圆的垂径定理

垂径定理 相切 1、垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧. 2、 基本图形探究：设圆的半径为r ，弦长（AB ）为a ，弦心距（OE ）为d ，弓形的高（CE ）为h .、它们四者满足关系式：①r h d =+；②2222⎪⎭⎫⎝⎛+=a d r .3、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等. 4、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 5.同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半； 6.半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 7.90°的圆周角所对的弦是直径；8如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 9、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；外角等于内对角.基础检测本题型有四类：（1）点在圆内或圆外；（2）点在优弧或劣弧上；（3）圆心在两弦之间或两弦同侧；（4）圆心在三角形内或三角形外．♀例一♀．已知O 的半径为5，弦AB ＝8，P 为直线AB 上一点，PA ＝2，求OP 的长．♂巩固练习♂1．若点P 到O 上的点的最小距离为4，最大距离为8，则该圆的直径是 ．♀例二♀．如图，O 的半径是2，AB 是O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数为 ．♂巩固练习♂ 1．已知O 的半径为2，弦BC ＝22，点P 为O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC ＝ ．2．△ABC 内接于O ，OD ⊥AC 于点D ，如果∠COD ＝32°，那么∠B 的度数为 ．♀例三♀．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数为 ．♂巩固练习♂1．在半径为5 cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8 cm，另一条弦长为6 cm，则这两条弦之间的距离为．♀例四♀．已知△ABC内接于O，AB＝AC，O的半径为5，BC＝8，求△ABC的腰长和面积．♂巩固练习♂．已知△ABC内接于O，AB＝AC，O的半径为4，BC＝8，求△ABC的腰长和面积．1．如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB＝22.5°，则∠ACB的度数为（）A．115.5°B．112.5°C．122.5°D．135°2一点到圆周上点的最大距离为9，最短距离为1，则这个圆的半径是 .3.过⊙O内一点M的最长的弦长为10㎝，最短弦长为8㎝，则OM的长为 .4．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上一点，连OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB＝_________5．如图，在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米，截面如图，油面宽AB为6分米．如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，则油面AB上升__________分米6．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（）个A．1 B．2 C．3 D．07．已知△ABC内接于⊙O，且⊙O的半径为5，若AB＝AC，BC＝8，则△ABC的面积为（）A．8 B．32 C．8或32 D．无法确定4,BC=8，求它的外接圆半径；8..等腰ABC中，AB=AC=59．如图，在⊙O中，弦AB＝1.8 cm，C为⊙O上一点，且∠ACB＝30°，则⊙O的直径为______cm10．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝34，∠C ＝120°，则⊙O 的半径为（ ） A ．32B ．4C ．22D ．3411．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线⊙A 于M 、N 两点．若点M 的坐标是(－4，－2)，则弦MN 的长为_________12．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm 的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8mm （如图），求此小孔的直径d13．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，弧AC ＝CD ＝BD ，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为__________圆中的辅助线模型1 连半径构造等腰三角形O A B EC DB1图图2已知AB 是⊙O 的一条弦， 连接OA 、OB ，则∠A=∠B 。

圆的垂径定理练习题圆的垂径定理是几何学中的重要定理之一，它给出了圆上的垂径之间的关系。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对这个定理的理解和应用。

练习题一：给定一个半径为5的圆，其中一条垂径的长度为12。

求另一条垂径的长度。

解析：根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。

设另一条垂径的长度为x，则有12 * x = 5 * 5。

解这个方程可以得到x的值，进而求出另一条垂径的长度。

练习题二：在一个半径为8的圆中，一条垂径的长度为15。

求另一条垂径的长度。

解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。

设另一条垂径的长度为y，则有15 * y = 8 * 8。

解这个方程可以得到y的值，进而求出另一条垂径的长度。

练习题三：在一个半径为10的圆中，一条垂径的长度为24。

求另一条垂径的长度。

解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。

设另一条垂径的长度为z，则有24 * z = 10 * 10。

解这个方程可以得到z的值，进而求出另一条垂径的长度。

通过以上三个练习题，我们可以看到圆的垂径定理的应用。

它告诉我们，对于一个圆来说，任意两条垂径的乘积都等于半径的平方。

这个定理在解决一些几何问题中非常有用。

除了上述练习题，我们还可以通过一些实际问题来应用圆的垂径定理。

例如，假设有一个圆形花坛，我们想在花坛中心种一棵树。

为了确保树能够均匀地分布在花坛中，我们可以利用垂径定理来确定每棵树之间的最佳位置。

另一个实际应用的例子是在建筑设计中。

如果我们想在一个圆形庭院中建造一个喷泉，我们可以利用垂径定理来确定喷泉的位置，以确保水能够均匀地喷射到庭院的各个角落。

综上所述，圆的垂径定理是一个重要的几何定理，它给出了圆上的垂径之间的关系。

通过练习题和实际应用，我们可以更好地理解和应用这个定理。

无论是解决几何问题还是在实际生活中应用，垂径定理都发挥着重要的作用。

3.52垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON ⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径. 【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图 1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB．根据垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足为C，则1105mm2OA=⨯=，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．在Rt△ACO中，AC4mm =，∴ AB＝2AC＝2×4＝8mm．答：此小孔的直径d为8mm．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③AC BC=；④AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且COBDACD=，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75°D．15°或75°5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．A．252寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cmD．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，如果A点的坐标为(2，那么B点的坐标为____________．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35OE OC=∶∶，求弦AB和AC的长．14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB 交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.如图，点M，N分别是AB、AC的中点，且MN 交AB于D，交AC于E，求证：△ADE是等腰三角形.【答案与解析】一、选择题1．【答案】D．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.2．【答案】D．【解析】根据垂径定理及其推论来判断.3．【答案】B．【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则()2221R R=+-，由此得R=32，所以AB=3.故选 B.4.【答案】D．【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】D．【解析】连结AO，∵ CD为直径，CD⊥AB，∴152AE AB==．设⊙O半径为R，则OE＝R－1．Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴ R2＝52+(R-1)2，P∴ R ＝13，∴ CD ＝2R ＝26(寸)． 故选D ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】(2-．【解析】因为y 轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y 轴对称，则B (2-. 11．【答案】.【解析】连接OC,易求CD=. 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=15.2AB = 三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，35OE OC =∶∶， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴6212AE AB AE AC ========，14.【答案与解析】因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB.由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设,,BP a CP b ==则22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得a =，2AB a ==.15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F. ∵ PO 平分∠MPN∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略. 16.【答案与解析】连结OM 、ON ，分别交AB 、AC 于F 、G 点．∵ M 、N 分别为AB 、AC 中点，∴ ∠MFD ＝90°＝∠EGN ． ∵ OM ＝ON ，有∠M ＝∠N ，知∠MDB ＝∠NEC ， 而∠MDB ＝∠1，∠NEC ＝∠2，于是∠l ＝∠2，故AD ＝AE ．所以△ADE 是等腰三角形.。

圆、椭圆、双曲线中的垂径定理
1.圆中的垂径定理
如图，设A、B是圆O的一条弦，P为AB的中点，则AB⊥OP，即：kAB·kOP=-1；
类比，在圆锥曲线中是否有相似的性质呢？
2.椭圆、双曲线中的垂径定理
思考：什么情况下适合使用这个结论？
本结论联系的弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系，故涉及到两者有关的问题时，适合使用该结论解题。

Ps:相信同学们对“点差法”一点都不陌生，但能将点差法的运算过程跳过，而抽象出该结论直接用于解题的同学会少很多！“学无止境”，想得比别人多一点、深一点，你就会更有优势。

3.其它更多的结论
下面我们把弦AB往外平移到与圆O相切时，又有怎样的性质呢？
童鞋们自主完成吧，我提供一个框架给大家吧：
圆中：
如图，设直线l与圆O相切于点P，则l⊥OP，即：kl·kOP=-1；
为更好的理解以上性质，可以从多角度思考结论怎么得来？比如我们知道当a=b时，椭圆就变成了圆，结论中的，
两者就完美的无缝衔接了，这样能否更好的记忆了呢？另外，这里叙述时的细节很多，本文没有交待的很仔细，比如弦不过原点，过原点时OP重合了，等等……
最后，我们的重点还是在于如何应用。

请童鞋们自主思考：什么样的情况下，会利用得上这些结论帮助熟练、快速的解题呢？
4.应用举例，高考真题一例
一般解答过程：
利用椭圆的垂径定理的快速解答：。

圆的垂径定理圆的垂径定理是数学中关于圆形物体的有趣定理，它指出，任何圆心到圆上任何一点的距离都是相等的，这被称为圆的半径。

这个定理可以追溯到古希腊时期，著名的希腊数学家厄拉多塞（Eratosthenes）曾将这一定理用于测量地球的表面积。

圆的垂径定理可以被表达为：任何一个圆的半径都是到圆的任意一点的距离。

这意味着，圆的半径只需从圆心抽出一条线到圆上的某一点就可以获得圆的半径。

通过测量半径的长度，可以得出圆的表面积。

证明圆的垂径定理的方法有几种，一种是采用几何形状的方法，另一种是采用解析几何的方法。

在几何形状方法中，证明这一定理需要先将圆分隔为多条弧线，然后细分它们，最终把每个弧线分解成若干等边三角形；把所有的等边三角形加起来，就可以求出圆的面积，这也就证明了这一定理。

在解析几何方式中，证明这一定理就比较复杂了。

首先假设圆是一个函数，函数中可以描述圆的各种性质，其中最重要的是圆的半径；让函数的参数变化，就可以把圆从不同的角度看出来，这样就可以分析圆的表面积，从而证明这一定理。

《圆的垂径定理》对于理解圆形物体的形状和表面积有很大的影响，它是计算圆的半径和圆的表面积的基础。

同时，它也是几何学的基本定律之一，是数学发展的重要贡献。

从古希腊到现代，《圆的垂径定理》一直贯穿着数学的发展史，它在早期的几何学中就已经有了独到的提出，并且在近代的分析几何中有了更新的发展，因此它最终能够被证明为一个定理，并获得了应有的认可。

圆的垂径定理不仅被用于数学方面，也被用于其他领域，特别是天文学和工程学。

例如，它被用于测量地球的表面积和宇宙空间中星体的位置，也被用于工程学，如桥梁建设和设计等领域。

此外，它也被用于生活中，比如家具的设计和家居布置，因为它可以帮助人们准确测量各种圆形物体的大小和形状，从而让普通家庭得以更有效地运用空间。

总之，《圆的垂径定理》是一个相当重要的定理，它不仅在数学、几何学、天文学、工程学和家具设计等领域有重要的应用，而且它也对人们理解圆形物体的形状和表面积具有重要的意义。

圆的对称性，圆周角1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（A 、CE=DEB 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？第4题CE O A D B 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。