A
O
D
B
C
A
O
（一） 圆的相关概念及垂径定理
一、知识梳理
（一）圆的有关概念
1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”
2.圆的对称性及特性：
(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径
6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂
,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂
(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
说明：
（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。 （3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。 （4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。
（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：
在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。
（三）和圆有关的角：
1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 推论3：半圆或直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
3、弧的度数：一段弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
4、圆外角的度数等于它所夹的两段弧的度数的差的一半。
5、圆内角的度数等于它所对的两段弧的度数的和的一半。
（四）垂径定理及推论：
如果一条直线具有(1)过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧，这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就具有其余三个性质；但“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”其中的弦必须是非直径的弦，假若弦是直径，那么这两条直径不一定互相垂直。
（五） 圆的有关性质：
1．圆的确定：（1）圆心确定圆的位置半径确定圆的大小。 （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（3）三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。（4）锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点。
2．圆的对称性： (1).圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。(2) 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。说明：一个圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能够和原图形重合，即圆还具有旋转不变性。
(六)在解决圆的有关问题时，有以下几种常引用的辅助线：
（1）连弦的端点与圆心的半径； （2）作弦心距； （3）作半圆上的圆周角。 （3）连圆心和弦的中点（遇弦的中点时）； （4）连圆心和弧的中点（遇弧的中点时）；
二、典型例题：
例1.如图，已知在⊙O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D
，求
BC ，AD 和BD 的长．
点评：利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形解题。
例2. 如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是∆ABC 的外接圆的直径．试说明AB ·AC=AE ·AD ．
例3. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D(ADDB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF ，与直线CD 交于点G ．
(1)试说明AC 2
=AG ·AF ；
(2)若点E 是AD(点A 、D 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理由．
例4．（易错题）在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离．
解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ．
由垂径定理得BM=
12AB=1
2
×40=20cm ， ∴OM=22222520OB BM -=-=15cm ． 同理可求ON=22222524OC CN -=-=7cm ，
所以MN=OM-ON=15-7=8cm ．
以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上．
三、中考链接与创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）
1.（2014温州改编）如图，已知
是⊙O 的圆周角，，则圆心角
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.（2014重庆改编）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠AB C ＝30°，则∠B AC 的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3.（2014台州）下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③
的圆周角所对
的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A ．①②③
B ．③④⑤
C ．①②⑤
D ．②④⑤
4.（2014昆明）AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，AB ＝16cm ，OD
＝6cm ，那么⊙O 的半径是__________cm ．
5.（2014枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交
于D ．
