八年级数学第二学期第二十一章代数方程章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若关于x 的分式方程232422kx x x x =--+-无解，则k 的值为（ ） A ．1或﹣4或6 B ．1或4或﹣6 C ．﹣4或6 D ．4或﹣62、张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 3、若关于x 的不等式组11123x a x x ≤⎧⎪-+⎨+>⎪⎩至少有4个整数解，且关于y 的分式方程4122a y y -+--＝1的解是非负数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．17B ．20C ．22D ．25 4、若关于x 的方程63x x --﹣23m x -＝0有增根，则m 的值是（ ）A ．23- B ．32 C ．3 D ．﹣35、一双鞋子如卖150元，可赚50%，如卖120元可赚（ ）A ．20%B ．22%C ．25%D ．30%6、关于x 的不等式组2124()3(2)x x a x a x ->-⎧⎨+≥+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程22242a a y y y +-+=--的解为非负整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．34B ．24C ．18D ．147、某文具店购进A ，B 两种款式的书包，其中A 种书包的单价比B 种书包的单价低10%．已知店主购进A 种书包用了810元，购进B 种书包用了600元，且所购进的A 种书包的数量比B 种书包多20个．设文具店购进B 种款式的书包x 个，则所列方程正确的是（ ）A ．81060010%20x x=⨯+ B ．()810600110%20x x =-+ C ．60081010%20x x =⨯+ D ．()()81060020110%x x x =⨯+- 8、若整数a 使关于x 的不等式组2062x a x x->⎧⎨->⎩有解，且最多有2个整数解，且使关于y 的分式方程2ay y +-412y=-的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．29、在2020年3月底新过师炎疫情在我国得到快速控制，教育部要求低风险区错时、错峰开学，某校在只有初三年级开学时，一段时间用掉120瓶消毒液，在初二、初一年级也错时、错峰开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒液比原来少用5天，若设原来平均每天用掉x 瓶消毒液，则可列方程是（ ）A ．12012054x x -=+ B ．12012054x x -=- C ．12012054x x +=+ D ．12012054x x +=- 10、中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km ，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为km/h x ，则下面所列方程中正确（ ）A ．700700 3.62.8x x-= B ．700700 3.62.8x x -= C ．700 2.8700 3.6x x ⨯-= D ．7007003.62.8x x =- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x 米，则所列方程是____________________．2、若数a 使关于x 的不等式组11(1)3223(1)x x x a x ⎧⎪⎨⎪-≤-≤-⎩-有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程31222y a y y-+-- ＝1 有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是____________ 3、一次函数5y x m =+与5y kx =+的图象的交点坐标为(2,9)，则m =_______，k =_______．4、分式方程2132x x=+的解是x =______． 5、观察下列方程：①x +2x =3；②x +6x =5；③x +12x=7，可以发现它们的解分别是①x =1或2；②x =2或3；③x =3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x 的方程x +23n n x +-=2n +4(n 为正整数)的解x = ________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）解方程：23111x x x -=++ （2）化简：223(2)()(2)()a b a b a b ab ab +-+-÷-2、小明在解分式方程13233x x x --=--时，过程如下：第一步：方程整理13233x x x -=-- 第二步：去分母……（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ．（2）请把以上解分式方程的过程补充完整．3、解方程：()23133x x x -=--． 4、某学校为了丰富学生的大课间活动，体育组决定购进一批排球和篮球，经调查发现排球的单价比篮球的单价多7元，用700元购买的排球的数量与用560元购买的篮球的数量相同．（1）求篮球和排球的单价各是多少元；（2）该校体育组购进篮球和排球共30个，且购买篮球和排球的总费用不超过1000元，求该校体育组最多购买多少个排球？5、已知一次函数y 1＝mx ﹣2m +4（m ≠0）．（1）判断点（2，4）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；（2）若一次函数y 2＝﹣x +6，当m ＞0，试比较函数值y 1与y 2的大小；（3）函数y 1随x 的增大而减小，且与y 轴交于点A ，若点A 到坐标原点的距离小于6，点B ，C 的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．求△ABC 面积的取值范围．-参考答案-一、单选题1、A【分析】按照解分式方程的步骤，把分式方程化为整式方程，根据整式方程的特点及分式方程的增根情况，即可求得k 的值．【详解】分式方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得：kx=3(x-2)-2(x+2)整理得：(k-1)x=-10当k=1时，上述方程无解，从而原分式方程无解；当k≠1时，分式方程的增根为2或-2当x=2时，则有2(k-1)=-10，解得：k=-4；当x=-2时，则有-2(k-1)=-10，解得：k=6综上所述，当k的值为1或﹣4或6时，分式方程无解；故选：A．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，本题很容易漏掉k=1的情况，这是由于化为一元一次方程后，一次项的系数不是常数．2、B【分析】根据关键描述语是：“比李老师早到半小时”；等量关系为：李老师所用时间﹣张老师所用时间＝12．即可列出方程．【详解】解：李老师所用时间为：15x ，张老师所用的时间为：151x+．所列方程为：1515112x x-=+．故选：B．【点睛】此题主要考查列分式方程，由题意可知未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．3、B【分析】分别求出符合不等式组和分式方程解的条件的整数a ，再计算出所有整数a 的和．【详解】11123x a x x ≤⎧⎪⎨-++>⎪⎩①② 由②得：3(1)62(1)x x -+>+解得：1x >- ∵不等式组11123x a x x ≤⎧⎪-+⎨+>⎪⎩至少有4个整数解，如图所示：∴3a ≥，解该分式方程得：7y a =-，∵70a -≥且72a -≠，解得：7a ≤且5a ≠，∴a 取37a ≤≤且5a ≠的整数，即a 取3，4，6，7，∴346720+++=．故选：B ．【点睛】本题考查解不等式组与分式方程，掌握它们的解法是解题的关键．4、B【分析】先将方程化为整式方程，由分式方程有增根可求解x值，再将x值代入计算即可求解m值．【详解】解：由63xx--﹣23mx-＝0得6-x-2m=0，∵关于x的方程63xx--﹣23mx-＝0有增根，∴x=3，当x=3时，6-3-2m=0，解得m=32，故选：B．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．5、A【分析】根据“=利润利润率进价”求出进价，再代入120求出利润率即可．【详解】设进价为x元．依题意，得150 50%xx-=解得100x=∴卖120元可赚12010020% 100-=故选A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据利润率公式列式是解决本题的关键．6、C【分析】求出不等式组的解集，确定a 的取值范围，由分式方程的解得出不等式，求出a 的取值范围，确定a 的整数值求和即可．【详解】解不等式组2124()3(2)x x a x a x ->-⎧⎨+≥+⎩得：12x a x >⎧⎪⎨≤⎪⎩， ∴12a x <≤， ∵不等式组至少有2个整数解，∴符合条件的整数至少是2和3， ∴32a ≤ ∴6a ≤ 分式方程22242a a y y y +-+=--去分母得：22()2(24)a a y y +--=-， ∴1(10)2y a =-，∵分式方程的解为非负整数， ∴1(10)02y a =-≥且为整数，1(10)22y a =-≠，解得：10,6a a ≤≠，a 是偶数综上所述610a <≤，a 是偶数∵a 为整数，∴a 的值为8,10∴8+10=18，故选：C ．【点睛】本题考查了不等式组的取值范围，分式方程的解，分式方程的增根容易忽略，仔细求解，考虑周全是解决本题的关键．7、B【分析】设文具店购进B 种款式的笔袋x 个，则购进A 种款式的笔袋（x ＋20）个，根据单价＝总价÷数量结合A 种笔袋的单价比B 种袋的单价低10%，即可得出关于x 的分式方程．【详解】解：设文具店购进B 种款式的笔袋x 个，则购进A 种款式的笔袋（x ＋20）个， 依题意，得：()810600110%20x x =-+， 故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8、D【分析】根据题意先解不等式，确定a 的范围，进而根据分式方程的解为整数，确定a 的值，再求其和即可．【详解】解：2062x a x x ->⎧⎨->⎩①②解不等式①得：2ax >解不等式②得：2x < 不等式组有解，则22a x <<且最多有2个整数解，则122a -≤< 解得24a -≤<2,1,0,1,2,3a ∴=--分式方程去分母得：42ay y -=- 解得21y a =- 分式方程2ay y +-412y =-的解为整数， 21a ∴-是整数，且2,10y a ≠-≠ 2,1,2a ∴≠-1,0,3a ∴=-1032∴-++=即符合条件的所有整数a 的和为2，故选D【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9、A【分析】根据天数比原来少用5天建立等量关系．【详解】设原来平均每天用x 瓶消毒液，则原来能用120x天 现在每天用x+4瓶消毒液，则现在能用1204x +天， 再根据少用5天得到等量关系：12012054x x -=+ 故选A ．【点睛】 本题考查分式方程的实际应用，找到等量关系是本题的解题关键．10、A【分析】设特快列车的平均行驶速度为km/h x ，则高铁列车的平均行驶速度是2.8km/h x ，根据“郑州、北京两地相距约700km ，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h ”，即可求解．【详解】解：设特快列车的平均行驶速度为km/h x ，则高铁列车的平均行驶速度是2.8km/h x ，根据题意得： 700700 3.62.8x x-=． 故选：A【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．二、填空题1、7207202(120%)x x-=+ 【详解】略2、-18【分析】根据不等式的解集，可得a 的范围，根据方程的的整数解，可得a 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】 解：()()11132231x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≤-⎩①②，解①得x ≥-3，解②得x ≤35a +， 不等式组的解集是-3≤x ≤35a +． ∵仅有三个整数解-3，-2，-1，∴-1≤35a +＜0 ∴-8≤a ＜-3，31222y a y y-+-- ＝1 3y -a +12=y -2．∴y =142a -， ∵y ≠2，∴a ≠18＞-3，又y =142a -有整数解， ∴a =-8，-6，-4，所有满足条件的整数a 的值之和是-8-6-4=-18，故答案为-18．【点睛】本题考查了分式方程的解，有理数的解法，解不等式组，解分式方程，利用不等式的解集及方程的解得出a 的值是解题关键．3、-1 2【分析】先把(2,9)代入5y x m =+，求出m 的值，然后把(2,9)代入5y kx =+，求出k 的值即可．【详解】把(2,9)代入5y x m =+，得9= 5×2+m ，∴m =-1，把(2,9)代入5y kx =+，得9= 2k +5，∴k = 2，故答案为：-1，2．【点睛】本题主要考查一次函数的交点坐标问题，属于基础题，将两个一次函数的交点坐标分别代入是解题关键．4、1【分析】根据解分式方程的步骤“先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后进行检验”进行解答即可得．【详解】解：2132x x=+ 方程两边同乘2(3)x x +，得43x x =+，移项，得33x =，系数化为1，得1x =，检验：当1x =时，2(3)0x x +≠，∴原分式方程的解为1x =，故答案为：1．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法并检验．5、n +3或n +4【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解.【详解】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解：①x +2x = x +12x⨯=1+2，在等式两边同时乘以x ， 移项得x 2- 3x +2=0，即(x - 2)(x - 3)=0，故解得x = 1或x =2；②x +6x = x +23x⨯=2+3，同理解得x = 2或x =3； ③x +12x= x +34x ⨯=3+4，同理解得x =3或x =4； 以此类推，第n 个方程为：x +2n n x+= x +(1)21(1)n n n n n x +=+=++， 且解为：x =n 或x =n +1；将方程x +23n n x +-=2n +4两边同时减3，得（x -3）+23n n x +-=2n +1， 根据规律得：x -3 =n 或x -3=n +1，即x =n +3或x =n +4.故答案为：n +3或n +4.【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键.三、解答题1、（1）4x =；（2）2a【分析】（1）通过去分母，化为整式方程，进而即可求解；（2）先去括号，再合并同类项，即可求解．【详解】解：（1）23111x x x -=++， 去分母得：213x x -+=（）， 解得：4x =，检验：当4x =时，150x +=≠．∴原方程的解为4x =；（2）原式=2222(2)a ab b ab b +-+-+=22222a ab b ab b +--+=2a ．【点睛】本题主要考查解分式方程以及整式得混合运算，掌握分式方程的解题步骤以及合并同类项法则，是解题的关键．2、（1）分式的基本性质，等式的性质；（2）75x =． 【分析】（1）根据分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变，将异分母方程化为同分母的分式方程，根据等式的性质，方程两边都乘或乘以同一个不为0的数或整式，两边都乘以（x -3），可去分母把分式方程化为整式方程；（2）将方程整理，去分母，去括号，移项合并，系数化1，验根即可．（1）第一步：根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以-1方程整理13233x x x -=--， 第二步：去分母根据等式的性质，等式两边都乘以（x -3），故答案为：分式的基本性质，等式的性质；（2） 解：13233x x x--=--， 第一步：方程整理13233x x x -=--， 第二步：去分母得：()1233x x --=，去括号得1263x x -+=，移项合并得57x =，系数化1得75x =．检验：当75x =时，7833055x -=-=-≠， ∴75x =是分式方程的根． 【点睛】本题考查分式的基本性质和等式性质，解分式方程，掌握解分式方程的方法与步骤，注意转化思想的利用是解题关键．3、4x =【分析】方程两边同时乘以()23x -去掉分母，把分式方程化为整式方程，求出方程的解并检验后即得结果．【详解】 解：()()()()22223331333x x x x x x ---=⋅---， ()()2333x x x --=-，223369x x x x --=-+，312x =，4x =．检验：当4x =时，()230x -≠∴4x =是原方程的解．∴ 原方程的解是4x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题目，熟练掌握求解的方法是解题的关键．4、（1）排球的单价为35元/个，篮球的单价为28元/个．（2）体育组最多购买22个排球．（1）设排球的单价为x元/个，则篮球的单价为（x-7）元/个，根据数量＝总价÷单价结合用700元购买排球的个数与用560元购买篮球的个数相等，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论；（2）设购买排球y个，则购买篮球（30﹣y）个，根据总价＝单价×数量且购买的总费用不高于1000元，即可得出关于y的不等式，即可求得答案．【详解】解：（1）设排球的单价为x元/个，则篮球的单价为（x-7）元/个，根据题意得：700x＝5607x-，解得：x＝35，经检验，x＝35是原分式方程的解，∴x-7＝28（元/个）．答：排球的单价为35元/个，篮球的单价为28元/个．（2）设购买排球y个，则购买篮球（30﹣y）个，依题意得：35y+28（30﹣y）≤1000解得1607y≤，所以体育组最多购买22个排球．答：体育组最多购买22个排球．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程或不等式．5、（1）在，理由见解析；（2）当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2；（3）6＜S△ABC＜8（1）把点（2，4）代入解析式即可判断；（2）求得两直线的交点为（2，4），根据一次函数的性质即可比较函数值y1与y2的大小；（3）根据题意求得A的纵坐标的取值，然后根据三角形面积公式即可求得．【详解】解：（1）把x＝2代入y1＝mx﹣2m+4得，y1＝2m﹣2m+4＝4，∴点（2，4）在该一次函数的图象上；（2）∵一次函数y2＝﹣x+6的图象经过点（2，4），点（2，4）在一次函数y1＝mx﹣2m+4的图象上，∴一次函数y2＝﹣x+6的图象与函数y1＝mx﹣2m+4的图象的交点为（2，4），∵y2随x的增大而减小，y1随x的增大而增大，∴当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2；（3）由题意可知，﹣6＜﹣2m+4＜6且m＜0，∴﹣1＜m＜0，∵点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．∴6＜AB＜8，∴6＜S△ABC＜8．【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．。
一 数与代数 3 式与方程考点知识精要【考点知识梳理】用字母表示数的意义用字母表示常见的数量关系、运算定律和几何形体的计算公式 式 用字母表示数 用字母表示数的读、写法将数值代入用字母表示数的式子求值 与 等式的意义 等式 等式的性质 方 方程的意义 简易方程 方程的解和解方程 程 方程的解和解方程的区别 方程与等式的关系列方程解决问题【考点知识列要】 一、用字母表示数1. 用字母表示数的意义和作用。
用字母表示数，可以简明地表达数量、数量关系、运算定律和计算公式等，也可以表示运算的结果，为研究和解决问题带来很多方便。
2. 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式。
（1）用字母表示常见的数量关系： ①路程用s 表示，速度用v 表示，时间用t 表示，三者之间的关系是： S=vt 、v=t s 、t=vs. ②总价用a 表示，单价用b 表示，数量用c 表示，三者之间的关系: a=bc 、b=c a 、c=ba. （2）用字母表示运算定律和性质：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(bc)乘法分配律：（a ±b)c=ac ±bc 或ac ±bc=（a ±b)c减法的性质：a-(b+c) =a-b-c除法的性质：a ÷b ÷c=a ÷bc 或a ÷bc=a ÷b ÷c（3）用字母表示几何形体的公式： ①长方形的长用a 表示，宽用b 表示，周长用C 表示，面积用S 表示： C=2(a+b)、S=ab②正方形的边长a 用表示，周长用C 表示，面积用S 表示： C=4a 、S=a 2③平行四边形的底a 用表示，高用h 表示，面积用S 表示：S=ah④三角形的底用a 表示，高用h 表示，面积用S 表示： S=2ah⑤梯形的上底用a 表示，下底b 用表示，高用h 表示，面积用S 表示： S=2)(hb a ⑥圆的半径用r 表示，直径用d 表示，周长用C 表示，面积用S 表示： C=πd=2πr 、 S=πr 2扇形的半径用r 表示，n 表示圆心角的度数，面积用S 表示： S=360n πr 2⑦长方体的长用a 表示，宽用b 表示，高用h 表示，棱长总和用C 表示，表面积用S 表示，体积用V 表示：C=4（a+b+c ）、 S=2(ab+ah+bh)、 V=S 底h 或V=abh⑧正方体的棱长用a 表示，棱长总和用C 表示，表面积用S 表示，体积用V 表示： C=12a 、S=6a 2、V=a3⑨圆柱的高用h 表示，底面半径用r 表示、直径用d 表示，底面周长用C 表示，表面积用S 表示，体积用V 表示：C=πd=2πr 、S 侧=Ch 、S 底=πr 2、S=S 侧+2S底=Ch+πr 2、V=S 底h=πr 2h⑩圆锥的高用h 表示，底面半径用r 表示、底面积用S 表示，体积用V 表示：V=31Sh=31πr 2h3. 用字母表示数的读、写法。
二次函数图像的平移和对称【例1】 如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．【例2】 抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，． ⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．【例3】 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例4】 已知：抛物线2:(2)5f y x =--+． 试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图， 并求：⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．二次方程根的判别式一、一元二次方程实数根个数的判定【例5】 当a 、b 为何值时，方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根？【例6】 已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明．【例7】 如果方程()()22210m x m x m +-++=，只有一个实数根，那么方程()21220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例8】 若二次方程2220x px q ++=有实根，其中p ，q 为奇数，证明：此方程的两个根都是无理数．【例9】 是否存在质数p q ，，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？二、一元二次方程中字母参数的确定【例10】 已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根12x x ，．⑴求k 的取值范围；⑵是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【例11】 已知关于x 的方程22()210m m x mx --+=有两个不相等的实数根．⑴求m 的取值范围；⑵若m 为整数，且3m <，a 是上述方程的一个根，求代数式22212334a a a +--+的值．【例12】 使得关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根的最小整数k （ ）A ．-1B ．2C ．3D ．4【例13】 已知：m 、n 为整数，关于x 的二次方程2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数解，2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根，2(4)10x m x n --++=没有实数根，求m 、n 的值．【例14】 若关于x 的方程220x px q +-=和220x qx p -+=都没有实数根（p 、q 是实数），⑴问式子q pp q+是否总有意义，说明理由．⑵问p q +是否可以是整数，若可以，当p q +为整数时，求p pq q pqq p+++的值；若p q +不可以为整数，说明理由．【例15】 已知24b ac -是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）．A ．18ab ≥B ．18ab ≤C ．14ab ≥D ．14ab ≤三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例16】 在等腰ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求ABC ∆的周长．【例17】 已知：a 、b 、c 分别是ABC ∆的三边长，当0m >时，关于x 的一元二次方程22()()20c x m b x m ++--=有两个相等的实数根，求证：ABC ∆是直角三角形．【例18】 关于x 的一元二次方程()204a ca c x bx -+++=有两个相等的实数根，则以a ，b ，c 为三边的三角形的形状是______．【例19】 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边的长，且方程22()()()0x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例20】 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，其中1a =，4c =，且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状．【例21】 如果关于x 的方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a ++++++++=（其中a ，b ，c 均为正数）有两个相等的实数根．证明：以a ，b ，c 为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．【例22】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰ABC ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【例23】 已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC ∆的周长．二次方程根与系数的关系一、已知一元二次方程的一根求另一根【例24】 已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．【例25】 若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为 ，c = ． ，1c =二、确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【例26】 已知关于x 的方程2210x mx m -+-=的两个实数根的平方和为23，求m 的值【例27】 已知关于x 的方程22210x x k ++-=的两根平方差等于2，求k 的值．【例28】 已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【例29】 已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，那么m n +=_______．【例30】 已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【例31】 已知方程20x ax b +-=的根是a 和c ，方程20x cx d ++=的根是b 和d ．其中，a 、b 、c 、d 为不同实数，求a 、b 、c 、d 的值．【例32】 已知关于x 的方程()()2212110t x t x ---+=的两根倒数之和大于0，求t 的取值范围．【例33】 关于x 的二次方程2251x x m -=-有实根α和β，且||||6αβ+≤，确定m 的取值范围．【例34】 已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2244(1)0x m x m +-+=的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．【例35】 若实数a 使得对于每一个实数z ，关于x 、y 的方程组22231x ay zxy z z +=⎧⎨=++⎩总有实数解，则a 的取值范围是__________．三、求与一元二次方程两根有关的代数式的值【例36】 若1ab ≠，且有25200190a a ++=及29200150b b ++=，则a b = ，1a b+= ．【例37】 设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例38】 设方程2(1998)1997199910x x -⋅-=的大根为a ，方程2199819900x x --=的小根为b ，则a b -=_____________．【例39】 设1x 、2x 是方程23560x x --=的两根，则代数式()()122121x x --的值是 ，代数式1221x x x x +的值是 ．【例40】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．【例41】 已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值．【例42】 已知x 、y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=．求432234x x y x y xy y ++++的值．【例43】 设a 、b 、c 、d 为互不相等的实数，且()()22221a c a d --=，()()22221b c b d --=，则2222a b c d -=（ ）． A ．0 B ．1- C ．1 D ．无法确定四、根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【例44】 设20x px q -+=的两实数根为αβ、，那么33αβ、为两根的一元二次方程是____________．【例45】 已知方程2980x x -+=，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．【例46】 求一个一元二次方程，使它的两个根是32-和3．【例47】 已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实根为p 、q ，且()22156p q p p q pq ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，试求这个一元【例48】 已知关于x 的方程24470x bx b ++=有两个相等的实数根，1y 、2y 是关于y 的方程()2240y b y +-+= 2一元二次方程．五、根与系数关系的其他应用【例49】 当a 取遍0到5的所有实数时，满足3(38)b a a =-的整数b 的个数是_____.【例50】 已知方程240ax x b ++=(0)a <的两实根为1x 、2x ，方程230ax x b ++=的两实根为α、β． ⑴ 若a 、b 均为负整数，且||1αβ-=，求a 、b 的值；⑵ 若12αβ<<<，12x x <，求证：1221x x -<<<．【例51】 已知a b ，为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y y ，，且满足11222008x y x y ⋅-⋅=．求b 的最小值．【例52】 设实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，2abc =．则333||||||u a b c =++的最小值为___________．【例53】 已知a b c >>，1a b c ++=，2223a b c ++=．求证：2132b c -<+<．【例54】 已知2007())()0()a b b c c a a b -+-+-=≠，求2()()()c b c a a b ---的值．【例55】 如果方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之比等于常数k ，则系数a ，b ，c 之间的关系是____________．公共根与整根一、一元二次方程的公共根【例56】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．【例57】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC ∆一定是直角三角形．【例58】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例59】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．【例60】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值．二、一元二次方程的整数根【例61】 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．【例62】 设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【例63】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【例64】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．【例65】 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．【例66】 方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．【例67】 求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．【例68】n 为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根，则n =__________．【例69】 求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．【例70】 已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________．【例71】 不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根【例72】 已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．【例73】 已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．【例74】 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？【例75】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例76】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例77】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．二次函数与方程、不等式综合本讲主要总结如何描述二次方程零点分布 如何解二次不等式【例78】已知二次函数()2f x x px q =++，且方程()0f x =与()20f x =有相同的非零实根．（1）求2qp 的值； （2）若()128f =，解方程()0f x =.【例79】已知二次函数2y x x a =-+(0)a >，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）A .1m -的函数值小于0B .1m -的函数值大于0C .1m -的函数值等于0D .1m -的函数值与0的大小关系不确定【例80】 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.【例81】 已知函数1y x =，22y x bx c =++，αβ，为方程120y y -=的两个根，点()M t T ，在函数2y 的图象上．（1）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式；（2）在（1）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM ∆的面积为3112时，求t 的值；（3）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．【例82】 已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1，一个大于1，求p 的取值范围．【例83】 已知方程20x ax b ++=的两根均大于2，求a b ，的关系式．【例84】 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．【例85】 若二次方程()22100ax x a -+=>在区间()13，内仅有较大实根，另一根不等于1，求a 的取值范围．【例86】 已知方程20x bx c ++=有两个实数根s t 、，并且22x t <<，．证明： （1）4c <； （2）4b c <+【例87】 若x 的二次方程242x mx n -+，因为方程()0f x =的解都位于01x <<的范围中，求正整数m n ，的值．【例88】 设有整系数二次函数()2f x ax bx c =++，其图像开口方向朝上，且与x 轴有两个交点，分别在()10-，、()1+∞，内，且()0f x =的判别式等于5，试求a b c ，，的值．【例89】 已知方程()210x k x k --+=有两个大于2的实根，求k 的取值范围．【例90】 若关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根α、β满足01α<<2β<<，求实数p的取值范围．【例91】 方程()211300x x a -++=有两实根，且两根都大于5，证明104a <≤．【例92】 已知方程240ax x b ++=()0a <的两实根为1x 、2x ，方程230ax x b ++=的两实根为α、β．（1）若a 、b 均为负整数，且||1αβ-=，求a 、b 的值； （2）若12αβ<<<，12x x <，求证：1221x x -<<<．【例93】 设a b ，是实数，二次方程20x ax b -+=的一个根属于区间[]11-，，另一个根属于区间[]12，，求2a b -的取值范围．【例94】 已知m 、n 均为正整数，若关于x 的方程2420x mx n -+=的两个实数根都大于1且小于2，求m 、n 的值．【例95】 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6？【例96】 已知方程20ax bx c ++=有两个不同实根，求证：方程202b ax bx c k x a ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭至少有一个根，在前一个方程的两根之间．（此处0k ≠）【例97】 试证：若实数a b c ，，满足条件021a b cm m m++=++，这里m 时正数，那么方程20ax bx c ++=有一个根介于0和1之间．【例98】 阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：2230x x -->． 解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数． ∵10a =>，∴抛物线开口向上．又∵当0y =时，2230x x --=，解得1213x x =-=，．∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >．∴2230x x -->的解集是1x <-或3x >．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是____________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：210x ->．【例99】 如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的两个交点分别为()10A -，和()20B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．【例100】 如下右图是抛物线2y ax bx c =++的一部分，其对称轴为直线1x =，若其与x 轴一交点为()30B ，，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是 ．【例101】 对于满足04p ≤≤的所有实数p ，求使不等式243x px x p +>+-成立的x 的取值范围．【例102】 已知二次函数2(1)1y x m x m =-++-（1）求证：不论m 为任何实数，这个函数的图象与x 轴总有交点，（2）m 为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？。
