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一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
1 •垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.推论1:①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.③平分弦所对的一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤.推论2•圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）：④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1如图AB CD是O O的弦，M N分别是AB CD的中点，且ZAMN ZCNM •求证：AB=CD A”------- 、,例2已知，不过圆心的直线l交O 0于C、D两点，AB是O O的直径，AE丄l于E, BF丄l于F。
求证：CE=DF例3如图所示，O O的直径AB = 15cm,有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D 与B不重合），且CE丄CD交AB于E, DF丄CD交AB于F。
（1）求证：AE = BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形若不是，请说明理由。
例4如图，在O O内，弦CD与直径AB交成45°角，若弦CD交直径AB于点P,且O O半径为1,试问：PC2 PD2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1. 已知O O的半径为2cm,弦AB长2 .. 3cm，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）A . 1cm B.2cm C. .2cm D. . 3cm cm6cm AB CD为两弦，且AB丄CD垂足为点E,若CE=3cm DE=7cm贝U AB的长为（A . 10cm B.8cm C. D. 8.. 2cmCDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值,3.如图1, O O的半径为B4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有6.等腰三角形腰长为4cm,底角为30,则外接圆直径为（A . 2cm B.4cm C.6cm图17. 如图,OO的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么0P长的取值范围是8. 如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm拱高CD=4cm那么拱形的半径是9. 如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm求水的最大深度CD10. 如图，已知△ ABC中，/ ACB=90 ,B11. 已知：如图，在OO中，弦AB的长是半径OA的,3倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状，并说明理由.无数条.其中正确的判断有（)A . 0 个 B.1个 C.2个 D.35.如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D 若AB=4,径之比为( )A . 3:2 B....5 :2 C.5:2个CD=2圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半D.5:4m.长为）BAB于D,贝U AD的12. 如图所示，在O O 中，弦AB 丄AC,弦BD 丄BA AC BD 交直径 MN 于E 、F.求证：ME=NF.13•（思考题）如图，GO 与002交于点A,B ,过A 的直线分别交O0i , OO 2于M,N,C 为MN 的中点，P 为O 1O 2的中点，求证：PA=PC. 1. 已知O O 的直径AB=10cm 弦CDL AB 垂足为M 。
第九章.圆模型（三十八）——垂径定理模型垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧【结论】如图，CD是直径，CD⊥AB，则①MA＝MB ，②＝垂径定理中的五元素：①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧.知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个.【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 如图：找残缺圆的圆心方法：知二推三组合模型讲解作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为O典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点 C 为的中点，若∠ABC= 30°，则弦 AB 的长为（）A. B.5 C.D.5【答案】D【解析】如图，连接 OC，OA.∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.∵AB为弦，点C为的中点，∴由垂径定理得 OC⊥AB.在 Rt△OAE中，AE=，∴AB=5. 故选 D.典例2 ☆☆☆☆☆如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，D是弧BC的中点，则弦 AD 的长为（）A.4 cmB.3 cmC.4cmD.5 cm【答案】C【解析】如图，连接 OD，OC，作 DE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.∴∠AFO=∠DEO=90°,∵D是弧 BC 的中点，∴=,∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，又 OA=OD，∴△AOF≌△ODE（AAS），∴OE=AF,由垂径定理知 AF＝AC＝3 cm,∴OE=3 cm.在 Rt△DOE中，DE==4 cm，在 Rt△ADE中，AD==4 cm. 故选 C.典例3 ☆☆☆☆☆已知⊙O的直径CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8 cm，则 AC的长为（）.A.2cmB.4 cmC.2 cm 或4cmD.2cm 或 4cm【答案】C【解析】如图，连接 AC，AO.∵⊙O的直径CD=10 cm，AB⊥CD，AB=8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm), OD＝OC＝5 cm,当 C 点位置如图1所示时，∵OA=5 cm，AM=4 cm，CD⊥AB，OM=＝＝3(cm),CM=OC＋OM=5＋3＝8(cm),∴AC= ＝＝4（cm）.当C点位置如图 2 所示时，同理可得 OM＝3 cm.∵OC＝5 cm,∴MC＝5－3＝2(cm).在 Rt△AMC中，AC=＝＝=2（cm）.故选 C.小试牛刀1.（★★★☆☆）如图，点 A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC=30°，AE=1，则 BC=（）.A.2B.4C.D.22.（★★☆☆☆）如图，在平面直角坐标系中，圆 M与x 轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点 C（0，16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（）A.10B.8C.4D.2直击中考1.如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC=3∶5，则AB的长为（）.A.8B.12C.16D.22.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2，BC=8，按下列步骤作图∶①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF 的长为半径作弧相交于点 H，作射线 AH;②分别以点 A，B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧相交于点M，N，作直线 MN，交射线 AH于点O;③以点 O为圆心，线段 OA长为半径作圆.则⊙O的半径为（）A.2B.10C.4D.5第九章.圆模型（三十八）——垂径定理模型答案：小试牛刀1.答案 D解析连接OC，如图∵∠ADC=30°,∴∠AOC=60°∵OA⊥BC，∴CE=BE.在Rt△COE中，OE＝OC,,CE＝ OE.∵OE=OA－AE＝OC－1,∴OC－1＝OC∴OC＝2,∴OE＝1, ∴CE＝，∴BC＝2CE＝2. 故选 D.2.答案 D解析如图，连接 BM，OM，AM，作MH⊥BC于H.∵圆 M与x轴相切于点A（8，0），∴AM⊥OA,OA＝8,∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°,∴四边形 OAMH 是矩形，∴AM＝OH.∵MH⊥BC，∴HC＝HB＝6，∴AM＝OH＝16-6＝10.在Rt△AOM 中，OM=＝＝2.故选 D.直击中考1.答案 C解析如图，连接 OA.∵⊙O的直径CD＝20，OM∶OC=3∶5，∴OC=10,OM=6.∵AB⊥CD,∴AM=＝＝8,∴AB＝2AM＝16. 故选 C.2.答案 D解析如图，设 OA 交 BC 于点 T，连接 OC.∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC,BT＝TC＝4, ∴AT ＝＝＝2.在 Rt△OCT中，OC2＝（OC-2）2＋4²，解得 OC=5，则⊙O的半径为 5.故选 D.。
圆的垂径定理公式
1 圆的垂径定理
圆的垂径定理（也称为勾股定理）是三角学中最基本的定理，它
表明圆是由直线段组成的，因此可以用来计算圆的半径和其它圆的特征。
圆的垂径定理是：如果一个圆的垂径形成的三角形，其两个相邻
的直角的边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形将是一个
正三角形，并且第三条边就是圆的垂径。
它可以用公式来表达，即：
a²+b²=c²。
2 圆的垂径定理的应用
圆的垂径定理在数学中被大量使用，它把一个问题转换成一个更
容易解决的问题。
由于它能有效计算圆的半径，因此被广泛用于计算
圆和圆周长等理论题目中。
此外，它也被广泛应用到平面几何和空间
几何中，特别是圆柱体的应用。
甚至可以用来计算一个球的体积。
另外，圆的垂径定理也可以在机械设计中应用，比如 cogs 和 gears，
通过它可以计算出这种零件的几何特征，从而保证零件可以正常工作。
3 总结
圆的垂径定理是三角学中最基本的定理，它表明圆是由直线段组
成的，并用于计算圆的半径和其它圆的特征。
圆的垂径定理的应用很
广泛，可以用于解决数学、几何、机械、体积等问题，为工程制图提
供便利。
