， 所以∠DEA＝∠DFA.(2) 解：在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB，所以△EFA∽△BCA，故EA AB ＝AFAC.设AF ＝a ，又EF ＝3，∠EBA ＝30°，所以BF ＝3，则AB ＝3－a ，AE 2＝AF 2＋EF 2＝a 2＋3.所以a(3－a)＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.第2课时 圆的进一步认识(理科专用)1. (2014·南京、盐城期末)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．解：因为P 为AB 中点，所以OP⊥AB，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.因为PC·PD＝PA·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.2. 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，求CEEO的值．解：设圆的半径为R ，则AD ＝AB 3＝23R ，OD ＝R －23R ＝13R.又OD 2＝OE·OC，所以OE ＝OD 2OC＝19R ，CE ＝R －19R ＝89R ，所以CEEO＝8.3. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，分别求PD 、AB 的值．解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x.因为PA 为圆O 的切线，所以PA 2＝PD·PB，所以32＝9x·(9x＋16x)，化为x 2＝125，所以x ＝15.所以PD ＝9x ＝95，PB ＝25x ＝5.因为AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，所以AB⊥PA.所以AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.4. (2014·苏北三市期末)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C＝50°，求∠DEF 的度数．解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED＝90°.因为DF⊥AF，得∠AFD＝90°，所以A 、D 、F 、E 四点共圆， 所以∠DEF＝∠DAF.又∠ADF＝∠ABD＋∠BAD＝12(∠ABC＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C ，所以∠DEF＝∠DAF＝90°－∠ADF＝12∠C.由∠C＝50°，得∠DEF＝25°.5. 自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明：∵ PA 与圆相切于A ，∴ MA 2＝MB·MC.又M 为PA 的中点，∴ PM ＝MA ，∴ PM 2＝MB·MC，∴ PM MC ＝MB PM.∵ ∠BMP ＝∠PMC，∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB.6. (2014·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE⊥AC.求证：AC ＝2OD.证明：∵ DE 是圆O 的切线，∴ OD ⊥DE.又DE⊥AC，∴ OD ∥AC.∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，∴ OD ＝12AC ，即AC ＝2OD.7. (2014·南京、盐城一模)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．(1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE＝∠ACB.因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠ACB. 所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC，所以四边形ACBE 为平行四边形．(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE ＝4.根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.设CF ＝x ，由BD∥AC，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83.8. (2014·盐城二模)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．解：∵ AB 是圆O 的直径且BC ＝CD ，∴ AB ＝AD ＝10. 连结CO ，∵ EC 为圆O 的切线，∴ EC ⊥CO. 记H 是AD 与圆O 的交点，连结BH ， ∴ EC ∥BH ，∴ HE ＝ED ＝3，∴ AH ＝4，∴ BD 2－62＝AB 2－42，∴ BD ＝230，∴ BC ＝30.9. 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交CD 的延长线于点P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1) 求AC 的长； (2) 求证：BE ＝EF.(1) 解：∵ PA 2＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴ PD ＝4. 又PC ＝ED ＝1，∴ CE ＝2.∵ ∠PAC ＝∠CBA，∠PCA ＝∠CAB，∴ △PAC ∽△CBA ，∴ PC AC ＝ACAB ，∴ AC 2＝PC·AB＝2，∴ AC ＝ 2.(2) 证明：∵ BE＝AC ＝2，CE ＝2，而CE·ED＝BE·EF，∴ EF ＝2×12＝2，∴ EF＝BE.10. (2014·南京二模)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD·EC.证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD＝∠CAE. 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD， 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC.所以AD BD ＝ECCA，即AD·CA＝BD·EC.因为△ACD 为等边三角形， 所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD·EC.11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是圆O 的割线，过点G 作AB 的垂线交AC 的延长线于点E 、交AD 的延长线于点F ，过G 作圆O 的切线，切点为H.求证：(1) C 、D 、F 、E 四点共圆；(2) GH 2＝GE·GF.证明：(1) 如图，连结BC.∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°. ∵ AG ⊥FG ，∴ ∠AGE ＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴ ∠ABC ＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC ＝∠AEG. ∴ ∠FDC ＋∠CEF＝180°. ∴ C 、D 、F 、E 四点共圆．(2) ∵ GH 为圆O 的切线，GCD 为割线，∴ GH 2＝GC·GD.由C 、D 、F 、E 四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC ＝∠GDF，∴ △GCE ∽△GFD.∴ GC GF ＝GEGD ，即GC·GD＝GE·GF， ∴ GH 2＝GE·GF.。

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习几何证明选讲课时跟踪训练（选修4-1）文一、选择题1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC、AC于点G、E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为( )A．6 B．8C．12 D．15解析：∵DF＝AD，∴D为AF中点，又AB∥CD，∴G为BF中点，∴FG＝GB＝12，又EF ＝16，∴EG＝4，∴BE＝8.答案：B2.如图，⊙O与⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3，NQ＝15，则PN＝( )A．3 B.15 C．3 2 D．3 5解析：由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3 5.答案：D3．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到AC 的距离OD ＝( )A. 3 B ．3 C ．3 3 D ．4解析：由已知得∠CBA ＝90°，因为BC ＝43，∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC tan 30°＝4333＝12，故AO ＝6，由于∠ODA ＝90°，所以OD ＝3.答案：B4．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝( )A ．5B ．6C ．3 3D ．4 2解析：由三角形相似可得DE 2＝DF ·DB ，连接AD ，则DE 2＝AE ·EB ＝1×5＝5.所以DF ·DB ＝5.答案：A5．如图，AB 是圆O 的直径，且长为4，E 为OB 的中点，过E 作AB 的垂线交圆O 的任意弦AC 的延长线于D ，BC 与DE 交于点F ，则DE ·EF ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由ME ⊥AB ，AB 为圆O 的直径，所以∠B ＝90°－∠BFE ＝90°－∠DFC ＝∠D ，所以Rt △AED ∽Rt △FEB ，即AE ∶ED ＝FE ∶EB ，所以AE ·EB ＝ED ·EF .根据相关弦定理得ME 2＝EA ·EB ＝3.所以ED ·EF ＝EM 2＝3.答案：C6．(2014·天津卷)如右图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④ 解析：由弦切角定理知∠FBD ＝∠BAD ，∵AD 平分∠BAC ，∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠DBC . ∴∠FBD ＝∠CBD ，即BD 平分∠CBF ，∴①正确； 由切割线定理知，∴②正确；由相交弦定理知，AE ·ED ＝BE ·EC ，∴③不正确； ∵△ABF ∽△BDF ，∴AB BD ＝AF BF.∴AF ·BD ＝AB ·BF ，∴④正确．故选D. 答案：D 二、填空题7．(2014·陕西卷)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.解析：由已知得四边形BCFE 为圆的内接四边形，因此∠AEF ＝∠ACB ，∠AFE ＝∠ABC ，所以△AEF ∽△ACB ，于是有AE AC ＝EFCB，而AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3.答案：38．(2015·湖北七市联考)如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B ，C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若PA ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝__________.解析：因为PA 是⊙O 的切线，所以OA ⊥PA .在Rt △PAO 中，∠APB ＝30°， 则∠AOP ＝60°，AO ＝AP tan 30°＝2， 连接AB ，则△AOB 是等边三角形，过点A 作AM ⊥BO ，垂足为M ，则AM ＝ 3. 在Rt △AMD 中，AD ＝3＋4＝7， 又ED ·AD ＝BD ·DC ，故ED ＝377， 则AE ＝7＋377＝1077.答案：10779．(2014·湖北卷)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.解析：由题知PA ＝PB .PA 切⊙O 于点A ，由切割线定理可得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4.∴QA ＝2，∴PA ＝2×2＝4＝PB . 答案：4 三、解答题如为解答，则是“解”或“证明”不能打成“解析”了10.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD ⊥CE ，垂足为D . (1)求证：AC 平分∠BAD ； (2)若AB ＝4AD ，求∠BAD 的大小．解：(1)证明：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠B ＋∠CAB ＝90°，∵AD ⊥CE ，∴∠ACD ＋∠DAC ＝90°， ∵AC 是弦，且直线CE 和⊙O 切于点C ，∴∠ACD ＝∠B ，∴∠DAC ＝∠CAB ，即AC 平分∠BAD . (2)由(1)知△ABC ∽△ACD ，∴AC AB ＝AD AC，由此得AC 2＝AB ·AD . ∵AB ＝4AD ，∴AC 2＝4AD ·AD ＝4AD 2，故AC ＝2AD ，于是∠DAC ＝60°， 故∠BAD 的大小为120°. 11.如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆； (2)GH 2＝CE ·GF . 证明：(1)如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F，E四点共圆．(2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD.由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF.∴△GCE∽△GFD.∴GCGF＝GFGD，即GC·GD＝GE·GF.∴GH2＝GE·GF.12.(2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA. 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°.于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。

数学选修4-1《几何证明选讲》知识点总结(精简版)数学选修4-1《几何证明选讲》学问点总结(精简版)高中数学选修4-1学问点总结数学选修4-1《几何证明选讲》学问点总结(精简版)平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相像三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形。

相像三角形对应边的比值叫做相像比（或相像系数）。

由于从定义动身推断两个三角形是否相像，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，明显比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：相像的简洁方法：（1）两角对应相等，两三角形相像；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像；（3）三边对应成比例，两三角形相像。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相像。

判定定理1：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像。

简述为：两角对应相等，两三角形相像。

判定定理2：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。

判定定理3：对于任意两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像。

简述为：三边对应成比例，两三角形相像。

高中数学选修4-1学问点总结引理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

选修4­1 几何证明选讲1. 如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BCD.解：由题设∠BAD＝12∠BOD ＝50°，则∠BCD＝180°－∠BAD＝130°.2. 如图，AB 是圆O 的直径，MN 与圆O 相切于点C ，AC ＝12BC ，求sin ∠MCA 的值.解：由弦切角定理得，∠MCA ＝∠ABC，sin ∠ABC ＝AC AB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55. 故sin ∠MCA ＝55. 3. 已知△ABC 内接于圆O ，BE 是圆O 的直径，AD 是BC 边上的高.求证：BA·AC＝BE·AD.证明：连结AE.∵ BE 是圆O 的直径，∴ ∠BAE ＝90°，∴ ∠BAE ＝∠ADC.∵ ∠BEA ＝∠ACD，∴ Rt △BEA ∽Rt △ACD. ∴ BE BA ＝ACAD，∴ BA ·AC ＝BE·AD. 4. 如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N.若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长.解：设AM ＝a ，由相交弦定理可知，CM ·MD ＝AM·MB，CN ·NE ＝AN·NB，即2×4＝a×2a，3×NE ＝2a×a，消去a 解得NE ＝83.5. 如图，EA 与圆O 相切于点A ，D 是EA 的中点，过点D 引圆O 的割线，与圆O 相交于点B ，C ，连结EC.求证：∠DEB＝∠DCE.证明：∵ EA 与圆O 相切于点A ，由切割线定理得DA 2＝DB·DC. ∵ D 是EA 的中点，∴ DA ＝DE.∴ DE 2＝DB·DC.∴ DE DC ＝DB DE.∵ ∠EDB ＝∠CDE，∴ △EDB ∽△CDE ，∴ ∠DEB ＝∠DCE.1. 圆周角定理（1） 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半.（2） 推论1：同弧（或等弧）所对的圆周角相等.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.（3） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧为半圆（或弦为直径）.2. 圆的切线（1） 圆的切线的性质与判定① 相关定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.② 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.③切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等.（2）弦切角①定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角.②弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半.③推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等.3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等.4. 切割线定理（1）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.（2）切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项.5. 圆内接四边形（1）圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.[备课札记], 1圆周角与弦切角定理及应用), 1) （2017·苏锡常镇一模）如图，圆O的直径AB＝6，C为圆上一点，BC＝3，过点C作圆的切线l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E.求∠DAC的大小与线段AE的长.解：如图，连结OC，BE，因为BC＝OB＝OC＝3，所以∠CBO＝60°.因为∠DCA＝∠CBO，所以∠DCA＝60°.又AD⊥DC得∠DAC＝30°.因为∠ACB＝90°，得∠CAB＝30°，所以∠EAB＝60°，从而∠ABE＝30°，所以AE ＝12AB ＝3.变式训练如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D.求证：∠DAP＝∠BAP.证明：∵ CP 与圆O 相切，∴ ∠DPA ＝∠PBA. ∵ AB 为圆O 的直径，∴ ∠APB ＝90°， ∴ ∠BAP ＝90°－∠PBA.∵ AD ⊥CP ，∴ ∠DAP ＝90°－∠DPA， ∴ ∠DAP ＝∠BAP., 2 圆的切线的判定与性质), 2) 如图，∠PAQ 是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于B ，C 两点.求证：BT 平分∠OBA.∵ AT 是切线，∴ OT ⊥AP.∵ ∠PAQ 是直角，即AQ⊥AP，∴ AB∥OT， ∴ ∠TBA ＝∠BTO.又OT ＝OB ，∴ ∠OTB ＝∠OBT，∴ ∠OBT ＝∠TBA，即BT 平分∠OBA. 备选变式（教师专享）如图，AC 切圆O 于D ，AO 的延长线交圆O 于B ，BC 切圆O 于B ，若AD∶AC＝1∶2，求AOOB的值.∵ AD ∶AC ＝1∶2，∴ D 为AC 的中点. 又AC 切圆O 于D ，∴ OD ⊥AC.∴OA ＝OC. ∴ △AOD ≌△COD ，∴ ∠1＝∠2. 又△OBC ≌△ODC ，∴ ∠3＝∠2.∴ ∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴ OC ＝2OB.∴ OA ＝2OB ，即AOOB＝2., 3 圆内接四边形的判定与性质), 3) （2017·南通、扬州、泰州模拟）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ，分别交AB 于点E ，F.求证：PE·PC＝PF·PD.因为∠PAB＝∠PCB，点P 为弧AB 的中点， 所以∠PAB＝∠PBA， 所以∠PCB ＝∠PBA.又∠DCB＝∠DPB，所以∠PFE＝∠PBA＋∠DPB＝∠PCB＋∠DCB＝∠PCD，所以E，F，D，C四点共圆.所以PE·PC＝PF·PD.备选变式（教师专享）如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点.（1）求证：A，P，O，M四点共圆；（2）求∠OAM＋∠APM的大小.（1）证明：连结OP，OM，因为AP与圆O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是圆O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆.（2）解：由（1）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.因为AP是圆O的切线，P为切点，所以OP⊥AP，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°., 4相交弦定理、割线定理及切割线定理的应用), 4) （2017·苏州暑期检测）如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD ＝1，PB＝9，求EC.解：∵ 弦切角∠PAE＝∠ABC＝60°，又PA＝PE，∴△PAE为等边三角形.由切割线定理有PA2＝PD·PB＝9，∴ AE＝EP＝PA＝3，ED＝EP－PD＝2，EB＝PB－PE＝6，由相交弦定理有EC·EA＝EB·ED＝12， ∴ EC ＝12÷3＝4. 变式训练（2017·南京、盐城期末）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，PA ，PB 分别交半圆O 于点D ，C.若AD ＝2，PD ＝4，PC ＝3，求BD 的长.解：由割线定理得PD·PA＝PC·PB， 则4×（2＋4）＝3×（3＋BC ），解得BC ＝5.又AB 是半圆O 的直径，故∠ADB＝π2.则在Rt △PDB 中有BD ＝PB 2－PD 2＝64－16＝4 3.1. （2017·苏州期末）如图，点E 是圆O 内两条弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG.求证：EF∥CB.证明：由切割线定理得FG 2＝FA·FD.又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA·FD，即EF FA ＝FD EF.因为∠EFA＝∠DFE，所以△DEF∽△EAF， 所以∠FED＝∠FAE.因为∠FAE＝∠DAB＝∠DCB，所以∠FED＝∠BCD， 所以EF∥CB.2. 如图所示，△ABC 是圆O 的内接三角形，且AB ＝AC ，AP ∥BC ，弦CE 的延长线交AP于点D.求证：AD 2＝DE·DC.证明：连结AE ，则∠AED＝∠B.∵ AB ＝AC ，∴ ∠ACB ＝∠B，∴ ∠ACB＝∠AED. ∵ AP ∥BC ，∴ ∠ACB ＝∠CAD，∴ ∠CAD ＝∠AED.又∠ADC＝∠EDA，∴ △ACD ∽△EAD. ∴ CD AD ＝AD ED，即AD 2＝DE·DC.3. （2017·南京、盐城模拟）△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆O 外，线段AB 与圆O 交于点M.（1） 如图①，若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长； （2） 如图②，若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN.（1） 解：因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM·BA. 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8（8－t ），解得t ＝6，即线段AM 的长度为6. （2） 证明：因为四边形AMNC 为圆内接四边形， 所以∠A＝∠MNB.又∠B＝∠B，所以△BMN∽△BCA，所以BN BA ＝MN CA.因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN.4. （2017·常州期末）如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连结OP 与圆O 交于点C ，过点C 作AP 的垂线，垂足为D.若PA ＝25，PC ∶PO ＝1∶3，求CD 的长.解：延长PO 交圆O 于点B ，连结OA. 设PC ＝x （x ＞0），则由PC∶PO＝1∶3， 得PO ＝3x ，则PB ＝5x. 因为PA 是圆O 的切线，所以PA 2＝PC·PB，即（25）2＝x·（5x ），解得x ＝2. 故OA ＝OC ＝4.因为PA 是圆O 的切线，所以OA⊥PA.又CD⊥PA，则OA∥CD，因此CD OA ＝PC PO ＝13.又OA ＝4，所以CD ＝43.1. （2017·苏北四市期末）如图，AB 为半圆O 的直径，点D 为弧BC 的中点，点E 为BC 的中点.求证：AB·BC＝2AD·BD.证明：因为D 为弧BC 的中点， 所以∠DBC＝∠DAB，DC ＝DB.因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ADB＝90°. 又E 为BC 的中点，所以EC ＝EB ，所以DE⊥BC， 所以△ABD∽△BDE.所以AB AD ＝BD BE ＝2BDBC ，所以AB·BC＝2AD·BD.2. 如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED ，求证：∠CBE＝∠BDE.证明：因为CA 为圆O 的切线，所以CA 2＝CE·CD.又CA ＝CB ，所以CB 2＝CE·CD，即CB CE ＝CD CB.又∠ECB＝∠BCD，所以△BCE ∽△DCB ， 所以∠CBE＝∠BDE.3. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA ，交BA 的延长线于点F. 求证：（1） ∠DEA＝∠DFA；（2） AB 2＝BE·BD－AE·AC.证明：（1） 连结AD ，因为AB 为圆O 的直径， 所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA ＝90°， 所以A ，D ，E ，F 四点共圆. 所以∠DEA＝∠DFA.（2） 由（1）知，BD ·BE ＝BA·BF， 连结BC.又△ABC∽△AEF， ∴ AB AE ＝ACAF，即AB·AF＝AE·AC. ∴ BE ·BD －AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB （BF －AF ）＝AB 2.4. 如图，直线AB 与圆O 相切于点B ，直线AO 交圆O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD ＝3DC ，BC ＝2，求圆O 的直径.解：因为DE 是圆O 的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°. 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°. 又AB 切圆O 于点B ，得∠ABD＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA.即BD 平分∠CBA，则AB BC ＝ADCD ＝3.又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD·AE，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即圆O 的直径为3.与圆有关的辅助线的五种作法 （1） 有弦，作弦心距；（2） 有直径，作直径所对的圆周角； （3） 有切点，作过切点的半径； （4） 两圆相交，作公共弦； （5） 两圆相切，作公切线.。

第1题图 第6题图第9题图 选修4-1《几何证明选讲》综合复习一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15︒ B .30︒ C .45︒ D .60︒2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) A .11cm B .33cm C .66cm D .99cm4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( ) A .20cm B .254cm C .503cm D .25cm 5.O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O 的半径为( )A .4 B.6C.6D .8 6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( )A .13B .14C.4- D .37.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A. B .1:2 C .1:3 D .1:4 8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A .2 B .3 C .4 D .5 9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( ) A .1mm B .2 mm C .3mm D .4 mmA B CDE第4题图∙第 14 1题图O CDBA第12题图二、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中横线上.11.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且 与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD , 若BC ＝15-,则AC ＝12.如图,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P , 若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=13.如图，EF 是O 的直径，MN 是O 的弦，10,EF cm =8MN cm =，则E F、两点到直线MN 的距离之和等于__________(第13题图) (第14题图)14.如图，1O 过O 的圆心O ，与O 交于A B 、两点，C 在O 上，CB 延长线交1O 于点D ，CO 延长线交1O 于E ，108EDC ∠= ，则C ∠=__________15.相交两圆1O 与2O 的公共弦长3AB =，延长AB 到P 作PC 切1O 于C ，PD 切2O 于D ，若2PC =，则PD =__________16.如图，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠=__________(第16题图) (第17题图)17.如图，AB 是O 的直径，D 是O 上一点，E 为 BD的中点，O 的弦AD 与BE 的延长线相交于C ，若18,AB =12,BC =则AD =__________18.如图，AD CE 、分别是ABC的两条高，则 (1) A E D C 、、、四点__________（是否共圆） (2) BDE __________BAC(∽,≌),为什么？(3) 10,AC =4sin 5B =，则DE =__________ 19.如图，PC 是O 的切线， C 为切点，PAB 为割线，4,PC =8,PB =30B ∠= ，则BC =__________(第19题图) (第20题图)20.如图ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D ，若1,AB =AD =30ADB ∠= ，则ABCACDS S = __________.21.如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，O 的弦PN 切A 于点N ，8,PN =则A 的半径为__________(第21题图) (第22题图)22.如图ABC中，D 是AB 的一个三等分点，//DE BC ，//EF BC ，2AF =，则AB =__________ 23.如图，在ABC中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，DAB DBA ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.(第23题图)(第24题图)A CP D OE F B第26题图 第25题图第27题图C24.如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 外接圆的直径，圆半径为5，4AD =，则AB AC = __________三、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(本小题满分8分)如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是 O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.26.(本小题满分10分)如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,求PF 的长度.27.(本小题满分12分)如图,A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥于点D ,过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =；(2)求证:PA 是O 的切线；(3)若FG BF =,且O 的半径长为求BD 和FG 的长度.。

s 解：•・・在 ABCD 中，AB|| DE ,△ AOB SA EOD ,- •・・E 是CD 的中点，・・・DE= =|A B , 则器二 2, ••・ 1"二4,U 匸 》DOES A AOB = 4S A DOE = 4X9 = 36(cm)~.6. 如图，在Z\ABC 中，D 为BC 边匕中点，延长BA 到E,使AE=|E B 交AC 于F.求AF : FC 的值. ,连结DE,选修4-1儿何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识（理科专用）E 是 BC ±的点，AE 丄DE, BE=4, EC=1,求 AB 的氏.AR FC解：根据题意可以判断Rf ABEsRf ECD ,则有■丽二而，可得AB = 2.2. 如图，在Z\ABC 和Z\DBE 中，5B=H =5E =|»若Z\ABC 与Z\DBE 的周长之差为 10 cm,求ZXABC 的周长. 解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得AABC 的周长为25 cm.3. 在AABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE 〃BC, AADE 的面积是2 cm 2, 梯形DBCE 的而积为6 cm 2,求DE : BC 的值.解：AADEsAABC ,利用面积比等于相似比的平方可得DE : BC = 1 ： 2.4. 如图，在△ ABC 中，ZA=90°，正方形DEFG 的边长是6 cm,且四个顶点都在AABC 的各边上，CE=3cm,求BC 的长.解:•/ 四边形 DEFG 是正方形，・・・ Z.GDB = ZFEC = 90° , GD = DE = EF = 6 cm. v LB + ZC = 90° r £B + ZBGD = 90° ，/.乙C 二 ZBGD,.・.△ BGDs △ FCE ,・••罟二罟， EF ・GD即BD =- =12 cm, BC = BD + DE + EC = 21 c m.5. 如图，在 ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O, S ADOE =9CH ?,求S SOB ・ JlCKUGVCKiVAN ' '1.如图，矩形ABCD 中, 人A()B 厶ft?：过D点作DP〃AC（如图），因为D是BC的中点，所以P为AB的中点，且DP二* AC.X AE = |EB ,所以AE 二AP ,所以AF=|D P=|A C ,所以AF ： FC = 1 ： 3.〔占【能力提升】NI-NCI.I I mu s<. ------------------------------------------------7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC ±,记为点折痕为EF.已知AB=AC=3, BC=4,若以点F、C为顶点的三角形与Z\ABC相似，求BF 的长.解:设BF = x.若厶CFB^ACBA , 贝"If 二AB 1 = - 12 - 3x = 4x ,・•・ x = y.CF B"F 4 - x x 若厶CFB Z^ACAB ,则乙厂而，即=3，得x = 2.12即BF = 2或丐&如图，在AABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F.求的值.5网边形DEFCBF BE 1 解:过D点作DM〃AF交BC于M.因为DM|| AF ,所以丽二而二亍因为EF〃DM ,所= Q，即S A BDM =9S“ BEF•又£ D"=—，即S A DMC =手〜BDM =6S A REF，所以S 四边形OEFC O A BDM 刁OA nn\4 3JS A BEF 1二14S.BEF,因此S四边形DE/14・S A BDMAEF9. 如图所示，在厶ABC 'I', AD 为BC 边上的屮线，F 为AB ±任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE ・BF=2DE • AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ,交FC 于点N. 在ABCF 中，D 是BC 的中点，DN|| BF ，二 DN = |B F.••• DN|| AF …△ AFE SA DNE. AE_DE二 AF = DN-即 AE BF = 2DE AF.10. 如图，在AABC 中，AB=AC,延长BC 至I 」D,使CD=BC, CE 丄BD,交AD 于E, 连结BE,交AC 于点F.求证：AF=FC ・证明：取BC 的中点H ,连结AH.•・• AB 二 AC , .•・ AH±BC.•・• CE±BD ,・・・ AH|| EC.•・• CD 二 BC ,・•・ CD = 2CH.则DE = 2AE.取ED 的中点M ,连结CM.则ME = AE.•・• C 为BD 的中点，・・・CM|| BE.贝！J F 为AC 的中点，即AF = FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E, EF 垂直BA,交BA 的延长线于点F.(1) 求证：ZDEA=ZDFA ；(2) 若ZEBA = 30° , EF=羽,EA=2AC,求 AF 的长.1 AE 2DE••• DN pBF …亓 BFB HC D(1)证明：连结AD、BC.因为AB是圆O的直径,所以ZADB = ZACB = ZEFA = 90° ,故A、D、E、F四点共圆，所以ZDEA= ZDFA.(2)解:在R2 EFA 和R2 BCA 中，£EAF= ZCAB ,PA A F所以△ EFAABCA ,故前二局.设AF = a ,又EF = V3 ,乙EBA 二30。

选修4－1 几何证明选讲1．平行线截割定理与相似三角形了解平行线截割定理，理解相似三角形的判定和性质定理，了解直角三角形射影定理．2．圆的初步(1)理解圆周角定理，理解圆的切线的判定和性质定理及弦切角定理．(2)理解相交弦定理、割线定理、切割线定理．(3)理解圆内接四边形的判定与性质定理．知识点一平行线截割定理与相似三角形1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．易误提醒1．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[自测练习]1.(2018·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ，所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5，即BF ∶FD ＝25.答案：252.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD2AB2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23， ∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45.答案：453.在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD 的值为________．解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2，CD ＝3x . Rt △CDB 中 ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13知识点二 圆的初步 1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． (2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等． (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．易误提醒1．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，要注意角之间关系，易于混淆导致错误． 2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[自测练习]4.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：过B 作⊙O 的直径BA ，连接AC (图略)，则∠ACB ＝90°.又由弦切角定理得∠CAB ＝∠BCD ＝30°，∴AB ＝2BC ＝4.∴半径OA ＝2，∴S ＝πr 2＝4π.答案：4π5.如图所示，已知⊙O 的割线P AB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若P A ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为________．解析：设⊙O 的半径为r .由割线定理得P A ·PB ＝PC ·PD,3×7＝(PO －r )(PO ＋r )，即21＝25－r 2，∴r 2＝4，∴r ＝2.答案：2考点一 平行线分线段成比例定理的应用|1.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DEBC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，所以x 4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43. 2.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.平行线分线段成比例定理及推论的应用(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质|1．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF . 因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°，所以△AFH ∽△GFB ，所以HF BF ＝AFGF ，所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF .所以DF 2＝GF ·HF .2.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ，∴AF AF ＋CF ＝AE AE ＋CN. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ，∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15. 3.如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝DB .在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ，所以AD 2＝AF ·AC .同理BD 2＝BG ·BE .所以AF ·AC ＝BG ·BE .1．证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例； (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．注意射影定理的其他变式．考点三 圆中有关定理及推论的应用|(1)(2018·高考湖北卷)如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则ABAC＝________.[解析] 因为P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知P A 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )．因为BC ＝3PB ，所以P A 2＝4PB 2，即P A ＝2PB .由△P AB ∽△PCA ，所以AB AC ＝PB PA ＝12.[答案]1 2(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.①若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；②若OA＝3CE，求∠ACB的大小．[解]①证明：如图，连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．②设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.(1)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．(2)与圆有关的比例线段解题思路：①见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理．②见到圆的两条割线就要想到割线定理．③见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．1．(2018·高考重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若P A ＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.解析：由切割线定理，知P A2＝PC·PD，即62＝3PD，解得PD＝12，所以CD＝PD－PC＝9，所以CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE ＝2.答案：22．如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A 、E 、G 、F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG .证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ，∠AFG ＝∠CDG ， 又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°， ∴A 、E 、G 、F 四点共圆．(2)∵A 、E 、G 、F 四点共圆，∴∠AEF ＝AGF ，∵AG 与⊙O 2相切于点G ，∴∠AGF ＝∠ACG ，∴∠AEF ＝∠ACG .32.四点共圆的证明方法【典例】如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .(1)求证：BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2；(2)若D 是BE 的中点，证明E ，F ，C ，B 四点共圆．[思路点拨] (1)利用割线定理易证；(2)本题已知AB 是⊙O 的直径，可得到线段相等，利用四个点到一定点的距离相等证明四点共圆．[解] (1)证明：由割线定理得EA ·EC ＝DE ·BE ， 所以BE ·DE ＋AC ·CE ＝EA ·CE ＋AC ·CE ＝CE 2， 所以BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2. (2)连接CB ，CD ，FD . 因为AB 是⊙O 的直径， 所以∠ECB ＝90°， 所以CD ＝12EB .因为EF ⊥BF ，所以FD ＝12BE .所以E ，F ，C ，B 四点到点D 的距离相等． 所以E ，F ，C ，B 四点共圆． [方法点评] 四点共圆的证明方法：(1)若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆． (3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆． (4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．(5)若AB ，CD 两线段相交于点P ，且P A ·PB ＝PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆． (6)若AB ，CD 两线段延长后相交于点P ，且P A ·PB ＝PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆． (7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆． [跟踪练习] 如图，点F 是△ABC 外接圆上BC的中点，点D ，E 在边AC 上，使得AD ＝AB ，BE ＝EC .证明：B ，E ，D ，F 四点共圆．证明：如图，连接FC ，FB ，则FC ＝FB .连接EF ，则△CEF ≌△BEF ，所以∠BFE ＝∠CFE .因为A ，B ，F ，C 共圆，所以∠CAB ＋∠CFB ＝180°，所以∠CAB ＋2∠BFE ＝180°.连接BD ，因为AB ＝AD ，所以∠ABD ＝∠ADB ，所以∠CAB ＋2∠ADB ＝180°.所以∠ADB ＝∠BFE .所以B ，E ，D ，F 四点共圆．A 组 考点能力演练1.(2018·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点，所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8，所以x x ＋8＝13，3x ＝x ＋8，所以x ＝4.所以AE ＝4. 2.(2018·洛阳模拟)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆； (2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM (图略)，则∠AMB ＝90°. ∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆． (2)连接AC ，CB (图略)．由A ，E ，F ，M 四点共圆， 得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2. 3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°得∠EFC ＝90°，故EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ，所以∠ADE ＝∠EBC .4.(2018·兰州双基)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证： (1)四点P ，D ，C ，E 共圆；(2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ， ∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝π，∴四点P ，D ，C ，E 共圆．(2)连接DE (图略)，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°，由正弦定理知∠CED ＝90°， 由四点P ，D ，C ，E 共圆知，∠DPC ＝∠DEC ，∴AP ⊥CP .5.如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD .(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ，∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴AC ∥BD .又OA ＝OB ，PC ＝PD ，∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线．(2)由(1)可知OP ＝12(AC ＋BD )， ∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6.过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2.∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB2－BE2＝102－22＝4 6.∴CD ＝4 6.B 组 高考题型专练1．(2018·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．2.(2018·高考湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明：(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.3．(2018·高考陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB2－BC2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.4.(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线． 又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1. 于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。